基本不等式(二)

1、3.43.4基本不等式基本不等式( (二二) )基本不等式：基本不等式：當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a =b時，等號成立時，等號成立.當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立時，等號成立.222(abab aR、b）重要不等式：重要不等式：(0,0)2ababab注意：注意：（1）不同點：兩個不等式的）不同點：兩個不等式的適用范圍適用范圍不同。不同。（2）相同點：當(dāng)且僅當(dāng)）相同點：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立。時，等號成立。構(gòu)造條件構(gòu)造條件三三、應(yīng)用應(yīng)用0,02ababab（）20,0abab ab（）例例1、若若 ,求求 的最小值的最小值.10 xyxx變變1:若若 ,求求 的最小值的最小值.13 3xyxx

2、發(fā)現(xiàn)運算結(jié)構(gòu)，應(yīng)用不等式發(fā)現(xiàn)運算結(jié)構(gòu)，應(yīng)用不等式2293.( )8xf xx求函數(shù)的最小值。的最小值。求函數(shù)) 1(113)(. 22xxxxxf0,02ababab（）0,02ababab2（）應(yīng)用（二）：應(yīng)用（二）：例例2、已知已知 ,求函數(shù)求函數(shù) 的最大值的最大值.01 (1)xyxx 變式變式:已知已知 ,求函數(shù)求函數(shù) 的最大值的最大值.10 (12 )2xyxx 發(fā)現(xiàn)運算結(jié)構(gòu)，應(yīng)用不等式發(fā)現(xiàn)運算結(jié)構(gòu)，應(yīng)用不等式應(yīng)用要點：應(yīng)用要點：一正數(shù)一正數(shù) 二定值二定值 三相等三相等結(jié)論結(jié)論1 1：兩個正數(shù)積為定值，則和有最小值兩個正數(shù)積為定值，則和有最小值結(jié)論結(jié)論2 2：兩個正數(shù)和為定值，則積有

3、最大值兩個正數(shù)和為定值，則積有最大值四四 、鞏固鞏固.,3, 6,. 2., 6,. 1nmnmmnnmnmmnnmnm此時值有最則滿足若正數(shù)此時值有最則滿足若正數(shù)大大933小小26232例例1（1）用籬笆圍一個面積為）用籬笆圍一個面積為100m2的矩形菜園，問這的矩形菜園，問這 個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短。個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短。 最短籬笆是多少？最短籬笆是多少？ （2）一段長為）一段長為36m的籬笆圍成一矩形菜園，問這個的籬笆圍成一矩形菜園，問這個 矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大。矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大。 最大面積是多少？最大面積是多少？

4、反思：由此題我們可反思：由此題我們可以得到什么啟示呢？以得到什么啟示呢？基本不等式在實際問題中的應(yīng)用基本不等式在實際問題中的應(yīng)用解解：（：（1）設(shè)矩形菜園的長為）設(shè)矩形菜園的長為x m，寬為，寬為y m， 則則xy=100，籬笆的長為，籬笆的長為2（x+y）m. 2xyxy2 100,xy 2()40 xy等號當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柈?dāng)且僅當(dāng)x=y時成立，此時時成立，此時x=y=10. 因此，這個矩形的長、寬都為因此，這個矩形的長、寬都為10m時，所用的籬笆最短，時，所用的籬笆最短，最短的籬笆是最短的籬笆是40m. 例例1（1）用籬笆圍一個面積為）用籬笆圍一個面積為100m2的矩形菜園，問這個矩形的的矩形

5、菜園，問這個矩形的 長、寬各為多少時，所用籬笆最短。最短籬笆是多少？長、寬各為多少時，所用籬笆最短。最短籬笆是多少？ （2）一段長為）一段長為36m的籬笆圍成一矩形菜園，問這個矩形的長、的籬笆圍成一矩形菜園，問這個矩形的長、 寬各為多少時，菜園的面積最大。最大面積是多少？寬各為多少時，菜園的面積最大。最大面積是多少？解：解：設(shè)矩形菜園的長為設(shè)矩形菜園的長為xm，寬為，寬為ym，則，則2(x+y)=36即即 x+y=182()2xyxy=81當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)x=y=9時取等號時取等號 當(dāng)這個矩形的長、寬都是當(dāng)這個矩形的長、寬都是9m的時候面積最大，為的時候面積最大，為812mxy例例1（1）用籬

6、笆圍一個面積為）用籬笆圍一個面積為100m2的矩形菜園，問這個矩形的的矩形菜園，問這個矩形的 長、寬各為多少時，所用籬笆最短。最短籬笆是多少？長、寬各為多少時，所用籬笆最短。最短籬笆是多少？ （2）一段長為）一段長為36m的籬笆圍成一矩形菜園，問這個矩形的長、的籬笆圍成一矩形菜園，問這個矩形的長、 寬各為多少時，菜園的面積最大。最大面積是多少？寬各為多少時，菜園的面積最大。最大面積是多少？變式：變式：一段長為一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻的的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長矩形菜園，墻長18m，問這個矩形的長、寬各，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積時多少？為多少

7、時，菜園的面積最大，最大面積時多少？18m解：解：設(shè)菜園的長和寬分別為設(shè)菜園的長和寬分別為xm，ym則則 x+2y=30 xy菜園的面積為菜園的面積為X2y12212()22xy當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時取等號時取等號即當(dāng)矩形菜園的長為即當(dāng)矩形菜園的長為15m，寬為，寬為15/2 m時，時，面積最大為面積最大為2225m2此時此時x=15，y=15/22225 xyS例例2 某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為為4800m3,深為深為3m，如果池底每，如果池底每1m2的造價為的造價為150元，元，池壁每池壁每1m2的造價為的造價為120元，問怎樣設(shè)

8、計水池能使總元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？造價最低，最低總造價是多少元？ 分析分析：此題首先需要由實際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)：此題首先需要由實際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化，即建立函數(shù)關(guān)系式，然后求函數(shù)的最值，化，即建立函數(shù)關(guān)系式，然后求函數(shù)的最值，其中用到了均值不等式定理。其中用到了均值不等式定理。解：設(shè)水池底面一邊的長度為解：設(shè)水池底面一邊的長度為xm， 則水池的寬為則水池的寬為 , 水池的總造價為水池的總造價為y元，根據(jù)題意，得元，根據(jù)題意，得1600240000720()xx29760040272024000016002720240000 xx1600,40,2976000.x

9、xyx即時有最小值1600 x48001600150120(2 32 3)3yxx 因此，當(dāng)水池的底面是邊長為因此，當(dāng)水池的底面是邊長為40m的正方形時，水池的總造的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是價最低，最低總造價是297600元元 評述評述：此題既是不等式性質(zhì)在實際中的應(yīng)用，應(yīng)注意數(shù)學(xué)語言的：此題既是不等式性質(zhì)在實際中的應(yīng)用，應(yīng)注意數(shù)學(xué)語言的應(yīng)用即函數(shù)解析式的建立，又是不等式性質(zhì)在求最值中的應(yīng)用，應(yīng)應(yīng)用即函數(shù)解析式的建立，又是不等式性質(zhì)在求最值中的應(yīng)用，應(yīng)注意不等式性質(zhì)的適用條件。注意不等式性質(zhì)的適用條件。課堂練習(xí)：100頁練習(xí) 14小結(jié)：小結(jié)：1、用均值不等式解決實際問題時，應(yīng)按

10、如下、用均值不等式解決實際問題時，應(yīng)按如下步驟進(jìn)行步驟進(jìn)行： (1)先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時一般把要先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；求最大值或最小值的變量定為函數(shù)； (2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；為函數(shù)的最大值或最小值問題； (3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值； (4)正確寫出答案正確寫出答案. 2、在用均值不等式求函數(shù)的最值，是值得重視、在用均值不等式求函數(shù)的最值，是值得重視的一種方法，但在具體求解時，應(yīng)注意考查下列的一種方法，但在具體求解時，應(yīng)注意考查下列三個條件三個條件：(1)函數(shù)的解析式中，各項均為正數(shù)；函數(shù)的解析式中，各項均為正數(shù)；(2)函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項的和或積必須函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值；有一個為定值；(3)函