大學(xué)物理學(xué)課后習(xí)題答案趙近芳全

1、習(xí)題及解答（全）習(xí)題一1-1 與有無不同?和有無不同? 和有無不同?其不同在哪里?試舉例說明解：（1）是位移的模，是位矢的模的增量，即，；（2）是速度的模，即.只是速度在徑向上的分量.有（式中叫做單位矢），則式中就是速度徑向上的分量，不同如題1-1圖所示. 題1-1圖 (3)表示加速度的模，即，是加速度在切向上的分量.有表軌道節(jié)線方向單位矢），所以式中就是加速度的切向分量.(的運算較復(fù)雜，超出教材規(guī)定，故不予討論)1-2 設(shè)質(zhì)點的運動方程為=()，=()，在計算質(zhì)點的速度和加速度時，有人先求出r，然后根據(jù)=，及而求得結(jié)果；又有人先計算速度和加速度的分量，再合成求得結(jié)果，即 =及= 你認為兩種方

2、法哪一種正確？為什么？兩者差別何在？解：后一種方法正確.因為速度與加速度都是矢量，在平面直角坐標系中，有，故它們的模即為而前一種方法的錯誤可能有兩點，其一是概念上的錯誤，即誤把速度、加速度定義作其二，可能是將誤作速度與加速度的模。在1-1題中已說明不是速度的模，而只是速度在徑向上的分量，同樣，也不是加速度的模，它只是加速度在徑向分量中的一部分?；蛘吒爬ㄐ缘卣f，前一種方法只考慮了位矢在徑向（即量值）方面隨時間的變化率，而沒有考慮位矢及速度的方向隨間的變化率對速度、加速度的貢獻。1-3 一質(zhì)點在平面上運動，運動方程為=3+5, =2+3-4.式中以 s計，,以m計(1)以時間為變量，寫出質(zhì)點位置矢

3、量的表示式；(2)求出=1 s 時刻和2s 時刻的位置矢量，計算這1秒內(nèi)質(zhì)點的位移；(3)計算0 s時刻到4s時刻內(nèi)的平均速度；(4)求出質(zhì)點速度矢量表示式，計算4 s 時質(zhì)點的速度；(5)計算0s 到4s 內(nèi)質(zhì)點的平均加速度；(6)求出質(zhì)點加速度矢量的表示式，計算4s 時質(zhì)點的加速度(請把位置矢量、位移、平均速度、瞬時速度、平均加速度、瞬時加速度都表示成直角坐標系中的矢量式)解：（1） (2)將,代入上式即有 (3) (4) 則 (5) (6) 這說明該點只有方向的加速度，且為恒量。1-4 在離水面高h米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，船在離岸S處，如題1-4圖所示當人以(m·)的速率

4、收繩時，試求船運動的速度和加速度的大小 圖1-4解： 設(shè)人到船之間繩的長度為，此時繩與水面成角，由圖可知 將上式對時間求導(dǎo)，得 題1-4圖根據(jù)速度的定義，并注意到,是隨減少的， 即 或 將再對求導(dǎo)，即得船的加速度1-5 質(zhì)點沿軸運動，其加速度和位置的關(guān)系為 2+6，的單位為，的單位為 m. 質(zhì)點在0處，速度為10,試求質(zhì)點在任何坐標處的速度值解： 分離變量： 兩邊積分得 由題知，時，, 1-6 已知一質(zhì)點作直線運動，其加速度為 4+3，開始運動時，5 m，=0，求該質(zhì)點在10s 時的速度和位置 解： 分離變量，得 積分，得 由題知，,故 又因為 分離變量， 積分得 由題知 ,故 所以時1-7

5、一質(zhì)點沿半徑為1 m 的圓周運動，運動方程為 =2+3，式中以弧度計，以秒計，求：(1) 2 s時，質(zhì)點的切向和法向加速度；(2)當加速度的方向和半徑成45°角時，其角位移是多少? 解： (1)時， (2)當加速度方向與半徑成角時，有即 亦即 則解得 于是角位移為1-8 質(zhì)點沿半徑為的圓周按的規(guī)律運動，式中為質(zhì)點離圓周上某點的弧長,，都是常量，求：(1)時刻質(zhì)點的加速度；(2) 為何值時，加速度在數(shù)值上等于解：（1） 則 加速度與半徑的夾角為(2)由題意應(yīng)有即 當時，1-9 半徑為的輪子，以勻速沿水平線向前滾動：(1)證明輪緣上任意點的運動方程為，式中/是輪子滾動的角速度，當與水平線

6、接觸的瞬間開始計時此時所在的位置為原點，輪子前進方向為軸正方向；(2)求點速度和加速度的分量表示式解：依題意作出下圖，由圖可知題1-9圖(1) (2)1-10 以初速度20拋出一小球，拋出方向與水平面成幔60°的夾角，求：(1)球軌道最高點的曲率半徑；(2)落地處的曲率半徑(提示：利用曲率半徑與法向加速度之間的關(guān)系)解：設(shè)小球所作拋物線軌道如題1-10圖所示題1-10圖(1)在最高點，又 (2)在落地點，,而 1-11 飛輪半徑為0.4 m，自靜止啟動，其角加速度為=0.2 rad·，求2s時邊緣上各點的速度、法向加速度、切向加速度和合加速度解：當時，則1-12 如題1-1

7、2圖，物體以相對的速度沿斜面滑動，為縱坐標，開始時在斜面頂端高為處，物體以勻速向右運動，求物滑到地面時的速度解：當滑至斜面底時，則,物運動過程中又受到的牽連運動影響，因此，對地的速度為題1-12圖1-13 一船以速率30km·h-1沿直線向東行駛，另一小艇在其前方以速率40km·h-1沿直線向北行駛，問在船上看小艇的速度為何?在艇上看船的速度又為何? 解：(1)大船看小艇，則有，依題意作速度矢量圖如題1-13圖(a)題1-13圖由圖可知 方向北偏西 (2)小船看大船，則有，依題意作出速度矢量圖如題1-13圖(b)，同上法，得方向南偏東1-14 當一輪船在雨中航行時，它的雨篷

8、遮著篷的垂直投影后2 m的甲板上，篷高4 m 但當輪船停航時，甲板上干濕兩部分的分界線卻在篷前3 m ，如雨滴的速度大小為8 m·s-1，求輪船的速率解： 依題意作出矢量圖如題1-14所示題1-14圖 由圖中比例關(guān)系可知習(xí)題二2-1 一細繩跨過一定滑輪，繩的一邊懸有一質(zhì)量為的物體，另一邊穿在質(zhì)量為的圓柱體的豎直細孔中，圓柱可沿繩子滑動今看到繩子從圓柱細孔中加速上升，柱體相對于繩子以勻加速度下滑，求，相對于地面的加速度、繩的張力及柱體與繩子間的摩擦力(繩輕且不可伸長，滑輪的質(zhì)量及輪與軸間的摩擦不計)解：因繩不可伸長，故滑輪兩邊繩子的加速度均為，其對于則為牽連加速度，又知對繩子的相對加速

9、度為，故對地加速度，由圖(b)可知，為 又因繩的質(zhì)量不計，所以圓柱體受到的摩擦力在數(shù)值上等于繩的張力，由牛頓定律，有 聯(lián)立、式，得討論 (1)若，則表示柱體與繩之間無相對滑動(2)若，則，表示柱體與繩之間無任何作用力，此時, 均作自由落體運動題2-1圖2-2 一個質(zhì)量為的質(zhì)點，在光滑的固定斜面（傾角為）上以初速度運動，的方向與斜面底邊的水平線平行，如圖所示，求這質(zhì)點的運動軌道解: 物體置于斜面上受到重力，斜面支持力.建立坐標：取方向為軸，平行斜面與軸垂直方向為軸.如圖2-2.題2-2圖方向： 方向： 時 由、式消去，得2-3 質(zhì)量為16 kg 的質(zhì)點在平面內(nèi)運動，受一恒力作用，力的分量為6 N

10、，-7 N，當0時，0，-2 m·s-1，0求當2 s時質(zhì)點的 (1)位矢；(2)速度解： (1)于是質(zhì)點在時的速度(2)2-4 質(zhì)點在流體中作直線運動，受與速度成正比的阻力(為常數(shù))作用，=0時質(zhì)點的速度為，證明(1) 時刻的速度為；(2) 由0到的時間內(nèi)經(jīng)過的距離為()1-；(3)停止運動前經(jīng)過的距離為；(4)證明當時速度減至的，式中m為質(zhì)點的質(zhì)量答: (1) 分離變量，得即 (2) (3)質(zhì)點停止運動時速度為零，即t，故有 (4)當t=時，其速度為即速度減至的.2-5 升降機內(nèi)有兩物體，質(zhì)量分別為，且2用細繩連接，跨過滑輪,繩子不可伸長，滑輪質(zhì)量及一切摩擦都忽略不計，當升降機以

11、勻加速g上升時，求：(1) 和相對升降機的加速度(2)在地面上觀察，的加速度各為多少?解: 分別以,為研究對象，其受力圖如圖(b)所示(1)設(shè)相對滑輪(即升降機)的加速度為，則對地加速度；因繩不可伸長，故對滑輪的加速度亦為，又在水平方向上沒有受牽連運動的影響，所以在水平方向?qū)Φ丶铀俣纫酁?，由牛頓定律，有題2-5圖聯(lián)立，解得方向向下(2) 對地加速度為 方向向上在水面方向有相對加速度，豎直方向有牽連加速度，即 ，左偏上2-6一質(zhì)量為的質(zhì)點以與地的仰角=30°的初速從地面拋出，若忽略空氣阻力，求質(zhì)點落地時相對拋射時的動量的增量解: 依題意作出示意圖如題2-6圖題2-6圖在忽略空氣阻力情況

12、下，拋體落地瞬時的末速度大小與初速度大小相同，與軌道相切斜向下,而拋物線具有對軸對稱性，故末速度與軸夾角亦為，則動量的增量為由矢量圖知，動量增量大小為，方向豎直向下2-7 一質(zhì)量為的小球從某一高度處水平拋出，落在水平桌面上發(fā)生彈性碰撞并在拋出1 s，跳回到原高度，速度仍是水平方向，速度大小也與拋出時相等求小球與桌面碰撞過程中，桌面給予小球的沖量的大小和方向并回答在碰撞過程中，小球的動量是否守恒?解: 由題知，小球落地時間為因小球為平拋運動，故小球落地的瞬時向下的速度大小為，小球上跳速度的大小亦為設(shè)向上為軸正向，則動量的增量方向豎直向上，大小 碰撞過程中動量不守恒這是因為在碰撞過程中，小球受到地

13、面給予的沖力作用另外，碰撞前初動量方向斜向下，碰后末動量方向斜向上，這也說明動量不守恒2-8 作用在質(zhì)量為10 kg的物體上的力為N，式中的單位是s，(1)求4s后，這物體的動量和速度的變化，以及力給予物體的沖量(2)為了使這力的沖量為200 N·s，該力應(yīng)在這物體上作用多久，試就一原來靜止的物體和一個具有初速度m·s-1的物體,回答這兩個問題解: (1)若物體原來靜止，則,沿軸正向，若物體原來具有初速，則于是,同理， ,這說明，只要力函數(shù)不變，作用時間相同，則不管物體有無初動量，也不管初動量有多大，那么物體獲得的動量的增量(亦即沖量)就一定相同，這就是動量定理(2)同上理

14、，兩種情況中的作用時間相同，即亦即 解得，(舍去)2-9 一質(zhì)量為的質(zhì)點在平面上運動，其位置矢量為求質(zhì)點的動量及0 到時間內(nèi)質(zhì)點所受的合力的沖量和質(zhì)點動量的改變量解: 質(zhì)點的動量為將和分別代入上式，得,則動量的增量亦即質(zhì)點所受外力的沖量為2-10 一顆子彈由槍口射出時速率為，當子彈在槍筒內(nèi)被加速時，它所受的合力為 F =()N(為常數(shù))，其中以秒為單位：(1)假設(shè)子彈運行到槍口處合力剛好為零，試計算子彈走完槍筒全長所需時間；(2)求子彈所受的沖量(3)求子彈的質(zhì)量解: (1)由題意，子彈到槍口時，有,得(2)子彈所受的沖量將代入，得(3)由動量定理可求得子彈的質(zhì)量2-11 一炮彈質(zhì)量為，以速率

15、飛行，其內(nèi)部炸藥使此炮彈分裂為兩塊，爆炸后由于炸藥使彈片增加的動能為，且一塊的質(zhì)量為另一塊質(zhì)量的倍，如兩者仍沿原方向飛行，試證其速率分別為+, -證明: 設(shè)一塊為，則另一塊為，及于是得 又設(shè)的速度為, 的速度為，則有 聯(lián)立、解得 將代入，并整理得于是有 將其代入式，有又，題述爆炸后，兩彈片仍沿原方向飛行，故只能取證畢2-12 設(shè)(1) 當一質(zhì)點從原點運動到時，求所作的功(2)如果質(zhì)點到處時需0.6s，試求平均功率(3)如果質(zhì)點的質(zhì)量為1kg，試求動能的變化解: (1)由題知，為恒力， (2) (3)由動能定理，2-13 以鐵錘將一鐵釘擊入木板，設(shè)木板對鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進入木板內(nèi)的深度成正比，在

16、鐵錘擊第一次時，能將小釘擊入木板內(nèi)1 cm，問擊第二次時能擊入多深，假定鐵錘兩次打擊鐵釘時的速度相同解: 以木板上界面為坐標原點，向內(nèi)為坐標正向，如題2-13圖，則鐵釘所受阻力為題2-13圖第一錘外力的功為 式中是鐵錘作用于釘上的力，是木板作用于釘上的力，在時，設(shè)第二錘外力的功為，則同理，有 由題意，有 即 所以， 于是釘子第二次能進入的深度為2-14 設(shè)已知一質(zhì)點(質(zhì)量為)在其保守力場中位矢為點的勢能為, 試求質(zhì)點所受保守力的大小和方向解: 方向與位矢的方向相反，即指向力心2-15 一根勁度系數(shù)為的輕彈簧的下端，掛一根勁度系數(shù)為的輕彈簧，的下端一重物，的質(zhì)量為，如題2-15圖求這一系統(tǒng)靜止時

17、兩彈簧的伸長量之比和彈性勢能之比解: 彈簧及重物受力如題2-15圖所示平衡時，有題2-15圖又 所以靜止時兩彈簧伸長量之比為彈性勢能之比為2-16 (1)試計算月球和地球?qū)ξ矬w的引力相抵消的一點，距月球表面的距離是多少?地球質(zhì)量5.98×1024kg，地球中心到月球中心的距離3.84×108m，月球質(zhì)量7.35×1022kg，月球半徑1.74×106m(2)如果一個1kg的物體在距月球和地球均為無限遠處的勢能為零，那么它在點的勢能為多少? 解: (1)設(shè)在距月球中心為處，由萬有引力定律，有經(jīng)整理，得= 則點處至月球表面的距離為 (2)質(zhì)量為的物體在點的引

18、力勢能為2-17 由水平桌面、光滑鉛直桿、不可伸長的輕繩、輕彈簧、理想滑輪以及質(zhì)量為和的滑塊組成如題2-17圖所示裝置，彈簧的勁度系數(shù)為，自然長度等于水平距離，與桌面間的摩擦系數(shù)為，最初靜止于點，繩已拉直，現(xiàn)令滑塊落下,求它下落到處時的速率解: 取點為重力勢能零點，彈簧原長為彈性勢能零點，則由功能原理，有式中為彈簧在點時比原長的伸長量，則聯(lián)立上述兩式，得題2-17圖2-18 如題2-18圖所示，一物體質(zhì)量為2kg，以初速度3m·s-1從斜面點處下滑，它與斜面的摩擦力為8N，到達點后壓縮彈簧20cm后停止，然后又被彈回，求彈簧的勁度系數(shù)和物體最后能回到的高度解: 取木塊壓縮彈簧至最短處

19、的位置為重力勢能零點，彈簧原長處為彈性勢能零點。則由功能原理，有式中，再代入有關(guān)數(shù)據(jù)，解得題2-18圖再次運用功能原理，求木塊彈回的高度代入有關(guān)數(shù)據(jù)，得 ,則木塊彈回高度 題2-19圖2-19 質(zhì)量為的大木塊具有半徑為的四分之一弧形槽，如題2-19圖所示質(zhì)量為的小立方體從曲面的頂端滑下，大木塊放在光滑水平面上，二者都作無摩擦的運動，而且都從靜止開始，求小木塊脫離大木塊時的速度解: 從上下滑的過程中，機械能守恒，以，地球為系統(tǒng)，以最低點為重力勢能零點，則有又下滑過程，動量守恒，以,為系統(tǒng)則在脫離瞬間，水平方向有聯(lián)立，以上兩式，得2-20 一個小球與一質(zhì)量相等的靜止小球發(fā)生非對心彈性碰撞，試證碰后

20、兩小球的運動方向互相垂直證: 兩小球碰撞過程中，機械能守恒，有即 題2-20圖(a) 題2-20圖(b)又碰撞過程中，動量守恒，即有亦即 由可作出矢量三角形如圖(b)，又由式可知三矢量之間滿足勾股定理，且以為斜邊，故知與是互相垂直的2-21 一質(zhì)量為的質(zhì)點位于()處，速度為, 質(zhì)點受到一個沿負方向的力的作用，求相對于坐標原點的角動量以及作用于質(zhì)點上的力的力矩解: 由題知，質(zhì)點的位矢為作用在質(zhì)點上的力為所以，質(zhì)點對原點的角動量為作用在質(zhì)點上的力的力矩為2-22 哈雷彗星繞太陽運動的軌道是一個橢圓它離太陽最近距離為8.75×1010m 時的速率是5.46×104m·s

21、-1，它離太陽最遠時的速率是9.08×102m·s-1這時它離太陽的距離多少?(太陽位于橢圓的一個焦點。)解: 哈雷彗星繞太陽運動時受到太陽的引力即有心力的作用，所以角動量守恒；又由于哈雷彗星在近日點及遠日點時的速度都與軌道半徑垂直，故有 2-23 物體質(zhì)量為3kg，=0時位于, ，如一恒力作用在物體上,求3秒后，(1)物體動量的變化；(2)相對軸角動量的變化 解: (1) (2)解(一) 即 ,即 , 解(二) 題2-24圖2-24 平板中央開一小孔，質(zhì)量為的小球用細線系住，細線穿過小孔后掛一質(zhì)量為的重物小球作勻速圓周運動，當半徑為時重物達到平衡今在的下方再掛一質(zhì)量為的物

22、體，如題2-24圖試問這時小球作勻速圓周運動的角速度和半徑為多少?解: 在只掛重物時，小球作圓周運動的向心力為，即 掛上后，則有 重力對圓心的力矩為零，故小球?qū)A心的角動量守恒即 聯(lián)立、得2-25 飛輪的質(zhì)量60kg，半徑0.25m，繞其水平中心軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)速為900rev·min-1現(xiàn)利用一制動的閘桿，在閘桿的一端加一豎直方向的制動力，可使飛輪減速已知閘桿的尺寸如題2-25圖所示，閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù)=0.4，飛輪的轉(zhuǎn)動慣量可按勻質(zhì)圓盤計算試求：(1)設(shè)100 N，問可使飛輪在多長時間內(nèi)停止轉(zhuǎn)動?在這段時間里飛輪轉(zhuǎn)了幾轉(zhuǎn)?(2)如果在2s內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)速減少一半，需加多大的力?解: (

23、1)先作閘桿和飛輪的受力分析圖(如圖(b)圖中、是正壓力，、是摩擦力，和是桿在點轉(zhuǎn)軸處所受支承力，是輪的重力，是輪在軸處所受支承力題2-25圖（a）題2-25圖(b)桿處于靜止狀態(tài)，所以對點的合力矩應(yīng)為零，設(shè)閘瓦厚度不計，則有對飛輪，按轉(zhuǎn)動定律有，式中負號表示與角速度方向相反 又 以等代入上式，得由此可算出自施加制動閘開始到飛輪停止轉(zhuǎn)動的時間為這段時間內(nèi)飛輪的角位移為可知在這段時間里，飛輪轉(zhuǎn)了轉(zhuǎn)(2)，要求飛輪轉(zhuǎn)速在內(nèi)減少一半，可知用上面式(1)所示的關(guān)系，可求出所需的制動力為2-26 固定在一起的兩個同軸均勻圓柱體可繞其光滑的水平對稱軸轉(zhuǎn)動設(shè)大小圓柱體的半徑分別為和，質(zhì)量分別為和繞在兩柱體上

24、的細繩分別與物體和相連，和則掛在圓柱體的兩側(cè)，如題2-26圖所示設(shè)0.20m, 0.10m，4 kg，10 kg，2 kg，且開始時，離地均為2m求：(1)柱體轉(zhuǎn)動時的角加速度；(2)兩側(cè)細繩的張力解: 設(shè),和分別為,和柱體的加速度及角加速度，方向如圖(如圖b)題2-26(a)圖 題2-26(b)圖(1) ,和柱體的運動方程如下： 式中 而 由上式求得 (2)由式由式2-27 計算題2-27圖所示系統(tǒng)中物體的加速度設(shè)滑輪為質(zhì)量均勻分布的圓柱體，其質(zhì)量為，半徑為，在繩與輪緣的摩擦力作用下旋轉(zhuǎn)，忽略桌面與物體間的摩擦，設(shè)50kg，200 kg,M15 kg, 0.1 m解: 分別以,滑輪為研究對象

25、，受力圖如圖(b)所示對,運用牛頓定律，有 對滑輪運用轉(zhuǎn)動定律，有 又， 聯(lián)立以上4個方程，得題2-27(a)圖 題2-27(b)圖題2-28圖2-28 如題2-28圖所示，一勻質(zhì)細桿質(zhì)量為，長為，可繞過一端的水平軸自由轉(zhuǎn)動，桿于水平位置由靜止開始擺下求：(1)初始時刻的角加速度；(2)桿轉(zhuǎn)過角時的角速度.解: (1)由轉(zhuǎn)動定律，有 (2)由機械能守恒定律，有 題2-29圖2-29 如題2-29圖所示，質(zhì)量為，長為的均勻直棒，可繞垂直于棒一端的水平軸無摩擦地轉(zhuǎn)動，它原來靜止在平衡位置上現(xiàn)有一質(zhì)量為的彈性小球飛來，正好在棒的下端與棒垂直地相撞相撞后，使棒從平衡位置處擺動到最大角度30°

26、處(1)設(shè)這碰撞為彈性碰撞，試計算小球初速的值；(2)相撞時小球受到多大的沖量?解: (1)設(shè)小球的初速度為，棒經(jīng)小球碰撞后得到的初角速度為，而小球的速度變?yōu)椋搭}意，小球和棒作彈性碰撞，所以碰撞時遵從角動量守恒定律和機械能守恒定律，可列式： 上兩式中，碰撞過程極為短暫，可認為棒沒有顯著的角位移；碰撞后，棒從豎直位置上擺到最大角度，按機械能守恒定律可列式： 由式得由式 由式 所以求得(2)相碰時小球受到的沖量為由式求得負號說明所受沖量的方向與初速度方向相反題2-30圖2-30 一個質(zhì)量為M、半徑為并以角速度轉(zhuǎn)動著的飛輪(可看作勻質(zhì)圓盤)，在某一瞬時突然有一片質(zhì)量為的碎片從輪的邊緣上飛出，見題2

27、-30圖假定碎片脫離飛輪時的瞬時速度方向正好豎直向上(1)問它能升高多少?(2)求余下部分的角速度、角動量和轉(zhuǎn)動動能解: (1)碎片離盤瞬時的線速度即是它上升的初速度設(shè)碎片上升高度時的速度為，則有令，可求出上升最大高度為(2)圓盤的轉(zhuǎn)動慣量，碎片拋出后圓盤的轉(zhuǎn)動慣量，碎片脫離前，盤的角動量為，碎片剛脫離后，碎片與破盤之間的內(nèi)力變?yōu)榱?，但?nèi)力不影響系統(tǒng)的總角動量，碎片與破盤的總角動量應(yīng)守恒，即式中為破盤的角速度于是得(角速度不變)圓盤余下部分的角動量為轉(zhuǎn)動動能為題2-31圖2-31 一質(zhì)量為、半徑為R的自行車輪，假定質(zhì)量均勻分布在輪緣上，可繞軸自由轉(zhuǎn)動另一質(zhì)量為的子彈以速度射入輪緣(如題2-31

28、圖所示方向)(1)開始時輪是靜止的，在質(zhì)點打入后的角速度為何值?(2)用,和表示系統(tǒng)(包括輪和質(zhì)點)最后動能和初始動能之比 解: (1)射入的過程對軸的角動量守恒 (2) 2-32 彈簧、定滑輪和物體的連接如題2-32圖所示，彈簧的勁度系數(shù)為2.0 N·m-1；定滑輪的轉(zhuǎn)動慣量是0.5kg·m2，半徑為0.30m ，問當6.0 kg質(zhì)量的物體落下0.40m 時，它的速率為多大? 假設(shè)開始時物體靜止而彈簧無伸長解: 以重物、滑輪、彈簧、地球為一系統(tǒng)，重物下落的過程中，機械能守恒，以最低點為重力勢能零點，彈簧原長為彈性勢能零點，則有又 故有 題2-32圖 題2-33圖2-33

29、空心圓環(huán)可繞豎直軸自由轉(zhuǎn)動，如題2-33圖所示，其轉(zhuǎn)動慣量為，環(huán)半徑為，初始角速度為質(zhì)量為的小球，原來靜置于點，由于微小的干擾，小球向下滑動設(shè)圓環(huán)內(nèi)壁是光滑的，問小球滑到點與點時，小球相對于環(huán)的速率各為多少?解: (1)小球與圓環(huán)系統(tǒng)對豎直軸的角動量守恒，當小球滑至點時，有 該系統(tǒng)在轉(zhuǎn)動過程中，機械能守恒，設(shè)小球相對于圓環(huán)的速率為，以點為重力勢能零點，則有 聯(lián)立、兩式，得(2)當小球滑至點時， 故由機械能守恒，有 請讀者求出上述兩種情況下，小球?qū)Φ厮俣攘?xí)題三3-1 慣性系S相對慣性系以速度運動當它們的坐標原點與重合時，=0，發(fā)出一光波，此后兩慣性系的觀測者觀測該光波的波陣面形狀如何?用直角坐標

30、系寫出各自觀測的波陣面的方程解: 由于時間和空間都是均勻的，根據(jù)光速不變原理，光訊號為球面波波陣面方程為：題3-1圖3-2 設(shè)圖3-4中車廂上觀測者測得前后門距離為2試用洛侖茲變換計算地面上的觀測者測到同一光信號到達前、后門的時間差解: 設(shè)光訊號到達前門為事件，在車廂系時空坐標為，在車站系：光信號到達后門為事件，則在車廂系坐標為，在車站系：于是 或者 3-3 慣性系S相對另一慣性系沿軸作勻速直線運動，取兩坐標原點重合時刻作為計時起點在S系中測得兩事件的時空坐標分別為=6×104m,=2×10-4s，以及=12×104m,=1×10-4s已知在S系中測得該

31、兩事件同時發(fā)生試問：(1)S系相對S系的速度是多少? (2) 系中測得的兩事件的空間間隔是多少?解: 設(shè)相對的速度為，(1) 由題意 則 故 (2)由洛侖茲變換 代入數(shù)值， 3-4 長度=1 m的米尺靜止于S系中，與軸的夾角=30°，S系相對S系沿軸運動，在S系中觀測者測得米尺與軸夾角為45 試求：(1)S系和S系的相對運動速度.(2)S系中測得的米尺長度 解: (1)米尺相對靜止，它在軸上的投影分別為：，米尺相對沿方向運動，設(shè)速度為，對系中的觀察者測得米尺在方向收縮，而方向的長度不變，即故 把及代入則得 故 (2)在系中測得米尺長度為3-5 一門寬為，今有一固有長度()的水平細桿，

32、在門外貼近門的平面內(nèi)沿其長度方向勻速運動若站在門外的觀察者認為此桿的兩端可同時被拉進此門，則該桿相對于門的運動速率至少為多少?解: 門外觀測者測得桿長為運動長度，當時，可認為能被拉進門，則 解得桿的運動速率至少為：題3-6圖3-6兩個慣性系中的觀察者和以0.6c(c表示真空中光速)的相對速度相互接近，如果測得兩者的初始距離是20m，則測得兩者經(jīng)過多少時間相遇?解: 測得相遇時間為測得的是固有時 ， ， ，或者，測得長度收縮，3-7 觀測者甲乙分別靜止于兩個慣性參考系和中，甲測得在同一地點發(fā)生的兩事件的時間間隔為 4s，而乙測得這兩個事件的時間間隔為 5s求：(1) 相對于的運動速度(2)乙測得

33、這兩個事件發(fā)生的地點間的距離解: 甲測得,乙測得，坐標差為(1) 解出 (2) 負號表示3-8 一宇航員要到離地球為5光年的星球去旅行如果宇航員希望把這路程縮短為3光年，則他所乘的火箭相對于地球的速度是多少?解: 3-9 論證以下結(jié)論：在某個慣性系中有兩個事件同時發(fā)生在不同地點，在有相對運動的其他慣性系中，這兩個事件一定不同時證: 設(shè)在系事件在處同時發(fā)生，則，在系中測得 ，即不同時發(fā)生3-10 試證明：(1)如果兩個事件在某慣性系中是同一地點發(fā)生的，則對一切慣性系來說這兩個事件的時間間隔，只有在此慣性系中最短(2)如果兩個事件在某慣性系中是同時發(fā)生的，則對一切慣性關(guān)系來說這兩個事件的空間間隔，

34、只有在此慣性系中最短解: (1)如果在系中，兩事件在同一地點發(fā)生，則，在系中，僅當時，等式成立，最短(2)若在系中同時發(fā)生，即，則在系中，僅當時等式成立，系中最短3-11 根據(jù)天文觀測和推算，宇宙正在膨脹，太空中的天體都遠離我們而去假定地球上觀察到一顆脈沖星(發(fā)出周期無線電波的星)的脈沖周期為 0.50s，且這顆星正沿觀察方向以速度0.8c離我們而去問這顆星的固有周期為多少?解: 以脈沖星為系，固有周期.地球為系，則有運動時，這里不是地球上某點觀測到的周期，而是以地球為參考系的兩異地鐘讀數(shù)之差還要考慮因飛行遠離信號的傳遞時間， 則 3-12 6000m 的高空大氣層中產(chǎn)生了一個介子以速度=0.

35、998c飛向地球假定該介子在其自身靜止系中的壽命等于其平均壽命2×10-6s試分別從下面兩個角度，即地球上的觀測者和介子靜止系中觀測者來判斷介子能否到達地球解: 介子在其自身靜止系中的壽命是固有(本征)時間，對地球觀測者，由于時間膨脹效應(yīng)，其壽命延長了衰變前經(jīng)歷的時間為這段時間飛行距離為因，故該介子能到達地球或在介子靜止系中，介子是靜止的地球則以速度接近介子，在時間內(nèi)，地球接近的距離為經(jīng)洛侖茲收縮后的值為：，故介子能到達地球3-13 設(shè)物體相對S系沿軸正向以0.8c運動，如果S系相對S系沿x軸正向的速度也是0.8c，問物體相對S系的速度是多少?解: 根據(jù)速度合成定理，, 3-14 飛

36、船以0.8c的速度相對地球向正東飛行，飛船以0.6c的速度相對地球向正西方向飛行當兩飛船即將相遇時飛船在自己的天窗處相隔2s發(fā)射兩顆信號彈在飛船的觀測者測得兩顆信號彈相隔的時間間隔為多少?解: 取為系，地球為系，自西向東為()軸正向，則對系的速度，系對系的速度為，則對系(船)的速度為發(fā)射彈是從的同一點發(fā)出，其時間間隔為固有時，題3-14圖中測得的時間間隔為： 3-15 (1)火箭和分別以0.8c和0.6c的速度相對地球向+和-方向飛行試求由火箭測得的速度(2)若火箭相對地球以0.8c的速度向+方向運動，火箭的速度不變，求相對的速度 解: (1)如圖，取地球為系，為系，則相對的速度，火箭相對的速

37、度，則相對()的速度為：或者取為系，則，相對系的速度，于是相對的速度為：(2)如圖，取地球為系，火箭為系，系相對系沿方向運動，速度，對系的速度為,由洛侖茲變換式相對的速度為：相對的速度大小為速度與軸的夾角為題3-15圖3-16 靜止在S系中的觀測者測得一光子沿與軸成角的方向飛行另一觀測者靜止于S系，S系的軸與軸一致，并以0.6c的速度沿方向運動試問S系中的觀測者觀測到的光子運動方向如何?解: 系中光子運動速度的分量為由速度變換公式，光子在系中的速度分量為光子運動方向與軸的夾角滿足在第二象限為在系中，光子的運動速度為 正是光速不變3-17 (1)如果將電子由靜止加速到速率為0.1c，須對它作多少

38、功?(2)如果將電子由速率為0.8c加速到0.9c，又須對它作多少功?解: (1)對電子作的功，等于電子動能的增量，得J=(2) ) 3-18 子靜止質(zhì)量是電子靜止質(zhì)量的207倍，靜止時的平均壽命=2×10-6s，若它在實驗室參考系中的平均壽命= 7×10-6s，試問其質(zhì)量是電子靜止質(zhì)量的多少倍?解: 設(shè)子靜止質(zhì)量為，相對實驗室參考系的速度為，相應(yīng)質(zhì)量為，電子靜止質(zhì)量為，因由質(zhì)速關(guān)系，在實驗室參考系中質(zhì)量為：故 3-19 一物體的速度使其質(zhì)量增加了10%，試問此物體在運動方向上縮短了百分之幾?解: 設(shè)靜止質(zhì)量為，運動質(zhì)量為，由題設(shè) 由此二式得 在運動方向上的長度和靜長分別為

39、和，則相對收縮量為：3-20 一電子在電場中從靜止開始加速，試問它應(yīng)通過多大的電勢差才能使其質(zhì)量增加0.4%?此時電子速度是多少?已知電子的靜止質(zhì)量為9.1×10-31kg解: 由質(zhì)能關(guān)系 所需電勢差為伏特由質(zhì)速公式有： 故電子速度為 3-21 一正負電子對撞機可以把電子加速到動能2.8×109eV這種電子速率比光速差多少? 這樣的一個電子動量是多大?(與電子靜止質(zhì)量相應(yīng)的能量為0.511×106eV)解: 所以 由上式， 由動量能量關(guān)系可得3-22 氫原子的同位素氘(H)和氚(H)在高溫條件下發(fā)生聚變反應(yīng)，產(chǎn)生氦(He)原子核和一個中子(n)，并釋放出大量能量，

40、其反應(yīng)方程為H + HHe + n已知氘核的靜止質(zhì)量為2.0135原子質(zhì)量單位(1原子質(zhì)量單位1.600×10-27kg)，氚核和氦核及中子的質(zhì)量分別為3.0155，4.0015，1.00865原子質(zhì)量單位求上述聚變反應(yīng)釋放出來的能量解: 反應(yīng)前總質(zhì)量為反應(yīng)后總質(zhì)量為質(zhì)量虧損 由質(zhì)能關(guān)系得3-23 一靜止質(zhì)量為的粒子，裂變成兩個粒子，速度分別為0.6c和0.8c求裂變過程的靜質(zhì)量虧損和釋放出的動能解: 孤立系統(tǒng)在裂變過程中釋放出動能，引起靜能減少，相應(yīng)的靜止質(zhì)量減少，即靜質(zhì)量虧損設(shè)裂變產(chǎn)生兩個粒子的靜質(zhì)量分別為和，其相應(yīng)的速度,由于孤立系統(tǒng)中所發(fā)生的任何過程都同時遵守動量守恒定律和能

41、(質(zhì))量守恒定律，所以有注意和必沿相反方向運動，動量守恒的矢量方程可以簡化為一維標量方程，再以c,c代入，將上二方程化為：，上二式聯(lián)立求解可得：, 故靜質(zhì)量虧損由靜質(zhì)量虧損引起靜能減少，即轉(zhuǎn)化為動能，故放出的動能為3-24 有，兩個靜止質(zhì)量都是的粒子，分別以=,=-的速度相向運動，在發(fā)生完全非彈性碰撞后合并為一個粒子求碰撞后粒子的速度和靜止質(zhì)量解: 在實驗室參考系中，設(shè)碰撞前兩粒子的質(zhì)量分別和，碰撞后粒子的質(zhì)量為、速度為，于是，根據(jù)動量守恒和質(zhì)量守恒定律可得： 由于 代入式得 ，即為碰撞后靜止質(zhì)量3-25 試估計地球、太陽的史瓦西半徑解: 史瓦西半徑 地球： 則： 太陽： 則： 3-26 典型

42、中子星的質(zhì)量與太陽質(zhì)量2×1030kg同數(shù)量級，半徑約為10km若進一步坍縮為黑洞，其史瓦西半徑為多少?一個質(zhì)子那么大小的微黑洞(10-15cm)，質(zhì)量是什么數(shù)量級? 解: (1)史瓦西半徑與太陽的相同，(2) 由 得 3-27 簡述廣義相對論的基本原理和實驗驗證解: 廣義相對論的基本原理是等效原理和廣義相對性原理等效原理又分為弱等效原理和強等效原理弱等效原理是：在局部時空中，不可能通過力學(xué)實驗區(qū)分引力和慣性力，引力和慣性力等效強等效原理是：在局部時空中，任何物理實驗都不能區(qū)分引力和慣性力，引力和慣性力等效廣義相對性原理是：所有參考系都是平權(quán)的，物理定律的表述相同習(xí)題八8-1 電量都是的三個點電荷，分別放在正三角形的三個