簡(jiǎn)單的數(shù)值方法教學(xué)ppt課件

1、9.2 簡(jiǎn)單的數(shù)值方法簡(jiǎn)單的數(shù)值方法 9.2.1 9.2.1 歐拉法與后退歐拉法歐拉法與后退歐拉法 積分曲線上一點(diǎn) 的切線斜率等于函數(shù) 的值. ),(yx),(yxf 假設(shè)按函數(shù) 在 平面上建立一個(gè)方向場(chǎng)，那么，),(yxfxOy積分曲線上每一點(diǎn)的切線方向均與方向場(chǎng)在該點(diǎn)的方向一致. 在 平面上，微分方程 的解 稱作它的積分曲線. xOy)(xyy ),(yxfy 基于上述幾何解釋，從初始點(diǎn) 出發(fā)，),(000yxP先依方向場(chǎng)在該點(diǎn)的方向推進(jìn)到 上一點(diǎn) ，然后再1xx 1P從 依方向場(chǎng)的方向推進(jìn)到 上一點(diǎn) ，循此前進(jìn)1P2xx 2P做出一條折線 圖9-1).210PPP圖9-1 普通地，設(shè)已作

2、出該折線的頂點(diǎn) ，過 依方向場(chǎng)的方向再推進(jìn)到 ，顯然兩個(gè)頂點(diǎn) 的坐標(biāo)有關(guān)系 ),(nnnyxPnP),(111nnnyxP1,nnPP),(11nnnnnnyxfxxyy即 ).,(1nnnnyxhfyy2.1這就是著名的歐拉Euler公式.假設(shè)初值 知，那么依公式2.1可逐漸算出0y),(0001yxhfyy),(1112yxhfyy 例1.1)0(),10(2yxyxyy2.2求解初值問題 解).2(1nnnnnyxyhyy取步長(zhǎng) ，1.0h歐拉公式的詳細(xì)方式為 計(jì)算結(jié)果見表9-1. 初值問題2.2的解為 ，按這個(gè)解析式子算出的準(zhǔn)確值 同近似值 一同列在表9-1中，兩者相比較可以看出歐拉方

3、法的精度很差. xy21 )(nxyny7321.17848.10.14142.14351.15.06733.17178.19.03416.13582.14.06125.16498.18.02649.12774.13.05492.15803.17.01832.11918.12.04832.15090.16.00954.11000.11.0)()(nnnnnnxyyxxyyx計(jì)算結(jié)果對(duì)比1表9 還可以經(jīng)過幾何直觀來調(diào)查歐拉方法的精度. 假設(shè) ，即頂點(diǎn) 落在積分曲線 上，)(nnxyynP)(xyy 那么，按歐拉方法作出的折線 便是 過點(diǎn)1nnPP)(xyy 的切線圖9-2. nP圖9-2 從圖形

4、上看，這樣定出的頂點(diǎn) 明顯地偏離了原來的積分曲線，可見歐拉方法是相當(dāng)粗糙的. 1nP 為了分析計(jì)算公式的精度，通?？捎锰├照归_將 )(1nxy在 處展開，那么有 nx)()(1hxyxynn在 的前提下，)(nnxyy).()(,(),(nnnnnxyxyxfyxf)(2)(211nnnyhyxy 稱為此方法的部分截?cái)嗾`差. ).,()(2)()(12 nnnnnnxxyhhxyxy于是可得歐拉法2.1的公式誤差 2.3),(22nxyh .)(,()()(1d1nnxxnnttytfxyxy2.4假設(shè)對(duì)方程 從 到 積分，得 nx1nx),(yxfy 右端積分用左矩形公式 近似.)(,(nn

5、xyxfh 再以 替代ny),(nxy 假設(shè)在2.4中右端積分用右矩形公式 )(,(11nnxyxfh),(111nnnnyxhfyy2.5稱為后退的歐拉法. 歐拉公式是關(guān)于 的一個(gè)直接的計(jì)算公式，這類公式1ny替代 也得到2.1，)(1nxy1ny部分截?cái)嗾`差也是2.3. 近似，那么得另一個(gè)公式 稱作是顯式的； 公式2.5的右端含有未知的 ，它是關(guān)于 的一個(gè)函數(shù)方程，1ny1ny 隱式方程通常用迭代法求解，而迭代過程的本質(zhì)是逐漸顯示化. 設(shè)用歐拉公式 ),()0(1nnnnyxfhyy給出迭代初值 ，用它代入2.5式的右端，使之轉(zhuǎn)化為顯式，直接計(jì)算得 )0(1ny),()0(11)1(1nn

6、nnyxfhyy這類公式稱作是隱式的. 然后再用 代入2.5式，又有 )1(1ny).,()1(11)2(1nnnnyxfhyy如此反復(fù)進(jìn)展，得 )., 1 ,0(),()(11)1(1kyxfhyyknnnkn2.6由于 對(duì) 滿足利普希茨條件1.3. ),(yxfy 由2.6減2.5得 ),(),(11)(111)1(1nnknnnknyxfyxfhyy.1)(1nknyyhL由此可知，只需 迭代法2.6就收斂到解 .1hL1ny9.2.2 梯形方法梯形方法 假設(shè)用梯形求積公式近似等式2.4右端的積分并分別用 替代 那么可得到比歐拉法精度高的計(jì)算公式1,nnyy),(),(1nnxyxy),

7、(),(2111nnnnnnyxfyxfhyy2.7稱為梯形方法. 梯形方法是隱式單步法，可用迭代法求解. ,)(,(1dnnxxttytf);,()0(1nnnnyxfhyy 為了分析迭代過程的收斂性，將2.7與2.8式相減，得 ),(),(2)(1111)1(11knnnnknnyxfyxfhyy),(),(2)(11)1(1knnnnnknyxfyxfhyy2.8).,2, 1 ,0(k 同后退的歐拉方法一樣，仍用歐拉方法提供迭代初值，那么梯形法的迭代公式為 假設(shè)選取 充分小，使得 h, 12hL那么當(dāng) 時(shí)有 k.)(11nknyy 這闡明迭代過程2.8是收斂的. 于是有 ,2)(11)

8、1(11knnknnyyhLyy式中 為 關(guān)于 的利普希茨常數(shù). ),(yxfyL 9.2.3 9.2.3 改良的歐拉公式改良的歐拉公式 梯形方法雖然提高了精度，但其算法復(fù)雜. 在運(yùn)用迭代公式2.8進(jìn)展實(shí)踐計(jì)算時(shí)，每迭代一次，都要重新計(jì)算函數(shù) 的值.),(yxf 為了控制計(jì)算量，通常只迭代一兩次就轉(zhuǎn)入下一步的計(jì)算，這就簡(jiǎn)化了算法. 詳細(xì)地，先用歐拉公式求得一個(gè)初步的近似值 , 1ny 而迭代又要反復(fù)進(jìn)展假設(shè)干次，計(jì)算量很大，而且往往難以預(yù)測(cè). 稱之為預(yù)測(cè)值， 這樣建立的預(yù)測(cè)-校正系統(tǒng)通常稱為改良的歐拉公式： 預(yù)測(cè)值 的精度能夠很差，再用梯形公式2.7將它校正一次，即按2.8式迭代一次得 ，這個(gè)

9、結(jié)果稱校正值.1ny1ny預(yù)測(cè)),(1nnnnyxfhyy校正).,(),(2111nnnnnnyxfyxfhyy2.9也可以表為以下平均化方式 ),(nnnpyxfhyy),(1pnncyxfhyy).(211cpnyyy 例2 解),2(nnnnpyxyhyy用改良的歐拉方法求解初值問題2.2. .1)0(),10(2yxyxyy2.2這里),2(),(yxyyxf改良的歐拉公式為 ),2(1pnpncyxyhyy).(211cpnyyy仍取 ，計(jì)算結(jié)果見表9-2. 1.0h 同例1中歐拉法的計(jì)算結(jié)果比較，改良?xì)W拉法明顯改善了精度. 7321.17379.10.14142.14164.15

10、.06733.16782.19.03416.13434.14.06125.16153.18.02649.12662.13.05492.15525.17.01832.11841.12.04832.14860.16.00954.10959.11.0)()(nnnnnnxyyxxyyx計(jì)算結(jié)果對(duì)比2表9 9.2.4 9.2.4 單步法的部分截?cái)嗾`差與階單步法的部分截?cái)嗾`差與階 初值問題(1.1)，(1.2)的單步法可用普通方式表示為 ),(11hyyxhyynnnnn2.10其中多元函數(shù) 與 有關(guān)，),(yxf 當(dāng) 含有 時(shí)，方法是隱式的，假設(shè)不含 那么為顯式方法，1ny1ny),(1hyxhyyn

11、nnn2.11 稱為增量函數(shù).),(hyx),(),(yxfhyx所以顯式單步法可表示為 例如對(duì)歐拉法2.1有 它的部分截?cái)嗾`差已由2.3給出. 對(duì)普通顯式單步法那么可如下定義. 定義1 設(shè) 是初值問題(1.1)，(1.2)的準(zhǔn)確解，)( xyy ),(,()()(11hxyxhxyxyTnnnnn2.12為顯式單步法2.10的部分截?cái)嗾`差. 之所以稱為部分的，是假設(shè)在 前各步?jīng)]有誤差. 1nTnx當(dāng) 時(shí)，計(jì)算一步，那么有 )(nnxyy),()()(111hyxhyxyyxynnnnnn稱 .),(,()()(11nnnnnThxyxhxyxy在前一步準(zhǔn)確的情況下用公式2.11計(jì)算產(chǎn)生的公式

12、誤差. 根據(jù)定義，歐拉法的部分截?cái)嗾`差 )(,()()(11nnnnnxyxhfxyxyT即為2.3的結(jié)果. 這里 稱為部分截?cái)嗾`差主項(xiàng). )(22nxyh ).(21hOTn部分截?cái)嗾`差可了解為用方法2.11計(jì)算一步的誤差，即)()()(nnnxyhxyhxy),()(232hOxyhn 顯然 定義2設(shè) 是初值問題(1.1)，(1.2)的準(zhǔn)確解，)(xy假設(shè)存在最大整數(shù) 使顯式單步法(2.1)的部分截?cái)嗾`差滿足 p),(),()()(11pnhOhyxhxyhxyT2.13那么稱方法2.11具有 階精度. p 假設(shè)將2.13展開式寫成 ),()(,(211ppnnnhOhxyxT那么 稱為部分截?cái)嗾`差主項(xiàng). 1)(,(pnnhxyx 以上定義對(duì)隱式單步法2.10也是適用的. 對(duì)后退歐拉法2.5其部分截?cái)嗾`差為 )(,()()(1111nnnnnxyxhfxyxyT這里 ，是1階方法，部分截?cái)嗾`差主項(xiàng)為 . 1p)(2