D微分中值定理與導數(shù)的應用實用教案

1、費馬費馬(fermat)引引理理一、羅爾一、羅爾( Rolle )定定理理(dngl)且 存在(cnzi)證: 設則)(0 xf 0)(0 xf費馬 證畢xyO0 x第1頁/共27頁第一頁，共28頁。羅爾（羅爾（ Rolle ）定理）定理(dngl)滿足(mnz):(1) 在區(qū)間(q jin) a , b 上連續(xù)(2) 在區(qū)間 (a , b) 內可導(3) f ( a ) = f ( b )使證:故在 a , b 上取得最大值 M 和最小值 m .若 M = m , 則因此在( a , b ) 內至少存在一點xyab)(xfy O第2頁/共27頁第二頁，共28頁。若若 M m , 則則 M 和

2、和 m 中至少有一個中至少有一個(y )與端與端點值不等點值不等,不妨(bfng)設 則至少存在(cnzi)一點使注意:1) 定理條件條件不全具備, 結論不一定成立. 則由費馬引理得 x1yOx1y1Ox1yOxyab)(xfy O例如,第3頁/共27頁第三頁，共28頁。使2) 定理條件只是定理條件只是(zhsh)充分的充分的.本定理(dngl)可推廣為)(xfy 在 ( a , b ) 內可導, 且在( a , b ) 內至少(zhsho)存在一點. 0)(f證明提示: 設證 F(x) 在 a , b 上滿足羅爾定理 . 第4頁/共27頁第四頁，共28頁。例例1. 證明證明(zhngmng)

3、方程方程有且僅有一個(y )小于1 的正實根 .證: 1) 存在(cnzi)性 .則在 0 , 1 連續(xù) ,且由介值定理知存在使即方程有小于 1 的正根2) 唯一性 .假設另有為端點的區(qū)間滿足羅爾定理條件 ,至少存在一點但矛盾,故假設不真!設第5頁/共27頁第五頁，共28頁。二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理(dngl)(1) 在區(qū)間(q jin) a , b 上連續(xù))(xfy 滿足(mnz):(2) 在區(qū)間 ( a , b ) 內可導至少存在一點使思路: 利用逆向思維找出一個滿足羅爾定理條件的函數(shù)作輔助函數(shù)顯然 ,在a, b 上連續(xù),在(a, b)內可導,且證:問題轉化為證由羅爾定理知

4、至少存在一點即定理結論成立 .拉氏 證畢xyab)(xfy O第6頁/共27頁第六頁，共28頁。拉格朗日中值定理的有限拉格朗日中值定理的有限(yuxin)增量形式增量形式:推論(tuln): 若函數(shù)在區(qū)間(q jin) I 上滿足則在 I 上必為常數(shù).)(xf證: 在 I 上任取兩點格朗日中值公式 , 得由 的任意性知, 21,xx)(xf在 I 上為常數(shù) .令則第7頁/共27頁第七頁，共28頁。例例2. 證明證明(zhngmng)等式等式證: 設由推論(tuln)可知 (常數(shù)(chngsh) 令 x = 0 , 得又故所證等式在定義域 上成立. 1, 1自證:經(jīng)驗:欲證時只需證在 I 上第8

5、頁/共27頁第八頁，共28頁。例例3. 證明證明(zhngmng)不不等式等式證: 設中值定理(dngl)條件,即因為(yn wi)故因此應有第9頁/共27頁第九頁，共28頁。三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理(dngl)分析(fnx):及(1) 在閉區(qū)間(q jin) a , b 上連續(xù)(2) 在開區(qū)間 ( a , b ) 內可導(3)在開區(qū)間 ( a , b ) 內至少存在一點, ),(ba使?jié)M足 :問題轉化為證柯西 構造輔助函數(shù)第10頁/共27頁第十頁，共28頁。證證: 作輔助作輔助(fzh)函數(shù)函數(shù))()()()()()()(xfxFaFbFafbfx且使即由羅爾定理(d

6、ngl)知, 至少存在一點.)()()()()()(FfaFbFafbf思考(sko): 柯西定理的下述證法對嗎 ?兩個 不一定相同錯! !上面兩式相比即得結論. 第11頁/共27頁第十一頁，共28頁?？挛鞫ɡ淼膸缀慰挛鞫ɡ淼膸缀?j h)意義意義:注意(zh y):弦的斜率(xil)切線斜率xyO第12頁/共27頁第十二頁，共28頁。例例4. 設設至少(zhsho)存在一點使證: 問題(wnt)轉化為證設則在 0, 1 上滿足(mnz)柯西中值定理條件, 因此在 ( 0 , 1 ) 內至少存在一點 ,使012即證明第13頁/共27頁第十三頁，共28頁。例例5. 試證至少存在試證至少存在(cn

7、zi)一點一點使證: 法1 用柯西中值定理(dngl) .則 f (x) , F(x) 在 1 , e 上滿足(mnz)柯西中值定理條件, 令因此 即分析:第14頁/共27頁第十四頁，共28頁。例例5. 試證至少存在試證至少存在(cnzi)一點一點)e , 1(使.lncos1sin法2 令則 f (x) 在 1 , e 上滿足羅爾中值定理(dngl)條件,使lncos1sin 因此(ync)存在第15頁/共27頁第十五頁，共28頁。內容內容(nirng)小結小結1. 微分中值定理的條件(tiojin)、結論及關系羅爾定理(dngl)拉格朗日中值定理柯西中值定理)()(afbfxxF)(2.

8、微分中值定理的應用(1) 證明恒等式(2) 證明不等式(3) 證明有關中值問題的結論關鍵: 利用逆向思維設輔助函數(shù)費馬引理第16頁/共27頁第十六頁，共28頁。思考思考(sko)與練習與練習1. 填空題1) 函數(shù)(hnsh)在區(qū)間 1, 2 上滿足(mnz)拉格朗日定理條件, 則中值2) 設有個根 , 它們分別在區(qū)間上.方程第17頁/共27頁第十七頁，共28頁。2. 設設且在內可導, 證明(zhngmng)至少存在一點(y din)使提示(tsh):由結論可知, 只需證即驗證在上滿足羅爾定理條件.設第18頁/共27頁第十八頁，共28頁。3. 若若可導, 試證在其兩個(lin )零點間一定有的零

9、點(ln din). 提示(tsh): 設欲證:使只要證e亦即作輔助函數(shù)驗證)(xF在上滿足羅爾定理條件.第19頁/共27頁第十九頁，共28頁。4. 思考思考(sko): 在在即當時問是否(sh fu)可由此得出 不能 !因為(yn wi)是依賴于 x 的一個特殊的函數(shù).因此由上式得表示 x 從右側以任意方式趨于 0 .0 x應用拉格朗日中值定理得上對函數(shù)第20頁/共27頁第二十頁，共28頁。作業(yè)作業(yè)(zuy)P134 7, 8 , 10 , 12 , 14 , *15提示(tsh):題*15.0題14. 考慮(kol)第二節(jié) 第21頁/共27頁第二十一頁，共28頁。費馬費馬(1601 166

10、5)費馬 法國(f u)數(shù)學家,他是一位律師(lsh),數(shù)學(shxu)只是他的業(yè)余愛好. 他興趣廣泛,博覽群書并善于思考,在數(shù)學上有許多重大貢獻. 他特別愛好數(shù)論, 他提出的費馬大定理:歷經(jīng)358年, 直到1993年才由美國普林斯頓大學的安德魯.懷爾斯教授經(jīng)過十年的潛心研究才得到解決 .引理是后人從他研究解決最值的方法中提煉出來的.第22頁/共27頁第二十二頁，共28頁。拉格朗日拉格朗日 (1736 1813)法國(f u)數(shù)學家.他在方程論, 解析(ji x)函數(shù)論,及數(shù)論方面(fngmin)都作出了重要的貢獻,近百余年來, 數(shù)學中的許多成就都可直接或間接地追溯到他的工作,他是對分析數(shù)學

11、產(chǎn)生全面影響的數(shù)學家之一.第23頁/共27頁第二十三頁，共28頁?？挛骺挛?1789 1857)法國(f u)數(shù)學家, 他對數(shù)學的貢獻(gngxin)主要集中在微積分學,柯 西全集(qunj)共有 27 卷.其中最重要的是為巴黎綜合學校編寫的分析教程, 無窮小分析概論, 微積分在幾何上的應用 等,有思想有創(chuàng)建, 廣泛而深遠 .對數(shù)學的影響他是經(jīng)典分析的奠基人之一,他為微積分所奠定的基礎推動了分析數(shù)學的發(fā)展. 復變函數(shù)和微分方程方面 . 一生發(fā)表論文800余篇, 著書 7 本 , 第24頁/共27頁第二十四頁，共28頁。備用備用(biyng)題題求證(qizhng)存在使1. 設 可導，且在連續(xù)(linx)，)(xf證: 設輔助函數(shù)因此至少存在顯然在 上滿足羅爾定理條件, 1 , 0即使得第25頁/共27頁第二十五頁，共28頁。設 證明(zhngmng)對任意有證：2.不妨(bfng)設第26頁/共27頁第二十六頁，共28頁。感謝您的欣賞(xnshng)！第27頁/共27頁第二十七頁，共28頁。NoImage內容(nirng)總結費馬(fermat)引理。一、羅爾( Rolle )定理。即方程有小于 1