數(shù)值計算方法課件劉玲王正盛第二版

1、數(shù)值計算方法第1章 緒論n隨著科學技術的飛速發(fā)展，科學計算愈來愈顯示出其重要性?？茖W計算的應用之廣已遍及各行各業(yè)，例如：氣象資料的分析圖像，飛機、汽車及輪船的外形設計，高科技研究等都離不開科學計算。因此，作為科學計算的數(shù)學工具數(shù)值計算方法已成為各高等院校數(shù)學、物理和計算機應用專業(yè)等理工科本科生的專業(yè)基礎課,也是工科碩士研究生的學位必修課。n數(shù)值分析或數(shù)值計算方法主要是研究如何運用計算機去獲得數(shù)學問題的數(shù)值解的理論和方法.對那些在經典數(shù)學中,用解析方法在理論上已作出解的存在,但要求出他的解析解又十分困難,甚至是不可能的這類數(shù)學問題,數(shù)值解法就顯得不可缺少,同時有十分有效.n計算機解決科學計算問題

2、時經歷的幾個過程n實際問題數(shù)學模型數(shù)值計算方法程序設計上機運行求出解n實際問題數(shù)學模型：由實際問題應用科學知識和數(shù)學理論建立數(shù)學模型的過程，是應用數(shù)學的任務。n數(shù)值計算方法程序設計計算結果：根據(jù)數(shù)學模型提出求解的數(shù)值計算方法，直到編出程序上機算出解，是計算數(shù)學的任務。n數(shù)值計算方法重點研究：求解的數(shù)值方法及與此有關的理論n包括：方法的收斂性，穩(wěn)定性，誤差分析，計算時間的最?。ㄒ簿褪怯嬎阗M用）,占用內存空間少.n有的方法在理論上雖不夠嚴格，但通過實際計算，對比分析等手段，被證明是行之有效的方法，也可以采用。因此，數(shù)值分析既有純數(shù)學高度抽象性與嚴密科學性的特點，又有應用的廣泛性與實驗的高度技術性特

3、點，是一門與使用計算機密切結合的實用性很強的數(shù)學課程。1.1數(shù)學問題的數(shù)值解法例示n例1.1.1試求函數(shù)方程x=cosx在區(qū)間 內的一個根。解 )2, 0(.)2, 0(, 0sin1)(.)2, 0(0)(,02*) 1()2()0(,2, 0)(,cos)(知上述零點唯一又由內至少有一個零點在方程由零點定理知且上是連續(xù)函數(shù)在易知令xxxfxfffxfxxxf1.1數(shù)學問題的數(shù)值解法例示.4.,cos.,.*附近大致位于看出從圖中可以為所求方程的解的橫坐標取兩曲線交點作圖像可大致判定此零點位置法若用圖解困難本題用解析法求解較為xxpxyxy公式有的復化被積函數(shù)擇數(shù)值方法有多種，如選萊布尼茲公

4、式）由牛頓解：（）（計算定積分例SimpsonxxfhnxIdxeIdxxx2101101022114)(,21, 20arctan41arctan4|arctan41)2(14I 12. 1 . 12。行數(shù)值求解有公式進的復化法求解。仍選擇數(shù)值方公式無法求解，僅可用由無原函數(shù)，因此，由于）（746855379. 0,21, 2LeibnizNewtone)(,e2141568627. 3)1 ()43(4)21(2)41(4)0(62102122IsimpsonhnxxfdxIfffffhI-x:121)0(23 .1 .12方法我們選擇經典的四階如。本題數(shù)值方法很多，解析解解得方程，令該方

5、程是解求解初值問題例KRxyyuBernoulliyyxydxdy 為步長。；這里hyxyyxfkyhthfkkyhthfkkyhthfkythfkkkkkyynnnnnnnnnn2),(,),()2,2()2,2(),()22(61342312143211現(xiàn)取h=0.05,其結果見下表:xnynyxnyny01.00000 1.00000 1.21.84931 1.849310.21.18322 1.18322 1.41.94396 1.943960.41.34164 1.34164 1.62.04939 2.049390.61.48324 1.48324 1.82.14476 2.1447

6、60.81.61245 1.61245 2.02.23607 2.236071.01.73205 1.73205 1.2誤差概念和有效數(shù)n在任何科學計算中其解的精確性總是相對的,而誤差則是絕對的.我們從下面這個例子就可以了解誤差產生的原因.例1.2.1 試求擺長為L的單擺運動周期. 22sing:gl2Tdtdmlmamgfml牛頓定律的質量。如圖所示：由是質點為自由落體加速度；為擺長；其中擺周期在物理學中我們知道單0,sin,0sinsin22222222dtdlglgdtdmgdtdml則有令很小時當即所以：期求解過程的誤差情況現(xiàn)在我們來分析單擺周因此，故有解微分方程得，glTtcctct

7、c22)sin(.sincos22212121開方：舍入誤差長度秒米觀察誤差：展式：由截斷誤差：點處的摩擦力忽略忽略空氣阻力模型誤差/,*,.4,/8 . 93.! 5! 3sinTaglorsin2o10205300lg誤差的分類n模型誤差模型誤差 從實際問題建立的數(shù)學模型往往都忽略了許多次要的因素,因此產生的誤差稱為模型誤差.n觀測誤差觀測誤差 一般數(shù)學問題包含若干參數(shù),他們是通過觀測得到的,受觀測方式、儀器精度以及外部觀測條件等多種因素，不可能獲得精確值，由此而來產生的誤差稱為觀測誤差。n截斷誤差截斷誤差 在求解過程中，往往以近似替代，化繁為簡，這樣產生的誤差稱為截斷誤差。n舍入誤差舍入

8、誤差 在計算機上運算時受機器字長的限制，一般必須進行舍入，此時產生的誤差稱為舍入誤差。誤差和有效數(shù)字。的絕對誤差和相對誤差為近似數(shù)和稱的一個近似數(shù)為準確數(shù)設定義*)0()()()(,2 . 2 . 1xxxxexexxxexxr精度的好壞更合理。衡量也稱百分比誤差而用相對誤差。但無法衡量精度的好壞比較直觀的精度高低絕對誤差是做為衡量稱為不足絕對誤差。時當稱為過剩絕對誤差時當,0)(;,0)(*xxexe誤差估計n由于準確值在一般情況下是未知的，因此絕對誤差和相對誤差常常是無法計算的，但有可能給出估計。誤差界就是用于誤差估計的。誤差估計差界。的絕對誤差界和相對誤為近似數(shù)和則稱滿足和若有正數(shù)的一個

9、近似數(shù)是精確數(shù)設定義*r*r*| )(| )(|:,2 . 2 . 1xxxxxexxxexxrr有效數(shù)字n在工程上，誤差的概念就轉化為有效數(shù)字。似數(shù)。具有五位有效數(shù)字的近稱則的近似數(shù)例如3.14161021.00000734. 0.14159265. 31416. 3)(1416. 3.14159265. 3*4*e在計算機中表示為：均為有效數(shù)。為有效數(shù)字，且則若設121321.,1021.,. 010nnnmnmaaaaaaaaxmfa1a2 an位有效數(shù)的近似數(shù)。的具有為則稱的絕對誤差滿足。如果是整數(shù)且和其中有規(guī)格化形式設近似數(shù)定義nxxxxxexaaniamaaaaxxnmiinm*1

10、321*1021| )(|90 , 0,.),.,2 , 1(.0103 .2 .1n絕對誤差，相對誤差，有效數(shù)是度量近似數(shù)精度的常用三種。實際計算時最終結果均以有效數(shù)給出。同時也就隱含了絕對誤差和相對誤差界。4*10215, 1,4142. 1,2的絕對誤差界則如xnmxx554*1041044142.11021|)(|rrxxe即而相對誤差界估計為函數(shù)值的誤差估計n引入微分符號*ln)()(xdxdxxxxxedxxxxer)()(lnln)ln(ln)ln()()()()()(,*2*1*2*1*2*1*2*1*2*1*2*1*2*1*2*1*2*1*2*121xexexdxdxxdxx

11、dxxexexedxdxxxdxxexxxxrrr，則的近似數(shù)設2*2*2*1*1*2*2*1*2*1*2*1*2*1*1*2*2*1*2*1*2*1*2*1*2*1)()()()()()()()()()()()()(xxexxexxxexexexxexexxexxexexxxxexxxxerrrrrrrr同理得故：)()()()()()()()()()()()(),(*xexfxfxfexexfxxxfxdfxfxffexfxxxfyrr或時，則誤差為計算函數(shù)值則代替用近似數(shù)當設函數(shù)定的。是可以控制的，或是穩(wěn)時，函數(shù)值的誤差這表明當時有當若記1, 1)()()()(1, 1|,)()(|,)

12、(|*rrrrrCCxefexefeCCxfxfxCxfC為病態(tài)。稱當為良態(tài)；稱當。和相對意義下的條件數(shù)在絕對意義下為一般分別稱)(1)(1)(,xfCxfCxfCCr例題在正根附近是病態(tài)的即正根為解得由解在正根附近的性態(tài)。討論函數(shù)例)(1201| 12| )100(|100100,1010)(10100)(2 . 2 . 110021*xfxfxxxxfxxxfx。變化，函數(shù)值變化極大也就是自變量發(fā)生微小則取則如：取09.20)9 .99()(, 9 .99200)99()(,99*1*1*1*1fxfxfxfx多元函數(shù)誤差估計)()()()(),.,(),.,()(),.,(),.,(),

13、.,(*1*1*1*21*2*121*2*1*21iniiniiiniiiinnTnTnnxexffexexfxxxfxxxfxxxffexxxxxxxxxxxfy因此絕對誤差界為其絕對誤差為代替用對于多元函數(shù)| )(|)()(| )(|)()()(1*1*niiriirniiriirxexfxxxffexexfxxxffe相對誤差界（同理相對誤差為例題。的絕對誤差和相對誤差面積試估計觀測數(shù)據(jù)為設例SABC,)02.060(,)10.0120(,)10.0100(ABC3 .1.2oAmcmb2*57.1018002. 0cos211 . 0sin211 . 0sin21)()()()(sin

14、21mAcbAbAcAeAScecSbebSSeAbcS則由解253*33*10211021| )(|10010. 01010.100:10035. 2sin2157.10|)(| )(|bebAcbsseser則對誤差界。如出，則知道絕若數(shù)據(jù)以規(guī)格化形式給注意1.3算法的優(yōu)化n算法優(yōu)劣的標準n從截斷誤差觀點看,算法必須是截斷誤差小,收斂斂速要快。即運算量小,機器用時少.n從舍入誤差觀點看,舍入誤差在計算過程中要能控制,即算法的數(shù)值要穩(wěn)定.n從實現(xiàn)算法的觀點看,算法的邏輯結構不宜太復雜，便于程序編制和上機實現(xiàn).n設計算法時應遵循的原則n要有數(shù)值要穩(wěn)定性,即能控制誤差的傳播.n避免大數(shù)吃小數(shù),即

15、兩數(shù)相加時,防止較小的數(shù)加不到較大的數(shù)上.n避免兩相近的數(shù)相減,以免有效數(shù)字的大量丟失.n避免分母很小(或乘法因子很大),以免產生溢出.例題.1)1(.312112ln1.)1(.32)1ln(解2ln例1.3.11132nxnxxxxxTaylornnn有令展式有算法一：由的值。計算慢。顯然項數(shù)大，收斂速度時，則若要收斂。所以且由級數(shù)判別，交錯級數(shù)55102102111|2ln0limnnann得：并取則令則而由于算法二1031211.)12.531(211ln)1ln()1ln(.)1(.32)1ln(.32)1ln(:24213232nxxxnxxxxxxxxnxxxxxnxxxxxnn

16、nn差距很大。，計算精度及速度兩種算法，同樣計算其截斷誤差為2ln109123112191119123132.)9125191231(32)31(211.3151311 (322ln12101112112042T。則時同理若要算法一：由定積分解的值。計算圓周率例55110210,1021121|.121)1(.513111142 .3 .1nnndxxn141568627. 34785392156. 0)1 ()43(4)21(4)0(611)(,2122*22SffffhSsimpsonxxfhn所以公式有的，算法二：取算法二表明,僅用不多的五次函數(shù)值的計算,已獲得的具有五位有效數(shù)字的近似值

17、。,.2 , 11|555,.)1 , 0(5例1.3.310101101110nnnxdxxdxxxxIIndxxxInnnnnnnn解：由于計算定積分計算如下：得遞推公式18232155. 056ln,.2 , 15101InInInnn InnIn0 0.1823215590.0170566241 0.088392216100.0147168762 0.058039818110.0173247103 0.04313874212-0.0032902194 0.03430628713-0.0933741725 0.02846856014-0.3954422906 0.024323864152.0438781007 0.02123782016-10.156890008 0.0188108971750.84327600錯。的絕對值