自動控制原理—第五章

1、第5章控制系統(tǒng)的頻域分析w 5.1頻率特性的基本概念頻率特性的基本概念w 5.2幅相頻率特性及其繪制幅相頻率特性及其繪制w 5.3對數(shù)頻率特性及其繪制對數(shù)頻率特性及其繪制w 5.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)w5.5相對穩(wěn)定性相對穩(wěn)定性w 5.6利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能頻率特性法頻率特性法 控制系統(tǒng)的時域分析法是研究系統(tǒng)在典型輸入信號作用控制系統(tǒng)的時域分析法是研究系統(tǒng)在典型輸入信號作用的性能，對于一階、二階系統(tǒng)可以快速、直接地求出輸?shù)男阅?，對于一階、二階系統(tǒng)可以快速、直接地求出輸出的時域表達式、繪制出響應(yīng)曲線，從而利用時域指標(biāo)出的時域表達式、繪制出響應(yīng)曲

2、線，從而利用時域指標(biāo)直接評價系統(tǒng)的性能。因此，時域法具有直觀、準確的直接評價系統(tǒng)的性能。因此，時域法具有直觀、準確的優(yōu)點。然而，工程實際中有大量的高階系統(tǒng)，要通過時優(yōu)點。然而，工程實際中有大量的高階系統(tǒng)，要通過時域法求解高階系統(tǒng)在外輸入信號作用下的輸出表達式是域法求解高階系統(tǒng)在外輸入信號作用下的輸出表達式是相當(dāng)困難的，需要大量計算，只有在計算機的幫助下才相當(dāng)困難的，需要大量計算，只有在計算機的幫助下才能完成分析。此外，在需要改善系統(tǒng)性能時，采用時域能完成分析。此外，在需要改善系統(tǒng)性能時，采用時域法難于確定該如何調(diào)整系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)。法難于確定該如何調(diào)整系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)。l在工程實踐中在工程實踐

3、中, 往往并不需要準確地計算系統(tǒng)響應(yīng)的往往并不需要準確地計算系統(tǒng)響應(yīng)的全部過程，而是希望避開繁復(fù)的計算，簡單、直觀地全部過程，而是希望避開繁復(fù)的計算，簡單、直觀地分析出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響。因此，主分析出系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響。因此，主要采用兩種簡便的工程分析方法來分析系統(tǒng)性能，這要采用兩種簡便的工程分析方法來分析系統(tǒng)性能，這就是根軌跡法與頻率特性法，本章將詳細介紹控制系就是根軌跡法與頻率特性法，本章將詳細介紹控制系統(tǒng)的頻率特性法。統(tǒng)的頻率特性法。l控制系統(tǒng)的頻率特性分析法是利用系統(tǒng)的頻率特性控制系統(tǒng)的頻率特性分析法是利用系統(tǒng)的頻率特性（元件或系統(tǒng)對不同頻率正弦輸入信號的響應(yīng)

4、特性）（元件或系統(tǒng)對不同頻率正弦輸入信號的響應(yīng)特性）來分析系統(tǒng)性能的方法，研究的問題仍然是控制系統(tǒng)來分析系統(tǒng)性能的方法，研究的問題仍然是控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性及準確性等，是工程實踐中廣泛采的穩(wěn)定性、快速性及準確性等，是工程實踐中廣泛采用的分析方法，也是經(jīng)典控制理論的核心內(nèi)容。用的分析方法，也是經(jīng)典控制理論的核心內(nèi)容。 頻率特性分析法（頻率特性分析法（Frequency ResponseFrequency Response） ，又稱為頻域分析，又稱為頻域分析法是一種圖解的分析方法，它不必直接求解系統(tǒng)輸出的時域表法是一種圖解的分析方法，它不必直接求解系統(tǒng)輸出的時域表達式，而可以間接地運用系統(tǒng)的開

5、環(huán)頻率特性去分析閉環(huán)的響達式，而可以間接地運用系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性去分析閉環(huán)的響應(yīng)性能，不需要求解系統(tǒng)的閉環(huán)特征根，具有較多的優(yōu)點。如：應(yīng)性能，不需要求解系統(tǒng)的閉環(huán)特征根，具有較多的優(yōu)點。如： 根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性能揭示系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性能揭示系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能性能, , 得到定性和定量的結(jié)論，可以簡單迅速地判斷某些環(huán)節(jié)得到定性和定量的結(jié)論，可以簡單迅速地判斷某些環(huán)節(jié)或者參數(shù)對系統(tǒng)閉環(huán)性能的影響或者參數(shù)對系統(tǒng)閉環(huán)性能的影響, ,并提出改進系統(tǒng)的方法。并提出改進系統(tǒng)的方法。 具有明確的物理意義，它可以通過實驗的方法，借助頻具有明確的物理意義，它可以通過實驗的方法，借

6、助頻率特性分析儀等測試手段直接求得元件或系統(tǒng)的頻率特性，建率特性分析儀等測試手段直接求得元件或系統(tǒng)的頻率特性，建立數(shù)學(xué)模型作為分析與設(shè)計系統(tǒng)的依據(jù)，這對難于用理論分析立數(shù)學(xué)模型作為分析與設(shè)計系統(tǒng)的依據(jù)，這對難于用理論分析的方法去建立數(shù)學(xué)模型的系統(tǒng)尤其有利。的方法去建立數(shù)學(xué)模型的系統(tǒng)尤其有利。 時域指標(biāo)和頻域指標(biāo)之間有對應(yīng)關(guān)系，而且頻率特性分時域指標(biāo)和頻域指標(biāo)之間有對應(yīng)關(guān)系，而且頻率特性分析中大量使用簡潔的曲線、圖表及經(jīng)驗公式，析中大量使用簡潔的曲線、圖表及經(jīng)驗公式，簡化簡化控制系統(tǒng)的控制系統(tǒng)的分析分析與設(shè)計與設(shè)計。 頻率特性分析法頻率特性分析法的特點的特點頻率分析法使得控制系統(tǒng)的分析十分方便、

7、直頻率分析法使得控制系統(tǒng)的分析十分方便、直觀，并且可以拓展應(yīng)用到某些非線性系統(tǒng)中。觀，并且可以拓展應(yīng)用到某些非線性系統(tǒng)中。近來，頻率法還發(fā)展到可以應(yīng)用到多輸入量多近來，頻率法還發(fā)展到可以應(yīng)用到多輸入量多輸出量系統(tǒng)，稱為多變量頻域控制理論。輸出量系統(tǒng)，稱為多變量頻域控制理論。本章重點介紹本章重點介紹頻率特性的基本概念、幅相頻率頻率特性的基本概念、幅相頻率特性與對數(shù)頻率特性的繪制方法、奈奎斯特穩(wěn)特性與對數(shù)頻率特性的繪制方法、奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性、利用開環(huán)頻定判據(jù)、控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性、利用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)閉環(huán)性能的方法。率特性分析系統(tǒng)閉環(huán)性能的方法。5.1頻率特性的基本概念頻

8、率特性的基本概念 5.1.1頻率響應(yīng)頻率響應(yīng) 頻率響應(yīng)是時間響應(yīng)的特例，是控制系統(tǒng)對正弦頻率響應(yīng)是時間響應(yīng)的特例，是控制系統(tǒng)對正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)正弦響應(yīng)。即輸入信號的穩(wěn)態(tài)正弦響應(yīng)。即一個穩(wěn)定的線性定常系一個穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，在正弦信號的作用下，穩(wěn)態(tài)時輸出仍是一個與輸統(tǒng)，在正弦信號的作用下，穩(wěn)態(tài)時輸出仍是一個與輸入同頻率的正弦信號，且輸出的幅值與相位是輸入正入同頻率的正弦信號，且輸出的幅值與相位是輸入正弦信號頻率的函數(shù)。弦信號頻率的函數(shù)。 下面用用一個簡單的實例來說明頻率響應(yīng)的概念：下面用用一個簡單的實例來說明頻率響應(yīng)的概念：示例：示例：如圖如圖5-15-1所示一階所示一階RC網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)，u

9、ui i( (t t) )與與u uo o( (t t) )分別為輸入與分別為輸入與輸出信號，其傳遞函數(shù)為輸出信號，其傳遞函數(shù)為 RC圖圖5-1 RC網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò)ui(t)u0(t)i(t)G(s)=(s)= 110Ts+=(s)U(s)Ui其中其中T=RC，為電路的時間常數(shù)，單位為，為電路的時間常數(shù)，單位為s。 在零初始條件下，當(dāng)輸入信號為一正弦信號，即在零初始條件下，當(dāng)輸入信號為一正弦信號，即 ui(t)=Uisin t時時Ui與與 分別為輸入為信號的振幅與角頻率，可以運用分別為輸入為信號的振幅與角頻率，可以運用時域法求電路的輸出。時域法求電路的輸出。 輸出的拉氏變換為：輸出的拉氏變換為： U

10、o(s)=11Ts+22+sUi對上式進行拉氏反變換可得輸出的時域表達式：對上式進行拉氏反變換可得輸出的時域表達式：輸出由兩項組成，第一項是瞬態(tài)響應(yīng)分量，呈指數(shù)衰輸出由兩項組成，第一項是瞬態(tài)響應(yīng)分量，呈指數(shù)衰減形式，衰減速度由電路本身的時間常數(shù)減形式，衰減速度由電路本身的時間常數(shù)T決定。第決定。第二項是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量，當(dāng)二項是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量，當(dāng)tt時，瞬態(tài)分量衰減為時，瞬態(tài)分量衰減為0 0，此時電路的穩(wěn)態(tài)輸出為：此時電路的穩(wěn)態(tài)輸出為： 輸入輸出相位差為輸入輸出相位差為 = -arctanT輸入輸出幅值比為輸入輸出幅值比為A= = 2211+T輸入信號為輸入信號為ui(t)=Uisin t二者均僅與

11、輸入頻率二者均僅與輸入頻率 ，以及系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)與參數(shù)有關(guān)。，以及系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)與參數(shù)有關(guān)?？梢姡敵鲂盘柵c輸入信號是同頻率的正弦函數(shù)，但幅可見，輸出信號與輸入信號是同頻率的正弦函數(shù)，但幅值與相位不同，輸出滯后于輸入。值與相位不同，輸出滯后于輸入。實際上，頻率響應(yīng)的概念具有普遍意義。對于穩(wěn)定的線實際上，頻率響應(yīng)的概念具有普遍意義。對于穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)（或元件），當(dāng)輸入信號為正弦信號性定常系統(tǒng)（或元件），當(dāng)輸入信號為正弦信號r（t）=sin t時，過渡過程結(jié)束后，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出必為時，過渡過程結(jié)束后，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出必為 Css（t）=Asin（t+ ），如圖所示。），如圖所示。線 性 定線 性

12、 定常系統(tǒng)常系統(tǒng)sinsin t tAsin（t+ ）tr r（t t）Css（t） 圖圖5-2，線性系統(tǒng)及頻率響應(yīng)示意圖，線性系統(tǒng)及頻率響應(yīng)示意圖 5.1.2頻率特性頻率特性一、基本概念一、基本概念 對系統(tǒng)的頻率響應(yīng)作進一步的分析，由于輸入輸出對系統(tǒng)的頻率響應(yīng)作進一步的分析，由于輸入輸出的幅值比的幅值比A與相位差與相位差 只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)及輸入正只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)及輸入正弦信號的頻率弦信號的頻率有關(guān)。在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)給定的前提下，有關(guān)。在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)給定的前提下，幅值比幅值比A與相位差與相位差 僅是僅是的函數(shù)，可以分別表示為的函數(shù)，可以分別表示為A（）與與 （）。）。 若輸入信號的頻

13、率若輸入信號的頻率在在0的范圍內(nèi)連續(xù)變化，則的范圍內(nèi)連續(xù)變化，則系統(tǒng)輸出與輸入信號的幅值比與相位差將隨輸入頻率的系統(tǒng)輸出與輸入信號的幅值比與相位差將隨輸入頻率的變化而變化，反映出系統(tǒng)在不同頻率輸入信號下的不同變化而變化，反映出系統(tǒng)在不同頻率輸入信號下的不同性能，這種變化規(guī)律可以在頻域內(nèi)全面描述系統(tǒng)的性能。性能，這種變化規(guī)律可以在頻域內(nèi)全面描述系統(tǒng)的性能。 因此，頻率特性可定義為：因此，頻率特性可定義為： 線性定常系統(tǒng)（或元件）在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)（或元件）在零初始條件下，當(dāng)輸入信號的頻率當(dāng)輸入信號的頻率在在0的范圍內(nèi)連續(xù)變的范圍內(nèi)連續(xù)變化時，系統(tǒng)輸出與輸入信號的幅值比與相位差化時，系統(tǒng)

14、輸出與輸入信號的幅值比與相位差隨輸入頻率變化而呈現(xiàn)的變化規(guī)律為系統(tǒng)的頻隨輸入頻率變化而呈現(xiàn)的變化規(guī)律為系統(tǒng)的頻率特性。率特性。 頻率特性可以反映出系統(tǒng)對不同頻率的輸頻率特性可以反映出系統(tǒng)對不同頻率的輸入信號的跟蹤能力，只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)有入信號的跟蹤能力，只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)有關(guān)，是線性定常系統(tǒng)的固有特性。關(guān)，是線性定常系統(tǒng)的固有特性。 A（）反映幅值比隨頻率而變化的規(guī)律，稱為幅頻）反映幅值比隨頻率而變化的規(guī)律，稱為幅頻特性，它描述在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)不同頻率的正弦輸入時在幅值特性，它描述在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)不同頻率的正弦輸入時在幅值上是放大（上是放大（A1）還是衰減（）還是衰減（A1）。）。 而而 （）反映相

15、位差隨頻率而變化的規(guī)律，稱為相）反映相位差隨頻率而變化的規(guī)律，稱為相頻特性，它描述在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)不同頻率的正弦輸入時在相頻特性，它描述在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)不同頻率的正弦輸入時在相位上是超前（位上是超前（ 0）還是滯后（）還是滯后（ 0）。）。 系統(tǒng)的頻率特性包含幅頻特性與相頻特性兩方面，系統(tǒng)的頻率特性包含幅頻特性與相頻特性兩方面，并且強調(diào)頻率并且強調(diào)頻率是一個變量。是一個變量。對于上例所舉的一階電路，對于上例所舉的一階電路，其幅頻特性和相頻特性的表達其幅頻特性和相頻特性的表達式分別為：式分別為：A（）= （）= -arctanT2211+TRC圖圖5-1 RC網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò)ui(t)u0(t)i(t)G(s)=(

16、s)= 110Ts+=(s)U(s)Ui二、頻率特性的表示方法二、頻率特性的表示方法 對于線性定常系統(tǒng)，當(dāng)輸入一個正弦信號對于線性定常系統(tǒng)，當(dāng)輸入一個正弦信號 r（t）=Rsint時，則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出必為時，則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出必為Css（t）= A()Rsin（t+ （） 由于輸入、輸出信號均為正弦信號，因此可以利用電路理論將其由于輸入、輸出信號均為正弦信號，因此可以利用電路理論將其表示為復(fù)數(shù)形式，即輸入信號為表示為復(fù)數(shù)形式，即輸入信號為Rej0，輸出信號為，輸出信號為A()Rej 。則輸入輸出之比為則輸入輸出之比為 )(j0)(je)(Re)Re(A Aj 可見，輸入輸出的復(fù)數(shù)比恰好表示了系統(tǒng)

17、的頻率特可見，輸入輸出的復(fù)數(shù)比恰好表示了系統(tǒng)的頻率特性，其幅值與相角分別為幅頻特性、相頻特性的表達式。性，其幅值與相角分別為幅頻特性、相頻特性的表達式。 若用一個復(fù)數(shù)若用一個復(fù)數(shù)G（j）來表示，則有）來表示，則有 G（j）= G（j） ejG（j）=A（）ej 指數(shù)表示法指數(shù)表示法 G（j）=A() () 幅角表示法幅角表示法 G（j）就是頻率特性通用的表示形式，是就是頻率特性通用的表示形式，是的函數(shù)。的函數(shù)。 當(dāng)當(dāng)是一個特定的值時，可以在復(fù)平面上用一個是一個特定的值時，可以在復(fù)平面上用一個向量去表示向量去表示G（j）。向量的長度為）。向量的長度為A()，向量與，向量與正實軸之間的夾角為正實軸

18、之間的夾角為 ()，并規(guī)定逆時針方向為正，并規(guī)定逆時針方向為正，即相角超前；規(guī)定順時針方向為負，即相角滯后。即相角超前；規(guī)定順時針方向為負，即相角滯后?？捎蓤D可由圖5.3表示。表示。另外還可以將向量分解為實數(shù)部分和虛數(shù)部分，即另外還可以將向量分解為實數(shù)部分和虛數(shù)部分，即G（j）=R（）+I（） R（）稱為實頻特性，稱為實頻特性，I（）稱為虛頻特性。由復(fù)變函數(shù)理論可知：）稱為虛頻特性。由復(fù)變函數(shù)理論可知：)()()(22IRA)()(arctan)(RI)(cos)()(AR)(sin)()(AI圖圖5-3 頻率特性在頻率特性在 復(fù)平面上的表示復(fù)平面上的表示 并且并且A()與與R（）為）為的偶函

19、數(shù)，的偶函數(shù)， ()與與I（）是）是的奇函數(shù)。的奇函數(shù)。以上函數(shù)都是以上函數(shù)都是的函數(shù)，可以用曲線表示它們隨頻率變化的規(guī)律。的函數(shù)，可以用曲線表示它們隨頻率變化的規(guī)律。使用曲線表示系統(tǒng)的頻率特性，具有直觀、簡便的優(yōu)點，應(yīng)用廣泛。使用曲線表示系統(tǒng)的頻率特性，具有直觀、簡便的優(yōu)點，應(yīng)用廣泛。三、頻率特性的實驗求取方法三、頻率特性的實驗求取方法 向待求元件或系統(tǒng)輸入一個頻率可變的正弦信號向待求元件或系統(tǒng)輸入一個頻率可變的正弦信號 r（t）=Rsint 在在0的范圍內(nèi)不斷改變的范圍內(nèi)不斷改變的取值，并測量與每一個的取值，并測量與每一個值對應(yīng)的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出值對應(yīng)的系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出 Css（t）= A()

20、Rsin（t+ （） 測量并記錄相應(yīng)的輸入輸出幅值比與相角差。根據(jù)所測量并記錄相應(yīng)的輸入輸出幅值比與相角差。根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制出幅值比與相角差隨得數(shù)據(jù)繪制出幅值比與相角差隨的變化曲線，并據(jù)的變化曲線，并據(jù)此求出元件或系統(tǒng)的幅頻特性此求出元件或系統(tǒng)的幅頻特性A()與相頻特性與相頻特性 （）的表達式，便可求出完整的頻率特性表達式。的表達式，便可求出完整的頻率特性表達式。5.1.3由傳遞函數(shù)求取頻率特性由傳遞函數(shù)求取頻率特性 實際上，由于微分方程、傳遞函數(shù)、頻率特性描述系實際上，由于微分方程、傳遞函數(shù)、頻率特性描述系統(tǒng)各變量之間相互關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式，都是控制系統(tǒng)統(tǒng)各變量之間相互關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式，都是控

21、制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。和微分方程與傳遞函數(shù)之間可以相互轉(zhuǎn)的數(shù)學(xué)模型。和微分方程與傳遞函數(shù)之間可以相互轉(zhuǎn)換類似，系統(tǒng)的頻率特性也可以由已知的傳遞函數(shù)通換類似，系統(tǒng)的頻率特性也可以由已知的傳遞函數(shù)通過簡單的轉(zhuǎn)換得到，這種求取方法稱為解析法。過簡單的轉(zhuǎn)換得到，這種求取方法稱為解析法。 輸出信號的拉氏變換為輸出信號的拉氏變換為C（s）= = = ).(s+p)(s+p(s+pN(s)n21j)-j)(s+(sRj)-(sK+j)+(sK+)p+(sK+.+p+sK+p+sKc-cnn2211對輸出求拉氏反變換可得對輸出求拉氏反變換可得為簡化分析，假定系統(tǒng)的特征根全為不相等的負實根。輸入信號為為簡化分析，假

22、定系統(tǒng)的特征根全為不相等的負實根。輸入信號為r(t)=Rsint設(shè)設(shè)n階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)D(s)N(s).(s+p)(s+p(s+pN(s)n21= 系統(tǒng)的輸出分為兩部分，第一部分為指數(shù)瞬態(tài)分量，系統(tǒng)的輸出分為兩部分，第一部分為指數(shù)瞬態(tài)分量，對應(yīng)特征根為單根時的響應(yīng)；第二部分為穩(wěn)態(tài)分量，對應(yīng)特征根為單根時的響應(yīng)；第二部分為穩(wěn)態(tài)分量，它取決于輸入信號的形式。對于一個穩(wěn)定系統(tǒng)，系統(tǒng)它取決于輸入信號的形式。對于一個穩(wěn)定系統(tǒng)，系統(tǒng)所有的特征根的實部均為負，瞬態(tài)分量必將隨時間趨所有的特征根的實部均為負，瞬態(tài)分量必將隨時間趨于無窮大而衰減到零。因此，系統(tǒng)響應(yīng)正弦信號的穩(wěn)于無窮大而

23、衰減到零。因此，系統(tǒng)響應(yīng)正弦信號的穩(wěn)態(tài)分量為：態(tài)分量為：)()()(2121tjctjctpntptpeKeKeKeKeKtcn css(t) =Kce-jt+K-cejt 系數(shù)系數(shù)Kc和和K-c可由留數(shù)定理確定可由留數(shù)定理確定 可以求出Css(t)= A()Rsint+ () 并有 A( ()= | G（s）| s=j =| G（j）| ( ()=G（j） 而輸入信號為而輸入信號為r(t)=Rsint因此，因此，A( ()為系統(tǒng)的輸出與輸入幅值比，為系統(tǒng)的幅為系統(tǒng)的輸出與輸入幅值比，為系統(tǒng)的幅頻特性表達式頻特性表達式 ( ()為系統(tǒng)的輸出與輸入幅值比，為系統(tǒng)的相頻特為系統(tǒng)的輸出與輸入幅值比，

24、為系統(tǒng)的相頻特性表達式性表達式系統(tǒng)的頻率特性為系統(tǒng)的頻率特性為 G（j）= G（s）|s=j= = A( ()ej j 由以上可推得一個十分重要的結(jié)論：系統(tǒng)的頻率特性由以上可推得一個十分重要的結(jié)論：系統(tǒng)的頻率特性可由系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可由系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G（s）將將j代替其中的代替其中的s而得到。而得到。由拉氏變換可知，傳遞函數(shù)的復(fù)變量由拉氏變換可知，傳遞函數(shù)的復(fù)變量s =+j。當(dāng)。當(dāng)=0時，時，s = j。所以。所以G（j）就是）就是=0時的時的G（s）。）。即當(dāng)即當(dāng)傳遞函數(shù)的復(fù)變量傳遞函數(shù)的復(fù)變量s用用j代替時，傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率特代替時，傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)轭l率特性，這就是求取頻率特性的解析法?？梢?/p>

25、用圖性，這就是求取頻率特性的解析法。可以用圖5-4表示為表示為線性定常系統(tǒng)，傳遞函數(shù)為線性定常系統(tǒng)，傳遞函數(shù)為G（s） G（jj）= = G（s）|s=j = = A( ()ej j RsintA()Rsint+ ()圖圖5-4 由系統(tǒng)傳遞函數(shù)求取頻率特性示意圖由系統(tǒng)傳遞函數(shù)求取頻率特性示意圖A( ()是幅頻特性，是幅頻特性， 是相頻特性是相頻特性因此，在求已知傳遞函數(shù)系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時，可以因此，在求已知傳遞函數(shù)系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時，可以避開時域法需要求拉氏變換及反變換的繁瑣計算，直接避開時域法需要求拉氏變換及反變換的繁瑣計算，直接利用頻率特性的物理意義簡化求解過程。利用頻率特性的物理意義

26、簡化求解過程。例例5.1已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為已知單位負反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為當(dāng)輸入信號為當(dāng)輸入信號為r（t）=sin2t時，求閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出。時，求閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出。11)(ssGk解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為解：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 2111111)(ssss系統(tǒng)的頻率特性為系統(tǒng)的頻率特性為 21)()(jsGjGjs 幅頻特性幅頻特性為為 41)(2A相頻特性相頻特性為為 2arctan)(利用頻率特性的概念，利用頻率特性的概念，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為為 )(2sin)()(tAtc將將=2=2代入得：代入得： 452sin81)(ttc 輸出表達式說明該系統(tǒng)對此

27、輸入信號在幅值上衰減，同時響應(yīng)輸出表達式說明該系統(tǒng)對此輸入信號在幅值上衰減，同時響應(yīng)在時間上有滯后。在時間上有滯后。5.1.4小結(jié)小結(jié)一、頻率特性的物理意義一、頻率特性的物理意義1.在某一特定頻率下，系統(tǒng)輸入輸出的幅值比與相位在某一特定頻率下，系統(tǒng)輸入輸出的幅值比與相位差是確定的數(shù)值，不是頻率特性。當(dāng)輸入信號的頻率差是確定的數(shù)值，不是頻率特性。當(dāng)輸入信號的頻率在在0的范圍內(nèi)連續(xù)變化時，則系統(tǒng)輸出與輸入信的范圍內(nèi)連續(xù)變化時，則系統(tǒng)輸出與輸入信號的幅值比與相位差隨輸入頻率的變化規(guī)律將反映系號的幅值比與相位差隨輸入頻率的變化規(guī)律將反映系統(tǒng)的性能，才是頻率特性統(tǒng)的性能，才是頻率特性 。2.頻率特性反映

28、系統(tǒng)本身性能，取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參頻率特性反映系統(tǒng)本身性能，取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)，與外界因素?zé)o關(guān)。數(shù)，與外界因素?zé)o關(guān)。3. 頻率特性隨輸入頻率變化的原因是系統(tǒng)往往含有電頻率特性隨輸入頻率變化的原因是系統(tǒng)往往含有電容、電感、彈簧等儲能元件，導(dǎo)致輸出不能立即跟蹤容、電感、彈簧等儲能元件，導(dǎo)致輸出不能立即跟蹤輸入，而與輸入信號的頻率有關(guān)。輸入，而與輸入信號的頻率有關(guān)。4.頻率特性表征系統(tǒng)對不同頻率正弦信號的跟蹤能力，頻率特性表征系統(tǒng)對不同頻率正弦信號的跟蹤能力，一般有一般有“低通濾波低通濾波”與與“相位滯后相位滯后”作用。作用。二、頻率特性的數(shù)學(xué)意義二、頻率特性的數(shù)學(xué)意義頻率特性是描述系統(tǒng)固有特性的數(shù)

29、學(xué)模型頻率特性是描述系統(tǒng)固有特性的數(shù)學(xué)模型,與微分方程、與微分方程、傳遞函數(shù)之間可以相互轉(zhuǎn)換，如圖傳遞函數(shù)之間可以相互轉(zhuǎn)換，如圖5-5所示。所示。 微分方程微分方程（以（以t為變量）為變量） 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)（以（以s為變量）為變量） 頻率特性頻率特性（以（以為變量）為變量） 圖圖5-5 控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系sdtdjs 以上三種數(shù)學(xué)模型以不同的數(shù)學(xué)形式表達系統(tǒng)的運動本質(zhì)，以上三種數(shù)學(xué)模型以不同的數(shù)學(xué)形式表達系統(tǒng)的運動本質(zhì)，并從不同的角度揭示出系統(tǒng)的內(nèi)在規(guī)律，是經(jīng)典控制理論中并從不同的角度揭示出系統(tǒng)的內(nèi)在規(guī)律，是經(jīng)典控制理論中最常用的數(shù)學(xué)模型。最常用的數(shù)

30、學(xué)模型。三、頻率特性的應(yīng)用三、頻率特性的應(yīng)用 1頻率特性包含了系統(tǒng)或元件的全部動態(tài)結(jié)構(gòu)參數(shù)，是系統(tǒng)在頻頻率特性包含了系統(tǒng)或元件的全部動態(tài)結(jié)構(gòu)參數(shù)，是系統(tǒng)在頻域中的數(shù)學(xué)模型，運用它分析、研究控制系統(tǒng)性能的方法稱為頻率域中的數(shù)學(xué)模型，運用它分析、研究控制系統(tǒng)性能的方法稱為頻率特性分析法。特性分析法。2頻率特性為使用實驗法求取未知系統(tǒng)或元件的數(shù)學(xué)模型提供了頻率特性為使用實驗法求取未知系統(tǒng)或元件的數(shù)學(xué)模型提供了切實可行的辦法。但有關(guān)頻率特性的推導(dǎo)是在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下進切實可行的辦法。但有關(guān)頻率特性的推導(dǎo)是在系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下進行的，如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，就不能觀測到系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量，因而行的，如果系統(tǒng)不穩(wěn)定

31、，就不能觀測到系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量，因而無法使用實驗法求取系統(tǒng)的頻率特性。無法使用實驗法求取系統(tǒng)的頻率特性。 雖然頻率特性的概念是從穩(wěn)定系統(tǒng)推導(dǎo)出來的，但我們知道，雖然頻率特性的概念是從穩(wěn)定系統(tǒng)推導(dǎo)出來的，但我們知道，系統(tǒng)的輸出總是由兩個分量組成的，其穩(wěn)態(tài)分量并不依賴于系統(tǒng)的系統(tǒng)的輸出總是由兩個分量組成的，其穩(wěn)態(tài)分量并不依賴于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)（與系統(tǒng)的穩(wěn)定性無關(guān)），主要取決于輸入信號。因此，結(jié)構(gòu)參數(shù)（與系統(tǒng)的穩(wěn)定性無關(guān)），主要取決于輸入信號。因此，從理論上講，穩(wěn)態(tài)分量總是可以從系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)中分離出來。所從理論上講，穩(wěn)態(tài)分量總是可以從系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)中分離出來。所以頻率特性的定義可以推廣為：線性定常系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量與正以頻率特性的定義可以推廣為：線性定常系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量與正弦輸入信號的復(fù)數(shù)比。也就是說，不論系統(tǒng)穩(wěn)定與否，其頻率特性弦輸入信號的復(fù)數(shù)比。也就是說，不論系統(tǒng)穩(wěn)定與否，其頻率特性總是存在的?？偸谴嬖诘?。3由傅立葉變換可知，輸入信號可以分解為一系列不同頻率諧波由傅立葉變換可知，輸入信號可以分解為一系列不同頻率諧波的迭加。根據(jù)頻率特性的物理意義，的迭加。根據(jù)頻率特