隨機(jī)過程(4.4)第4章第4節(jié)西電宋月

1、 之前對平穩(wěn)過程的討論都是在之前對平穩(wěn)過程的討論都是在時域上時域上進(jìn)行的進(jìn)行的. 相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)在時域上描述了平穩(wěn)過程的統(tǒng)計(jì)特征在時域上描述了平穩(wěn)過程的統(tǒng)計(jì)特征. 但對許多物理和工程領(lǐng)域中問題但對許多物理和工程領(lǐng)域中問題,不僅要研究其不僅要研究其 在時域上的特性在時域上的特性,還要研究其在頻域內(nèi)的特征還要研究其在頻域內(nèi)的特征,即即 從從頻率的角度頻率的角度來研究隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特征來研究隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特征. 例如對信號處理、線性系統(tǒng)分析以及隨機(jī)振動的例如對信號處理、線性系統(tǒng)分析以及隨機(jī)振動的 研究研究. 其中廣泛采用的方法是其中廣泛采用的方法是頻率域分析方法頻率域分析方法.4 平穩(wěn)過程的功率譜

2、密度平穩(wěn)過程的功率譜密度 頻率域分析方法的重要工具是頻率域分析方法的重要工具是 Fouier變換變換, 它可以確定時域與頻域的轉(zhuǎn)換關(guān)系它可以確定時域與頻域的轉(zhuǎn)換關(guān)系.為了在頻域上描述平穩(wěn)過程的統(tǒng)計(jì)特征，需要為了在頻域上描述平穩(wěn)過程的統(tǒng)計(jì)特征，需要 研究相關(guān)函數(shù)的譜分析。為此要引入研究相關(guān)函數(shù)的譜分析。為此要引入譜密度譜密度. 譜密度是譜密度是在在頻域內(nèi)頻域內(nèi)研究平穩(wěn)過程的重要指標(biāo)研究平穩(wěn)過程的重要指標(biāo). 數(shù)學(xué)上數(shù)學(xué)上 它是相關(guān)函數(shù)的它是相關(guān)函數(shù)的Fouier變換變換,它的物理它的物理 意義是功率譜密度意義是功率譜密度. 時域分析法時域分析法與與頻域分析法頻域分析法相互聯(lián)系相互聯(lián)系,且各有優(yōu)且各

3、有優(yōu) 點(diǎn)點(diǎn),構(gòu)成了研究平穩(wěn)過程的兩個重要分支構(gòu)成了研究平穩(wěn)過程的兩個重要分支.1. 功率譜密度的概念功率譜密度的概念21lim( )2TTTPx t dtT工程實(shí)際中工程實(shí)際中, 能量有限的信號能量有限的信號x(t)稱為稱為 能量型信號能量型信號, 可以定義它的總能量可以定義它的總能量:2( )x t dt 當(dāng)時間趨于無窮時當(dāng)時間趨于無窮時,它的平均功率趨于零它的平均功率趨于零.另一類信號另一類信號x(t),其能量是無限的其能量是無限的,但平均功率有限但平均功率有限.即即稱為稱為 功率型信號功率型信號.周期信號就是常見的功率信號周期信號就是常見的功率信號.設(shè)有確定性信號設(shè)有確定性信號x(t)(

4、時間函數(shù)時間函數(shù))在區(qū)間在區(qū)間(-,+ )上絕對上絕對可積可積,則則x(t)的的Fouier變換存在變換存在 (或說或說x(t)具有頻譜具有頻譜).( )( )j txFx t edt1( )( )2j txx tFed逆變換2( )xWx t dtt記為在(- ,+ )上的總能量21( )( )( )2j txWx t dtxetddtF則1( )( )2j txFx t edt d21( )2xFd221( )( )2(xx tParsevaldtFd即等式)( )( )xFx t2右邊的被積式稱為信號的能譜密度.說明信號的總能量等于能譜密度在全頻域上的積分說明信號的總能量等于能譜密度在全

5、頻域上的積分. 右式也是總能量的譜表達(dá)式右式也是總能量的譜表達(dá)式.( )x t左邊為在(- ,+ )上的總能量221( )( )2xx t dtFd即由于實(shí)際中很多信號由于實(shí)際中很多信號(函數(shù)函數(shù))的總能量是無限的的總能量是無限的,不滿足絕對可積的條件不滿足絕對可積的條件,所以通常研究所以通常研究x(t)在在 (-,+ )上的平均功率上的平均功率,即即21lim( )2TTTx t dtT為了能利用為了能利用Fouier變換給出平均功率的譜表達(dá)式變換給出平均功率的譜表達(dá)式,構(gòu)造一個截尾函數(shù)構(gòu)造一個截尾函數(shù):( )( )0Tx ttTx ttT令( )Tx tFourier則絕對可積，存在變換以

6、及逆變換( )( , )( )Tj txj tTTFext dTx t dtetParseval由等式2221( )()2( )TTTxx t dxt dFTdtt,221li1lim( )m( , )42TTxTTx t dtTTFTd21lim12( , )2xTFTTd2211lim( , )lim22( )Tj txTTTxSFTex t dtTTx t稱（ ）為（）在 處的功率譜密度21lim221( )Tj tTTTex t dt d定義定義 設(shè)設(shè)X(t), -t+ 是平穩(wěn)過程是平穩(wěn)過程,則稱則稱1limE( )2Tj tTTeX t dtT2為平穩(wěn)過程的為平穩(wěn)過程的功率譜密度功率

7、譜密度. 簡稱譜密度簡稱譜密度. 并記并記( , )( )Tj tXTFTeX t dt2211lim( , )lim22( )xxTTTj tTSFTTTxx tet dt即（ ）為確定性信號 ( 在 處的功率譜密度21lim( ).2TTTEXt dtT平為過程的均功率稱定理定理1 設(shè)設(shè)X(t), -t+ 是平穩(wěn)過程是平穩(wěn)過程,若若RX() 絕對可積絕對可積,則有則有1lim( )2( )Tj tTTXEeX t dtTS2+2-1lim( , ) =2j uXXTE FTRu eduT（ ）1E( )2Tj tTeX t dtT2證1E( )( )2TTj sj tTTeX s dseX

8、 t dtT()1()2TTjt sXTTeRts dsdtT )utsvts (令22(1)( )2TjwuXTueRu duT21)( )( ),220TXXTRRTT（(令lim( )( ) )TXXTRR則( )XjwuTeRu du1lim( )( )2Tj tTTXEeX t dTSt2即lim( )( )XjwuTjwuXTeRu dueRu du( )XS注意：從上面的定理看出，若平穩(wěn)過程注意：從上面的定理看出，若平穩(wěn)過程X(t), tT的的相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)RX()絕對可積絕對可積，則相關(guān)函數(shù)的，則相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換和傅里葉變換和逆變換存在逆變換存在，即有，即有( )( ),

9、-1( )( )-2jXXjXXSeRdReSd 稱上式為維納稱上式為維納-辛鋅公式辛鋅公式2. 譜密度的性質(zhì)和計(jì)算譜密度的性質(zhì)和計(jì)算性質(zhì)性質(zhì)1 平穩(wěn)過程的譜密度是平穩(wěn)過程的譜密度是非負(fù)實(shí)函數(shù)非負(fù)實(shí)函數(shù).特別特別 實(shí)實(shí)平穩(wěn)過程的譜密度是非負(fù)實(shí)平穩(wěn)過程的譜密度是非負(fù)實(shí)偶偶函數(shù)函數(shù).證明證明1( )lim( )2Tj tXTTSEeX t dtT2( )XS為非負(fù)實(shí)函數(shù).特別特別 對對實(shí)實(shí)平穩(wěn)過程平穩(wěn)過程,( )jXXSdRe（ ）()XjedR()( )XXRR有)( )XjdRe (XS （- ）XXSS（- ）（ ）性質(zhì)性質(zhì)20( )XXSRd（ ）1(0)2XXRSd（ ）平均功率平均功率

10、說明說明 00以上是，時,兩對特殊的Fourier變換.第一式說明功率譜密度曲線下的總面積第一式說明功率譜密度曲線下的總面積(平均功率平均功率)等于平穩(wěn)過程的均方值等于平穩(wěn)過程的均方值.第二式說明功率譜密度的零頻率分量等于相關(guān)函數(shù)第二式說明功率譜密度的零頻率分量等于相關(guān)函數(shù)曲線下的總面積曲線下的總面積.譜密度的計(jì)算譜密度的計(jì)算廣義積分廣義積分-可利用復(fù)變函數(shù)中的留數(shù)定理可利用復(fù)變函數(shù)中的留數(shù)定理 利用已知的基本公式和利用已知的基本公式和Fourier變換的性質(zhì)等變換的性質(zhì)等121( ),.,( )2Res ( ),nnkkCf zDz zzf z dzjf z z 函數(shù)在區(qū)域 內(nèi)除有限個孤立奇

11、點(diǎn)外處處解析，C是D內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡單閉曲線，則留數(shù)定理 利用已知的一些性質(zhì)計(jì)算，利用已知的一些性質(zhì)計(jì)算，P97 是是R(z)的分母在上半復(fù)平面的零點(diǎn)的分母在上半復(fù)平面的零點(diǎn)。若若假設(shè)假設(shè)R(x)是分母無實(shí)零點(diǎn)的有理函數(shù)，且分子分是分母無實(shí)零點(diǎn)的有理函數(shù)，且分子分母沒有相同的零點(diǎn)，而分母的冪次比分子的冪次母沒有相同的零點(diǎn)，而分母的冪次比分子的冪次至少高一次，則有至少高一次，則有( )2Re ( ),j a zjaxkkeR x dxjs eR z zkzkz是是R(z)分母的分母的n重零點(diǎn)，則重零點(diǎn)，則(1)1Re ( ),lim( )() (1)!kj a zj a znnkkzzs

12、 eR z zeR z zznFourier變換的性質(zhì)變換的性質(zhì) 線性性質(zhì)線性性質(zhì) 位移性質(zhì)位移性質(zhì) 微分性質(zhì)微分性質(zhì)1212( )( )( )( )f tf tf tf tFFF00 () ( )j tf ttef tFF( )( )() ( )nnftjf tFF例例1：計(jì)算電報(bào)信號過程的譜密度：計(jì)算電報(bào)信號過程的譜密度.解：電報(bào)信號過程的相關(guān)函數(shù)為解：電報(bào)信號過程的相關(guān)函數(shù)為2( ),(,)XRe 由維納由維納-辛鋅公式，辛鋅公式，X的譜密度為：的譜密度為：22022( )( )2cos4(,)4jXXjSRedeeded 例例2：設(shè)：設(shè)X=X(t),t(-,+)是零均值的實(shí)的正交增量是

13、零均值的實(shí)的正交增量過程，且滿足過程，且滿足EX(t)-X(s)2=|t-s|. 令：令：Y(t)=X(t)-X(t-1), t(-,+)，驗(yàn)證：隨機(jī)過程，驗(yàn)證：隨機(jī)過程Y=Y(t), t(-,+)是平是平穩(wěn)過程，并計(jì)算穩(wěn)過程，并計(jì)算Y的譜密度的譜密度.解解( )( ( )( )(1)0Ym tE Y tE X tX t( ,)( ( ) ()( )(1)()(1)YR t tE Y t Y tE X tX tX tX t22221 ( )(1)( )()2(1)()(1)(1) E X tX tE X tX tE X tX tE X tX t1,111210,12 因此，因此，Y是平穩(wěn)過程，

14、利用公式可得是平穩(wěn)過程，利用公式可得Y的譜密度如下：的譜密度如下：11222( )( )(1)4sin ()2(1 cos)2,jjYYSeRded 例例3：設(shè)平穩(wěn)過程設(shè)平穩(wěn)過程X=X(t): t (-,+)有譜密度有譜密度242( )32XS試計(jì)算平穩(wěn)過程試計(jì)算平穩(wěn)過程X的平均功率的平均功率RX（0）.解：2042221(0)221111()( 21)2212jXRedd例例4. 已知平穩(wěn)過程的功率譜密度為已知平穩(wěn)過程的功率譜密度為2424( )109XS求其相關(guān)函數(shù)與平均功率求其相關(guān)函數(shù)與平均功率.利用留數(shù)定理1( )( )2jXXReSd222142(9)(1)jed222222142R

15、es(, )2(9)(1)4Res(,3 )(9)(1)jjjejej335()1648jeejj3351648ee222222443Res(, )lim()(9)(1)(9)(1)16jjjejjeej222222344Res(,3 )lim(3 )(9)(1)(9)(1)548jjjejjeej225131( )8981XS解-22244e利用F3122222231225 143 148 64( )8 24( )113122222231225434( )484( )164( )XRFF3534816ee7(0)24XR例例5. 已知平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)已知平穩(wěn)過程的相關(guān)函數(shù)32( )54(c

16、os 2 )XRe求其譜密度求其譜密度.33( )522cos4 )XRee解( )XXSRF3325 122cos 4 eeFF F10( ) 2129223329(4)9(4)上面討論的平穩(wěn)過程的譜密度是針對連續(xù)時間參數(shù)上面討論的平穩(wěn)過程的譜密度是針對連續(xù)時間參數(shù)的，對于離散時間參數(shù)的平穩(wěn)序列有類似的概念和的，對于離散時間參數(shù)的平穩(wěn)序列有類似的概念和結(jié)論結(jié)論.設(shè)設(shè)Xn, n=0, 1,為為平穩(wěn)時間序列平穩(wěn)時間序列,且其相關(guān)函數(shù)且其相關(guān)函數(shù)絕絕對收斂對收斂，即，即( )XmRm 則以下級數(shù)收斂，并記為則以下級數(shù)收斂，并記為SX(),即即( ),j mXXmSeRm （ ）稱函數(shù)SX()是平穩(wěn)

17、過程是平穩(wěn)過程X的譜密度的譜密度.且有反變換且有反變換1( ),0, 1, 2,2j mXXRmeSdm （ ）舉例舉例2 設(shè)設(shè)Xn, n=0, 1,為復(fù)隨機(jī)變量序列為復(fù)隨機(jī)變量序列,且且2E0,0, 1,.EX(m)X(n)=,0, 1,.nmnXnn m 試求試求Y(n), n=0, 1, 2,的譜密度的譜密度. 2,0, 1,()l.i.m()nnnnnNkkMkkMNC nCCC X nkC X nk 為一復(fù)數(shù)序列,且令 Y(n)=1.要證該序列為平穩(wěn)序列2.說明相關(guān)函數(shù)是絕對收斂的3.利用維納-辛欽公式計(jì)算譜密度.( )()YkkmnC X nk=E()0kkCX nk=E( ,)(

18、 ) ()YRn nmY n Y nm=E()()kllC X nkC X nml+k=-=-EE()()klklC CX nk X nml +=-2( )kk mYRmC C+k=- ( ),1,.Y n n 為平穩(wěn)時間序列2( )kk mYmmC CRm+k=-又2mkk mCC+k=-22nlklnCCC +k=-）（( )Y n存在譜密度，且為2( )j mj mXXmkk mmC CSeRme+k=-（ ）2lkjj kllkC eCe +=-22j kkkeC3. 互譜密度及其性質(zhì)互譜密度及其性質(zhì)定義定義 設(shè)設(shè)X(t), -t+ , Y(t), -t+ 是聯(lián)合平是聯(lián)合平 穩(wěn)的平穩(wěn)過

19、程穩(wěn)的平穩(wěn)過程,如果互相關(guān)函數(shù)絕對可積如果互相關(guān)函數(shù)絕對可積,即即( )XYRd 則稱則稱( ),jXYXYSeRd （ ）為平穩(wěn)過程為平穩(wěn)過程X(t), -t+ 和和 Y(t), -t+ 的的互譜密度互譜密度.設(shè)設(shè)X(t), -t+ , Y(t), -t+ 是聯(lián)合平穩(wěn)的是聯(lián)合平穩(wěn)的平穩(wěn)過程平穩(wěn)過程,如果互相關(guān)函數(shù)絕對可積如果互相關(guān)函數(shù)絕對可積,則則1( )lim( , )( , )2XYXYTSE FTFTT定理定理2其中其中,( , )()( ),TjTj ttYTXTFFTeX tTYtdet dt說明說明 互譜密度沒有明確的物理意義互譜密度沒有明確的物理意義,引入它主要是為了引入它主要

20、是為了能在頻率域上描述兩個平穩(wěn)過程的相關(guān)性能在頻率域上描述兩個平穩(wěn)過程的相關(guān)性. 互譜密度的性質(zhì)互譜密度的性質(zhì)( )(1)( )XYYXSS)2)().(XYXYRSFourier和是一對變換1( ),2jXYXYReSd （ ）( ),jXYXYSeRd （ ）( )() )XYYXRR(3) 若若X(t), -t+ , Y(t), -t+ 是實(shí)聯(lián)合是實(shí)聯(lián)合 平穩(wěn)的平穩(wěn)過程平穩(wěn)的平穩(wěn)過程,則則SXY()的實(shí)部為偶函數(shù)的實(shí)部為偶函數(shù),虛部虛部 為奇函數(shù)為奇函數(shù).( )jXYXYSeRd（ ）( )cos( )sinXYXYRdjRd （ 的偶函數(shù)）（ 的奇函數(shù)）22( )( )( )( )(4)( )XYXYYXXYSSSSSS，221( )lim( , )( , )2XYXYTSE FTFTT2221limE( , ) E( , ) 4XYTFTFTT2211limE( , ) limE( , ) 22XYTTFTFTTT( )( )XYSS同理證明另一個同理證明另一個.舉例舉例 設(shè)設(shè)X(t), -t+ , Y(t), -t+ 是聯(lián)合平是聯(lián)合平 穩(wěn)的平穩(wěn)過程穩(wěn)的平穩(wěn)過程,它們的譜密度與互譜密度分別為它們的譜密度與互譜密度分別為 SX (), SY() ,SXY().令令Z(t)=X(t)+Y(t), -t+ 試求試求 Z(t), -t 0 ,試證試證: