信號與系統(tǒng)課件7-傅里葉變換與系統(tǒng)的頻域分析

1、傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析3.1 3.1 引言引言激激函函數(shù)數(shù)之之和和：信信號號可可分分解解為為一一系系列列沖沖入入數(shù)數(shù)為為基基本本信信號號，任任意意輸輸時時域域分分析析中中，以以沖沖激激函函dtettete)()()()()(dthethtetrzs)()()()()(其其零零狀狀態(tài)態(tài)響響應(yīng)應(yīng)為為難點：卷積。當(dāng)函數(shù)復(fù)雜時，卷積很難求。引入變換域難點：卷積。當(dāng)函數(shù)復(fù)雜時，卷積很難求。引入變換域3.1 3.1 引言引言 本章將以本章將以正弦信號正弦信號和和復(fù)指數(shù)信號復(fù)指數(shù)信號 為基本函為基本函數(shù)，任意信號將分解為一系列數(shù)，任意信號將分解為一系列不同頻率不同頻率的正弦信號

2、的正弦信號或復(fù)指數(shù)信號之和或積分?；驈?fù)指數(shù)信號之和或積分。tje 由由時域分析時域分析轉(zhuǎn)入轉(zhuǎn)入變換域變換域（本章為（本章為頻域頻域）分析。）分析。傅里葉變換傅里葉變換頻譜、帶寬、濾波頻譜、帶寬、濾波11c o s22c o ss i njtjtjtteeetjt1 1 信號分解為正交函數(shù)信號分解為正交函數(shù)矢量正交與正交分解矢量正交與正交分解信號正交與正交函數(shù)集信號正交與正交函數(shù)集信號的正交分解信號的正交分解 信號分解為正交函數(shù)信號分解為正交函數(shù)一、矢量正交與正交分解一、矢量正交與正交分解矢量矢量Vx = ( vx1, vx2, vx3)與與Vy = ( vy1, vy2, vy3) 的的內(nèi)積內(nèi)

3、積為為0 即即310Txyxiyiiv vV V矢量正交的定義：矢量正交的定義：由兩兩正交的矢量組成的矢量集合由兩兩正交的矢量組成的矢量集合-稱為稱為正交矢量集。正交矢量集。信號分解為正交函數(shù)信號分解為正交函數(shù)如三維空間中，以矢量如三維空間中，以矢量vx=（2，0，0）、）、vy=（0，2，0）、）、vz=（0，0，2)所組成的集合就是一個所組成的集合就是一個正交矢量集正交矢量集。且完備。且完備。 例如例如對于一個三維空間的矢量對于一個三維空間的矢量A =(2，5，8)，可以用，可以用一個三維正交矢量集一個三維正交矢量集 vx，vy，vz分量的線性組合表示。分量的線性組合表示。即即 A= vx

4、+ 2.5 vy+ 4 vz 矢量空間正交分解的概念可推廣到矢量空間正交分解的概念可推廣到信號信號空間空間：在信：在信號空間找到若干個號空間找到若干個相互正交的信號相互正交的信號作為基本信號，使得作為基本信號，使得信號空間中任意信號均可表示成它們的線性組合。信號空間中任意信號均可表示成它們的線性組合。 信號分解為正交函數(shù)信號分解為正交函數(shù)二、信號正交與正交函數(shù)集二、信號正交與正交函數(shù)集1. 信號定義：信號定義： 定義在定義在(t1，t2)區(qū)間的兩個函數(shù)區(qū)間的兩個函數(shù) 1(t)和和 2(t),若滿足若滿足 210d)()(*21ttttt(兩函數(shù)的內(nèi)積為兩函數(shù)的內(nèi)積為0)則稱則稱 1(t)和和

5、2(t) 在在區(qū)間區(qū)間(t1，t2)內(nèi)內(nèi)正交正交。 2. 正交函數(shù)集：正交函數(shù)集： 若若n個函數(shù)個函數(shù) 1(t)， 2(t)， n(t)構(gòu)成一個函數(shù)集，構(gòu)成一個函數(shù)集，當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)滿足內(nèi)滿足 21, 0, 0d)()(*ttijijiKjittt則稱此函數(shù)集為在則稱此函數(shù)集為在區(qū)間區(qū)間(t1，t2)上的上的正交函數(shù)集正交函數(shù)集。 3. 完備正交函數(shù)集：完備正交函數(shù)集： 如果在正交函數(shù)集如果在正交函數(shù)集 1(t)， 2(t)， n(t)之外，之外，不存在任何函數(shù)不存在任何函數(shù) (t)(0）滿足）滿足 則稱此函數(shù)集為則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集完備正交函數(shù)集。例

6、如：例如：三角函數(shù)集三角函數(shù)集1，cos(nt)，sin(nt)，n=1,2, 和和虛指數(shù)函數(shù)集虛指數(shù)函數(shù)集ejnt，n=0，1，2，是兩組典型的在區(qū)間是兩組典型的在區(qū)間(t0，t0+T)(T=2/)上的完備正交函上的完備正交函數(shù)集。數(shù)集。21( )( )d0titttt( i =1，2，n)為基波頻率為基波頻率三、信號的正交分解三、信號的正交分解 設(shè)有設(shè)有n個函數(shù)個函數(shù) 1(t)， 2(t)， n(t)在區(qū)間在區(qū)間(t1，t2)構(gòu)成一個正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)構(gòu)成一個正交函數(shù)空間。將任一函數(shù)f(t)用這用這n個正交個正交函數(shù)的線性組合來近似，可表示為函數(shù)的線性組合來近似，可表示為 f(t)C

7、1 1+ C2 2+ Cn n 問題：問題：如何選擇各系數(shù)如何選擇各系數(shù)Cj使使f(t)與近似函數(shù)之間誤差在與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間區(qū)間(t1，t2)內(nèi)為最??？內(nèi)為最??？三、信號的正交分解三、信號的正交分解問題：問題：如何選擇各系數(shù)如何選擇各系數(shù)Cj使使f(t)與近似函數(shù)之間誤差在與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間區(qū)間(t1，t2)內(nèi)為最小。內(nèi)為最小。 通常兩個函數(shù)誤差最小，是指這通常兩個函數(shù)誤差最小，是指這兩個函數(shù)在區(qū)間兩個函數(shù)在區(qū)間(t1，t2)內(nèi)的的方均值（內(nèi)的的方均值（均方誤差）均方誤差）最小。均方誤差為：最小。均方誤差為： ttCtfttttnjjjd )()(12121122f(t)C1 1

8、+ C2 2+ Cn n 為使上式最小（系數(shù)為使上式最小（系數(shù)Cj變化時），有變化時），有0d)()(21122ttnjjjiittCtfCC 展開上式中的被積函數(shù)，并求導(dǎo)。上式中只有兩項展開上式中的被積函數(shù)，并求導(dǎo)。上式中只有兩項不為不為0，寫為：，寫為： 210d)()()(222ttiiiiittCttfCC即：即： 21210d)(2d)()(22ttiittittCtttf所以系數(shù)所以系數(shù)212121d)()(1d)(d)()(2ttiittittiitttfKtttttfC信號的能量信號的能量代入，得代入，得最小均方誤差最小均方誤差0d)(112212221njjjttKCttft

9、t 在用正交函數(shù)去近似在用正交函數(shù)去近似f(t)時，所取得項數(shù)時，所取得項數(shù)越多越多，即，即n越大，則均方誤差越大，則均方誤差越小越小。當(dāng)。當(dāng)n時（為完備正交函數(shù)時（為完備正交函數(shù)集），均方誤差為零。此時有集），均方誤差為零。此時有 12221d)(jjjttKCttf 上式稱為上式稱為(Parseval)帕斯瓦爾方程（能量公式）帕斯瓦爾方程（能量公式），表，表明：在區(qū)間明：在區(qū)間(t1,t2)， f(t)所含能量恒等于所含能量恒等于f(t)在完備正交在完備正交函數(shù)集中分解的各正交分量能量的總和。函數(shù)集中分解的各正交分量能量的總和。 1)()(jjjtCtf函數(shù)函數(shù)f(t)可分解為無窮多項正交

10、函數(shù)之和可分解為無窮多項正交函數(shù)之和2 2 傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)的三角形式傅里葉級數(shù)的三角形式波形的對稱性與諧波特性波形的對稱性與諧波特性傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式周期信號的功率周期信號的功率由積分可知由積分可知1、三角函數(shù)集、三角函數(shù)集0sincos2211TTtmtnnmnmTtmtnTT, 0,2coscos2211nmnmTtmtnTT, 0,2sinsin2211一、傅里葉級數(shù)的三角形式一、傅里葉級數(shù)的三角形式1,cos,sin,1,2,n tn tn在一個周期內(nèi)是一個完備的正交函數(shù)集在一個周期內(nèi)是一個完備的正交函數(shù)集在滿足狄里赫利條件時，在滿足狄里赫利條件時

11、，2、級數(shù)形式、級數(shù)形式 112,TTtf 1基波角頻率為基波角頻率為周期為周期為周期信號周期信號狄里赫利（狄里赫利（Dirichlet）條件）條件(3)(3)在一周期內(nèi)，信號絕對可積。在一周期內(nèi)，信號絕對可積。(2)(2)在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有限個。在一周期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有限個。(1) (1) 在一周期內(nèi)，如果有間斷點存在，則間斷點的數(shù)目在一周期內(nèi)，如果有間斷點存在，則間斷點的數(shù)目應(yīng)是有限個。應(yīng)是有限個。級數(shù)形式級數(shù)形式 設(shè)周期信號設(shè)周期信號f(t)，其周期為，其周期為T，角頻率，角頻率 =2 /T，當(dāng)，當(dāng)滿足滿足狄里赫利狄里赫利(Dirichlet)條件時，它

12、可分解為如下三條件時，它可分解為如下三角級數(shù)角級數(shù) 稱為稱為f(t)的的傅里葉級數(shù)。傅里葉級數(shù)。 110)sin()cos(2)(nnnntnbtnaatf系數(shù)系數(shù)an , bn稱為稱為傅里葉系數(shù)。傅里葉系數(shù)。 22d)cos()(2TTnttntfTa22d)sin()(2TTnttntfTb可見，可見， an 是是n的偶函數(shù)，的偶函數(shù)， bn是是n的奇函數(shù)。的奇函數(shù)。10)cos(2)(nnntnAAtf式中，式中，A0 = a022nnnbaAnnnabarctan 上式上式表明表明：周期信號可分解為直流和許多余弦分量。：周期信號可分解為直流和許多余弦分量。 其中，其中， A0/2為為直

13、流分量直流分量； A1cos( t+ 1)稱為稱為基波或一次諧波基波或一次諧波，它的角頻率（基頻）與，它的角頻率（基頻）與原周期信號相同（原周期信號相同（ ）；）； A2cos(2 t+ 2)稱為稱為二次諧波二次諧波，它的頻率是基波的，它的頻率是基波的2倍；倍； 一般而言，一般而言，Ancos(n t+ n)稱為稱為n次諧波次諧波。 可見可見An是是n的偶函數(shù)，的偶函數(shù)， n是是n的奇函數(shù)。的奇函數(shù)。 an = Ancos n， bn = Ansin n，n=1,2,將上式同頻率項合并，可寫為將上式同頻率項合并，可寫為110)sin()cos(2)(nnnntnbtnaatfnnanbnA2T

14、例例：將圖示方波信號：將圖示方波信號f(t)展開為傅里葉級數(shù)。展開為傅里葉級數(shù)。3T 例例1：將圖示方波信號：將圖示方波信號f(t)展開為傅里葉級數(shù)。展開為傅里葉級數(shù)。解：解：( )3,2 /2 /3f tTT 為的周期信號，傅里葉系數(shù)為022022222( )cos()( 1) cos()1 cos()TTTTnaf tn t dtn t dtn t dtTTT02 12 1 sin()sin() 202Tn tn tTT nT n考慮到考慮到=2/T，可得：，可得：0na 00a 信號的傅里葉級數(shù)展開式為：信號的傅里葉級數(shù)展開式為：011( )cos()sin()2nnnnaf tan t

15、bn t022022222( )sin()( 1) sin()1 sin()TTTTnbf tn t dtn t dtn t dtTTT02 12 1cos() cos() 202Tn tn tTT nT n21 cos() 1 cos()2TnnT n21 cos()nn0,2,4,6,4,1,3,5,nnn4111sin()sin(3)sin(5)sin(),1,3,5,35tttn tnn二、波形的對稱性與諧波特性二、波形的對稱性與諧波特性1 . .f(t)為偶函數(shù)為偶函數(shù)對稱縱坐標(biāo)對稱縱坐標(biāo)22d)cos()(2TTnttntfTa22d)sin()(2TTnttntfTbbn =0，

16、展開為余弦級數(shù)。，展開為余弦級數(shù)。2 . .f(t)為奇函數(shù)為奇函數(shù)對稱于原點對稱于原點an =0，展開為正弦級數(shù)。，展開為正弦級數(shù)。( )()f tft( )()f tft 3 . .f(t)為奇諧函數(shù)為奇諧函數(shù)f(t) = f(tT/2) 此時，其傅里葉級數(shù)中只含奇此時，其傅里葉級數(shù)中只含奇次諧波分量，而不含偶次諧波分次諧波分量，而不含偶次諧波分量即：量即：a0=a2=b2=b4=0 4 . .f(t)為偶諧函數(shù)為偶諧函數(shù)f(t) = f(tT/2) 此時，其傅里葉級數(shù)中只含偶此時，其傅里葉級數(shù)中只含偶次諧波分量，而不含奇次諧波分次諧波分量，而不含奇次諧波分量即量即 a1=a3=b1=b3

17、=0 周期為周期為T三、傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式三、傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式 三角形式三角形式的傅里葉級數(shù)，物理含義比較明確，但的傅里葉級數(shù)，物理含義比較明確，但運算常感不便，因而經(jīng)常采用運算常感不便，因而經(jīng)常采用指數(shù)形式指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)。的傅里葉級數(shù)?？蓮娜切问酵瞥觯豪每蓮娜切问酵瞥觯豪?cosx=(ejx + ejx)/2 1)()(0ee22ntnjtnjnnnAA110ee21ee212ntjnjnntjnjnnnAAA10)cos(2)(nnntnAAtf 上式中第三項的上式中第三項的n用用n代換，代換，A n=An， n= n，則上式寫為則上式寫為 110ee21ee212nt

18、jnjnntjnjnnnAAAntjnjnnAtfee21)(有有令復(fù)數(shù)令復(fù)數(shù)1ee2nnjnnnFAF稱其為稱其為復(fù)傅里葉系數(shù)復(fù)傅里葉系數(shù)，簡稱傅里葉系數(shù)。，簡稱傅里葉系數(shù)。 00000,0jjtAA ee令令復(fù)數(shù)令復(fù)數(shù)1ee2nnjnnnFAF)(21)sincos(2121nnnnnnjnnjbajAAeAFn22222211( )cos()d( )sin()d1( )edTTTTTjn tTf tn ttjf tn ttTTf ttT221( )e( )edTjntjntTnnnf tFFf ttT，表明：表明：任意周期信號任意周期信號f(t)可分解為許多不同頻率的虛指可分解為許多不同

19、頻率的虛指數(shù)信號之和。數(shù)信號之和。 Fn 是頻率為是頻率為n 的分量的的分量的系數(shù)，系數(shù)，F(xiàn)0 = A0/2為直流分量。為直流分量。n = 0, 1, 2， 例例：求如圖所示周期信號的指數(shù)型傅里葉級數(shù)。：求如圖所示周期信號的指數(shù)型傅里葉級數(shù)。例例：求如圖所示周期信號的指數(shù)型傅里葉級數(shù)。：求如圖所示周期信號的指數(shù)型傅里葉級數(shù)。解：解：( )3,2 /2 /3f tTT 為的周期信號，指數(shù)型傅里葉系數(shù)為230211( )23Tjn tjn tjn tnoFf t edtedtedtT23221133j nj nj neeej nj n2321110233jn tjn teejnjn23221133

20、j nj nj neeej nj n23233j nj neej n423232jnjneejn433(1)2jnejn指數(shù)型傅里葉級數(shù)為：指數(shù)型傅里葉級數(shù)為：433( )(1)2jnjn tjn tnnnf tF eeejn傅里葉系數(shù)之間的關(guān)系傅里葉系數(shù)之間的關(guān)系11ee=-22nnjnnnnnFFAajb（）2211cos22arctan()sinsnnnnnnnnnnnnnFabAaAbbAa nnnnnnaAFnb的 偶 函 數(shù) ：，的 奇 函 數(shù) ：，四、周期信號的功率四、周期信號的功率Parseval等式等式2222220111( )cos()2TTTTnnnAPft dtAn t

21、dtTT 含義：含義：直流和直流和n次諧波分量在次諧波分量在1 電阻上消耗的平均功電阻上消耗的平均功 率之和。率之和。周期信號一般是功率信號，其平均功率為周期信號一般是功率信號，其平均功率為012nFA22012nnFF22011()22nnAA2|nnF0Fn是 的偶函數(shù)表明：表明：對于周期信號，在時域中求得的信號功率與在對于周期信號，在時域中求得的信號功率與在 頻域中求得的信號功率相等。頻域中求得的信號功率相等。2cos()cos() cos()2nnnnn tm tn tmnTmnA 展開式中具有形式的余弦項，其在一個周期內(nèi)的積分等于零；具有形式的項，當(dāng)時，其積分為零，當(dāng)時，其積分值為。

22、一、信號頻譜的概念一、信號頻譜的概念 從廣義上說，信號的某種從廣義上說，信號的某種特征量特征量隨信號頻率變隨信號頻率變化的關(guān)系，稱為化的關(guān)系，稱為信號的頻譜信號的頻譜，所畫出的圖形稱為信，所畫出的圖形稱為信號的號的頻譜圖頻譜圖。 周期信號的頻譜周期信號的頻譜是指周期信號中各次諧波幅值、是指周期信號中各次諧波幅值、相位隨頻率的變化關(guān)系，即相位隨頻率的變化關(guān)系，即 將將An和和 n的關(guān)系分別畫在以的關(guān)系分別畫在以為橫軸的平為橫軸的平面上得到的兩個圖，分別稱為面上得到的兩個圖，分別稱為振幅頻譜圖振幅頻譜圖和和相位頻相位頻譜圖譜圖。因為。因為n0，所以稱這種頻譜為，所以稱這種頻譜為單邊譜單邊譜。 也可

23、畫也可畫|Fn|和和 n的關(guān)系，稱為的關(guān)系，稱為雙邊譜雙邊譜。若。若Fn為實數(shù)，也可直接畫為實數(shù)，也可直接畫Fn 。周期信號頻譜具有周期信號頻譜具有離散性離散性、諧波性諧波性、收斂性收斂性 。 的的線線性性組組合合?；úń墙穷l頻率率的的整整數(shù)數(shù)倍倍）（）和和各各次次諧諧波波，基基波波（周周期期信信號號可可分分解解為為直直流流:11n關(guān)系曲線稱為關(guān)系曲線稱為幅度頻譜圖幅度頻譜圖，稱，稱幅度譜幅度譜；nA關(guān)系曲線稱為關(guān)系曲線稱為相位頻譜圖相位頻譜圖，簡稱，簡稱相位譜相位譜。n要特點。要特點。它是周期信號頻譜的主它是周期信號頻譜的主這種頻譜稱為離散譜，這種頻譜稱為離散譜，等離散頻率點上，等離散頻

24、率點上，、現(xiàn)在現(xiàn)在周期信號的頻譜只會出周期信號的頻譜只會出11200nnA1 13 nc0c1c3cO1 13 n O幅度頻譜幅度頻譜nnAF曲線或曲線相位頻譜相位頻譜曲線曲線n單邊頻譜單邊頻譜諧波上才有值諧波上才有值例：例：周期信號周期信號 f(t) =試求該周期信號的基波周期試求該周期信號的基波周期T，基波角頻率，基波角頻率，畫，畫出它的單邊頻譜圖，并求出它的單邊頻譜圖，并求f(t) 的平均功率。的平均功率。63sin41324cos211tt周期信號周期信號 f(t) =63sin41324cos211tt解解 首先應(yīng)用三角公式改寫首先應(yīng)用三角公式改寫f(t) 的表達(dá)式，即的表達(dá)式，即2

25、63cos41324cos211)(tttf顯然顯然1是該信號的直流分量。是該信號的直流分量。34cos21t的周期的周期T1 = 8323cos41的周期的周期T2 = 6所以所以f(t)的周期的周期T = 24，基波角頻率，基波角頻率=2/T = /12根據(jù)帕斯瓦爾等式，其功率為根據(jù)帕斯瓦爾等式，其功率為 P= 32374121212112234cos21t是是f(t)的的/4/12 =3次諧波分量；次諧波分量； 323cos41是是f(t)的的/3/12 =4次諧波分量；次諧波分量；畫出畫出f(t)的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如下圖：的單邊振幅頻譜圖、相位頻譜圖如下圖：(a)(b)oAn1264320A2141o33461232n1思考：思考：周期信號周期信號 f(t) =畫出它的雙邊頻譜圖。畫出它的雙邊頻譜圖。63sin41324cos211tt二、周期信號頻譜的特點二、周期信號頻譜的特點舉例：舉例：有一幅度為有一幅度為1，脈沖