charpt靜電場(chǎng)的環(huán)路定理與電勢(shì)實(shí)用實(shí)用教案

1、一. 靜電場(chǎng)力的功試驗(yàn)(shyn)(shyn)電荷q0 q0 在電荷q q 的場(chǎng)中，由 a a 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至b b 點(diǎn)，計(jì)算電場(chǎng)力所做的功：q0 在場(chǎng)中受力)()(0rEqrFq0 的位移（元） ld電場(chǎng)力作元功lEqlFAddd0lEqdcos0其中rlddcos則rEqAdd0q靜電場(chǎng)力對(duì)點(diǎn)電荷做功(zugng)(zugng)靜電場(chǎng)力的功q0qabLrdrr l d)(rE)(drrE第1頁(yè)/共41頁(yè)第一頁(yè)，共42頁(yè)。靜電場(chǎng)力做功(zugng)與路徑無(wú)關(guān), 只由始末位置決定。)11(400barrqq故barrrrqq200d4barrabrEqAd0即：在dl 線元上，電場(chǎng)力做功(zugng

2、)的有效位移為dr 第2頁(yè)/共41頁(yè)第二頁(yè)，共42頁(yè)。q 考慮閉合積分路徑：l dvL環(huán)量速度積分，為速度環(huán)量一閉合路徑，對(duì)水的對(duì)水中的漩渦，選取環(huán)量描述了流場(chǎng)的旋轉(zhuǎn)(xunzhun)程度。第3頁(yè)/共41頁(yè)第三頁(yè)，共42頁(yè)。q 場(chǎng)強(qiáng)環(huán)路(hun l)定理0d0llEqA則0d llE即 場(chǎng)強(qiáng)環(huán)路場(chǎng)強(qiáng)環(huán)路(hun l)定理定理 靜電力是保守力靜電力是保守力, 靜電場(chǎng)是有勢(shì)場(chǎng)。靜電場(chǎng)是有勢(shì)場(chǎng)。 由于靜電場(chǎng)做功的環(huán)路積分只與初、末態(tài)相關(guān)(xinggun)，當(dāng)環(huán)路循環(huán)一周時(shí)，初、末態(tài)值相等。第4頁(yè)/共41頁(yè)第四頁(yè)，共42頁(yè)。由斯托克斯公式(gngsh)SlSElEd)(d靜電場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)靜電場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)q

3、 靜電場(chǎng)的旋度 0E則 旋度旋度第5頁(yè)/共41頁(yè)第五頁(yè)，共42頁(yè)。ijkxyz 耐普拉算子耐普拉算子(sun z) 拉普拉斯算子拉普拉斯算子 222222xyz divyxzEEEEExyz 的散度的散度(divergence) E的旋度的旋度(rotation) EyyxzxzEEEEEEijkyzxyzxrotEExyzijkxyzEEE球坐標(biāo)系sin11rrrr第6頁(yè)/共41頁(yè)第六頁(yè)，共42頁(yè)。III靜電力是保守力 ldEldEldEldEldEPIQPIIQQIPPIIQL即因?yàn)?0IIPQIPQPIIQPIQAAl dEql dEqq電場(chǎng)力做功有乘以000,即q0在靜電力作用(zuy

4、ng)下，從P點(diǎn)沿路徑I到Q和沿路徑II到Q的結(jié)果一樣，與路徑的選取無(wú)關(guān)，只與起點(diǎn)P和終點(diǎn)Q的位置相關(guān)，則靜電場(chǎng)為保守力場(chǎng)。保守力場(chǎng)可定義勢(shì)能(shnng)。第7頁(yè)/共41頁(yè)第七頁(yè)，共42頁(yè)。二. 電勢(shì)(dinsh)能保守力做功等于(dngy)勢(shì)能增量的負(fù)值。即系統(tǒng)做功，系統(tǒng)勢(shì)能減少。 baabbalEqAWWd0一般(ybn)令參考點(diǎn)為遠(yuǎn)處，即q0 在遠(yuǎn)時(shí)，電勢(shì)能W=0，則a點(diǎn)的電勢(shì)能 aalEqWd0 設(shè)試驗(yàn)電荷q0 在電場(chǎng)力作用下，自場(chǎng)中a 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至b 點(diǎn)，勢(shì)能減少： 系統(tǒng)做功分為：正功、負(fù)功。當(dāng)選定零勢(shì)能點(diǎn)后，可以定義各點(diǎn)的勢(shì)能。第8頁(yè)/共41頁(yè)第八頁(yè)，共42頁(yè)。 Wa 等于(dngy

5、)電荷q0自a點(diǎn)移至遠(yuǎn)電場(chǎng)力的功；電勢(shì)能屬于電場(chǎng)（q 激發(fā)(jf)）和電荷（q0 ）共有；電勢(shì)能是標(biāo)量，但是有正、有負(fù)；電勢(shì)能的參考點(diǎn)是可任選的?；颉居懻?toln)】：依此 Wa 等于電荷q0自遠(yuǎn)移至a點(diǎn)外力作的功。aalEqWd0第9頁(yè)/共41頁(yè)第九頁(yè)，共42頁(yè)。三. 電勢(shì)(dinsh) aaaldEqWU0Wa 不僅與電場(chǎng)有關(guān)(yugun)，還與q0 有關(guān)(yugun)，不是僅描述電場(chǎng)的量。 定義(dngy)： 電勢(shì)電勢(shì)Ua 等于單位正電荷自a點(diǎn)移至遠(yuǎn)電場(chǎng)力的功， 或等于單位正電荷自遠(yuǎn)移至a點(diǎn)外力的功；電勢(shì)是標(biāo)量，但是有正、有負(fù)；原則上，零電勢(shì)點(diǎn)是可任選的； 理論上，一般取遠(yuǎn)處電勢(shì)為零；

6、 實(shí)際中，一般選大地為零；【討論】：第10頁(yè)/共41頁(yè)第十頁(yè)，共42頁(yè)。電勢(shì)差（電壓(diny)）baabbaldEldEldEUU)(0baabUUqA電場(chǎng)力的功a、b兩點(diǎn)之間電勢(shì)差： 單位(dnwi)正電荷從a點(diǎn)移動(dòng)到b點(diǎn)過(guò)程中，電場(chǎng)力做的功。電力線方向(fngxing)為電勢(shì)降落最快的方向(fngxing)第11頁(yè)/共41頁(yè)第十一頁(yè)，共42頁(yè)。三個(gè)引理三個(gè)引理引理一：在無(wú)電荷的空間里電勢(shì)引理一：在無(wú)電荷的空間里電勢(shì)(dinsh)不可能有極大值和極小值。不可能有極大值和極小值。 引理二：若所有導(dǎo)體引理二：若所有導(dǎo)體(dot)的電勢(shì)為的電勢(shì)為0，則導(dǎo)體，則導(dǎo)體(dot)以外空間的以外空間的電

7、勢(shì)電勢(shì)處處為處處為0 。推廣：若完全由導(dǎo)體所包圍推廣：若完全由導(dǎo)體所包圍(bowi)的空間里各導(dǎo)體的電勢(shì)都相的空間里各導(dǎo)體的電勢(shì)都相等等（設(shè)為（設(shè)為U0），則空間電勢(shì)等于常量），則空間電勢(shì)等于常量U0 。引理三：若所有導(dǎo)體都不帶電，則各導(dǎo)體的電勢(shì)都相等。引理三：若所有導(dǎo)體都不帶電，則各導(dǎo)體的電勢(shì)都相等。 引理二引理二 (+) 引理三可推論：引理三可推論：所有導(dǎo)體都不帶電的情況下所有導(dǎo)體都不帶電的情況下空間各處的電勢(shì)也和導(dǎo)體一樣，等于同一常量?？臻g各處的電勢(shì)也和導(dǎo)體一樣，等于同一常量。第12頁(yè)/共41頁(yè)第十二頁(yè)，共42頁(yè)。三個(gè)引理的證明三個(gè)引理的證明(zhngmng)(zhngmng)l引理一：

8、在無(wú)電荷的空間里電勢(shì)不可能有極大引理一：在無(wú)電荷的空間里電勢(shì)不可能有極大值和極小值值和極小值l證明（反證證明（反證(fnzhng)）若有極大，則）若有極大，則極大(j d)極小n若有極小，同樣證明若有極小，同樣證明矛盾矛盾但面內(nèi)無(wú)電荷但面內(nèi)無(wú)電荷點(diǎn)點(diǎn)背離背離點(diǎn),點(diǎn),指向指向，, 0SEdPUPUSEE第13頁(yè)/共41頁(yè)第十三頁(yè)，共42頁(yè)。l引理二：若所有引理二：若所有(suyu)導(dǎo)導(dǎo)體的電勢(shì)為體的電勢(shì)為0，則導(dǎo)體以外空，則導(dǎo)體以外空間的電勢(shì)處處為間的電勢(shì)處處為0n證明（反證）證明（反證）n在無(wú)電荷空間里電勢(shì)分布連續(xù)在無(wú)電荷空間里電勢(shì)分布連續(xù)變化，若空間有電勢(shì)大于變化，若空間有電勢(shì)大于0（或小于

9、（或小于0）的點(diǎn)，而邊界上）的點(diǎn)，而邊界上電勢(shì)又處處電勢(shì)又處處(chch)等于等于零零必出現(xiàn)極大值或極小必出現(xiàn)極大值或極小值值矛盾矛盾n推廣：若完全由導(dǎo)體所包圍的空間里各導(dǎo)體推廣：若完全由導(dǎo)體所包圍的空間里各導(dǎo)體的電勢(shì)都相等（設(shè)為的電勢(shì)都相等（設(shè)為U0），則空間電勢(shì)等于），則空間電勢(shì)等于(dngy)常量常量U0即意味著空間電勢(shì)即意味著空間電勢(shì)有極大值，違背引有極大值，違背引理一理一第14頁(yè)/共41頁(yè)第十四頁(yè)，共42頁(yè)。n引理二引理二 ( )引理三可推論：所有導(dǎo)體都不帶電的情況下引理三可推論：所有導(dǎo)體都不帶電的情況下空間各處的電勢(shì)空間各處的電勢(shì)(dinsh)也和導(dǎo)體一樣，等于同一常量也和導(dǎo)體一樣

10、，等于同一常量第15頁(yè)/共41頁(yè)第十五頁(yè)，共42頁(yè)。疊加原理疊加原理(yunl)在給定在給定(i dn)(i dn)各帶電導(dǎo)體的幾何形狀、相對(duì)位置各帶電導(dǎo)體的幾何形狀、相對(duì)位置后，給予兩組邊界條件：后，給予兩組邊界條件：1 1：給定：給定(i dn)(i dn)每個(gè)導(dǎo)體的電勢(shì)每個(gè)導(dǎo)體的電勢(shì)UkUk（或總電量（或總電量QkQk）2 2：給定：給定(i dn)(i dn)每個(gè)導(dǎo)體的電勢(shì)每個(gè)導(dǎo)體的電勢(shì)UkUk（或總電量（或總電量Qk)Qk)設(shè)電勢(shì)設(shè)電勢(shì)UU、 U U分別滿足上述邊界條件，則它們的分別滿足上述邊界條件，則它們的線性組合線性組合 U=a U+b U U=a U+b U必滿足條件必滿足條件

11、: :每個(gè)導(dǎo)體的電勢(shì)為每個(gè)導(dǎo)體的電勢(shì)為 Uk=a Uk+b U k Uk=a Uk+b U k （或總電量（或總電量Qk= a Qk +b Q kQk= a Qk +b Q k） 特例特例 ： 取取UkUk U k U k及及 (a=1,b=-1) (a=1,b=-1)，則，則U=UU=UU=0U=0，每個(gè)導(dǎo)體的電勢(shì)為，每個(gè)導(dǎo)體的電勢(shì)為0 0 。第16頁(yè)/共41頁(yè)第十六頁(yè)，共42頁(yè)。2. 點(diǎn)荷系場(chǎng)的電勢(shì)(dinsh) iiiriiirqrrqU020414d 電勢(shì)(dinsh)疊加原理 1. 點(diǎn)電荷場(chǎng)的電勢(shì)(dinsh) rqrrqlErUrr02041d4d)(四. 電勢(shì)的計(jì)算 analEE

12、ElErUd)(d)(21rnralElElEddd21nUUU21所以第17頁(yè)/共41頁(yè)第十七頁(yè)，共42頁(yè)。3. 連續(xù)電荷(dinh)場(chǎng)的電勢(shì) rqU04d線電荷分布lqdd面電荷分布Sqdd體電荷分布Vqdd iiiriiirqrrqU020414d由可得第18頁(yè)/共41頁(yè)第十八頁(yè)，共42頁(yè)。【例題 】：計(jì)算電偶極子在任意一點(diǎn)(y din)P 處的電勢(shì)。 UUUPr+yxrrp rqrq0044)(40 rrrrqlrrrrrcos2cos2【解】：20cos4rq 3041rrP 0 PUPr中垂線上中垂線上202044rPUPrxrPUPrxPP反向與反方向同向與正方向延長(zhǎng)線上第19頁(yè)

13、/共41頁(yè)第十九頁(yè)，共42頁(yè)?！纠} 】：計(jì)算均勻(jnyn)帶電球面內(nèi)外的電勢(shì)?！窘狻浚涸O(shè)球面(qimin)半徑R，電量Q ROU 0Rr 球面電荷U-r 線2014rQE球外（r R）:rQrrQlEUrr02014d4d均勻帶電球面內(nèi)外(niwi)電勢(shì)的分布如圖 U-r 曲線。球面內(nèi)為等勢(shì)體。RRrlElEUdd122球內(nèi)（r R）:02ERQrrQR0204d4第20頁(yè)/共41頁(yè)第二十頁(yè)，共42頁(yè)?！纠}(lt) 】：計(jì)算均勻帶電球體(qit)內(nèi)外的電勢(shì)?！窘狻浚涸O(shè)球面(qimin)半徑R，電量Q2014rQE球外（r R）:rQrrQlEUrr020114d4d302232208)3

14、(124RrRQRRrRQ均勻帶電球面內(nèi)外電勢(shì)的分布如圖 U-r 曲線。球內(nèi)（r R）:3024RQrERRrRRrrrRrQlElEU230122drd4ddROU 023Rr 球面電荷U-r 線022R第21頁(yè)/共41頁(yè)第二十一頁(yè)，共42頁(yè)?！纠?】： 求均勻長(zhǎng)直線電荷(dinh)電勢(shì)的分布?！窘狻浚涸O(shè)電荷線密度(md)為 ，任一點(diǎn)P 距線電荷r 遠(yuǎn)，見(jiàn)圖。 ?d2d0rrrrlEU如設(shè)U=0 若設(shè)U0=0 ?d2d000rrrrlEUPar 直線電荷的電勢(shì) （發(fā)散）（發(fā)散）怎樣選擇電勢(shì)(dinsh)零點(diǎn)？第22頁(yè)/共41頁(yè)第二十二頁(yè)，共42頁(yè)。Par 直線電荷的電勢(shì) rarrlEUara

15、rln2d2d00常常取 a=1，則rU1ln20可設(shè)其他任意處電勢(shì)(dinsh)為零 ，例如令Ua=0 ，則 0,10,1UrUr當(dāng)?shù)?3頁(yè)/共41頁(yè)第二十三頁(yè)，共42頁(yè)。在均勻(jnyn)電場(chǎng)E0中放入一個(gè)點(diǎn)電荷q，則空間電勢(shì)如何？E0q對(duì)于均勻電場(chǎng)，不能取無(wú)窮遠(yuǎn)處為零電勢(shì)(dinsh)，對(duì)于點(diǎn)電荷，不能取電荷本身位置（坐標(biāo)原點(diǎn)）為零電勢(shì)(dinsh)若取原點(diǎn)為零電勢(shì)，均勻電場(chǎng)單獨(dú)(dnd)存在時(shí)的電勢(shì)為：對(duì)于任意一點(diǎn)p，cos01rEUp r若取無(wú)窮遠(yuǎn)處為零電勢(shì)，點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)的電勢(shì)為：rqU024第24頁(yè)/共41頁(yè)第二十四頁(yè)，共42頁(yè)。選擇(xunz)除去無(wú)窮遠(yuǎn)處、原點(diǎn)以外的任意一點(diǎn)

16、為零電勢(shì)，對(duì)于(duy)任意一點(diǎn)p的電勢(shì)為：E0qp r0000214cosUrqrEUUUU其中U0是個(gè)定值，當(dāng)零電勢(shì)(dinsh)點(diǎn)選定后，U0就唯一確定。U0怎樣求得？第25頁(yè)/共41頁(yè)第二十五頁(yè)，共42頁(yè)。五. 等勢(shì)面 等勢(shì)面（線、體）是電場(chǎng)中電勢(shì)(dinsh)相等的點(diǎn)的集合。 等勢(shì)面與電力線處處正交；場(chǎng)強(qiáng)指向電勢(shì)降落方向；等勢(shì)面密的地方電場(chǎng)強(qiáng)。電場(chǎng)線不可能(knng)穿過(guò)等勢(shì)面兩次。 【有】：相鄰(xin ln)等勢(shì)面間電勢(shì)差相等。 電力線與等勢(shì)面 電荷沿等勢(shì)面（線、體）運(yùn)動(dòng)時(shí)電場(chǎng)力不做功。第26頁(yè)/共41頁(yè)第二十六頁(yè)，共42頁(yè)。 電力線與等勢(shì)面q第27頁(yè)/共41頁(yè)第二十七頁(yè)，共42

17、頁(yè)。nnUUddgrad大?。旱扔谘氐葎?shì)面法向的電勢(shì)增長(zhǎng)率 即沿等勢(shì)面法向單位距離(jl)間的電勢(shì)差；2. 方向：是該點(diǎn)電勢(shì)沿空間增加率最大的方向。六. 電勢(shì)(dinsh)梯度如圖, 相鄰等勢(shì)面a和 b的電勢(shì)(dinsh)依次為U 和U+dU 且dU0 。nldcosd因?yàn)閜abUU+dU nnd ld 電勢(shì)梯度nUlUcosdddd所以【定義】：電勢(shì)梯度矢量【討論】：nnUUdd或【注】：lUddnnU ddld是矢量在方向的分量。)dd(的極值lU第28頁(yè)/共41頁(yè)第二十八頁(yè)，共42頁(yè)。 電勢(shì)(dinsh)梯度與電場(chǎng)強(qiáng)度UnEdd 則nUEddUE即UEgrad或EpabUU+dU nnd

18、 ld 電勢(shì)梯度與電場(chǎng)強(qiáng)度nnUEdd等勢(shì)面a與b之間的電勢(shì)差babaldEUUUUUUd)d(ldEldEbaba EdnldE方向相反與考慮nE第29頁(yè)/共41頁(yè)第二十九頁(yè)，共42頁(yè)。分量(fn ling)式zUEyUExUEzyx矢量(shling)式kjizUyUxUE靜電場(chǎng)中任一場(chǎng)點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)方向(fngxing)與電勢(shì)增長(zhǎng)率最大的方向(fngxing)相反；靜電場(chǎng)中任一場(chǎng)點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小與電勢(shì)增長(zhǎng)率最大值相等。UE提供了由空間一點(diǎn)的電勢(shì)求電場(chǎng)的關(guān)系式第30頁(yè)/共41頁(yè)第三十頁(yè)，共42頁(yè)。2220)cos(cos4rlqUl204cosrql304rrP302cosrPrUEr304sin1

19、rPUrErPEEEr223022sincos441cos34230rPEErtan21cos2sintana +q-ql 電偶極子的電場(chǎng) r-r+rEr與 夾角 lrrlrrcos2,cos2由圖代入上式得電場(chǎng)(din chng)強(qiáng)度【例 】： 求電偶極子電勢(shì)與電場(chǎng)的分布。 【解】：設(shè)電偶極子 ，任一點(diǎn)a距離中心r ，極角 。lqP)11(40rrqUUU則電勢(shì)第31頁(yè)/共41頁(yè)第三十一頁(yè)，共42頁(yè)。靜電場(chǎng)的基本靜電場(chǎng)的基本(jbn)方程的微分形式方程的微分形式體積分體積分面積分面積分 SVdVdASA面積分面積分線積分線積分 SAlAddSL)(n對(duì)靜電場(chǎng)方程積分形式進(jìn)行對(duì)靜電場(chǎng)方程積分形式進(jìn)行(jnxng)變換可變換可以得到一組靜電