南大復(fù)變函數(shù)與積分變換拉普拉斯變換的應(yīng)用及綜合舉例學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1南大復(fù)變函數(shù)與積分變換拉普拉斯變換南大復(fù)變函數(shù)與積分變換拉普拉斯變換的應(yīng)用及綜合舉例的應(yīng)用及綜合舉例第一頁，編輯于星期一：十六點(diǎn) 四十四分。一、求解常微分方程一、求解常微分方程( (組組) ) 步驟步驟 得到象函數(shù)得到象函數(shù)求求解解微分方程微分方程( (組組) )象函數(shù)的象函數(shù)的代數(shù)方程代數(shù)方程( (組組) )Laplace正變換正變換微分方程微分方程( (組組) )的解的解Laplace逆變換逆變換(1) 將將微分方程微分方程( (組組) )化為象函數(shù)的代數(shù)方程化為象函數(shù)的代數(shù)方程( (組組) )； (2) 求解代數(shù)方程得到象函數(shù)；求解代數(shù)方程得到象函數(shù)； (3) 求求 Laplac

2、e 逆變換得到逆變換得到微分方程微分方程( (組組) )的的解。解。 . )0()0()0()( )()1(21)( nnnnnffsfssFstf工具工具 第1頁/共26頁第二頁，編輯于星期一：十六點(diǎn) 四十四分。,0)()0()0()(22 sYysysYs .)(22 ssY對(duì)方程兩邊取對(duì)方程兩邊取 Laplace 變換，有變換，有 (2) 求求 Laplace 逆變換，得逆變換，得 , )()(tysY 解解 (1) 令令 )()(1sYty .sint 代入初值即得代入初值即得 ,0)()(22 sYsYs P218 例例9.6 第2頁/共26頁第三頁，編輯于星期一：十六點(diǎn) 四十四分。

3、對(duì)方程兩邊取對(duì)方程兩邊取 Laplace 變換，并代入初值得變換，并代入初值得 (2) 求求 Laplace 逆變換，得逆變換，得 , )()(txsX 解解 (1) 令令 ,16)()(3)(3)(23 ssXssXsXssXs.)1(! 3)(4 ssX求解此方程得求解此方程得 )()(1sXtx .e3tt 第3頁/共26頁第四頁，編輯于星期一：十六點(diǎn) 四十四分。對(duì)方程組兩邊取對(duì)方程組兩邊取 Laplace 變換，并代入初值得變換，并代入初值得 , )()(txsX 解解 (1) 令令 , )()(tysY ,11)()(1)( ssYsXssX.12)(2)(31)( ssYsXssY

4、 ,11)( ssX.11)( ssY求求解得解得 整理得整理得 ,1)()()1( sssYsXs.11)()2()(3 sssYssX P229 例例9.19 第4頁/共26頁第五頁，編輯于星期一：十六點(diǎn) 四十四分。, )()(txsX 解解 (1) 令令 , )()(tysY ,11)( ssX.11)( ssY求求解得解得 .)()(ettytx (2) 求求 Laplace 逆變換，逆變換，得得 第5頁/共26頁第六頁，編輯于星期一：十六點(diǎn) 四十四分。對(duì)方程組兩邊取對(duì)方程組兩邊取 Laplace 變換，并代入初值得變換，并代入初值得 , )()(txsX 解解 (1) 令令 , )(

5、)(tysY ,)()(e2ssYsssX .2)()(2e3sssYssX 求求解得解得 .0)( sY,1)(esssX , )1()( tutx.0)( ty(2) 求求 Laplace 逆變換，逆變換，得得 第6頁/共26頁第七頁，編輯于星期一：十六點(diǎn) 四十四分。)1()1()()1()( tuttuttf, )1()1()()( tuttuttu如圖，如圖， 解解 ,1 )(stu 由于由于 ,1 )(2stut 利用利用線性性質(zhì)線性性質(zhì)及及延遲性質(zhì)延遲性質(zhì)有有 .111 )(e22sssstf 1 1 )(tft)()1(tut ) 1()1( tut)(tf函數(shù)函數(shù) 可寫為可寫為

6、 二、綜合舉例二、綜合舉例 P231 例例9.21 第7頁/共26頁第八頁，編輯于星期一：十六點(diǎn) 四十四分。對(duì)方程兩邊取對(duì)方程兩邊取 Laplace 變換，并代入初值有變換，并代入初值有 , )()(txsX 解解 (1) 令令 ,11)(3 1)(41)(2 ssXssXssXs)3()1(66)(22 sssssX.)3(43)1(21)1(472 sss(2) 求求 Laplace 逆變換，得逆變換，得 .432147)(3eeetttttx 第8頁/共26頁第九頁，編輯于星期一：十六點(diǎn) 四十四分。對(duì)方程兩邊取對(duì)方程兩邊取 Laplace 變換有變換有 (2) 求求 Laplace 逆變

7、換，得逆變換，得 , )()(txsX 解解 (1) 令令 ,1)1()1(22)(2)(22 sssXssXsXs. 1)1()1(2)(22 sssX.sinettt )()(1sXtx e221)1(2 sst)( e1121 ste1121 stt第9頁/共26頁第十頁，編輯于星期一：十六點(diǎn) 四十四分。,211)()()()(22sssYssXsXssYs .1)()(2)()(2222ssXssYsXssYs ,)1(2)()()1(2 sssssXsYs.)1(1)()1()(22 sssXsssY整理得整理得 對(duì)方程組兩邊取對(duì)方程組兩邊取 Laplace 變換，并代入初值得變換，

8、并代入初值得 , )()(txsX 解解 (1) 令令 , )()(tysY 求解得求解得 .)1(1)(2 sssY,)1(12)(22 ssssX第10頁/共26頁第十一頁，編輯于星期一：十六點(diǎn) 四十四分。, )()(txsX 解解 (1) 令令 , )()(tysY .)1(1)(2 sssY求解得求解得 ,)1(12)(22 ssssX.1)(eetttty ,)(ettttx (2) 求求 Laplace 逆變換，逆變換，得得 ,)1(1122 ss.)1(11112 sss第11頁/共26頁第十二頁，編輯于星期一：十六點(diǎn) 四十四分。對(duì)方程組兩邊取對(duì)方程組兩邊取 Laplace 變換

9、，并代入初值得變換，并代入初值得 , )()(txsX 解解 (1) 令令 , )()(tysY ,112)(2)(2123)(2 sssYsXssXs.2)(221)(23)(32ssYssYsssX ,2)1(23)(2sssX ,231)1(21)(3ssssY 第12頁/共26頁第十三頁，編輯于星期一：十六點(diǎn) 四十四分。, )()(txsX 解解 (1) 令令 , )()(tysY ,2)1(23)(2sssX ,231)1(21)(3ssssY (2) 求求 Laplace 逆變換，逆變換，得得 .232121)(2e ttyt,223)(ettxt 第13頁/共26頁第十四頁，編輯

10、于星期一：十六點(diǎn) 四十四分。(2) 令令 , )()(tfsF .6)(3tatatf (3) 求求 Laplace 逆變換，逆變換，得得 解解 (1) 由于由于 ,d)sin()(sin)(0 txxtxfttf因此原方程為因此原方程為 .sin)()(ttftatf 在方程兩邊取在方程兩邊取 Laplace 變換得變換得 sin)()(tsFtasF ,11)(22 ssFsa.)(42sasasF P232 例例9.24 ( (跳過跳過?)?)第14頁/共26頁第十五頁，編輯于星期一：十六點(diǎn) 四十四分。, )()(0tFtxm .0)0()0( xx,)(02FsXms .1)(20sm

11、FsX .)(0tmFtx 求求 Laplace 逆變換，得物體的運(yùn)動(dòng)方程為逆變換，得物體的運(yùn)動(dòng)方程為 根據(jù)根據(jù) Newton 定律有定律有 解解 設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為 , )(txx 在方程兩邊取在方程兩邊取 Laplace 變換得變換得 令令 , )()(txsX P230 例例 9.20 第15頁/共26頁第十六頁，編輯于星期一：十六點(diǎn) 四十四分。,)()(sEssILsIR )()(sLRsEsI .11 LRssRE求解此方程得求解此方程得 .1)()e(tLRREti 求求Laplace逆變換，得逆變換，得 設(shè)有如圖所示的設(shè)有如圖所示的 R 和和 L 串聯(lián)電路，在串

12、聯(lián)電路，在 時(shí)刻接到直流時(shí)刻接到直流 0 t. )(ti例例 K E L R 電勢電勢 E 上，求電流上，求電流 由由 Kirchhoff 定律知，定律知， )(ti解解 滿足方程滿足方程 .0)0( i,)()(EtiLtiR 在方程兩邊取在方程兩邊取 Laplace 變換得變換得 令令 , )()(tisI P233 例例9.25 第16頁/共26頁第十七頁，編輯于星期一：十六點(diǎn) 四十四分。解解 (1) 由由 Newton 定律及定律及 Hooke 定律有定律有 . )()()(txktftxm 即物體運(yùn)動(dòng)的微分方程為即物體運(yùn)動(dòng)的微分方程為 , )()()(tftxktxm .0)0()0

13、( xx位置位置 處開始運(yùn)動(dòng)，處開始運(yùn)動(dòng)， 的外力為的外力為 。 例例 質(zhì)量為質(zhì)量為 m 的物體掛在彈簧系數(shù)為的物體掛在彈簧系數(shù)為 k 的彈簧一端的彈簧一端( (如圖如圖) ) )(tf0 x. )(tx若物體自靜止平衡若物體自靜止平衡 求該物體求該物體 的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的運(yùn)動(dòng)規(guī)律 ，作用在物體上，作用在物體上 ( (跳過跳過?)?)第17頁/共26頁第十八頁，編輯于星期一：十六點(diǎn) 四十四分。解解 (1) , )()()(tftxktxm .0)0()0( xx對(duì)方程組兩邊取對(duì)方程組兩邊取 Laplace 變換，并代入初值得變換，并代入初值得 , )()(txsX (2) 令令 , )()(tfsF

14、 , )()()(2sFsXksXsm 記記 ,20mk , )(1)(20200sFsmsX 有有 當(dāng)當(dāng) 具體給出時(shí)，即可以求的運(yùn)動(dòng)方程具體給出時(shí)，即可以求的運(yùn)動(dòng)方程 )(tf. )(tx并利用卷積定理有并利用卷積定理有 ,sin020201ts (3) 由由 .)(sin1 )()(001tftmsXtx 第18頁/共26頁第十九頁，編輯于星期一：十六點(diǎn) 四十四分。解解 ,sin020201ts 利用卷積定理有利用卷積定理有 .)(sin1 )()(001tftmsXtx 當(dāng)當(dāng) 具體給出時(shí)，即可以求的運(yùn)動(dòng)方程具體給出時(shí)，即可以求的運(yùn)動(dòng)方程 )(tf. )(tx(3) 由由 此時(shí)此時(shí) .si

15、n)(00tmAtx 可見，在沖擊力的作用下，運(yùn)動(dòng)為正弦振動(dòng)，可見，在沖擊力的作用下，運(yùn)動(dòng)為正弦振動(dòng)， 振幅為振幅為 ,0 mA角頻率為角頻率為 ,0 稱稱 為該系統(tǒng)的為該系統(tǒng)的自然頻率自然頻率或或固有頻率固有頻率。 0 設(shè)物體在設(shè)物體在 時(shí)受到?jīng)_擊力時(shí)受到?jīng)_擊力 , )()(tAtf 0 t例如例如 A 為常數(shù)。為常數(shù)。 第19頁/共26頁第二十頁，編輯于星期一：十六點(diǎn) 四十四分。 在數(shù)學(xué)軟件在數(shù)學(xué)軟件 Matlab 的符號(hào)演算工具箱中，提供了專用函數(shù)的符號(hào)演算工具箱中，提供了專用函數(shù) 來進(jìn)行來進(jìn)行 Laplace 變換與變換與 Laplace 逆變換。逆變換。 (1) F = laplac

16、e ( f ) 對(duì)函數(shù)對(duì)函數(shù) f ( t ) 進(jìn)行進(jìn)行 Laplace 變換，變換， 三、利用三、利用 Matlab 實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn) Laplace 變換變換 * 對(duì)并返回結(jié)果對(duì)并返回結(jié)果 F ( s )。 (2) f = ilaplace ( F ) 對(duì)函數(shù)對(duì)函數(shù) F ( s ) 進(jìn)行進(jìn)行 Laplace 逆變換，逆變換， 對(duì)并返回結(jié)果對(duì)并返回結(jié)果 f ( t )。 補(bǔ)補(bǔ) ( (跳過跳過?)?)第20頁/共26頁第二十一頁，編輯于星期一：十六點(diǎn) 四十四分。解解 Matlab 程序程序 clear; syms t; f = t*exp( 3*t)*sin(2*t); F = laplace(f)；

17、F=4/(s+3)2+4)2*(s+3) 輸出輸出 求函數(shù)求函數(shù) 的的 Laplace 變換。變換。 例例 tttft2sin)(3e 即即 .4)3()3(4)(22 sssF第21頁/共26頁第二十二頁，編輯于星期一：十六點(diǎn) 四十四分。解解 Matlab 程序程序 clear; syms t; f = sin(t)/t; F = laplace(f); 其中，其中， atan 為為反正切函數(shù)。反正切函數(shù)。 F=atan(1/s) 輸出輸出 求函數(shù)求函數(shù) 的的 Laplace 變換。變換。 例例 tttfsin)( 即即 .arccot1arctan)(sssF 第22頁/共26頁第二十三頁，編輯于星期一：十六點(diǎn) 四十四分。解解 Matlab 程序程序 clear; syms s; F=(s2+2*s+1)/(s2-2*s+5)/(s-3); f = ilaplace(F); 其中，其中， exp為為指數(shù)函數(shù)。指數(shù)函數(shù)。 f = 2*exp(3*t)-exp(t)*cos(2*t)+exp(t)*sin(2*t) 輸出輸出 求函數(shù)求函數(shù) 的的 Laplace 逆變換。逆變換。 例例 )3( )52(12)(22 ssssssF即即 .2sin2cos2)(eee3tttfttt 第23頁/共26頁第二十四頁，編輯于