第1章 優(yōu)化設(shè)計的基本概念

1、機械優(yōu)化設(shè)計機械優(yōu)化設(shè)計 機電工程學(xué)院機電工程學(xué)院劉美紅劉美紅第一章第一章 優(yōu)化設(shè)計的基本概念優(yōu)化設(shè)計的基本概念 1-1 1-1 緒論緒論1-2 1-2 優(yōu)化設(shè)計問題的示例優(yōu)化設(shè)計問題的示例1-3 1-3 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型 1-4 1-4 優(yōu)化問題的幾何解釋和基本解法優(yōu)化問題的幾何解釋和基本解法 優(yōu)化是萬物演化的自然選擇和必然趨勢優(yōu)化是萬物演化的自然選擇和必然趨勢。優(yōu)化作為一種觀念。優(yōu)化作為一種觀念和意向，人類從很早開始就一直在自覺與不自覺地追求與探索。和意向，人類從很早開始就一直在自覺與不自覺地追求與探索。1-1 1-1 緒論緒論例如，古代人類在生產(chǎn)和生活活動中經(jīng)過無數(shù)次

2、摸索認(rèn)識到，在使用同樣數(shù)量和質(zhì)量材料的條件下，圓截面的容器比其他任何截面的容器能夠盛放的谷物都要多，而且容器的強度也最大。 而優(yōu)化作為一門學(xué)科與技術(shù)，則是一切科學(xué)與技術(shù)所追而優(yōu)化作為一門學(xué)科與技術(shù)，則是一切科學(xué)與技術(shù)所追求的永恒主題，旨在從處理各種事物的一切可能的方案中，求的永恒主題，旨在從處理各種事物的一切可能的方案中，尋求最優(yōu)的方案。尋求最優(yōu)的方案。優(yōu)化的原理與方法，在科學(xué)的、工程的和優(yōu)化的原理與方法，在科學(xué)的、工程的和社會的實際問題中的應(yīng)用，便是優(yōu)化設(shè)計社會的實際問題中的應(yīng)用，便是優(yōu)化設(shè)計。n優(yōu)化設(shè)計是在現(xiàn)代計算機廣泛應(yīng)用的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一優(yōu)化設(shè)計是在現(xiàn)代計算機廣泛應(yīng)用的基礎(chǔ)上發(fā)展起來

3、的一項新技術(shù)。是根據(jù)最優(yōu)化原理和方法，以人機配合方式或項新技術(shù)。是根據(jù)最優(yōu)化原理和方法，以人機配合方式或“自動探索自動探索”方式，在計算機上進(jìn)行的半自動或自動設(shè)計，方式，在計算機上進(jìn)行的半自動或自動設(shè)計，以選出在現(xiàn)有工程條件下的最佳設(shè)計方案的一種現(xiàn)代設(shè)計以選出在現(xiàn)有工程條件下的最佳設(shè)計方案的一種現(xiàn)代設(shè)計方法。方法。n 優(yōu)化設(shè)計反映出人們對于設(shè)計規(guī)律這一客觀世界認(rèn)識的優(yōu)化設(shè)計反映出人們對于設(shè)計規(guī)律這一客觀世界認(rèn)識的深化。深化。 （1 1）來源：優(yōu)化一語來自英文）來源：優(yōu)化一語來自英文OptimizationOptimization，其本意是尋優(yōu)，其本意是尋優(yōu)的過程；的過程； （2 2）優(yōu)化過程：

4、是尋找約束空間下給定函數(shù)取極大值（以）優(yōu)化過程：是尋找約束空間下給定函數(shù)取極大值（以maxmax表示表示) )或極小或極小( (以以minmin表示表示) )的過程。優(yōu)化方法也稱數(shù)學(xué)規(guī)劃，是用的過程。優(yōu)化方法也稱數(shù)學(xué)規(guī)劃，是用科學(xué)方法和手段進(jìn)行決策及確定最優(yōu)解的數(shù)學(xué)；科學(xué)方法和手段進(jìn)行決策及確定最優(yōu)解的數(shù)學(xué)； （3 3）優(yōu)化設(shè)計：根據(jù)給定的設(shè)計要求和現(xiàn)有的技術(shù)條件，應(yīng)）優(yōu)化設(shè)計：根據(jù)給定的設(shè)計要求和現(xiàn)有的技術(shù)條件，應(yīng)用專業(yè)理論和優(yōu)化方法，在電子計算機上從滿足給定的設(shè)計要求用專業(yè)理論和優(yōu)化方法，在電子計算機上從滿足給定的設(shè)計要求的許多可行方案中，按照給定的目標(biāo)自動地選出最優(yōu)的設(shè)計方案。的許多可行

5、方案中，按照給定的目標(biāo)自動地選出最優(yōu)的設(shè)計方案。機械優(yōu)化設(shè)計機械優(yōu)化設(shè)計 就是把機械設(shè)計與優(yōu)化設(shè)計理論及方法相結(jié)合，就是把機械設(shè)計與優(yōu)化設(shè)計理論及方法相結(jié)合，借助電子計算機，自動尋找實現(xiàn)預(yù)期目標(biāo)的最優(yōu)設(shè)計方案和借助電子計算機，自動尋找實現(xiàn)預(yù)期目標(biāo)的最優(yōu)設(shè)計方案和最佳設(shè)計參數(shù)。最佳設(shè)計參數(shù)。 優(yōu)化設(shè)計流程優(yōu)化設(shè)計流程 常規(guī)設(shè)計流程常規(guī)設(shè)計流程 歷史上最早記載下來的最優(yōu)化問題可追溯到古希臘的歐幾歷史上最早記載下來的最優(yōu)化問題可追溯到古希臘的歐幾里得（里得（Euclid，公元前公元前300年左右），他指出：在周長相同的一年左右），他指出：在周長相同的一切矩形中，以正方形的面積為最大。十七、十八世紀(jì)切

6、矩形中，以正方形的面積為最大。十七、十八世紀(jì)微積分微積分的的建立給出了求函數(shù)極值的一些準(zhǔn)則，對最優(yōu)化的研究提供了某建立給出了求函數(shù)極值的一些準(zhǔn)則，對最優(yōu)化的研究提供了某些理論基礎(chǔ)。然而，在以后的兩個世紀(jì)中，最優(yōu)化技術(shù)的進(jìn)展些理論基礎(chǔ)。然而，在以后的兩個世紀(jì)中，最優(yōu)化技術(shù)的進(jìn)展緩慢，主要考慮了有約束條件的最優(yōu)化問題，發(fā)展了緩慢，主要考慮了有約束條件的最優(yōu)化問題，發(fā)展了變分法變分法。 直到本世紀(jì)直到本世紀(jì)4040年代初，由于軍事上的需要產(chǎn)生了年代初，由于軍事上的需要產(chǎn)生了運籌學(xué)運籌學(xué)，并使優(yōu)化技術(shù)首先應(yīng)用于解決戰(zhàn)爭中的實際問題，例如轟炸機并使優(yōu)化技術(shù)首先應(yīng)用于解決戰(zhàn)爭中的實際問題，例如轟炸機最佳俯

7、沖軌跡的設(shè)計等。最佳俯沖軌跡的設(shè)計等。 50 50年代末年代末數(shù)學(xué)規(guī)劃方法數(shù)學(xué)規(guī)劃方法被首次用于結(jié)構(gòu)最優(yōu)化，并成為優(yōu)被首次用于結(jié)構(gòu)最優(yōu)化，并成為優(yōu)化設(shè)計中求優(yōu)方法的理論基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)規(guī)劃方法是在第二次世界化設(shè)計中求優(yōu)方法的理論基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)規(guī)劃方法是在第二次世界大戰(zhàn)期間發(fā)展起來的一個新的數(shù)學(xué)分支，線性規(guī)劃與非線性規(guī)大戰(zhàn)期間發(fā)展起來的一個新的數(shù)學(xué)分支，線性規(guī)劃與非線性規(guī)劃是其主要內(nèi)容。劃是其主要內(nèi)容。 最優(yōu)化設(shè)計是在數(shù)學(xué)規(guī)劃方法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，是最優(yōu)化設(shè)計是在數(shù)學(xué)規(guī)劃方法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，是6 6O O年代初電子計算機引入結(jié)構(gòu)設(shè)計領(lǐng)域后逐步形成的一種有效的年代初電子計算機引入結(jié)構(gòu)設(shè)計領(lǐng)域后逐步形成

8、的一種有效的設(shè)計方法。利用這種方法，不僅使設(shè)計周期大大縮短，計算精設(shè)計方法。利用這種方法，不僅使設(shè)計周期大大縮短，計算精度顯著提高，而且可以解決傳統(tǒng)設(shè)計方法所不能解決的比較復(fù)度顯著提高，而且可以解決傳統(tǒng)設(shè)計方法所不能解決的比較復(fù)雜的最優(yōu)化設(shè)計問題。大型電子計算機的出現(xiàn)，使最優(yōu)化方法雜的最優(yōu)化設(shè)計問題。大型電子計算機的出現(xiàn)，使最優(yōu)化方法及其理論蓬勃發(fā)展，成為應(yīng)用數(shù)學(xué)中的一個重要分支，并在許及其理論蓬勃發(fā)展，成為應(yīng)用數(shù)學(xué)中的一個重要分支，并在許多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中得到應(yīng)用。多科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中得到應(yīng)用。 近十幾年來，最優(yōu)化設(shè)計方法已陸續(xù)用到建筑結(jié)構(gòu)、化工、近十幾年來，最優(yōu)化設(shè)計方法已陸續(xù)用到建筑結(jié)構(gòu)、化工

9、、冶金、鐵路、航天航空、造船、機床、汽車、自動控制系冶金、鐵路、航天航空、造船、機床、汽車、自動控制系統(tǒng)、電力系統(tǒng)以及電機、電器等工程設(shè)計領(lǐng)域，并取得了統(tǒng)、電力系統(tǒng)以及電機、電器等工程設(shè)計領(lǐng)域，并取得了顯著效果。其中在機械設(shè)計方面的應(yīng)用雖尚處于早期階段，顯著效果。其中在機械設(shè)計方面的應(yīng)用雖尚處于早期階段，但也已經(jīng)取得了豐碩的成果。一般說來，對于工程設(shè)計問但也已經(jīng)取得了豐碩的成果。一般說來，對于工程設(shè)計問題，所涉及的因素愈多，問題愈復(fù)雜，最優(yōu)化設(shè)計結(jié)果所題，所涉及的因素愈多，問題愈復(fù)雜，最優(yōu)化設(shè)計結(jié)果所取得的效益就愈大。取得的效益就愈大。例如，工廠在安排生產(chǎn)計劃時，首先要考慮在現(xiàn)有原材料、設(shè)備、

10、人力等資源條件下，如何安排生產(chǎn)，使產(chǎn)品的產(chǎn)值最高，或產(chǎn)生的利潤最大；又如，在多級火箭發(fā)射過程中，如何控制燃料的燃燒速率，從而用火箭所載的有限燃料使火箭達(dá)到最大升空速度；再如，在城市交通管理中，如何控制和引導(dǎo)車輛的流向，盡量減少各個交叉路口的阻塞和等待時間、提高各條道路的車輛通行速度，在現(xiàn)有道路條件下取得最大的道路通行能力。n第一階段第一階段人類智能優(yōu)化人類智能優(yōu)化：與人類史同步，直接憑借人類的直覺或邏：與人類史同步，直接憑借人類的直覺或邏輯思維，如黃金分割法、窮舉法等。輯思維，如黃金分割法、窮舉法等。隨著人類對自然界認(rèn)識的不斷深入，尋找最優(yōu)逐漸從下意識的、缺乏系統(tǒng)性的行為發(fā)展到目的明確的有意識

11、活動，并在數(shù)學(xué)工具日漸完善的基礎(chǔ)上，對各種尋找最優(yōu)的活動進(jìn)行數(shù)學(xué)描述和分析，指導(dǎo)尋優(yōu)活動更有效地進(jìn)行，從而形成了最優(yōu)化理論與方法這一應(yīng)用數(shù)學(xué)理論分支 l 第二階段第二階段數(shù)學(xué)規(guī)劃方法優(yōu)化數(shù)學(xué)規(guī)劃方法優(yōu)化：從三百多年前牛頓發(fā)明微積：從三百多年前牛頓發(fā)明微積分算起，電子計算機的出現(xiàn)推動數(shù)學(xué)規(guī)劃方法在近五十年來得分算起，電子計算機的出現(xiàn)推動數(shù)學(xué)規(guī)劃方法在近五十年來得到迅速發(fā)展。到迅速發(fā)展。l 第三階段第三階段工程優(yōu)化工程優(yōu)化：近二十余年來，計算機技術(shù)的發(fā)展給：近二十余年來，計算機技術(shù)的發(fā)展給解決復(fù)雜工程優(yōu)化問題提供了新的可能，非數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)＜议_發(fā)解決復(fù)雜工程優(yōu)化問題提供了新的可能，非數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)＜议_發(fā)了

12、一些工程優(yōu)化方法，能解決不少傳統(tǒng)數(shù)學(xué)規(guī)劃方法不能勝任了一些工程優(yōu)化方法，能解決不少傳統(tǒng)數(shù)學(xué)規(guī)劃方法不能勝任的工程優(yōu)化問題。在處理多目標(biāo)工程優(yōu)化問題中，基于經(jīng)驗和的工程優(yōu)化問題。在處理多目標(biāo)工程優(yōu)化問題中，基于經(jīng)驗和直覺的方法得到了更多的應(yīng)用。優(yōu)化過程和方法學(xué)研究，尤其直覺的方法得到了更多的應(yīng)用。優(yōu)化過程和方法學(xué)研究，尤其是建模策略研究引起重視，開辟了提高工程優(yōu)化效率的新的途是建模策略研究引起重視，開辟了提高工程優(yōu)化效率的新的途徑。徑。l 第四階段第四階段現(xiàn)代優(yōu)化方法：現(xiàn)代優(yōu)化方法：如遺傳算法、如遺傳算法、 模擬退火模擬退火算法、算法、 蟻群算法、蟻群算法、 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法等，并采用專家系神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

13、算法等，并采用專家系統(tǒng)技術(shù)實現(xiàn)尋優(yōu)策略的自動選擇和優(yōu)化過程的自動控統(tǒng)技術(shù)實現(xiàn)尋優(yōu)策略的自動選擇和優(yōu)化過程的自動控制，智能尋優(yōu)策略迅速發(fā)展。制，智能尋優(yōu)策略迅速發(fā)展。機械優(yōu)化設(shè)計應(yīng)用機械優(yōu)化設(shè)計應(yīng)用實例實例 美國波音飛機公司對大型機翼用美國波音飛機公司對大型機翼用138個設(shè)計變量進(jìn)行結(jié)構(gòu)個設(shè)計變量進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化，使重量減少了三分之一；大型運輸艦用優(yōu)化，使重量減少了三分之一；大型運輸艦用10個變量進(jìn)行優(yōu)個變量進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，使成本降低約化設(shè)計，使成本降低約10%。 實踐證明，最優(yōu)化設(shè)計是保證產(chǎn)品具有優(yōu)良的性能，減輕實踐證明，最優(yōu)化設(shè)計是保證產(chǎn)品具有優(yōu)良的性能，減輕自重或體積，降低產(chǎn)品成本的一種有效設(shè)計

14、方法。同時也可使自重或體積，降低產(chǎn)品成本的一種有效設(shè)計方法。同時也可使設(shè)計者從大量繁瑣和重復(fù)的計算工作中解脫出來，使之有更多設(shè)計者從大量繁瑣和重復(fù)的計算工作中解脫出來，使之有更多的精力從事創(chuàng)造性的設(shè)計，并大大提高設(shè)計效率。的精力從事創(chuàng)造性的設(shè)計，并大大提高設(shè)計效率。 優(yōu)化設(shè)計就是借助最優(yōu)化數(shù)值計算方法與計算優(yōu)化設(shè)計就是借助最優(yōu)化數(shù)值計算方法與計算機技術(shù)，求取工程問題的最優(yōu)設(shè)計方案。機技術(shù)，求取工程問題的最優(yōu)設(shè)計方案。 優(yōu)化設(shè)計包括：優(yōu)化設(shè)計包括： （1）必須將實際問題加以數(shù)學(xué)描述，形成數(shù)學(xué)）必須將實際問題加以數(shù)學(xué)描述，形成數(shù)學(xué)模型；模型； （2）選用適當(dāng)?shù)囊环N最優(yōu)化數(shù)值方法和計算程）選用適當(dāng)?shù)?/p>

15、一種最優(yōu)化數(shù)值方法和計算程序運算求解。序運算求解。 已知：制造一體積為已知：制造一體積為100m3，長度不小于，長度不小于5m，不帶上蓋，不帶上蓋的箱盒，試確定箱盒的長的箱盒，試確定箱盒的長x1，寬，寬x2，高，高x3，使箱盒用料，使箱盒用料最省。最省。 分析：分析：（1）箱盒的表面積的表達(dá)式；）箱盒的表面積的表達(dá)式；（2）設(shè)計參數(shù)確定：長）設(shè)計參數(shù)確定：長x1，寬，寬x2，高，高x3 ；（3）設(shè)計約束條件：）設(shè)計約束條件： （a）體積要求；）體積要求； （b）長度要求；）長度要求；x1x2x3數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型123,x x x122313min2()Sx xx xx x12312350010

16、0 xxxx x x設(shè)計參數(shù)：設(shè)計參數(shù)：設(shè)計目標(biāo)：設(shè)計目標(biāo)：約束條件：約束條件：n 例例2 有一邊長為有一邊長為6m的正方形鋁板，四角各裁去一個小的方塊，做成一個無蓋的盒子。試確定裁去的四個小方塊的邊長，以使做成的盒子具有最大的容積。n 解：n 設(shè)裁去的四個小方塊邊長為x，盒子的容積可表示成x的函數(shù)f(x) =x(6-2x)2。于是，上述問題可描述為：n 求變量x, 使函數(shù)f(x)極大化.n 這就是此問題的數(shù)學(xué)模型。其中， f(x) 稱為目標(biāo)函數(shù)。由于目標(biāo)函數(shù)是設(shè)計變量的一元三次函數(shù)，且沒有附加的約束條件，故此問題屬一元非線性無約束優(yōu)化設(shè)計問題。根據(jù)一元函數(shù)的極值條件，令f(x) 0，解得極值

17、點和極值分別為x*=1,f*=16，稱為該設(shè)計問題的最優(yōu)解。 某工廠生產(chǎn)某工廠生產(chǎn)A 和和B 兩種產(chǎn)品，兩種產(chǎn)品，A 產(chǎn)品單位價格為產(chǎn)品單位價格為PA 萬元，萬元， B 產(chǎn)品單位價格為產(chǎn)品單位價格為PB 萬元。每生產(chǎn)一個單位萬元。每生產(chǎn)一個單位A 產(chǎn)品需消耗煤產(chǎn)品需消耗煤aC 噸，噸，電電aE 度，人工度，人工aL 個人日；每生產(chǎn)一個單位個人日；每生產(chǎn)一個單位B 產(chǎn)品需消耗煤產(chǎn)品需消耗煤bC 噸，噸，電電bE 度，人工度，人工bL 個人日。現(xiàn)有可利用生產(chǎn)資源煤個人日?，F(xiàn)有可利用生產(chǎn)資源煤C 噸，電噸，電E 度，度，勞動力勞動力L 個人日，欲找出其最優(yōu)分配方案，使產(chǎn)值最大。個人日，欲找出其最優(yōu)分

18、配方案，使產(chǎn)值最大。 分析：分析：（1）產(chǎn)值的表達(dá)式；）產(chǎn)值的表達(dá)式；（2）設(shè)計參數(shù)確定：）設(shè)計參數(shù)確定： A 產(chǎn)品產(chǎn)品xA， B 產(chǎn)品產(chǎn)品xB ；（3）設(shè)計約束條件：）設(shè)計約束條件： （a）生產(chǎn)資源煤約束；）生產(chǎn)資源煤約束； （b）生產(chǎn)資源電約束；）生產(chǎn)資源電約束； （b）生產(chǎn)資源勞動力約束；）生產(chǎn)資源勞動力約束；數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型,ABxxmaxAABBPP xP xCACBEAEBLALBa xb xCa xb xEa xb xL設(shè)計參數(shù)：設(shè)計參數(shù)：設(shè)計目標(biāo)：設(shè)計目標(biāo)：約束條件：約束條件：n例4 某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品。生產(chǎn)每種產(chǎn)品所需的材料、工時、電力和可獲得的利潤，以及能夠提供的材料

19、、工時和電力見表1-1 。試確定兩種產(chǎn)品每天的產(chǎn)量，以使每天所獲得的利潤最大。產(chǎn)品材料（kg）工時（h）電力(kw.h)利潤（元）甲93460乙4105120供應(yīng)量360300200n這是一個生產(chǎn)計劃問題，可歸結(jié)為既滿足各項生產(chǎn)條件，又使每天所能獲得的利潤達(dá)到最大的優(yōu)化設(shè)計問題。n設(shè)每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品x1件，乙產(chǎn)品x2件，每天獲得的利潤可用函數(shù)f(x1, x2)來表示。即：nf(x1, x2)60 x1 120 x2n 每天實際消耗的材料、工時和電力可分別用函數(shù)g1(x1, x2)、 g2(x1, x2) 和 g3(x1, x2)來表示。即：ng1(x1, x2)9 x1 4 x2ng2(x1,

20、x2)3 x1 10 x2ng3(x1, x2) 4 x1 5x2n于是上述生產(chǎn)計劃問題可歸結(jié)為n求變量x1 、 x2n使函數(shù)f(x1, x2)60 x1 120 x2 極大化n滿足條件 g1(x1, x2)9 x1 4 x2360g2(x1, x2)3 x1 10 x2300g3(x1, x2) 4 x1 5x2 200g4(x1, x2) x1 0g5(x1, x2) x2 0n這就是該設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型，其中f(x1, x2)代表設(shè)計目標(biāo)，稱為目標(biāo)函數(shù)； gu(x1, x2)(u1，2，5)代表5個已知的生產(chǎn)指標(biāo)，稱為約束函數(shù)。5個不等式代表5個生產(chǎn)條件，稱為約束條件。n 由于目標(biāo)函數(shù)和

21、所有約束函數(shù)均為設(shè)計變量的線性函數(shù)，故此問題屬線性約束優(yōu)化問題。顯然，這樣的問題無法直接利用極值條件求解。 已知：傳動比已知：傳動比i, 轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)速n, 傳動功率傳動功率P，大小齒輪的材料，設(shè)計該齒，大小齒輪的材料，設(shè)計該齒輪副，使其重量最輕。輪副，使其重量最輕。 分析：分析：（1）圓柱齒輪的體積）圓柱齒輪的體積(v)與重量與重量(w)的表達(dá)；的表達(dá)；（2）設(shè)計參數(shù)確定：模數(shù)（）設(shè)計參數(shù)確定：模數(shù)（m），齒寬（），齒寬（b），齒數(shù)（），齒數(shù)（z1）；）；（3）設(shè)計約束條件：）設(shè)計約束條件： （a）大齒輪滿足彎曲強度要求；）大齒輪滿足彎曲強度要求； （b）小齒輪滿足彎曲強度要求；）小齒輪滿足彎曲強

22、度要求； （c）齒輪副滿足接觸疲勞強度要求；）齒輪副滿足接觸疲勞強度要求； （d） 齒寬系數(shù)要求；齒寬系數(shù)要求； （e） 最小齒數(shù)要求。最小齒數(shù)要求。數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型1, ,m z b2211min()() 4Wb mzmiz1122111 0 0 01.20170FFFFHHbmzz設(shè)計參數(shù)：設(shè)計參數(shù)：設(shè)計目標(biāo)：設(shè)計目標(biāo)：約束條件：約束條件：1-31-3 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型 一個設(shè)計方案可以用一組基本參數(shù)的數(shù)值來表示，這些基本參數(shù)一個設(shè)計方案可以用一組基本參數(shù)的數(shù)值來表示，這些基本參數(shù)可以是構(gòu)件尺寸等幾何量，也可以是質(zhì)量等物理量，還可以是應(yīng)力、可以是構(gòu)件尺寸等幾何量，也可以

23、是質(zhì)量等物理量，還可以是應(yīng)力、變形等表示工作性能的導(dǎo)出量。變形等表示工作性能的導(dǎo)出量。 在設(shè)計過程中進(jìn)行選擇并最終必須確定的各項獨立的基本參數(shù)，在設(shè)計過程中進(jìn)行選擇并最終必須確定的各項獨立的基本參數(shù)，稱作設(shè)計變量，又叫做優(yōu)化參數(shù)。稱作設(shè)計變量，又叫做優(yōu)化參數(shù)。 優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型是描述實際優(yōu)化問題的設(shè)計內(nèi)容、優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型是描述實際優(yōu)化問題的設(shè)計內(nèi)容、變量關(guān)系、有關(guān)設(shè)計條件和意圖的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它反映了物變量關(guān)系、有關(guān)設(shè)計條件和意圖的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它反映了物理現(xiàn)象各主要因素的內(nèi)在聯(lián)系，是進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計的基礎(chǔ)。理現(xiàn)象各主要因素的內(nèi)在聯(lián)系，是進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計的基礎(chǔ)。 設(shè)計變量的全體實際上是一組變量，可用

24、一個列向量表示。設(shè)計設(shè)計變量的全體實際上是一組變量，可用一個列向量表示。設(shè)計變量的數(shù)目稱為優(yōu)化設(shè)計的維數(shù)，如變量的數(shù)目稱為優(yōu)化設(shè)計的維數(shù)，如n個設(shè)計變量，則稱為個設(shè)計變量，則稱為n維設(shè)計問維設(shè)計問題。題。 1212 ,Tnnxxx xxxx 由由n n個設(shè)計變量個設(shè)計變量 為坐標(biāo)所組成的實空間稱為坐標(biāo)所組成的實空間稱作作。一個。一個“設(shè)計設(shè)計”，可用設(shè)計空間中的一點表示。，可用設(shè)計空間中的一點表示。12,nx xx 設(shè)計變量的數(shù)目稱為優(yōu)化設(shè)計的維數(shù)，如設(shè)計變量的數(shù)目稱為優(yōu)化設(shè)計的維數(shù)，如n n個設(shè)計變量，個設(shè)計變量，則稱為則稱為n n維設(shè)計問題。維設(shè)計問題。 按照產(chǎn)品設(shè)計變量的取值特點，按照產(chǎn)

25、品設(shè)計變量的取值特點，設(shè)計變量設(shè)計變量可分為可分為連續(xù)變量連續(xù)變量（例如軸徑、輪廓尺寸等）和（例如軸徑、輪廓尺寸等）和離散變量離散變量（例如各種標(biāo)準(zhǔn)規(guī)格等）。（例如各種標(biāo)準(zhǔn)規(guī)格等）。 圖1-1 設(shè)計變量所組成的設(shè)計空間設(shè)計變量所組成的設(shè)計空間（a a）二維設(shè)計問題二維設(shè)計問題 （b b）三維設(shè)計問題三維設(shè)計問題 只有兩個設(shè)計變量的二維設(shè)計問題可用圖只有兩個設(shè)計變量的二維設(shè)計問題可用圖1-11-1（a a）所示所示的平面直角坐標(biāo)表示；有三個設(shè)計變量的三維設(shè)計問題可用的平面直角坐標(biāo)表示；有三個設(shè)計變量的三維設(shè)計問題可用圖圖1-11-1（b b）所表示的空間直角坐標(biāo)表示。所表示的空間直角坐標(biāo)表示。

26、設(shè)計空間的維數(shù)表征設(shè)計的自由度，設(shè)計變量愈多，則設(shè)設(shè)計空間的維數(shù)表征設(shè)計的自由度，設(shè)計變量愈多，則設(shè)計的自由度愈大、可供選擇的方案愈多，設(shè)計愈靈活，但難度計的自由度愈大、可供選擇的方案愈多，設(shè)計愈靈活，但難度亦愈大、求解亦愈復(fù)雜。亦愈大、求解亦愈復(fù)雜。 小型設(shè)計問題：小型設(shè)計問題：一般含有一般含有2 21010個設(shè)計變量；個設(shè)計變量； 中型設(shè)計問題：中型設(shè)計問題：10105050個設(shè)計變量；個設(shè)計變量； 大型設(shè)計問題：大型設(shè)計問題：5050個以上的設(shè)計變量。個以上的設(shè)計變量。 目前已能解決目前已能解決200200個設(shè)計變量的大型最優(yōu)化設(shè)計問題。個設(shè)計變量的大型最優(yōu)化設(shè)計問題。如何選定設(shè)計變量如

27、何選定設(shè)計變量？ 任何一項產(chǎn)品，是眾多設(shè)計變量標(biāo)志結(jié)構(gòu)尺寸的綜合體。任何一項產(chǎn)品，是眾多設(shè)計變量標(biāo)志結(jié)構(gòu)尺寸的綜合體。變量越多，可以淋漓盡致地描述產(chǎn)品結(jié)構(gòu)，但會增加建模的難變量越多，可以淋漓盡致地描述產(chǎn)品結(jié)構(gòu)，但會增加建模的難度和造成優(yōu)化規(guī)模過大。所以設(shè)計變量時應(yīng)注意以下幾點：度和造成優(yōu)化規(guī)模過大。所以設(shè)計變量時應(yīng)注意以下幾點： （1 1）抓主要，舍次要。）抓主要，舍次要。 對產(chǎn)品性能和結(jié)構(gòu)影響大的參數(shù)可取為設(shè)計變量，影響小對產(chǎn)品性能和結(jié)構(gòu)影響大的參數(shù)可取為設(shè)計變量，影響小的可先根據(jù)經(jīng)驗取為試探性的常量，有的甚至可以不考慮。的可先根據(jù)經(jīng)驗取為試探性的常量，有的甚至可以不考慮。（2 2）根據(jù)要解

28、決設(shè)計問題的特殊性來選擇設(shè)計變量。）根據(jù)要解決設(shè)計問題的特殊性來選擇設(shè)計變量。 例如，圓柱螺旋拉壓彈簧的設(shè)計變量有例如，圓柱螺旋拉壓彈簧的設(shè)計變量有4 4個，即鋼絲直徑個，即鋼絲直徑d d，彈簧中徑彈簧中徑D D，工作圈數(shù)工作圈數(shù)n n和自由高度和自由高度H H。在設(shè)計中，將材料的許在設(shè)計中，將材料的許用剪切應(yīng)力用剪切應(yīng)力 和剪切模量和剪切模量等作為設(shè)計常量。在給定徑向空間內(nèi)等作為設(shè)計常量。在給定徑向空間內(nèi)設(shè)計彈簧，則可把彈簧中徑設(shè)計彈簧，則可把彈簧中徑D D作為設(shè)計常量。作為設(shè)計常量。 2.約束條件約束條件 設(shè)計空間是所有設(shè)計方案的集合，但這些設(shè)計方案有些是設(shè)計空間是所有設(shè)計方案的集合，但這

29、些設(shè)計方案有些是工程上所不能接受的。如一個設(shè)計滿足所有對它提出的要求，工程上所不能接受的。如一個設(shè)計滿足所有對它提出的要求，就稱為可行設(shè)計。就稱為可行設(shè)計。 一個可行設(shè)計必須滿足某些設(shè)計限制條件，這些限制條件一個可行設(shè)計必須滿足某些設(shè)計限制條件，這些限制條件稱作約束條件，簡稱約束。稱作約束條件，簡稱約束。 約束又可按其數(shù)學(xué)表達(dá)形式分成等式約束和不等式約約束又可按其數(shù)學(xué)表達(dá)形式分成等式約束和不等式約束兩種類型：束兩種類型：(1)(1)等式約束等式約束(2)(2)不等式約束不等式約束( )0hx( )0gx顯式約束顯式約束 隱式約束隱式約束 約束函數(shù)有的可以表示成顯式形式，即反映設(shè)計變量之間明約束

30、函數(shù)有的可以表示成顯式形式，即反映設(shè)計變量之間明顯的函數(shù)關(guān)系，有的只能表示成隱式形式顯的函數(shù)關(guān)系，有的只能表示成隱式形式 , ,如例中的復(fù)雜結(jié)構(gòu)的如例中的復(fù)雜結(jié)構(gòu)的性能約束函數(shù)（變形、應(yīng)力、頻率等），需要通過有限元等方法性能約束函數(shù)（變形、應(yīng)力、頻率等），需要通過有限元等方法計算求得。計算求得。根據(jù)約束的性質(zhì)可以把它們區(qū)分成根據(jù)約束的性質(zhì)可以把它們區(qū)分成：性能約束性能約束針對性能要求而提出的限制條件稱作性能約束。例針對性能要求而提出的限制條件稱作性能約束。例如，選擇某些結(jié)構(gòu)必須滿足受力的強度、剛度或穩(wěn)定性等要求如，選擇某些結(jié)構(gòu)必須滿足受力的強度、剛度或穩(wěn)定性等要求；邊界約束邊界約束只是對設(shè)計變

31、量的取值范圍加以限制的約束稱作只是對設(shè)計變量的取值范圍加以限制的約束稱作邊邊界界約束。例如，允許約束。例如，允許機床主軸機床主軸選擇的尺寸范圍，對選擇的尺寸范圍，對軸段長度軸段長度的限的限定范圍就屬于定范圍就屬于邊界邊界約束。約束。圖圖1-2 設(shè)計空間中的約束面（或約束線）設(shè)計空間中的約束面（或約束線） ( (a)a)二變量設(shè)計空間中的約束線二變量設(shè)計空間中的約束線 ( (b) b) 三變量設(shè)計空間中的約束面三變量設(shè)計空間中的約束面 如圖如圖1-41-4上畫出了滿足兩項約束條件上畫出了滿足兩項約束條件g g1 1（X X）=x=x1 12 2x x2 22 216 O16 O和和g g2 2（

32、X X）2 2X X2 200的二維設(shè)計問題的可行域的二維設(shè)計問題的可行域D D，它位于它位于X X2 2=2=2的上面和圓的上面和圓 x x1 12 2x x2 22 2=16=16的圓弧的圓弧ABCABC下面并包括線段下面并包括線段ACAC和圓弧和圓弧ABCABC在內(nèi)。在內(nèi)。圖圖1-3 約束條件規(guī)定的可行域約束條件規(guī)定的可行域D 在設(shè)計空間中，滿足在設(shè)計空間中，滿足所有約束條件的所有約束條件的所構(gòu)成的所構(gòu)成的空間空間 。 3.3.目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù) 在優(yōu)化過程中，通過設(shè)計變量的不斷向在優(yōu)化過程中，通過設(shè)計變量的不斷向F F( (X X) )值改善的方向值改善的方向自動調(diào)整，最后求得自動調(diào)整，

33、最后求得F F( (X X) )值最好或最滿意的值最好或最滿意的X X值。在構(gòu)造目標(biāo)值。在構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)時，應(yīng)注意目標(biāo)函數(shù)必須包含全部設(shè)計變量，所有的設(shè)計函數(shù)時，應(yīng)注意目標(biāo)函數(shù)必須包含全部設(shè)計變量，所有的設(shè)計變量必須包含在約束函數(shù)中。在機械設(shè)計中，可作為參考目標(biāo)變量必須包含在約束函數(shù)中。在機械設(shè)計中，可作為參考目標(biāo)函數(shù)的有：函數(shù)的有： 體積最小、重量最輕、效率最高、承載能力最大、結(jié)構(gòu)體積最小、重量最輕、效率最高、承載能力最大、結(jié)構(gòu)運動精度最高、振幅或噪聲最小、成本最低、耗能最小、動運動精度最高、振幅或噪聲最小、成本最低、耗能最小、動負(fù)荷最小等等。負(fù)荷最小等等。 12( )()nF xF xxx，

34、 ， ， 為了對設(shè)計進(jìn)行定量評價，必須構(gòu)造包含設(shè)計變量的評價為了對設(shè)計進(jìn)行定量評價，必須構(gòu)造包含設(shè)計變量的評價函數(shù)，它是優(yōu)化的目標(biāo)，稱為目標(biāo)函數(shù)，以函數(shù)，它是優(yōu)化的目標(biāo)，稱為目標(biāo)函數(shù)，以F(X)F(X)表示。表示。 在最優(yōu)化設(shè)計問題中，可以只有一個目標(biāo)函數(shù)，稱為單目標(biāo)在最優(yōu)化設(shè)計問題中，可以只有一個目標(biāo)函數(shù)，稱為單目標(biāo)函數(shù)。當(dāng)在同一設(shè)計中要提出多個目標(biāo)函數(shù)時，這種問題稱為多函數(shù)。當(dāng)在同一設(shè)計中要提出多個目標(biāo)函數(shù)時，這種問題稱為多目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化問題。在一般的機械最優(yōu)化設(shè)計中，多目標(biāo)函目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化問題。在一般的機械最優(yōu)化設(shè)計中，多目標(biāo)函數(shù)的情況較多。目標(biāo)函數(shù)愈多，設(shè)計的綜合效果愈好，但問題的

35、數(shù)的情況較多。目標(biāo)函數(shù)愈多，設(shè)計的綜合效果愈好，但問題的求解亦愈復(fù)雜。求解亦愈復(fù)雜。 在實際工程設(shè)計問題中，常常會遇到在多目標(biāo)函數(shù)的某些在實際工程設(shè)計問題中，常常會遇到在多目標(biāo)函數(shù)的某些目標(biāo)之間存在矛盾的情況，這就要求設(shè)計者正確處理各目標(biāo)函目標(biāo)之間存在矛盾的情況，這就要求設(shè)計者正確處理各目標(biāo)函數(shù)之間的關(guān)系。數(shù)之間的關(guān)系。 目標(biāo)函數(shù)等值（線）面目標(biāo)函數(shù)等值（線）面( )Fcx 目標(biāo)函數(shù)是目標(biāo)函數(shù)是n維變量的函數(shù)，它的函數(shù)圖像只能在維變量的函數(shù)，它的函數(shù)圖像只能在n+1維空維空間中描述出來。為了在間中描述出來。為了在n維設(shè)計空間中反映目標(biāo)函數(shù)的變化情維設(shè)計空間中反映目標(biāo)函數(shù)的變化情況，常采用目標(biāo)函

36、數(shù)等值面的方法。況，常采用目標(biāo)函數(shù)等值面的方法。 目標(biāo)函數(shù)的等值面（線）數(shù)學(xué)表達(dá)式為：目標(biāo)函數(shù)的等值面（線）數(shù)學(xué)表達(dá)式為： c為一系列常數(shù)，代表一族為一系列常數(shù)，代表一族n維超曲面。如在二維設(shè)計空維超曲面。如在二維設(shè)計空間中，間中，F(xiàn)(x1,x2)=c 代表代表x-x設(shè)計平面上的一族曲線。設(shè)計平面上的一族曲線。 對于具有相等目標(biāo)函數(shù)值的設(shè)計點構(gòu)成的平面曲線或曲面對于具有相等目標(biāo)函數(shù)值的設(shè)計點構(gòu)成的平面曲線或曲面稱為稱為等值線等值線或或等值面等值面。圖圖1-4 等值線等值線 圖圖1-51-5表示目標(biāo)函數(shù)表示目標(biāo)函數(shù)f f（X X）與兩個設(shè)計變量與兩個設(shè)計變量x x1 1，x x2 2階所構(gòu)成階所

37、構(gòu)成的關(guān)系曲面上的等值線，它是由許多具有相等目標(biāo)函數(shù)值的設(shè)的關(guān)系曲面上的等值線，它是由許多具有相等目標(biāo)函數(shù)值的設(shè)計點所構(gòu)成的平面曲線。當(dāng)給目標(biāo)函數(shù)以不同值時，可得到一計點所構(gòu)成的平面曲線。當(dāng)給目標(biāo)函數(shù)以不同值時，可得到一系列的等值線，它們構(gòu)成目標(biāo)函數(shù)的等值線族。在極值處目標(biāo)系列的等值線，它們構(gòu)成目標(biāo)函數(shù)的等值線族。在極值處目標(biāo)函數(shù)的等值線聚成一點，并位于等值線族的中心。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)函數(shù)的等值線聚成一點，并位于等值線族的中心。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)值的變化范圍一定時，等值線愈稀疏說明目標(biāo)函數(shù)值的變化愈值的變化范圍一定時，等值線愈稀疏說明目標(biāo)函數(shù)值的變化愈平緩。利用等值線的概念可用幾何圖象形象地表現(xiàn)出目標(biāo)函數(shù)平

38、緩。利用等值線的概念可用幾何圖象形象地表現(xiàn)出目標(biāo)函數(shù)的變化規(guī)律。的變化規(guī)律。 從等值線上，可以清除地看到函數(shù)值的變化情況。其中從等值線上，可以清除地看到函數(shù)值的變化情況。其中F F=40=40的等值線就是使的等值線就是使F(xF(x1 1,x,x2 2)=40)=40的各點的各點 x x1 1,x,x2 2 T T所組成的連所組成的連線。線。 如圖函數(shù)如圖函數(shù) 的等值線圖。的等值線圖。2212121212( ,)60 104F x xxxxxx x圖圖1-5 等值線等值線4. 優(yōu)化設(shè)計問題一般數(shù)學(xué)形式：優(yōu)化設(shè)計問題一般數(shù)學(xué)形式：滿足約束條件滿足約束條件 ：12 ,TnXx xx()minF X

39、 ()0(1,2, )kh Xkl()0(1,2,)jgXjm12min()(),. .()01,2,()01,2,nnjkF XF xxxXRst gXjmh Xkl， ， ，求設(shè)計變量向量求設(shè)計變量向量使目標(biāo)函數(shù)使目標(biāo)函數(shù) 對于復(fù)雜的問題，要建立能反映客觀工程實際的、完對于復(fù)雜的問題，要建立能反映客觀工程實際的、完善的數(shù)學(xué)模型往往會遇到很多困難，有時甚至比求解更為善的數(shù)學(xué)模型往往會遇到很多困難，有時甚至比求解更為復(fù)雜。這時要抓住關(guān)鍵因素，適當(dāng)忽略不重要的成分，使復(fù)雜。這時要抓住關(guān)鍵因素，適當(dāng)忽略不重要的成分，使問題合理簡化，以易于列出數(shù)學(xué)模型，這樣不僅可節(jié)省時問題合理簡化，以易于列出數(shù)學(xué)模

40、型，這樣不僅可節(jié)省時間，有時也會改善優(yōu)化結(jié)果。間，有時也會改善優(yōu)化結(jié)果。 最優(yōu)化設(shè)計的目標(biāo)函數(shù)通常為求目標(biāo)函數(shù)的最小值。若最優(yōu)化設(shè)計的目標(biāo)函數(shù)通常為求目標(biāo)函數(shù)的最小值。若目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)點為可行域中的最大值時，則可看成是求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)點為可行域中的最大值時，則可看成是求- -F F（X X）的最小值，因為的最小值，因為minmin-F-F（X X）與與maxFmaxF（X X）是是等價的。當(dāng)然，也可看成是求等價的。當(dāng)然，也可看成是求1 1F F（X X）的極小值。的極小值。5. 建模實例建模實例1）根據(jù)設(shè)計要求，應(yīng)用專業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)行理論和經(jīng)驗等，對）根據(jù)設(shè)計要求，應(yīng)用專業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)行理論和經(jīng)驗

41、等，對優(yōu)化對象進(jìn)行分析。必要時，需要對傳統(tǒng)設(shè)計中的公式進(jìn)行改優(yōu)化對象進(jìn)行分析。必要時，需要對傳統(tǒng)設(shè)計中的公式進(jìn)行改進(jìn)，并盡可以反映該專業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)代技術(shù)進(jìn)步的成果。進(jìn)，并盡可以反映該專業(yè)范圍內(nèi)的現(xiàn)代技術(shù)進(jìn)步的成果。2）對結(jié)構(gòu)諸參數(shù)進(jìn)行分析，以確定設(shè)計的原始參數(shù)、設(shè)計常）對結(jié)構(gòu)諸參數(shù)進(jìn)行分析，以確定設(shè)計的原始參數(shù)、設(shè)計常數(shù)和設(shè)計變量。數(shù)和設(shè)計變量。3）根據(jù)設(shè)計要求，確定并構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)和相應(yīng)的約束條件，）根據(jù)設(shè)計要求，確定并構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)和相應(yīng)的約束條件，有時要構(gòu)造多目標(biāo)函數(shù)。有時要構(gòu)造多目標(biāo)函數(shù)。4）必要時對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行規(guī)范化，以消除諸組成項間由于量）必要時對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行規(guī)范化，以消除諸組成項間由

42、于量綱不同等原因?qū)е碌臄?shù)量懸殊的影響。綱不同等原因?qū)е碌臄?shù)量懸殊的影響。人字架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計人字架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計 1p2pp2h hhL2 受力分析圖圓桿截面圖Bp2hL2桁桿示意圖d由兩根空心圓桿組成對稱的兩桿桁架，其頂點承受負(fù)載由兩根空心圓桿組成對稱的兩桿桁架，其頂點承受負(fù)載為為2p，兩支座之間的水平距離為兩支座之間的水平距離為2L，圓桿的壁厚為圓桿的壁厚為B，桿桿的比重為的比重為，彈性模量為彈性模量為E，屈服強度為屈服強度為 。求在桁架不求在桁架不被破壞的情況下使桁架重量最輕的桁架高度被破壞的情況下使桁架重量最輕的桁架高度h及圓桿平均及圓桿平均直徑直徑d。1p2pp2h hhL2 受力分析圖

43、圓桿截面圖Bp2hL2桁桿示意圖d解：桁桿的截面積為解：桁桿的截面積為 ：dBS222hLdBWhhLppp221cosdhBhLsp2211dhBhLp22222228hLBdE082222222dhBhLphLBdE 由此得穩(wěn)定約束：由此得穩(wěn)定約束：圓桿中應(yīng)力小于等于壓桿穩(wěn)定的臨界應(yīng)力。由材料力學(xué)知：圓桿中應(yīng)力小于等于壓桿穩(wěn)定的臨界應(yīng)力。由材料力學(xué)知：壓桿穩(wěn)定的臨界應(yīng)力為壓桿穩(wěn)定的臨界應(yīng)力為此應(yīng)力要求小于材料的屈服極限，即：此應(yīng)力要求小于材料的屈服極限，即： 于是桿截面的應(yīng)力為：于是桿截面的應(yīng)力為： 負(fù)載負(fù)載2p在每個桿上的分力為：在每個桿上的分力為： 桁桿的總重量為：桁桿的總重量為： 另

44、外還要考慮到設(shè)計變量另外還要考慮到設(shè)計變量d和和h有界。有界。 從而得到兩桿桁架最優(yōu)設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型：從而得到兩桿桁架最優(yōu)設(shè)計問題的數(shù)學(xué)模型：22222222222maxminmaxminmin2. .008dB Lhp LhstdhBE dBp LhdhBLhdddhhh 以最低成本確定滿足動物所需營養(yǎng)的最優(yōu)混合飼料。設(shè)每以最低成本確定滿足動物所需營養(yǎng)的最優(yōu)混合飼料。設(shè)每天需要混合飼料的批量為天需要混合飼料的批量為100磅，這份飼料必須含：至少磅，這份飼料必須含：至少0.8%而不超過而不超過1.2%的鈣的鈣;至少至少22%的蛋白質(zhì)的蛋白質(zhì);至多至多5%的粗纖維。假的粗纖維。假定主要配料包括

45、石灰石、谷物、大豆粉。這些配料的主要營養(yǎng)定主要配料包括石灰石、谷物、大豆粉。這些配料的主要營養(yǎng)成分為：成分為：1231231231232323123min0.01640.04630.1250. .1000.3800.0010.0020.012 1000.3800.0010.0020.008 1000.090.500.22 1000.020.080.05 100000Zxxxstxxxxxxxxxxxxxxxx解解:根據(jù)前面介紹的建模要素得出此問題的數(shù)學(xué)模型如下根據(jù)前面介紹的建模要素得出此問題的數(shù)學(xué)模型如下:設(shè)設(shè) 是生產(chǎn)是生產(chǎn)100磅混合飼料所須的石灰石、谷物、磅混合飼料所須的石灰石、谷物、大豆

46、粉的量（磅）。大豆粉的量（磅）。321xxx6. 優(yōu)化設(shè)計的分類優(yōu)化設(shè)計的分類對于最優(yōu)化問題一般可作如下分類：對于最優(yōu)化問題一般可作如下分類：還有其它的一些劃分方法：還有其它的一些劃分方法： 如按設(shè)計變量的性質(zhì)分：連續(xù)變量、離散變量、整數(shù)變量如按設(shè)計變量的性質(zhì)分：連續(xù)變量、離散變量、整數(shù)變量規(guī)劃問題；規(guī)劃問題； 二次規(guī)劃、幾何規(guī)劃、隨機規(guī)劃等。二次規(guī)劃、幾何規(guī)劃、隨機規(guī)劃等。約束無約束動態(tài)問題非線性規(guī)劃線性規(guī)劃約束問題維問題一維問題非線性問題線性問題無約束問題靜態(tài)問題最優(yōu)化問題n2212111222123142min( )44 s.t.( )20( )10( )0( )0Fxxxgxxgxxg

47、xgx xxxxx例例1：如下二維非線性規(guī)劃問題：如下二維非線性規(guī)劃問題1-4 1-4 優(yōu)化問題的幾何解釋和基本解法優(yōu)化問題的幾何解釋和基本解法 通過二維優(yōu)化問題的幾何求解來直觀地描述優(yōu)化設(shè)計的通過二維優(yōu)化問題的幾何求解來直觀地描述優(yōu)化設(shè)計的基本思想。基本思想。約束可行域約束可行域目標(biāo)函數(shù)的等值面簇目標(biāo)函數(shù)的等值面簇 將這兩個圖合并起來，如下圖。由圖可以看出，在可行域內(nèi)使目標(biāo)函數(shù)取極小值的最優(yōu)點就是點A。該點也是目標(biāo)函數(shù)的等值線在函數(shù)的下降方向上與可行域的最后一個交點，而且是一個切點。2212111222123142min( )44 s.t.( )20( )10( )0( )0Fxxxgxxg

48、xxgxgx xxxxx 目標(biāo)函數(shù)等值線是以點（目標(biāo)函數(shù)等值線是以點（2，0）為圓心的一組同心圓。）為圓心的一組同心圓。 如不考慮約束，本例的無約束最優(yōu)解是：如不考慮約束，本例的無約束最優(yōu)解是：*(2,0)x，*()0Fx約束方程所圍成的可行域是約束方程所圍成的可行域是D?？梢姡谧鞒黾s束可行域和一簇目標(biāo)函數(shù)的等值線后，如果有最優(yōu)解的話，最優(yōu)點必定位于可行域內(nèi)目標(biāo)函數(shù)在下降方向上的等值線與可行域邊界的最后一個交點。圖解法只適用于一些簡單的優(yōu)化問題，雖然沒有什么實用價值，但是，對于理解優(yōu)化問題的諸多基本概念，掌握最優(yōu)解的存在條件和規(guī)律卻是十分重要的。221212min21. .50 s txxx

49、xl由圖易見約束直線與等值線的切點是最優(yōu)點，利用解析幾由圖易見約束直線與等值線的切點是最優(yōu)點，利用解析幾何的方法得該切點為何的方法得該切點為 ， 對應(yīng)的最優(yōu)值為對應(yīng)的最優(yōu)值為 l (見圖）見圖）*3,2TX 2fXx2x12f 1f Ol解：先畫出目標(biāo)函數(shù)等值線，再畫出約束曲線，本處約束曲解：先畫出目標(biāo)函數(shù)等值線，再畫出約束曲線，本處約束曲線是一條直線，這條直線就是容許集。而最優(yōu)點就是容許集上線是一條直線，這條直線就是容許集。而最優(yōu)點就是容許集上使等值線具有最小值的點。使等值線具有最小值的點。122122122122min21.5050,0 xxs txxxxxxxl解：先畫出等式約束曲線解：

50、先畫出等式約束曲線 的圖形。的圖形。 這是一條拋物線，如圖這是一條拋物線，如圖052221xxxl再畫出不等式約束區(qū)域，如圖（選定哪側(cè)區(qū)域）再畫出不等式約束區(qū)域，如圖（選定哪側(cè)區(qū)域）l最后畫出目標(biāo)函數(shù)等值線，特別注意可行集邊界點，最后畫出目標(biāo)函數(shù)等值線，特別注意可行集邊界點，x1x2123456135ABCD 以及等值線與可行集的切點，易見可行域為以及等值線與可行集的切點，易見可行域為曲線段曲線段ABCD。當(dāng)動點沿拋物曲線段。當(dāng)動點沿拋物曲線段ABCD由由A點出發(fā)時，點出發(fā)時，AB段目標(biāo)函數(shù)值下降。過點段目標(biāo)函數(shù)值下降。過點B后，后，在在BC段目標(biāo)函數(shù)值上升。過段目標(biāo)函數(shù)值上升。過C點后，在點

51、后，在CD段段目標(biāo)函數(shù)值再次下降。目標(biāo)函數(shù)值再次下降。D點是使目標(biāo)函數(shù)值最點是使目標(biāo)函數(shù)值最小的可行點，其坐標(biāo)可通過解方程組：小的可行點，其坐標(biāo)可通過解方程組：2122125050 xxxxx( 4 1 )TX，4fXl得得 出：出：x1x2123456135ABCDn 由以上三個例子可見，對二維最優(yōu)化問題。我們總由以上三個例子可見，對二維最優(yōu)化問題。我們總可以用圖解法求解，而對三維或高維問題，已不便在可以用圖解法求解，而對三維或高維問題，已不便在平面上作圖，此法失效。平面上作圖，此法失效。n 在三維和三維以上的空間中，使目標(biāo)函數(shù)取同一常在三維和三維以上的空間中，使目標(biāo)函數(shù)取同一常數(shù)值的是數(shù)值

52、的是 X| f(X)=C, C是常數(shù)是常數(shù)稱為目標(biāo)函數(shù)的等值面。稱為目標(biāo)函數(shù)的等值面。n等值面具有以下性質(zhì)：等值面具有以下性質(zhì)：n（1）不同值的等值面之間不相交，因為目標(biāo)函數(shù)是單）不同值的等值面之間不相交，因為目標(biāo)函數(shù)是單值函數(shù)；值函數(shù)；n（2）等值面稠的地方，目標(biāo)函數(shù)值變化得較快，而稀）等值面稠的地方，目標(biāo)函數(shù)值變化得較快，而稀疏的地方變化得比較慢；疏的地方變化得比較慢；n（3）一般地，在極值點附近，等值面（線）近似地呈）一般地，在極值點附近，等值面（線）近似地呈現(xiàn)為同心橢球面族（橢圓族）。現(xiàn)為同心橢球面族（橢圓族）。求解優(yōu)化問題的基本解法有：求解優(yōu)化問題的基本解法有： 即利用數(shù)學(xué)分析即利用

53、數(shù)學(xué)分析( (微分、變分等）的方法，微分、變分等）的方法，根據(jù)根據(jù)函數(shù)（泛函）極值的必要條件和充分條件求出其最優(yōu)解析函數(shù)（泛函）極值的必要條件和充分條件求出其最優(yōu)解析解的解的求解方法求解方法 。在目標(biāo)函數(shù)比較簡單時，求解還可以。在目標(biāo)函數(shù)比較簡單時，求解還可以。 局限性：局限性：工程優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)和約束條件往往比較復(fù)工程優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)和約束條件往往比較復(fù)雜，有時甚至還無法用數(shù)學(xué)方程描述，在這種情況下應(yīng)用數(shù)雜，有時甚至還無法用數(shù)學(xué)方程描述，在這種情況下應(yīng)用數(shù)學(xué)分析方法就會帶來麻煩。學(xué)分析方法就會帶來麻煩。 最優(yōu)化方法是與近代電子計算機的發(fā)展緊密相聯(lián)系的，數(shù)最優(yōu)化方法是與近代電子計算機的發(fā)展緊密相聯(lián)系的，數(shù)值計算法比解析法更能適應(yīng)電子計算機的工作特點，因為數(shù)值計值計算法比解析法更能適應(yīng)電子計算機的工作特點，因為數(shù)值計算的迭代方法具有以下特點：算的迭代方法具有以下特點： 1 1）是數(shù)值計算而不是數(shù)學(xué)分析方法；）是數(shù)值計算而不是數(shù)學(xué)分析方法； 2 2）具有簡單的邏輯結(jié)構(gòu)并能進(jìn)行反復(fù)的同樣的算術(shù)計算；）具有簡單的邏輯結(jié)構(gòu)并能進(jìn)行反復(fù)的同樣的算術(shù)計算； 3 3）最后得出的是逼近精確解的近似解。）最后得出的是逼近精確解的近似解。這些特點正與計算機的工作特點相一致。這些特點正與計算機的工作特點相一致。這是一種數(shù)值近似計算方法，又