三重積分的計(jì)算學(xué)習(xí)教案

1、三重三重(sn zhn)積分的計(jì)算積分的計(jì)算第一頁(yè)，共57頁(yè)。,0 ,20 . z的柱面坐標(biāo)的柱面坐標(biāo)就叫點(diǎn)就叫點(diǎn)個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)，則這樣的三，則這樣的三的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為面上的投影面上的投影在在為空間內(nèi)一點(diǎn)，并設(shè)點(diǎn)為空間內(nèi)一點(diǎn)，并設(shè)點(diǎn)設(shè)設(shè)MzPxoyMzyxM,),( 規(guī)定規(guī)定(gudng)：xyzo),(zyxM),( P r機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回(fnhu) (fnhu) 結(jié)束結(jié)束 第1頁(yè)/共56頁(yè)第二頁(yè)，共57頁(yè)。0 xz yM(, , z)z N cos xxyz sin y(x, y, z) (, , z)z = z.機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng)(jdng) (jdng) 目錄目錄

2、 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第2頁(yè)/共56頁(yè)第三頁(yè)，共57頁(yè)。 z動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)M(, , z)柱面柱面S =常數(shù)常數(shù)(chngsh)：平面平面(pngmin)z =常數(shù)常數(shù)(chngsh)：x0yzMrz第3頁(yè)/共56頁(yè)第四頁(yè)，共57頁(yè)。動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)M(r, , z)半平面半平面(pngmin)P柱面柱面S =常數(shù)常數(shù)(chngsh): =常數(shù)常數(shù)(chngsh)：平面平面 z =常數(shù)：常數(shù)：zx0yzM 柱面坐標(biāo)的坐標(biāo)面柱面坐標(biāo)的坐標(biāo)面第4頁(yè)/共56頁(yè)第五頁(yè)，共57頁(yè)。xz y0 dd d z平面z元素元素(yun s)區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成：區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成：半平面半平面(pngm

3、in) 及及 +d ; 半徑為半徑為及及 +d 的園柱面；的園柱面； 平面平面(pngmin) z及及 z+dz；機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第5頁(yè)/共56頁(yè)第六頁(yè)，共57頁(yè)。半平面半平面(pngmin) 及及 +d ; 半徑為半徑為及及 +d的園柱面；的園柱面； 平面平面(pngmin) z及及 z+dz；xz y0 d d d z底面積底面積(min j) (min j) d d d d元素區(qū)域元素區(qū)域(qy)由六個(gè)坐標(biāo)面圍成：由六個(gè)坐標(biāo)面圍成：dz平面平面z+dz機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 柱面坐標(biāo)下的體積元素柱面坐標(biāo)下的體

4、積元素第6頁(yè)/共56頁(yè)第七頁(yè)，共57頁(yè)。xz y0 drrrd d z底面積底面積(min j) (min j) d dd d元素區(qū)域元素區(qū)域(qy)由六個(gè)坐標(biāo)面圍成：由六個(gè)坐標(biāo)面圍成：半平面半平面(pngmin) 及及 +d ; 半徑為半徑為及及 +d 的園柱面；的園柱面； 平面平面(pngmin) z及及 z+dz；dz ),sin,cos(zf zddd zyxddddV =zddd .zyxzyxfddd ),( dV機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 柱面坐標(biāo)下的體積元素柱面坐標(biāo)下的體積元素第7頁(yè)/共56頁(yè)第八頁(yè)，共57頁(yè)。例例 1 1 計(jì)算計(jì)算 zdxdyd

5、zI，其中，其中 是球面是球面 4222 zyx 與與 拋物面拋物面 zyx322 所圍所圍的立體的立體. . 解解 zz34222 , 3, 1 z知交知交(zhjio)線線為為機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄(ml) (ml) 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第8頁(yè)/共56頁(yè)第九頁(yè)，共57頁(yè)。 23242030 zdzddI.413 面上，如圖，面上，如圖，投影到投影到把閉區(qū)域把閉區(qū)域xoy .20, 3043:22 ，z機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回(fnhu) (fnhu) 結(jié)束結(jié)束 第9頁(yè)/共56頁(yè)第十頁(yè)，共57頁(yè)。例例 計(jì)算計(jì)算 dxdydzyxI)(22， 其中其中

6、是曲線是曲線 zy22 ，0 x 繞繞 oz 軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面與兩平面而成的曲面與兩平面 2 z，8 z 所圍的立體所圍的立體. . 解解由由 022xzy ,222zyx 所圍成的立體所圍成的立體(lt)(lt)如如圖，圖， 繞繞 oz 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)得得旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)面面方方程程為為， 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回(fnhu) (fnhu) 結(jié)束結(jié)束 第10頁(yè)/共56頁(yè)第十一頁(yè)，共57頁(yè)。:2D, 422 yx.222020:22 z :1D,1622 yx,824020:21 z 所圍成立所圍成立(chngl)(chngl)體的投影區(qū)域如體的投影區(qū)域如圖，圖，

7、2D1D機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回(fnhu) (fnhu) 結(jié)束結(jié)束 第11頁(yè)/共56頁(yè)第十二頁(yè)，共57頁(yè)。,345 ,625 原式原式 I 345 625 336. 824020122 dzddI 222020222 dzddI21III ,)()(212222 dxdydzyxdxdydzyx第12頁(yè)/共56頁(yè)第十三頁(yè)，共57頁(yè)。其中其中(qzhng)(qzhng)為由為由zyxyxzddd22 0),0(, 0 yaazz所圍所圍解解: : 在柱面坐標(biāo)系下在柱面坐標(biāo)系下: cos202d dcos342032 a cos20 20 az 0及平面及平面(pngm(

8、pngmin)in)2axyzozvdddd 20d azz0dzzddd2 原式原式398a 柱面柱面 cos2 成半圓柱體成半圓柱體. .機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 xyx222 第13頁(yè)/共56頁(yè)第十四頁(yè)，共57頁(yè)。ooxyz解解: : 在柱面坐標(biāo)系下在柱面坐標(biāo)系下h: hz42d hdh2022)4(12 4)41ln()41(4hhh hz h20 20 h202d1 20d,1ddd22 yxzyxzyx422 )0( hhz所圍成所圍成 . .與平面與平面(pngm(pngmin)in)其中其中(qzhng)(qzhng)由由拋物面拋物面42 zv

9、dddd 原式原式 = =機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第14頁(yè)/共56頁(yè)第十五頁(yè)，共57頁(yè)。機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回(fnhu) (fnhu) 結(jié)束結(jié)束 解解: : 在柱面坐標(biāo)系下在柱面坐標(biāo)系下: 22 z10 20 2 dvyxz 22 2221020 dzzdd 10534 第15頁(yè)/共56頁(yè)第十六頁(yè)，共57頁(yè)。機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄(ml) (ml) 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 解解1:1: 在柱面坐標(biāo)系下在柱面坐標(biāo)系下: hz h 0 20 dvzyx 2224 hhdzzdd 220204此積分此積分(jfn)(jfn)

10、很很難求！難求！第16頁(yè)/共56頁(yè)第十七頁(yè)，共57頁(yè)。機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng)(jdng) (jdng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 解解2:2:dvzyx 2224 zhdzddz0222004 用截面用截面(jimin)(jimin)法：法：先固定先固定(gdng) z(gdng) z，,0hz | ),(222zyxyxDz dxdyzyxdzzDh 22204極坐標(biāo)極坐標(biāo)4)855(6h 第17頁(yè)/共56頁(yè)第十八頁(yè)，共57頁(yè)。機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回(fnhu) (fnhu) 結(jié)束結(jié)束 解解3:3:dvzyx 2224 zhdzdzd0220204 用截面

11、用截面(jimin)(jimin)法：法：先固定先固定(gdng) (gdng) ，,20 ,0| ),(hzhzzD dzdzdD 222044)855(6h 第18頁(yè)/共56頁(yè)第十九頁(yè)，共57頁(yè)。的球面坐標(biāo)的球面坐標(biāo)就叫做點(diǎn)就叫做點(diǎn)，個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)面上的投影，這樣的三面上的投影，這樣的三在在點(diǎn)點(diǎn)為為的角，這里的角，這里段段逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到有向線逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)到有向線軸按軸按軸來(lái)看自軸來(lái)看自為從正為從正軸正向所夾的角，軸正向所夾的角，與與為有向線段為有向線段間的距離，間的距離，與點(diǎn)與點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)為原為原來(lái)確定，其中來(lái)確定，其中，三個(gè)有次序的數(shù)三個(gè)有次序的數(shù)可用可用為空間內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)為空間內(nèi)一點(diǎn)，則點(diǎn)設(shè)設(shè)Mr

12、xoyMPOPxzzOMMOrrMzyxM ),(機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng)(jdng) (jdng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第19頁(yè)/共56頁(yè)第二十頁(yè)，共57頁(yè)。0 xz y x y zM(r, , )r Nyxz. cos sinr sin sinr cosr.機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng)(jdng) (jdng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第20頁(yè)/共56頁(yè)第二十一頁(yè)，共57頁(yè)。 SrM yz x0r =常數(shù)常數(shù)(chngsh): =常數(shù)常數(shù)(chngsh):球面球面(qimin)S動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)M(r, , )機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第21頁(yè)

13、/共56頁(yè)第二十二頁(yè)，共57頁(yè)。 r =常數(shù)常數(shù)(chngsh): =常數(shù)常數(shù)(chngsh):球面球面(qimin)S半半平面平面P動(dòng)點(diǎn)動(dòng)點(diǎn)M(r, , )M yz x0 =常數(shù)常數(shù):錐面錐面C機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 球面坐標(biāo)的坐標(biāo)面球面坐標(biāo)的坐標(biāo)面第22頁(yè)/共56頁(yè)第二十三頁(yè)，共57頁(yè)。 r drd rsin xz y0圓錐圓錐(yunzhu)面面rd 球面(qimin)r圓錐圓錐(yunzhu)面面+d球面球面r+d r元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成：元素區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成：d rsin d 半平面半平面 及及 +d ； 半徑為半徑為r及及r+dr的球面；

14、的球面；圓錐面圓錐面 及及 +d 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第23頁(yè)/共56頁(yè)第二十四頁(yè)，共57頁(yè)。r drd xz y0 ,sinsin,cossin( rrf d rd 元素元素(yun s)區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成：區(qū)域由六個(gè)坐標(biāo)面圍成：rsin d 半平面半平面 及及 +d ； 半徑半徑(bnjng)為為r及及r+dr的球面；的球面；圓錐面圓錐面 及及 +d zyxzyxfddd ),( r 2sin drd d sin drd d r 2rcos )dVdV =機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng)(jdng) (jdng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 球面坐標(biāo)

15、下的體積元素球面坐標(biāo)下的體積元素第24頁(yè)/共56頁(yè)第二十五頁(yè)，共57頁(yè)。解解 1 1 采采用用球球面面坐坐標(biāo)標(biāo) az ,cos ar 222zyx ,4 ,20,40,cos0: ar機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回(fnhu) (fnhu) 結(jié)束結(jié)束 第25頁(yè)/共56頁(yè)第二十六頁(yè)，共57頁(yè)。 dxdydzyxI)(22drrdda 40cos03420sin da)0cos(51sin255403.105a 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄(ml) (ml) 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第26頁(yè)/共56頁(yè)第二十七頁(yè)，共57頁(yè)。解解 2 2 采用柱面坐標(biāo)采用柱面坐標(biāo) ,:222a

16、yxD dxdydzyxI)(22 aadzdd 2020 ada03)(2 54254aaa .105a 222zyx , z,20,0,: aaz機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回(fnhu) (fnhu) 結(jié)束結(jié)束 第27頁(yè)/共56頁(yè)第二十八頁(yè)，共57頁(yè)。例例 8 8 求曲面求曲面22222azyx 與與22yxz 所圍所圍 成的立體體積成的立體體積. . 解解 由由錐錐面面和和球球面面圍圍成成， 采采用用球球面面坐坐標(biāo)標(biāo)， 由由 22222azyx ,2ar 22yxz ,4 ,20,40,20: ar機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng)(jdng) (jdng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回

17、返回 結(jié)束結(jié)束 第28頁(yè)/共56頁(yè)第二十九頁(yè)，共57頁(yè)。由三重積分的性質(zhì)知由三重積分的性質(zhì)知 dxdydzV, adrrddV202020sin4 4033)2(sin2da.)12(343a 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回(fnhu) (fnhu) 結(jié)束結(jié)束 第29頁(yè)/共56頁(yè)第三十頁(yè)，共57頁(yè)。,)(222 zdydxdzyx22yxz 為錐面為錐面2222Rzyx 解解: : 在球面在球面(qimin)(qimin)坐標(biāo)系下坐標(biāo)系下: zyxzyxddd)(222 所圍立體所圍立體(lt).(lt).40 Rr 0 20 其中其中 與球面與球面 dddsind2rrv

18、Rrr04d)22(515 R 40dsin 20dxyzo4Rr 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第30頁(yè)/共56頁(yè)第三十一頁(yè)，共57頁(yè)。)0()(32222 azazyx所圍立體所圍立體(lt)(lt)體積體積. .解解: : 由曲面方程可知由曲面方程可知, , 立體立體(lt)(lt)位于位于xoyxoy面上部面上部, ,cos0:3 ar 利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性, , 所求立體體積為所求立體體積為 vVdrrad3cos02 dcossin32203 a331a 3cos ar ,20 20 20dsin 20d4 yoz面對(duì)稱面對(duì)稱, , 并與并與xoy面相

19、切面相切, , 故在球坐標(biāo)系下所圍立體為故在球坐標(biāo)系下所圍立體為且關(guān)于且關(guān)于 xoz dddsind2rrv yzxar機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第31頁(yè)/共56頁(yè)第三十二頁(yè)，共57頁(yè)。解解積分域關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)積分域關(guān)于三個(gè)坐標(biāo)(zubio)(zubio)面都面都對(duì)稱，對(duì)稱，被積函數(shù)是被積函數(shù)是 的的奇函數(shù)奇函數(shù), ,z. 01)1ln(222222 dxdydzzyxzyxz機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄(ml) (ml) 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第32頁(yè)/共56頁(yè)第三十三頁(yè)，共57頁(yè)。機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng)(jdng) (jdng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回

20、返回 結(jié)束結(jié)束 解解: : 在球面在球面(qimin)(qimin)坐坐標(biāo)系下標(biāo)系下,cos20: ,40 20 利用利用(lyng)(lyng)對(duì)稱性對(duì)稱性, 03 dxdydzy03 dxdydzxdxdydzzI 3 cos20233020sincos4drrrdd 1531 第33頁(yè)/共56頁(yè)第三十四頁(yè)，共57頁(yè)。)(2222zxyzxyzyx 其其中中yzxy 是是關(guān)關(guān)于于y的的奇奇函函數(shù)數(shù), , 且且 關(guān)關(guān)于于zox面面對(duì)對(duì)稱稱, , 0)(dvyzxy,機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng)(jdng) (jdng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2)(zyx 解解同同理理 zx是是關(guān)關(guān)于

21、于x的的奇奇函函數(shù)數(shù), , 且且 關(guān)關(guān)于于yoz面面對(duì)對(duì)稱稱, , , 0 xzdv第34頁(yè)/共56頁(yè)第三十五頁(yè)，共57頁(yè)。在柱面坐標(biāo)下：在柱面坐標(biāo)下： ,20 , 10 r,222rzr , 122 yx投投影影區(qū)區(qū)域域 xyD： 2222222010)cos2(rrdzzrrdrdI).89290(60 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄(ml) (ml) 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 則則 dxdydzzyxI2)( ,)(222 dxdydzzyx第35頁(yè)/共56頁(yè)第三十六頁(yè)，共57頁(yè)。,ddd)sin5(2222zyxyxxyxI 其其中中(qz(qzhnhng)g).4, 1),(212

22、2圍成圍成由由 zzyxz解解: :zyxxIddd2 利用利用(lyng)(lyng)對(duì)對(duì)稱性稱性zyxyxddd)(2122 yxyxzzDdd)(d212241 zrrz2032041ddd21 21 4zxoy1zDzyxyxyxdddsin5222 0機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第36頁(yè)/共56頁(yè)第三十七頁(yè)，共57頁(yè)。滿足滿足變換變換，上連續(xù)上連續(xù)在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域設(shè)設(shè)),(, ),(, ),(:),(wvuzzwvuyywvuxxTzyxf ;)1( 中的中的一對(duì)一的變?yōu)橐粚?duì)一的變?yōu)橹械闹械膶xyzuvwo；一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)上具

23、有上具有在在 ),(, ),(, ),()2(wvuzwvuywvux定理定理(dngl)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄(ml) (ml) 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第37頁(yè)/共56頁(yè)第三十八頁(yè)，共57頁(yè)。;0),(),(),()3( wvuzyxwvuJ上雅可比式上雅可比式在在 .),(),(),(),(),(dudvdwwvuJwvuzwvuywvuxfdxdydzzyxf則有則有機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng)(jdng) (jdng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第38頁(yè)/共56頁(yè)第三十九頁(yè)，共57頁(yè)。解解做廣義做廣義(gungy)球坐標(biāo)球坐標(biāo)變換變換 cossinsincossinc

24、rzbryarx則則),(),( rzyxJ sin2abcr dvVdvabcr sin2drabcrdd 102020sin abc 34 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄(ml) (ml) 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第39頁(yè)/共56頁(yè)第四十頁(yè)，共57頁(yè)。（1 1） 柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo)(zubio)(zubio)的體的體積元素積元素dzdddxdydz （2 2） 球面球面(qimin)(qimin)坐標(biāo)的體積元素坐標(biāo)的體積元素 ddrdrdxdydzsin2 （3 3） 對(duì)稱性簡(jiǎn)化對(duì)稱性簡(jiǎn)化(jinhu)(jinhu)運(yùn)算運(yùn)算三重積分換元法三重積分換元法 柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo)球面坐標(biāo)球面坐標(biāo)機(jī)

25、動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第40頁(yè)/共56頁(yè)第四十一頁(yè)，共57頁(yè)。* * 說(shuō)明說(shuō)明(shumng):(shumng):三重三重(sn zhn)(sn zhn)積分也有類似二重積分的換元積分積分也有類似二重積分的換元積分公式公式: :),(),(wvuzyxJ 對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)(duyng)(duyng)雅可比行列雅可比行列式為式為 *ddd),(ddd),(wvuJwvuFzyxzyxf機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第41頁(yè)/共56頁(yè)第四十二頁(yè)，共57頁(yè)。P106 9 (1)； 10 (2)； 11 (2)(3)(4)；12第四節(jié) 目錄 上

26、頁(yè) 下頁(yè) 返回(fnhu) 結(jié)束 第42頁(yè)/共56頁(yè)第四十三頁(yè)，共57頁(yè)。思考題思考題則則上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù)為為，區(qū)域區(qū)域面對(duì)稱的有界閉面對(duì)稱的有界閉中關(guān)于中關(guān)于為為若若,),(3 zyxfxyR ;0),(,_),(dvzyxfzyxf為為奇奇函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)關(guān)關(guān)于于當(dāng)當(dāng) 1),(_),(,_),(dvzyxfdvzyxfzyxf為偶函數(shù)時(shí)為偶函數(shù)時(shí)關(guān)于關(guān)于當(dāng)當(dāng).1面面上上方方的的部部分分在在為為其其中中x zz2機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng)(jdng) (jdng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第43頁(yè)/共56頁(yè)第四十四頁(yè)，共57頁(yè)。Dxy:cxyz 圍成圍成 1 2 byax,y,x

27、zzyxfyxDcxyd ),(dd 0 zzyxfyxcxyaxaabd ),(dd 0 0 022 。z = 0ab0y xDxy。直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)(zh jio zu bio)：上頂上頂：下底下底 是是曲曲頂頂柱柱體體 用哪種坐標(biāo)用哪種坐標(biāo)(zubio)？區(qū)區(qū)域域。 所所圍圍成成的的在在第第一一卦卦限限的的及及 zbyaxcxyz: , )( c zyxzyxfIddd ),( 計(jì)計(jì)算算zyxzyxfIddd ),( 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng)(jdng) (jdng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第44頁(yè)/共56頁(yè)第四十五頁(yè)，共57頁(yè)。azob12222 byaxyxcz=xy1.

28、1.區(qū)區(qū)域域。 所所圍圍成成的的在在第第一一卦卦限限的的及及 zbyaxcxyz: , )( c zyxzyxfIddd ),( 計(jì)計(jì)算算機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng)(jdng) (jdng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第45頁(yè)/共56頁(yè)第四十六頁(yè)，共57頁(yè)。zz = 0a12222 byaxcz=xyyxb1.1.區(qū)區(qū)域域。 所所圍圍成成的的在在第第一一卦卦限限的的及及 zbyaxcxyz: , )( c zyxzyxfIddd ),( 計(jì)計(jì)算算o機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng)(jdng) (jdng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第46頁(yè)/共56頁(yè)第四十七頁(yè)，共57頁(yè)。azoxy. z

29、zyxfyxIDcxyd ),(dd zzyxfyxcxyaxaabd ),(dd cz=xyb1.1.區(qū)區(qū)域域。 所所圍圍成成的的在在第第一一卦卦限限的的及及 zbyaxcxyz: , )( c zyxzyxfIddd ),( 計(jì)計(jì)算算機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回(fnhu) (fnhu) 結(jié)束結(jié)束 第47頁(yè)/共56頁(yè)第四十八頁(yè)，共57頁(yè)。Dxy:。a0y xDxy)( aazyx:曲面曲面所圍區(qū)域所圍區(qū)域與與 yxaz raz 2ar z2 azarL ：解解得得交交線線 0 zar razazr2 2聯(lián)立聯(lián)立柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo)(zubio)zz ,r ,rfrrIxyD

30、raard )sincos(dd22 zzrrfrrraarad ),sin,cos(dd20202 。：上頂上頂：下底下底 是是曲曲頂頂柱柱體體 用哪種坐標(biāo)用哪種坐標(biāo)(zubio)？zyxzyxfIddd ),( 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄(ml) (ml) 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第48頁(yè)/共56頁(yè)第四十九頁(yè)，共57頁(yè)。2aaraz 2azr 2.L razazr2 2聯(lián)立聯(lián)立柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo)(zubio)2a0 xyz )( aazyx:曲面曲面所圍區(qū)域所圍區(qū)域與與 yxaz azarL ：解解得得交交線線2.2.zyxzyxfIddd ),( 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng)(jdng) (jdng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第49頁(yè)/共56頁(yè)第五十頁(yè)，共57頁(yè)。zzrrfrrraarad ), sin, cos