Modeling2009數(shù)學(xué)建模王新茂

1、數(shù)學(xué)建模Mathematical Modeling王新茂中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)系2教學(xué)安排2月20日講課2月27日討論3月6日講課3月13日討論3月20日講課3月27日討論4月3日講課4月10日討論4月17日講課4月24日討論5月1日勞動節(jié)5月8日講課5月15日討論5月22日講課5月29日討論6月5日講課6月12日討論6月19日講課6月26日討論6月29日考試開始3參考書目1.數(shù)學(xué)建模，F(xiàn).R.Giordano、M.D.Weir、W.P.Fox著，葉其孝、姜啟源等譯，機(jī)械工業(yè)出版社，2005。2.問題解決的數(shù)學(xué)模型方法，劉來福、曾文藝編著，北京師范大學(xué)出版社，1999。3.數(shù)學(xué)建模精品案例，朱道

2、元編著，東南大學(xué)出版社，1999。4.數(shù)學(xué)模型，譚永基、俞文 編著，復(fù)旦大學(xué)出版社，1995。5.中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽（一、二、三），李大潛主編，高等教育出版社。6.全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽網(wǎng)，http:/4什么是數(shù)學(xué)建模？ 使用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的過程實(shí)際現(xiàn)象實(shí)際問題數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)問題數(shù)學(xué)解答解決方案基于合理的假設(shè)通過數(shù)學(xué)語言來“描述實(shí)際現(xiàn)象”“近似實(shí)際問題”建模求解建模的目的是“解決實(shí)際問題”實(shí)踐是檢驗(yàn)?zāi)Ｐ秃脡牡奈ㄒ粯?biāo)準(zhǔn)應(yīng)用檢驗(yàn)注：并非所有實(shí)際問題都可通過數(shù)學(xué)建模求解。5數(shù)學(xué)建模的一般過程1. 針對實(shí)際問題，明確建模目的。2. 抓住主要因素，簡化實(shí)際問題。3. 使用數(shù)學(xué)方法，導(dǎo)出數(shù)學(xué)模型。

3、 定義變量參數(shù)，量化主要因素。 找出主要因素之間的相互聯(lián)系。 假設(shè)合理、推理嚴(yán)密、數(shù)據(jù)精確、有說服力。4. 使用數(shù)學(xué)工具，求解數(shù)學(xué)問題。5. 檢驗(yàn)修改模型，實(shí)施數(shù)學(xué)結(jié)果。 檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷慕忉屖欠穹峡陀^規(guī)律。 檢驗(yàn)計算結(jié)果是否與實(shí)際數(shù)據(jù)吻合。 檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷木取⒎€(wěn)定性和靈敏度。6數(shù)學(xué)建模的常用方法 以客觀規(guī)律的普遍性為基礎(chǔ)，考慮局部規(guī)律的特殊性，從簡單到復(fù)雜，逐步建立模型。 根據(jù)量綱、比例關(guān)系、相似性、平衡原理、變化機(jī)理等確立變量之間的相互制約的關(guān)系。 收集整理數(shù)據(jù)，從中歸納出合理的假設(shè)。 用微分方程描述連續(xù)變量的變化和相互影響。 用隨機(jī)變量描述模型中因素的不確定性。 用圖論語言描述模型的研究對象及

4、其之間的關(guān)系，如工作順序、狀態(tài)轉(zhuǎn)移等。 將復(fù)雜的系統(tǒng)分解成若干子系統(tǒng)，分而治之。7數(shù)學(xué)模型的分類 按實(shí)際問題分類人口模型、生態(tài)模型、經(jīng)濟(jì)模型、交通流模型、投入產(chǎn)出問題、郵路問題、選址問題、排隊(duì)服務(wù)問題 . 按數(shù)學(xué)方法分類數(shù)值計算問題、微分方程問題、優(yōu)化問題、規(guī)劃問題、圖論問題、概率統(tǒng)計問題、系統(tǒng)決策問題 . 按建模目的分類機(jī)理模型、仿真模型、預(yù)測模型、優(yōu)化模型、決策模型 按問題的確定性分類白箱問題、灰箱問題、黑箱問題8問題1.1：商品的價格與供求數(shù)量的關(guān)系。問題：產(chǎn)量的增加能否帶來收入的增加？一、初等模型9問題1.2：求豬的長L、寬w、高h(yuǎn)、重m之間的關(guān)系。模型1：假設(shè)豬的形狀是幾何相似的，密

5、度為常值，則mL3。若將豬看成橢圓柱，忽略四蹄，則mwhL。模型2：將豬看作支撐在四蹄上的彈性梁，在重力作用下，下垂高度d，彈性模量為常值，則mwdh3/L3。問題：以上結(jié)論是否合理？兩個模型是否一致？兩個模型的優(yōu)缺點(diǎn)是什么？哪個模型比較準(zhǔn)確？一、初等模型10一、初等模型問題1.3：求人的身高h(yuǎn)、體重m、力量f、靈活性a之間的關(guān)系。模型1：假設(shè)人體具有幾何相似性，密度為常值，則mh3。將肌肉看成彈性桿，橫截面積s、相對伸長量為常值，彈性模量為常值，則fsh2，a=f/m1/h。問題：以上假設(shè)是否合理？如何修改模型？模型2：測量一定人群的身高、體重、力量、靈活性，然后進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合。問題：如何定量

6、測量靈活性？如何擬合？11一、初等模型問題1.4：如何提高鉛球運(yùn)動員的成績。模型1：投擲距離s與出手高度h、出手速度v、仰角a有關(guān)。若不考慮空氣阻力，則s隨h、v的增大而增大。給定h、v，最佳投擲角度 。模型2：設(shè)臂長L、出手時的肩高H為常數(shù)， 。模型3：設(shè)鉛球重m，可獲得的總能量 為常值。問題：投擲距離還與哪些因素有關(guān)？空氣阻力對成績的影響有多大？以上假設(shè)是否合理？以上模型是否適用于標(biāo)槍、鏈球等其它投擲項(xiàng)目？gvghvvs/cos)2sinsin(22ghvgh2arccos21sinLHhmghmv 22112氮肥 產(chǎn)量磷肥 產(chǎn)量鉀肥 產(chǎn)量氮肥 產(chǎn)量磷肥 產(chǎn)量鉀肥 產(chǎn)量1015.18 03

7、3.46 018.98 011.02 06.39015.7523421.36 2432.47 4727.35 2812.7499.484716.7636725.72 4936.06 9334.86 5614.56 9812.46 9316.89410132.29 7337.96 14038.52 8416.27 14714.38 14016.24513534.03 9841.04 18638.44 11217.75 19617.118617.56620239.45 14740.09 27937.73 16822.59 29421.94 27919.2725943.15 19641.26 372

8、38.43 22421.63 39122.64 37217.97833643.46 24542.17 46543.87 28019.34 48921.34 46515.84940440.83 29440.36 55842.77 33616.12 58722.07 55820.1110 47130.75 34242.73 65146.22 39214.11 68524.53 65119.4一、初等模型問題1.5（CMCM92A）：為了研究氮、磷、鉀三種肥料對于土豆和生菜的作用，分別作了三組實(shí)驗(yàn)，結(jié)果如下。在考察一種肥料的施用量與產(chǎn)量關(guān)系時，另兩種肥料的施用量固定在第7個水平上。問：如何施肥效果最

9、好？(施肥量：公斤/公頃，產(chǎn)量：噸/公頃)13建模思路：1. 確定產(chǎn)量與施肥量的關(guān)系。多項(xiàng)式擬合、指數(shù)函數(shù)擬合、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的原始誤差、多種肥料的復(fù)合效果2. 優(yōu)化農(nóng)產(chǎn)品的投入產(chǎn)出?？紤]化肥對土壤破壞、生態(tài)農(nóng)業(yè)、綠色食品3. 模型的檢驗(yàn)與改進(jìn)。 改進(jìn)實(shí)驗(yàn)方式、正交設(shè)計一、初等模型土豆生菜010020030040010203040500100200300400510152025050100 150 200 250 30010203040500100 200 300 400 500 600 7005101520250100 200 300 400 500 60010203040500100 200 3

10、00 400 500 60051015202514以下問題任選一題：1. 利用下表數(shù)據(jù)，檢驗(yàn)并修改問題1.3的模型。作業(yè)一級別抓舉挺舉總成績級別抓舉挺舉總成績56138.5168305489812021762153182.532553102.512922669165197.5357.55811114125177173210377.563116142257851872203956912815828694188232.5417.57513115928610520023643675+139182.5318105+213263.5472.5男子舉重世界紀(jì)錄女子舉重世界紀(jì)錄152. 利用下表數(shù)據(jù)，檢驗(yàn)問

11、題1.4的模型。3. 利用互聯(lián)網(wǎng)上的真實(shí)數(shù)據(jù)，對從事某種體育項(xiàng)目的專業(yè)運(yùn)動員的身高、體重、力量、靈活性建模。作業(yè)一#出手速度出手高度仰角成績114.081.9535.1321.76213.952.0439.0021.70313.952.0439.0021.66413.972.0038.2021.52513.582.0237.7520.76613.512.0038.6920.30713.432.0238.5020.26813.162.0240.2719.4016二、微分方程模型問題2.1：根據(jù)以下數(shù)據(jù)對酵母培養(yǎng)物的生物量建模。模型1：畫出pt圖像、pt圖像、pp圖像。猜測dp/dt=ap-bp2

12、，擬合(pn+1-pn-1)/2=apn-bpn2，得a、b。51015100200300400500600510152040608010020030040050060020406080時間t012345678酵母p9.618.329.047.271.1119.1174.6257.3350.79101112131415161718441513.3559.7594.8629.4640.8651.1655.9659.6661.817二、微分方程模型由微分方程解出的p(t)函數(shù)圖像與原始數(shù)據(jù)非常吻合。問題：對模型 dp/dt = ap-bp2 給以生物學(xué)上的解釋。若假設(shè) dp/dt = c0+c1p

13、+c2p2+c3p3，結(jié)果是否會更好?51015100200300400500600pt a p0b p0 a b p0at0.5408630.000814439 0.0555255 0.540863t18二、微分方程模型問題2.2：人口的預(yù)測和控制。模型1 (Malthus)：假設(shè)出生率死亡率為常數(shù)，dx/dt = ax。模型2 (logistic)：dx/dt = ax-bx2。模型3 (Leslie)：考慮各年齡段的人口數(shù)。xtsdtxsxtxtxtxacacbbabtxtxtxkkkkk),()()()()()()(2112121121連續(xù)模型離散模型19二、微分方程模型問題2.3：傳

14、染病的傳播。模型1：假設(shè)總?cè)藬?shù)n，感染人數(shù)x，未采取防病措施，經(jīng)常與他人接觸。dx/dt = kx(n-x) ，k:接觸率。結(jié)論：一段時間之后，所有人都會被感染。204060801002040608010020二、微分方程模型模型2：假設(shè)總?cè)藬?shù)n ，無癥狀感染人數(shù)x（經(jīng)常與他人接觸），有癥狀感染人數(shù)y（被隔離治療，治愈后仍可能被感染），已免疫或死亡人數(shù)z。dx/dt = k1x(n-x-y-z)-k2x，dy/dt = k2x-k3y，dz/dt = k4y，k1:感染率，k2:發(fā)病率，k3:治愈率，k4:免疫率+死亡率。結(jié)論：當(dāng)k40 時，所有人都會免疫或死亡。當(dāng)k2k1n時，疫情被迅速撲滅。當(dāng)k2j。若作業(yè)i沒有預(yù)先作業(yè)，添加邊Begin-i。若作業(yè)i沒有后續(xù)作業(yè)，添加邊i-End。原問題化為“用一些從Begin到End的路徑P覆蓋所有頂點(diǎn)1,2,.,n，使得 maxP(iPTi ) 最小”。52五、圖網(wǎng)絡(luò)模型問題5.8：根據(jù)相互之間的戰(zhàn)績對選手實(shí)力進(jìn)行排名。模型：假設(shè)各選手在爭奪一個冠軍稱號。已知選手i對選手j的戰(zhàn)績?yōu)閍ij勝、bij負(fù)、cij平。構(gòu)造得分矩陣S=(sij)和概率轉(zhuǎn)移矩陣P=(pij)。pij表示在眾選手中，選手j能夠?qū)⒐谲姺Q號從選手i處奪來的概率。 。pi為選手i擁有冠軍稱號的概率。iniiji