第三章__線性系統(tǒng)的時域分析法

1、自動控制原理自動控制原理東華理工大學(xué)機(jī)電學(xué)院自動化系東華理工大學(xué)機(jī)電學(xué)院自動化系3.13.1系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標(biāo)系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標(biāo)3.23.2一階系統(tǒng)的時域分析一階系統(tǒng)的時域分析3.33.3二階系統(tǒng)的時域分析二階系統(tǒng)的時域分析3.43.4高階系統(tǒng)的時域分析高階系統(tǒng)的時域分析3.53.5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3.63.6線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算 3.1 3.1 概述概述 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型建立后，便可對系統(tǒng)進(jìn)行分分析和校正析和校正。 分析和校正是自動控制原理課程的兩大任務(wù)。 系統(tǒng)分析系統(tǒng)分析是由已知的系統(tǒng)模型確定系統(tǒng)的性能指標(biāo)； 校正校正是根據(jù)需要在系統(tǒng)中

2、加入一些機(jī)構(gòu)和裝置并確定相應(yīng)的參數(shù)，用以改善系統(tǒng)性能，使其滿足所要求的性能指標(biāo)。系統(tǒng)分析的目的在于系統(tǒng)分析的目的在于“認(rèn)識認(rèn)識”系統(tǒng)，系統(tǒng)校正的目的在于系統(tǒng)，系統(tǒng)校正的目的在于“改造改造”系系統(tǒng)。統(tǒng)。系統(tǒng)的分析校正方法一般有時域法、根軌跡法和頻域法，本章介紹時域法。 3.1系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標(biāo)系統(tǒng)時間響應(yīng)的性能指標(biāo) 1典型輸入信號典型輸入信號動態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程又稱瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)動態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程又稱瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng) (Transient Response & Steady state Response)。在典型輸入信號作用下，任何一個控制系統(tǒng)的時間響應(yīng)都有動態(tài)動態(tài)過程過程和穩(wěn)態(tài)過程穩(wěn)態(tài)

3、過程兩部分組成。在典型輸入信號作用下，指系統(tǒng)從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過程。由于實(shí)際控制系統(tǒng)具有慣性、摩擦、阻尼等原因，系統(tǒng)的輸出量不可能完全復(fù)現(xiàn)輸入量的變化。動態(tài)過程表現(xiàn)為、或。一個實(shí)際運(yùn)行的系統(tǒng)其動態(tài)過程必須是的，即系統(tǒng)必須是的。在典型輸入信號作用下，當(dāng) t 趨于無窮大時，系統(tǒng)的輸出量的表現(xiàn)方式。 穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度或抗擾動能力的穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度或抗擾動能力的一種度量。在分析控制系統(tǒng)時，我們既要研究系統(tǒng)的瞬態(tài)一種度量。在分析控制系統(tǒng)時，我們既要研究系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，如達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)所需的時間，同時也要研究系響應(yīng)，如達(dá)到新的穩(wěn)定狀態(tài)所需的時間，同時也要研究系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性，統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特

4、性，。： 在許多實(shí)際情況中，控制系統(tǒng)所需要的性能指標(biāo)，常在許多實(shí)際情況中，控制系統(tǒng)所需要的性能指標(biāo)，常以時域量值的形式給出。通常，控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)，系以時域量值的形式給出。通常，控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)，系統(tǒng)在初始條件為零（靜止?fàn)顟B(tài)，輸出量和輸入量的各階導(dǎo)統(tǒng)在初始條件為零（靜止?fàn)顟B(tài)，輸出量和輸入量的各階導(dǎo)數(shù)為數(shù)為0），對階躍輸入信號的瞬態(tài)響應(yīng)。實(shí)際控制系統(tǒng)的），對階躍輸入信號的瞬態(tài)響應(yīng)。實(shí)際控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)，在達(dá)到穩(wěn)態(tài)以前，常常表現(xiàn)為阻尼振蕩過程，瞬態(tài)響應(yīng)，在達(dá)到穩(wěn)態(tài)以前，常常表現(xiàn)為阻尼振蕩過程，為了說明控制系統(tǒng)對單位階躍輸入信號的瞬態(tài)響應(yīng)特性，為了說明控制系統(tǒng)對單位階躍輸入信號的瞬態(tài)響應(yīng)特性，

5、通常采用下列一些性能指標(biāo)。通常采用下列一些性能指標(biāo)。 1、延遲時間td：響應(yīng)曲線從運(yùn)動開始第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的一半所需的時間，叫延遲時間。 2、上升時間tr：響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%，所需的時間。上升時間越短，響應(yīng)速度越快。 3、峰值時間tp：響應(yīng)曲線超過其終值到達(dá)第一個峰值所需要的時間。4、調(diào)節(jié)時間ts:在響應(yīng)曲線的穩(wěn)態(tài)線上，用穩(wěn)態(tài)值的百分?jǐn)?shù)（通常取5%或2%）作一個允許誤差范圍，響應(yīng)曲線達(dá)到并永遠(yuǎn)保持在這一允許誤差范圍內(nèi)，所需的時間 ( )( )%100%( )ph thh5、最大超調(diào)量 %trtr、tptp評價系統(tǒng)的響應(yīng)速度評價系統(tǒng)的響應(yīng)速度 . .tsts同時反映響應(yīng)速度和阻

6、尼程度的同時反映響應(yīng)速度和阻尼程度的綜合性指標(biāo)綜合性指標(biāo) . . 評價系統(tǒng)的阻尼程度評價系統(tǒng)的阻尼程度 %3.2 一階系統(tǒng)的時域分析一階系統(tǒng)的時域分析i(t)+r(t)c(t)+（a） 電路圖RC)(trUdtduRCcc)()()(trtCtCTR(s)C(s)（b）方塊圖I(s)R(s)C(s)（c）等效方塊圖11)()()(TSsRsCs當(dāng)初始條件為零時，其傳遞函數(shù)為 這種系統(tǒng)實(shí)際上是一個非周期性的這種系統(tǒng)實(shí)際上是一個非周期性的慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)。下面分別就不同的典型輸入信號，分析該系統(tǒng)的時域響下面分別就不同的典型輸入信號，分析該系統(tǒng)的時域響應(yīng)。應(yīng)。 其中C(t)為電路輸出電壓，r(t)為

7、電路輸入電壓，T=RC為時間常數(shù)。 1、一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng) 其傳遞函數(shù)為( )11/( )( )11/C sTsR sTSSTT11 特征方程：特征方程：01Ts特征根：特征根：11/( )( ) ( )( )( )11/TC ss R sR sR sTSST 1( )1( )( ) r ttR ssTssTsBsAsTssRssC1111111)()()(待定系數(shù)如下待定系數(shù)如下sAsTssRs111)()(1111)()(0SsTsssRsA當(dāng)：當(dāng)：有：有：1111)()(TsBsTssRs11111 - STB(Ts)TTss 當(dāng)：當(dāng)：有：有：tTesCLth 111)()(TssTs

8、TssTssRssC11111111)()()(求拉氏反變換有：求拉氏反變換有：1( )10 tTh tet 圖3-4指數(shù)響應(yīng)曲線1063.2%86.5%95%98.2%99.3%T2T3T4T5T0.632tc(t)=1-ec(t)( )h t傳遞函數(shù)的極點(diǎn)是產(chǎn)生系統(tǒng)響應(yīng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)是產(chǎn)生系統(tǒng)響應(yīng)的瞬態(tài)分量。這一個結(jié)論不僅適的瞬態(tài)分量。這一個結(jié)論不僅適用于一階線性定常系統(tǒng)，而且也用于一階線性定常系統(tǒng)，而且也適用于高階線性定常系統(tǒng)。適用于高階線性定常系統(tǒng)。 Ttd69. 0Ttr20. 2誤差帶）%5(3Tts不存在和pt2、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) 響應(yīng)曲線呈單調(diào)下降，無超調(diào)，無振蕩，在t=

9、0 處下降速率最大，之后速率變小，且下降速率 與時間常數(shù) 成反比，即T越小，下降速率越快。 t( )c t03. 一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng) 21( )*1( )( ) r tttR sS單位斜坡函數(shù)輸入時 TSTSTSSTSsRssC11111)()()(222tTtTTeTteTttc11)1 ()(r(t)c(t)r(t)c(t)t0圖3-5 一階系統(tǒng)的斜坡響應(yīng)所以一階系統(tǒng)跟蹤單位斜坡信號的穩(wěn)態(tài)誤差為 Tteetss)(lim結(jié)論：一階系統(tǒng)在跟蹤單位斜坡信號時，總存在位置誤差，且位置誤差的大小隨時間而增大，最終趨時間常數(shù)T，因此T越大則誤差也越大。 減少時間常數(shù)T不僅可以加快瞬態(tài)響應(yīng)的速度，

10、還可減少系統(tǒng)跟蹤斜坡信號的穩(wěn)態(tài)誤差 4. 一階系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng) 221)(ttr31)(SsRTSTs11)(TSTSTSTSTSDSCSBSASTSsRssC1111)11()()()(2223233當(dāng) )0()1 (21)(122teTTtttctT)1 ()()()(12tTeTTttctrte積分積分積分積分3.3 3.3 二階系統(tǒng)的時域分析二階系統(tǒng)的時域分析22222( )1( )( )221nnnC ssR sST ST0222nnSS二階系統(tǒng)的特征方程： 21,21nnSj 根表達(dá)式： 若系統(tǒng)阻尼比 :0njS2, 1零阻尼系統(tǒng) :10欠阻尼系統(tǒng) 21.2211nnnnnds

11、jj :1ns2 . 1臨阻尼系統(tǒng) :1過阻尼系統(tǒng) :0 負(fù)阻尼系統(tǒng) 02, 1SS1,2 = 為兩個不相等的負(fù)實(shí)根 一對純虛根 （一對復(fù)數(shù)根 ） （一對負(fù)的重實(shí)根 ） 取值范圍不同，特征根形式不同，響應(yīng)特性也不同1. 二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng) (1)欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 1021,21nndSjj n21nd令衰減系數(shù) 阻尼振蕩頻率222222211( )( ) ( )2()()nnnnnndndSC ss R sSSSSSS取拉氏反變換 sin1cos1)(2ttetcddtn211sin()01ntdett 121arccos12 arctg阻尼角阻尼角一對共軛負(fù)復(fù)數(shù)根(2)臨界阻尼1

12、SsRtutr1)(,)()(nnnnnSSSSSsC1)(11)()(2220)1 (11)(tteetethnttntnnn單位階躍響應(yīng)是一條無超調(diào)的單調(diào)上升曲線單位階躍響應(yīng)是一條無超調(diào)的單調(diào)上升曲線取拉氏反變換 21,21nndSjj (3)過阻尼 1SsRtutr1)(,)()(21,21nndSjj 一對負(fù)的重實(shí)根為兩個不相等的負(fù)實(shí)根0)1(121)1(1211)()1(22)1(2222teethttnn=11(4)無阻尼情況無阻尼情況(=0)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為 nnnjs122, 1ttcncos1)(222222221112)(nnnnnnsssssssssC系統(tǒng)一對純虛根系

13、統(tǒng)一對純虛根所以, 無阻尼情況下系統(tǒng)的階躍響應(yīng)是等幅正(余)弦振蕩曲線(如圖3-8所示), 振蕩角頻率是n。根表達(dá)式：根表達(dá)式：其振蕩頻率為而只能測得 實(shí)際控制系統(tǒng)通常有一定的阻尼比，因此不可能通過實(shí)驗(yàn)方法測得 n而只能測得d020040060080010001200140000.20.40.60.811.21.41.61.82011015.二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)計(jì)算 （1）延遲時間td1021,21nndSjj 一對共軛負(fù)復(fù)數(shù)根延遲時間td、上升時間tr、峰值時間tp、調(diào)節(jié)時間ts、最大超調(diào)量%0,)sin(111)(2ttethdtnarccos1,5 . 0)(2arctgthd令令

14、210.60.210.7dnnt10所以當(dāng)所以當(dāng)延遲時間td（2）上升時間tr1)(rth令令21sin()01ntd ret求得 rdt求得 rtn欠阻尼二階系統(tǒng)欠阻尼二階系統(tǒng)的特征參量的特征參量各指標(biāo)之間是有矛盾的各指標(biāo)之間是有矛盾的（3）峰值時間tp對h(t)求導(dǎo)，并令其為零， dpt( )0dh tdt解得（4）最大超調(diào)量%超調(diào)量在峰值時間發(fā)生在tp時刻 %100%100)()()(%21ehhthp（5）調(diào)節(jié)時間ts)02. 0(4)05. 0(3nSnStt20.10.911 當(dāng)通過對調(diào)節(jié)時間、超調(diào)量與阻尼比之間關(guān)系得比較，可以得出如下的基本結(jié)論：調(diào)節(jié)時間 ts、 %21p2 ,

15、100%exp() 100%1rdte某位置控制系統(tǒng)(隨動系統(tǒng))，其閉環(huán)傳遞函數(shù)2( )mKsT SSKmnmTKKT21矛盾阻尼大，超調(diào)小矛盾！矛盾！n一定, tr 速度慢用什么辦法來改善系統(tǒng)性能呢？KnK6二階系統(tǒng)性能的改善二階系統(tǒng)性能的改善在前向通道串連一個一階微分環(huán)節(jié)(PD)，閉環(huán)傳遞函數(shù)變?yōu)椋?222222(1)()( )2(2)ndnndnnnnT SSzsSS TSz SS = +0.5nTd， z=Td-1（零點(diǎn)）（1）比例）比例微分控制微分控制1C(s)R(s)n2s(s+2n)Tds1+TdsC(s)R(s)n2s(s+2n)可通過適當(dāng)選擇微分時間常數(shù)Td，改變系統(tǒng)阻尼比x

16、(變大)；比例微分控制(PD)可以不改變自然頻率wn，但可增大系統(tǒng)的阻尼比x；阻尼比x增大，但自然頻率wn不變，因此系統(tǒng)的性能得到了改善(sp,ts)。但PD控制同時給系統(tǒng)增加了一個閉環(huán)零點(diǎn)，零點(diǎn)是如何影響系統(tǒng)響應(yīng)的還需進(jìn)行深入的研究：2.速度反饋控制標(biāo)準(zhǔn)二階系統(tǒng)加速度負(fù)反饋，其開環(huán)與閉環(huán)傳遞函數(shù)分別變?yōu)椋?20222222( )(2)( )(2)nnnnnnnG ssssss 系統(tǒng)自激振蕩頻率不變，阻尼比增大為： 0.5n sC(s)R(s)n2s(s+2n)結(jié)論：測速反饋會降低系統(tǒng)的開環(huán)增益，從而會加大系統(tǒng)在斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差測速反饋不影響系統(tǒng)的自然頻率不變；系統(tǒng)的阻尼比增大；測速反饋不

17、形成閉環(huán)零點(diǎn)，與PD對系統(tǒng)動態(tài)性能的改善程度不相同； 設(shè)計(jì)時，可適當(dāng)增加原系統(tǒng)的開環(huán)增益，以減小穩(wěn)態(tài)誤差。3.4 3.4 高階系統(tǒng)的時域分析高階系統(tǒng)的時域分析若描述系統(tǒng)的微分方程高于二階，則該系統(tǒng)為高若描述系統(tǒng)的微分方程高于二階，則該系統(tǒng)為高階系統(tǒng)。階系統(tǒng)。從理論上講，高階系統(tǒng)也可以直接由傳遞函數(shù)求出它的時域響應(yīng)，進(jìn)而確定系統(tǒng)的瞬態(tài)性能指標(biāo)。但是，高階系統(tǒng)的分析計(jì)算比較困難，同時，在工程設(shè)計(jì)的許多問題中，過分講究精確往往是不必要的，甚至是無意義的。3.4.1高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)3.4.2閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念3.4.3高階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的近似分析設(shè)系統(tǒng)的所有零點(diǎn)、極點(diǎn)互不相同，且極點(diǎn)中有q個實(shí)數(shù)

18、極點(diǎn)和r對復(fù)數(shù)極點(diǎn)(q+2r=n)，零點(diǎn)中只有實(shí)數(shù)極點(diǎn)，則系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的拉氏變換為()/222iknknk11( ) 1( )( )( )()(2)qn qikM sM sC sD s sssPss 零初始條件下的單位階躍響應(yīng)為：(3-32)iknkqrPt tknk0idkki=1k=1dkB ( ) e+esin( t+ )C t 式中A0、Ai、Bk都是進(jìn)行部分分式展開時所確定的常數(shù)，與系統(tǒng)零極點(diǎn)分布有關(guān)。結(jié)論：1)系統(tǒng)響應(yīng)由穩(wěn)態(tài)值和一些慣性環(huán)節(jié)及振蕩環(huán)節(jié)的瞬態(tài)響應(yīng)分量所組成；2)瞬態(tài)分量取決于它們的指數(shù)Pi、knk的值和相應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)Ai、Bk：系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)距虛軸越遠(yuǎn)，即Pi或knk

19、值越大，則該項(xiàng)衰減越快，反之亦然；瞬態(tài)分量的系數(shù)與閉環(huán)零極點(diǎn)相對位置有關(guān):如果某極點(diǎn)與零點(diǎn)很靠近【偶極子】，則相應(yīng)分量的系數(shù)也很小(Pi-Zi0)，這對零極點(diǎn)對系統(tǒng)過渡過程的影響也將很小。3)即系統(tǒng)的瞬態(tài)特性主要由那些靠近虛軸而又遠(yuǎn)離零點(diǎn)的極點(diǎn)主導(dǎo)極點(diǎn)來決定。 3.4.2 3.4.2 閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的概念如系統(tǒng)的某個(對)極點(diǎn)離虛軸最近，且其附近又無零點(diǎn)存在，而其他所有極點(diǎn)與虛軸的距離都在此極點(diǎn)與虛軸的距離的5倍以上，則系統(tǒng)的瞬態(tài)特性將主要由這個(對)極點(diǎn)來確定，而其它極點(diǎn)的影響可以忽略不計(jì)，這個(對)極點(diǎn)就稱為高階系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)。如：s1s2s3n主導(dǎo)極點(diǎn)示意圖5ns1,2是

20、主導(dǎo)極點(diǎn)，因?yàn)镽es35Res1高階系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)常常是共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，因此高階系統(tǒng)可以常用主導(dǎo)極點(diǎn)構(gòu)成的二階系統(tǒng)來近似。相應(yīng)的性能指標(biāo)可按二階系統(tǒng)的各項(xiàng)指標(biāo)來估計(jì)。在設(shè)計(jì)高階系統(tǒng)時，常利用主導(dǎo)極點(diǎn)的概念來選擇系統(tǒng)參數(shù)，使系統(tǒng)具有預(yù)期的一對共軛復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)，故可以近似的用二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)來設(shè)計(jì)系統(tǒng)。閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的應(yīng)用1)閉環(huán)零點(diǎn)的作用為減小峰值時間，使系統(tǒng)響應(yīng)速度加快，并且閉閉環(huán)零點(diǎn)的作用為減小峰值時間，使系統(tǒng)響應(yīng)速度加快，并且閉環(huán)零點(diǎn)越接近虛軸，這種作用越顯著；環(huán)零點(diǎn)越接近虛軸，這種作用越顯著；2)閉環(huán)非主導(dǎo)極點(diǎn)的作用為增大峰值時間，使系統(tǒng)響應(yīng)速度變緩；閉環(huán)非主導(dǎo)極點(diǎn)的作用為增大峰值時間，使

21、系統(tǒng)響應(yīng)速度變緩；3)若閉環(huán)零、極點(diǎn)彼此接近，則它們對系統(tǒng)響應(yīng)速度的影響相互削若閉環(huán)零、極點(diǎn)彼此接近，則它們對系統(tǒng)響應(yīng)速度的影響相互削弱；弱；4)若系統(tǒng)不存在閉環(huán)零點(diǎn)和非主導(dǎo)極點(diǎn)，則式若系統(tǒng)不存在閉環(huán)零點(diǎn)和非主導(dǎo)極點(diǎn)，則式(369)還原為式還原為式(322)。在控制系統(tǒng)的分析研究中，最重要的問題是系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。不穩(wěn)定的系統(tǒng)在受到外界或內(nèi)部的一些因素?cái)_動時，會使被控制量偏離原來的平衡工作狀態(tài)，并隨時間的推移而發(fā)散。因此，不穩(wěn)定的系統(tǒng)是無法正常工作的。在這一節(jié)中將討論穩(wěn)定性的定義，穩(wěn)定的充要條件及判別穩(wěn)定性的基本方法。3.5.1 穩(wěn)定的概念與定義3.5.2 線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件3.5.3 穩(wěn)

22、定判據(jù)1 穩(wěn)定的概念與定義穩(wěn)定性有多種定義，這里只討論其中最常用的一種，即漸近穩(wěn)定性漸近穩(wěn)定性：穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的固有特性，與外界輸入信號無關(guān)。在下面的討論中，如果系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是建立在小偏差線性化的基礎(chǔ)上，則認(rèn)為系統(tǒng)中各信號的變化均不超出其線性范圍。此時，該系統(tǒng)采用上述的穩(wěn)定性的定義。 2線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件假設(shè)系統(tǒng)的初始條件為零，外部激勵為輸入信號 ( )( )r tt線性系統(tǒng)穩(wěn)定要滿足 的條件，實(shí)際上取決于其特征根，也即系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn) .( )0limtg tc(t)=A0+A1es1t+Anesnt 3 3勞思勞思赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)

23、（1）赫赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù) 系統(tǒng)特征方程： 043223140asasasasa4203142031000000aaaaaaaaaa系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：特征方程的全部系數(shù)都為正，特征方程的全部系數(shù)都為正，且主行列式及對角線上的子行且主行列式及對角線上的子行列式都大于零。列式都大于零。 000000000000, 0, 0, 0246403142031321413314203123021203114321aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa即：即：當(dāng)系統(tǒng)特征方程的次數(shù)當(dāng)系統(tǒng)特征方程的次數(shù)較高時，應(yīng)用赫爾維茨較高時，應(yīng)用赫爾維茨判據(jù)的計(jì)算工作

24、量較大判據(jù)的計(jì)算工作量較大 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：特征方程所有系數(shù)均為正，則系統(tǒng)可能系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：特征方程所有系數(shù)均為正，則系統(tǒng)可能穩(wěn)定，則可用勞斯判據(jù)判穩(wěn)。勞思表中第一列的所有元素都大于零，穩(wěn)定，則可用勞斯判據(jù)判穩(wěn)。勞思表中第一列的所有元素都大于零，系統(tǒng)必定穩(wěn)定。系統(tǒng)必定穩(wěn)定。 (2) (2)勞思穩(wěn)定判據(jù)勞思穩(wěn)定判據(jù)系統(tǒng)特征方程的標(biāo)準(zhǔn)形式： 01110nnnnaSaSaSa02461135721234312342121101nnnnSaaaaSaaaaSbbbbSccccSeeSfSg141713131512121311170613150412130211bbaabcbbaabcbbaa

25、bcaaaaabaaaaabaaaaab判別方法：如果勞斯表中第一列的系數(shù)均為正值，則其特征方程式的根都在S的左半平面，相應(yīng)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。如果勞斯表中第一列系數(shù)的符號有變化，其變化的次數(shù)等于該特征方程式的根在S的右半平面上的個數(shù)，相應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。舉例(1)三階系統(tǒng)特征方程式： 0322130asasasa30130213122030asaaaaasaasaas列勞斯表： 系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是： 0)(0, 0, 0, 030213210aaaaaaaa特殊情況一（第一列中有一元素為零） 012234ssss10221221110234sssss22, 0有兩個根位于右半平面，系統(tǒng)不穩(wěn)

26、定。 注意：勞斯表每列元素同時乘或除某一個數(shù)，不影響計(jì)算結(jié)果。特殊情況二（勞斯表中一行元素均為零）： 0161620128223456ssssss征方程為: 80348301240008610161221620810233456ssssssss輔助方程：sssAsssA124)(86)(324 第一列沒改變符號，右半平面沒有根 08624 ss2,20)2)(4(842864321222424jPjPsssssss有一對共軛虛根。輔助方程： 至少有三種情況：1、特征方程有一對實(shí)根，大小相等，符號相反2、有一對虛根3、有對稱于S平面原點(diǎn)的共軛復(fù)根 舉例：試用勞斯判據(jù)確定系統(tǒng)穩(wěn)定的開環(huán)增益K的取值

27、范圍 ) 125. 0)(11 . 0(SSSKR(s)C(s)kssskksssksWB4040144040)4)(10(40)(3閉環(huán)傳函： 系統(tǒng)特征方程式：040401423kssskskskss400144056040144010123為使系統(tǒng)穩(wěn)定，必須 40k0即k00k14 5604001414kKk0是終值定理3、階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差與靜態(tài)位置誤差系數(shù) .)(,)(000SRsRRRtr常量。000000( )lim( )limlim* ( )*1( ) ( )1( ) ( )1lim( ) ( )1ssssssRRsR sssesE sR sH s G sH s G sH

28、s G ssKp0lim( ) ( )psKH s G s靜態(tài)位置誤差系數(shù):pK令1,0,KKp1,00,10constKRess則000lim( )( )( )( )sKKG s H sG s Hsss由如果要求對于階躍作用下不存在穩(wěn)態(tài)誤差，則必須選用型及型以上的系統(tǒng)。習(xí)慣上，階躍輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差稱為靜差。 4、斜坡輸入作用下的靜態(tài)誤差與靜態(tài)速度誤差系數(shù) 0002( )( ) =vr tv tvconstR ss)673()()(lim)()(lim)()(1lim00000200vsssssKvsGsSHvsGsSHSvsGsHSvSe)683(lim)()(lim100SKsGsSH

29、Kssv令稱為靜態(tài)速度誤差系數(shù) ，指系統(tǒng)在速度(斜坡)輸入作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出與輸入之間存在 2100KKv20100Kvess000lim( )( )( )( )sKKG s H sG s Hsss由結(jié)論：0型系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時不能跟蹤斜坡輸入型系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時能跟蹤斜坡輸入，但存在一個穩(wěn)態(tài)位置誤差型及型以上系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)時能準(zhǔn)確跟蹤斜坡輸入信號，不存在位置誤差 5、加速度輸入作用下的靜態(tài)誤差與靜態(tài)加速度誤差系數(shù) )613()(,21)(30020由式SasRconstatatr)693(lim)()(lim)()(1lim)(lim0022003000assssssKasHsGSSasHsGSaSsSEe

30、)703(lim)()(lim2020vssaSKsHsGSK度誤差系數(shù)定義為系統(tǒng)的靜態(tài)加速aK321 , 00KKa3021 , 00constKaess令令 令令關(guān)）有關(guān)、開環(huán)傳遞函數(shù)有就越?。ㄅc系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差靜態(tài)誤差系數(shù)K分析結(jié)論：（1）系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與輸入信號有關(guān)（2）系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與開環(huán)放大倍數(shù)K基本成反比關(guān)系。對于有差的系統(tǒng)，K值越大穩(wěn)態(tài)誤差越小。（3）系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與開環(huán)傳遞函數(shù)的積分環(huán)節(jié)數(shù)有關(guān)。積分環(huán)節(jié)數(shù)增加，穩(wěn)態(tài)誤差減小，但 同時系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。 0/K例例 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，求求 r(tr(t) )分別為分別為A1(t), At, AtA1(t), A

31、t, At2 2/2 /2 時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。解解KTssTsssRsEse )1()1()()()()( 1)(tAtr 0)1()1(lim01 sAKTssTsssessstAtr )(KAsAKTssTsssesss 202)1()1(lim22)(tAtr 303)1()1(limsAKTssTsssesss 系統(tǒng)自身的結(jié)構(gòu)參數(shù)系統(tǒng)自身的結(jié)構(gòu)參數(shù)影響影響 e essss 的因素：的因素： 外作用的形式（階躍、斜坡或加速度等）外作用的形式（階躍、斜坡或加速度等） 外作用的類型（控制量，擾動量及作用點(diǎn)）外作用的類型（控制量，擾動量及作用點(diǎn)）構(gòu)根據(jù)定義求解構(gòu)根據(jù)定義求解例例 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，已知輸入系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，已知輸入 , 求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。242)(tttr 解解)() 1()(21assTsKsG 21vaKK)1()()(121 TsKassKs0)(1123 KTsKasssDttr2)(1 01 sse2222184)(tttr 128KaKAess 1218Kaeeessssss 首先判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定首先判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定勞斯表勞斯表6、擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差 )(sR)(sG)(sE)(1sG)(sG)(2sG)(sH)(sC)(sN- -N N( (s s) )C C(