D14無窮小無窮大67239實(shí)用教案

1、說明(shumng): 除 0 以外任何(rnh)很小的常數(shù)都不是無窮小 ! 時 , 函數(shù)(hnsh)(或 )x則稱函數(shù)為0 xx 定義定義1. 若若(或 )x則時的無窮小 .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第1頁/共40頁第一頁，共41頁。其中(qzhng) 為0 xx 時的無窮小量 . 定理定理 1 . ( 無窮小與函數(shù)極限無窮小與函數(shù)極限(jxin)的關(guān)系的關(guān)系 )機(jī)動 目錄(ml) 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第2頁/共40頁第二頁，共41頁。二、二、 無窮大無窮大定義(dngy)2 . 若任給 M 0 ,一切(yqi)滿足不等式的 x , 總有則稱函數(shù)(hnsh)(xf當(dāng)時為無窮大,

2、 使對若在定義中將 式改為則記作(正數(shù) X ) ,記作總存在機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第3頁/共40頁第三頁，共41頁。注意注意(zh y):無窮大不是(b shi)很大的數(shù), 它是描述函數(shù)的一種狀態(tài).機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結(jié)束 第4頁/共40頁第四頁，共41頁。三、無窮小與無窮大的關(guān)系三、無窮小與無窮大的關(guān)系(gun x)若為無窮大,為無窮小 ;若)(xf為無窮小, 且則)(1xf為無窮大.則(自證)據(jù)此定理 , 關(guān)于無窮大的問題(wnt)都可轉(zhuǎn)化為 無窮小來討論.定理(dngl)2. 在自變量的同一變化過程中,說明:機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第5頁/

3、共40頁第五頁，共41頁。 第一章 二、 極限(jxin)的四則運(yùn)算法則 三、 復(fù)合函數(shù)(hnsh)的極限運(yùn)算法則 一 、無窮小運(yùn)算(yn sun)法則 第五節(jié)第五節(jié)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 極限運(yùn)算法則第6頁/共40頁第六頁，共41頁。一、一、 無窮小運(yùn)算無窮小運(yùn)算(yn sun)法則法則定理1. 有限(yuxin)個無窮小的和還是無窮小 .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結(jié)束 說明: 無限個無窮小之和不一定是無窮小 !例如，類似可證: 有限個無窮小之和仍為無窮小 . 第7頁/共40頁第七頁，共41頁。定理定理(dngl)2 . 有界函數(shù)與無窮小的乘積有界函數(shù)與無窮小的乘

4、積是無窮小是無窮小 . 推論 1 . 常數(shù)(chngsh)與無窮小的乘積是無窮小 .推論 2 . 有限(yuxin)個無窮小的乘積是無窮小 .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第8頁/共40頁第八頁，共41頁。oyx例例1. 求求解: 利用(lyng)定理 2 可知說明(shumng) : y = 0 是的漸近線 .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結(jié)束 第9頁/共40頁第九頁，共41頁。二、二、 極限極限(jxin)的四則的四則運(yùn)算法則運(yùn)算法則則有證: 因,)(lim,)(limBxgAxf則有(其中(qzhng)為無窮小) 于是(ysh)由定理 1 可知也是無窮小,再利用極限與無

5、窮小的關(guān)系定理 , 知定理結(jié)論成立 .定理 3 . 若機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第10頁/共40頁第十頁，共41頁。推論推論(tuln): 若若且則( P45 定理(dngl) 5 )利用保號性定理(dngl)證明 .說明: 定理 3 可推廣到有限個函數(shù)相加、減的情形 .提示: 令機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第11頁/共40頁第十一頁，共41頁。定理定理(dngl) 4 . 若若則有提示: 利用極限與無窮小關(guān)系定理(dngl)及本節(jié)定理(dngl)2 證明 .說明: 定理(dngl) 4 可推廣到有限個函數(shù)相乘的情形 .推論 1 .( C 為常數(shù) )推論 2 .( n 為正整

6、數(shù) )例2. 設(shè) n 次多項(xiàng)式試證證:機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第12頁/共40頁第十二頁，共41頁。定理定理(dngl) 5 . 若若,)(lim,)(limBxgAxf且 B0 , 則有機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結(jié)束 第13頁/共40頁第十三頁，共41頁。定理定理(dngl)6 . 若若則有提示: 因?yàn)?yn wi)數(shù)列是一種特殊的函數(shù) ,故此(gc)定理 可由定理3 , 4 , 5 直接得出結(jié)論 .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第14頁/共40頁第十四頁，共41頁。 x = 3 時分(shfn)母為 0 !例例3. 設(shè)有分式設(shè)有分式(fnsh)函數(shù)函數(shù)其中

7、(qzhng)都是多項(xiàng)式 ,試證: 證: 說明: 若不能直接用商的運(yùn)算法則 .例4. 若機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第15頁/共40頁第十五頁，共41頁。例例5 . 求求解: x = 1 時分母(fnm) = 0 , 分子0 ,但因機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結(jié)束 第16頁/共40頁第十六頁，共41頁。例例6 . 求求解: 時,分子(fnz)分子(fnz)分母同除以則分母(fnm)“ 抓大頭”原式機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第17頁/共40頁第十七頁，共41頁。一般有如下一般有如下(rxi)結(jié)果：結(jié)果：為非負(fù)常數(shù)(chngsh) )( 如P47 例5 )( 如P4

8、7 例6 )( 如P47 例7 )機(jī)動 目錄(ml) 上頁 下頁 返回 結(jié)束 口算P49D1 （6）（9）第18頁/共40頁第十八頁，共41頁。三、三、 復(fù)合函數(shù)的極限復(fù)合函數(shù)的極限(jxin)運(yùn)算法則運(yùn)算法則機(jī)動 目錄(ml) 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理(dngl)6. 設(shè)且 x 滿足時,又則有 說明: 若定理中則類似可得 )(lim0 xfxx第19頁/共40頁第十九頁，共41頁。例例7. 求求解: 令已知 原式 =機(jī)動(jdng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第20頁/共40頁第二十頁，共41頁。例例8 . 求求解: 方法(fngf) 1則令 原式方法(fngf) 22機(jī)動 目錄 上

9、頁 下頁 返回(fnhu) 結(jié)束 第21頁/共40頁第二十一頁，共41頁。二、 兩個(lin )重要極限 一、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系一、函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系(gun x) 及夾逼準(zhǔn)則及夾逼準(zhǔn)則第六節(jié)第六節(jié)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結(jié)束 極限存在準(zhǔn)則及兩個重要極限 第一章 第22頁/共40頁第二十二頁，共41頁。一、一、 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系(gun x)及夾逼準(zhǔn)則及夾逼準(zhǔn)則1. 函數(shù)極限與數(shù)列(shli)極限的關(guān)系定理(dngl)1. 有定義,為確定起見 , 僅討論的情形.有xnx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第23頁/共40頁第二十三頁

10、，共41頁。定理定理(dngl)1.有定義(dngy)且有說明(shumng): 此定理常用于判斷函數(shù)極限不存在 .法1 找一個數(shù)列不存在 .法2 找兩個趨于的不同數(shù)列及使機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第24頁/共40頁第二十四頁，共41頁。例例1. 證明證明(zhngmng)不存在(cnzi) .證: 取兩個(lin )趨于 0 的數(shù)列及有由定理 1 知xx1sinlim0不存在 .機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第25頁/共40頁第二十五頁，共41頁。2. 函數(shù)極限存在函數(shù)極限存在(cnzi)的夾的夾逼準(zhǔn)則逼準(zhǔn)則定理(dngl)2., )()(xhxg)(xf)(x)(x且( 利

11、用定理1及數(shù)列(shli)的夾逼準(zhǔn)則可證 )機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第26頁/共40頁第二十六頁，共41頁。圓扇形(shn xn)AOB的面積二、二、 兩個重要兩個重要(zhngyo)極限極限 證: 當(dāng)即亦即時，顯然(xinrn)有AOB 的面積AOD的面積DCBAx1o故有注注 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第27頁/共40頁第二十七頁，共41頁。當(dāng)時注注第28頁/共40頁第二十八頁，共41頁。例例2. 求求解: 例3. 求解: 令則因此(ync)原式1機(jī)動(jdng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第29頁/共40頁第二十九頁，共41頁。例例4. 求求解: 原式 =20sinl

12、imx2x2x21機(jī)動(jdng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第30頁/共40頁第三十頁，共41頁。2.機(jī)動 目錄(ml) 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第31頁/共40頁第三十一頁，共41頁。例例6. 求求解: 令則說明(shumng) ：若利用機(jī)動 目錄(ml) 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則 原式第32頁/共40頁第三十二頁，共41頁。的不同(b tn)數(shù)列內(nèi)容內(nèi)容(nirng)小結(jié)小結(jié)1. 函數(shù)極限與數(shù)列(shli)極限關(guān)系的應(yīng)用(1) 利用數(shù)列極限判別函數(shù)極限不存在 (2) 數(shù)列極限存在的夾逼準(zhǔn)則法1 找一個數(shù)列:nx,0 xxn且使法2 找兩個趨于0 xnx及使)(limnnxf)(li

13、mnnxf不存在 .函數(shù)極限存在的夾逼準(zhǔn)則機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第33頁/共40頁第三十三頁，共41頁。2. 兩個兩個(lin )重重要極限要極限1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或e1)1(lim0注: 代表相同的表達(dá)式機(jī)動 目錄(ml) 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第34頁/共40頁第三十四頁，共41頁。思考思考(sko)與練習(xí)與練習(xí)填空題 ( 14 )0第七節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結(jié)束 第35頁/共40頁第三十五頁，共41頁。內(nèi)容內(nèi)容(nirng)小結(jié)小結(jié)1. 極限運(yùn)算(yn sun)法則(1) 無窮小運(yùn)算(yn sun)法則(2) 極限四則運(yùn)算法

14、則(3) 復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則注意使用條件2. 求函數(shù)極限的方法(1) 分式函數(shù)極限求法時, 用代入法( 分母不為 0 )時, 對型 , 約去公因子時 , 分子分母同除最高次冪“ 抓大頭”(2) 復(fù)合函數(shù)極限求法設(shè)中間變量Th1Th2Th3Th4Th5Th7機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第36頁/共40頁第三十六頁，共41頁。思考思考(sko)及練習(xí)及練習(xí)1.是否(sh fu)存在 ? 為什么 ?答: 不存在(cnzi) .否則由利用極限四則運(yùn)算法則可知存在 ,與已知條件矛盾.解:原式2.問機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第37頁/共40頁第三十七頁，共41頁。3. 求求解法(ji f)原式 =機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結(jié)束 第38頁/共40頁第三十八頁，共41頁。備用備用(biyng)題題 設(shè)設(shè))(xf解:利用(lyng)前一極限式可令再利用(lyng)后一極限式 , 得可見是多項(xiàng)式 , 且求故機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第39頁/共40頁第三十九頁，共41頁。感謝您的欣賞(xnshng)！第40頁/共40頁第四十頁，共41頁。NoImage內(nèi)容(nirn