統(tǒng)計(jì)學(xué)第五章

1、第五章第五章 本章包括平均指標(biāo)和變異指標(biāo)兩部分本章包括平均指標(biāo)和變異指標(biāo)兩部分內(nèi)容，闡述了平均指標(biāo)的概念和作用；各內(nèi)容，闡述了平均指標(biāo)的概念和作用；各種平均數(shù)的計(jì)算原則、方法與應(yīng)用條件；種平均數(shù)的計(jì)算原則、方法與應(yīng)用條件；主要的平均指標(biāo)主要的平均指標(biāo)( (算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)數(shù)、幾何平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)) )；變異；變異指標(biāo)的作用、計(jì)算方法和運(yùn)用條件；主要指標(biāo)的作用、計(jì)算方法和運(yùn)用條件；主要的變異指標(biāo)的變異指標(biāo)( (全距、平均差、標(biāo)準(zhǔn)差及其全距、平均差、標(biāo)準(zhǔn)差及其系數(shù)系數(shù)) )。第一節(jié)第一節(jié) 平均指標(biāo)反映同類(lèi)現(xiàn)象的一般水平，是平均指標(biāo)反映同類(lèi)現(xiàn)象

2、的一般水平，是總體內(nèi)各單位參差不齊的標(biāo)志值的代表值，總體內(nèi)各單位參差不齊的標(biāo)志值的代表值，也是對(duì)變量分布集中趨勢(shì)的測(cè)定。也是對(duì)變量分布集中趨勢(shì)的測(cè)定。數(shù)據(jù)集中區(qū)數(shù)據(jù)集中區(qū)變量變量x 常用的平均指標(biāo)常用的平均指標(biāo)指標(biāo)名稱(chēng)指標(biāo)名稱(chēng) 簡(jiǎn)單平均數(shù)簡(jiǎn)單平均數(shù) 公式公式 加權(quán)平均數(shù)公式加權(quán)平均數(shù)公式算術(shù)平均數(shù)算術(shù)平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)中位數(shù)中位數(shù)將總體標(biāo)志值按大小順序排列，處于中間位置的標(biāo)志值將總體標(biāo)志值按大小順序排列，處于中間位置的標(biāo)志值眾數(shù)眾數(shù)總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值NXXNii1NiiNiiiffXX11NiiHXNX11NiiiNiiHXmmX1

3、1NiGXXiiffiGXX一、平均指標(biāo)的概念一、平均指標(biāo)的概念 平均指標(biāo)，是同類(lèi)社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象總平均指標(biāo)，是同類(lèi)社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象總體內(nèi)各單位某一數(shù)量標(biāo)志在一定時(shí)間、地體內(nèi)各單位某一數(shù)量標(biāo)志在一定時(shí)間、地點(diǎn)和條件下數(shù)量差異抽象化的代表性水平點(diǎn)和條件下數(shù)量差異抽象化的代表性水平指標(biāo)，其數(shù)值表現(xiàn)為平均數(shù)。指標(biāo)，其數(shù)值表現(xiàn)為平均數(shù)。二、平均指標(biāo)的作用二、平均指標(biāo)的作用 ( (一一) )利用平均指標(biāo)，可以了解總體次數(shù)分利用平均指標(biāo)，可以了解總體次數(shù)分布的集中趨勢(shì)布的集中趨勢(shì) ( (二二) )利用平均指標(biāo)，可以對(duì)若干同類(lèi)現(xiàn)象利用平均指標(biāo)，可以對(duì)若干同類(lèi)現(xiàn)象在不同單位、地區(qū)間進(jìn)行比較研究在不同單位、地區(qū)間進(jìn)行比

4、較研究 ( (三三) )利用平均指標(biāo)，可以研究某一總體某利用平均指標(biāo)，可以研究某一總體某種數(shù)值的平均水平在時(shí)間上的變化，說(shuō)明總體種數(shù)值的平均水平在時(shí)間上的變化，說(shuō)明總體的發(fā)展過(guò)程和趨勢(shì)的發(fā)展過(guò)程和趨勢(shì)二、平均指標(biāo)的作用二、平均指標(biāo)的作用 ( (四四) )利用平均指標(biāo)，可以分析現(xiàn)象之間利用平均指標(biāo)，可以分析現(xiàn)象之間的依存關(guān)系的依存關(guān)系( (五五) )平均指標(biāo)可作為某些科學(xué)預(yù)測(cè)、決策平均指標(biāo)可作為某些科學(xué)預(yù)測(cè)、決策和某些推算的依據(jù)和某些推算的依據(jù)原始數(shù)據(jù)原始數(shù)據(jù):105913685 . 868613951066543211XXXXXXNXXNii一、算術(shù)平均數(shù)的基本形式一、算術(shù)平均數(shù)的基本形式公式

5、公式5151總體單位總數(shù)總體標(biāo)志總量算術(shù)平均數(shù)二、算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法二、算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法 ( (一一) )簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)總體單位總數(shù)總體標(biāo)志數(shù)值之總和簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)用符號(hào)表示用符號(hào)表示: :公式公式5252nXnXXXXXn321例例5151 某機(jī)械廠某生產(chǎn)班組有某機(jī)械廠某生產(chǎn)班組有1010名工人，生產(chǎn)名工人，生產(chǎn)某種零件，每個(gè)工人的日產(chǎn)量分別為某種零件，每個(gè)工人的日產(chǎn)量分別為4545件，件，4848件，件，5252件，件，6262件，件，6969件，件，4444件，件，5252件，件，5858件，件，3838件，件，6464件。件。試用簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)法計(jì)算工人平均日產(chǎn)量。

6、試用簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)法計(jì)算工人平均日產(chǎn)量。 （件）2.53105321064385852446962524845nXX( (二二) )加權(quán)算術(shù)平均數(shù)加權(quán)算術(shù)平均數(shù)各組單位數(shù)的總和位數(shù)乘積的總和各組標(biāo)志數(shù)值與該組單加權(quán)算術(shù)平均數(shù)設(shè)分組后的數(shù)據(jù)為：設(shè)分組后的數(shù)據(jù)為：X1 ，X2 ， ，Xn相應(yīng)的頻數(shù)為：相應(yīng)的頻數(shù)為： f1 ， f2， ，fn加權(quán)均值的計(jì)算公式為加權(quán)均值的計(jì)算公式為niiniiinnnffXffffXfXfXX11212211公式公式53例例 5-35-3 （元）工人月平均工資50.172720003455000fXfX表表3-1 某車(chē)間某車(chē)間50名工人日加工零件均值計(jì)算表名工人日加

7、工零件均值計(jì)算表按零件數(shù)分組按零件數(shù)分組組中值（組中值（Xi）頻數(shù)（頻數(shù)（fi）Xifi105110110115115120120125125130130135135140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.5358141064322.5562.5940.01715.01275.0795.0550.0合計(jì)合計(jì)506160.0計(jì)算計(jì)算50 名工人日加工零件數(shù)的均值名工人日加工零件數(shù)的均值（個(gè)）2.12350616011niiniiiffXX 權(quán)數(shù)實(shí)質(zhì)：權(quán)數(shù)對(duì)算術(shù)平均數(shù)的影響作用權(quán)數(shù)實(shí)質(zhì)：權(quán)數(shù)對(duì)算術(shù)平均數(shù)的影響作用不決定于各組單位數(shù)的多少，而決定于各組不決定于各組單

8、位數(shù)的多少，而決定于各組單位數(shù)的比重大小。單位數(shù)的比重大小。 當(dāng)各組次數(shù)都相等時(shí)，權(quán)數(shù)就不起作用，當(dāng)各組次數(shù)都相等時(shí)，權(quán)數(shù)就不起作用，加權(quán)算術(shù)平均數(shù)等于簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)。加權(quán)算術(shù)平均數(shù)等于簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)。 即當(dāng)：即當(dāng)：nxfxfAfffn 時(shí)21 加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的另一公式：加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的另一公式：ffxx公式公式54 三、算術(shù)平均數(shù)的幾個(gè)主要數(shù)學(xué)性質(zhì)三、算術(shù)平均數(shù)的幾個(gè)主要數(shù)學(xué)性質(zhì) ( (一一) )平均數(shù)與次數(shù)和的乘積等于平均數(shù)與次數(shù)和的乘積等于所有變量值所有變量值( (數(shù)量標(biāo)志值數(shù)量標(biāo)志值) )的總和。的總和。xnx(二二) 各變量值與均值的離差之和等于零各變量值與均值的離差之和等于零nii

9、XX12min)(niiXX10)(第三節(jié)第三節(jié) 一、調(diào)和平均數(shù)的概念一、調(diào)和平均數(shù)的概念 調(diào)和平均數(shù)是平均數(shù)的一種，它是調(diào)和平均數(shù)是平均數(shù)的一種，它是根據(jù)變量值的倒數(shù)計(jì)算的，是變量值倒根據(jù)變量值的倒數(shù)計(jì)算的，是變量值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，故又稱(chēng)倒數(shù)平數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，故又稱(chēng)倒數(shù)平均數(shù)。均數(shù)。二、簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)二、簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù)XnXXXXnHn11111321公式公式55三、加權(quán)調(diào)和平均數(shù)三、加權(quán)調(diào)和平均數(shù) 公式公式5656123312123nnnmmmmmHmmmmmXXXXX例例 5-45-4 （元）為：平均每千克（39.55102056500XmmHH 一、幾何平均數(shù)的概念和特點(diǎn)

10、一、幾何平均數(shù)的概念和特點(diǎn) 幾何平均數(shù)不同于算術(shù)平均數(shù)和調(diào)和平幾何平均數(shù)不同于算術(shù)平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)，均數(shù)， 是是n n個(gè)變量值連乘積的個(gè)變量值連乘積的n n次方根，是次方根，是計(jì)算平均比率和平均速度時(shí)比較適用的一種計(jì)算平均比率和平均速度時(shí)比較適用的一種方法，符合人們的認(rèn)識(shí)規(guī)律。方法，符合人們的認(rèn)識(shí)規(guī)律。二、幾何平均數(shù)的計(jì)算方法二、幾何平均數(shù)的計(jì)算方法 ( (一一) )簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)簡(jiǎn)單幾何平均數(shù)公式公式5757nnnXXXXXG321例例5555 車(chē)間制品平均合格率車(chē)間制品平均合格率%93.91%87%91%93%974nXG( (二二) )加權(quán)幾何平均數(shù)加權(quán)幾何平均數(shù)公式公式5858fff

11、nffffnnfffXXXXXG321332211例例5656 求反對(duì)數(shù)得本利率：求反對(duì)數(shù)得本利率：G G103.75%103.75%平均年利率平均年利率103.75%103.75%100%100%3.75%3.75%這就是說(shuō)，這就是說(shuō)，2525年間的年平均本利率為年間的年平均本利率為103.75%103.75%，年平均利率為年平均利率為3.75%3.75%。01600.22540002.50lglgfXfG一、眾數(shù)一、眾數(shù) 在觀察某一總體時(shí)，最常遇到的標(biāo)志值，在在觀察某一總體時(shí)，最常遇到的標(biāo)志值，在統(tǒng)計(jì)上稱(chēng)為眾數(shù)。統(tǒng)計(jì)上稱(chēng)為眾數(shù)。 下限公式下限公式: :iLiffffffLM211)10)1

12、0)100(公式公式5959 上限公式上限公式: :iUiffffffUM212)10)10)100(公式公式510510表表3-9 某車(chē)間某車(chē)間50名工人日加工零件數(shù)分組表名工人日加工零件數(shù)分組表按零件數(shù)分組按零件數(shù)分組頻數(shù)（人）頻數(shù)（人）累積頻數(shù)累積頻數(shù)105110110115115120120125125130130135135140358141064381630404650合計(jì)合計(jì)50計(jì)算計(jì)算50名名工 人 日 加工 人 日 加工 零 件 數(shù)工 零 件 數(shù)的眾數(shù)的眾數(shù))(1235)1014()814(8141200個(gè)M為偶數(shù)時(shí)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)當(dāng)NXXNXMNNNe1222121 將總體各單位

13、標(biāo)志值按大小順序排列，處于將總體各單位標(biāo)志值按大小順序排列，處于數(shù)列中點(diǎn)位置的標(biāo)志值就是中位數(shù)數(shù)列中點(diǎn)位置的標(biāo)志值就是中位數(shù)1）根據(jù)位置公式確定中位數(shù)所在的組）根據(jù)位置公式確定中位數(shù)所在的組2）采用下列近似公式計(jì)算：）采用下列近似公式計(jì)算：3） 該公式假定中位數(shù)組的頻數(shù)在該組內(nèi)均勻分布該公式假定中位數(shù)組的頻數(shù)在該組內(nèi)均勻分布ifSfLMmme12某車(chē)間某車(chē)間50名工人日加工零件數(shù)分組表名工人日加工零件數(shù)分組表按零件數(shù)分組按零件數(shù)分組頻數(shù)（人）頻數(shù)（人） 累積頻數(shù)累積頻數(shù)105110110115115120120125125130130135135140358141064381630404650

14、合計(jì)合計(jì)50計(jì)算計(jì)算50 名工人日加工零件數(shù)的中位數(shù)名工人日加工零件數(shù)的中位數(shù))(21.12351416250120個(gè)eM( (一一) )必須注意所研究社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的同質(zhì)性必須注意所研究社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的同質(zhì)性( (二二) )必須注意用組平均數(shù)補(bǔ)充說(shuō)明總平均數(shù)必須注意用組平均數(shù)補(bǔ)充說(shuō)明總平均數(shù)( (三三) )必須注意應(yīng)用分配數(shù)列補(bǔ)充說(shuō)明平均數(shù)必須注意應(yīng)用分配數(shù)列補(bǔ)充說(shuō)明平均數(shù)( (四四) )必須注意一般與個(gè)別相結(jié)合，把平均數(shù)和必須注意一般與個(gè)別相結(jié)合，把平均數(shù)和典型事例結(jié)合起來(lái)典型事例結(jié)合起來(lái)( (五五) )平均指標(biāo)要與變異指標(biāo)結(jié)合運(yùn)用平均指標(biāo)要與變異指標(biāo)結(jié)合運(yùn)用一、標(biāo)志變異指標(biāo)的概念和作用一、標(biāo)

15、志變異指標(biāo)的概念和作用 ( (一一) )標(biāo)志變異指標(biāo)的概念標(biāo)志變異指標(biāo)的概念 標(biāo)志變異指標(biāo)是反映統(tǒng)計(jì)數(shù)列中以標(biāo)志變異指標(biāo)是反映統(tǒng)計(jì)數(shù)列中以平均數(shù)為中心，總體各單位標(biāo)志值的差平均數(shù)為中心，總體各單位標(biāo)志值的差異大小范圍或離差程度的指標(biāo)。異大小范圍或離差程度的指標(biāo)。 ( (二二) )標(biāo)志變異指標(biāo)的作用標(biāo)志變異指標(biāo)的作用 1.1.標(biāo)志變異指標(biāo)可以衡量平均數(shù)代表性的大小。標(biāo)志變異指標(biāo)可以衡量平均數(shù)代表性的大小。 2.2.標(biāo)志變異指標(biāo)可以反映社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)過(guò)程的標(biāo)志變異指標(biāo)可以反映社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)過(guò)程的節(jié)奏性和均衡性。節(jié)奏性和均衡性。 3.3.標(biāo)志變異指標(biāo)可以反映總體單位標(biāo)志值的均標(biāo)志變異指標(biāo)可以反映總體單位

16、標(biāo)志值的均勻性和穩(wěn)定性。勻性和穩(wěn)定性。 4.4.標(biāo)志變異指標(biāo)是科學(xué)地確定必要的抽樣單位標(biāo)志變異指標(biāo)是科學(xué)地確定必要的抽樣單位數(shù)應(yīng)考慮的重要因素。數(shù)應(yīng)考慮的重要因素。 二、標(biāo)志變異指標(biāo)的計(jì)算方法二、標(biāo)志變異指標(biāo)的計(jì)算方法 ( (一一) )變異全距變異全距 變異全距最大標(biāo)志值最小標(biāo)志值變異全距最大標(biāo)志值最小標(biāo)志值公式公式513513變異全距最高組上限最低組下限變異全距最高組上限最低組下限公式公式514514 ( (二二) )平均差平均差 1.1.如果掌握的是未經(jīng)分組的如果掌握的是未經(jīng)分組的( (原始數(shù)列原始數(shù)列) )資料，則采用簡(jiǎn)單算術(shù)平均式。資料，則采用簡(jiǎn)單算術(shù)平均式。公式公式515515nXX

17、DA. 例例5-115-11（件）第二組平均差為（件）第一組平均差為6.71076.2810280.nXXDAnXXDA 2.2.如果掌握的資料是分組數(shù)列時(shí)，則應(yīng)如果掌握的資料是分組數(shù)列時(shí)，則應(yīng)采用加權(quán)算術(shù)平均式。采用加權(quán)算術(shù)平均式。公式公式516516ffXXDA. 例例5-125-12（箱）965.01000965.ffXXDA ( (三三) )標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差 1.1.簡(jiǎn)單平均式。簡(jiǎn)單平均式。公式公式517517nXX2 2. 2.加權(quán)平均式。加權(quán)平均式。公式公式518518ffXX2 某車(chē)間某車(chē)間50名工人日加工零件標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算表名工人日加工零件標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算表按零件數(shù)分按零件數(shù)分組組組中值組中

18、值(X)頻數(shù)頻數(shù)(f)(X- X )2(X- X )2f105110110115115120120125125130130135135140107.5112.5117.5122.5127.5132.5137.5358141064246.49114.4932.490.4918.4986.49204.49739.47572.45259.926.86184.90518.94817.96合計(jì)合計(jì)503100.5計(jì)算工人日加工零件數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算工人日加工零件數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差（個(gè)）87. 7505 .3100)(2ffXX 3. 3.是非標(biāo)志的標(biāo)準(zhǔn)差。是非標(biāo)志的標(biāo)準(zhǔn)差。 公式公式519519)1(pppq ( (四四) )標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)公式公式520520XV指標(biāo)名稱(chēng)指標(biāo)名稱(chēng) 概概