高等數(shù)學(xué)課件：w-10-6高斯公式 通量與散度

1、高等數(shù)學(xué) 第第 六六 節(jié)節(jié) 高斯公式高斯公式 通量與散度通量與散度一一. . 高斯公式高斯公式二二. . 應(yīng)應(yīng) 用用三三. . 物理意義物理意義四四. . 小小 結(jié)結(jié)重點(diǎn)重點(diǎn)：高斯公式的應(yīng)用：高斯公式的應(yīng)用難點(diǎn)難點(diǎn)：高斯公式的應(yīng)用高斯公式的應(yīng)用高等數(shù)學(xué)一、高一、高 斯斯 公公 式式dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()( 或或高高 斯斯 (Gauss, K,F), 1777-1855, 德國(guó)德國(guó)高等數(shù)學(xué)這這里里 是是 的的整整個(gè)個(gè)邊邊界界曲曲面面的的外外側(cè)側(cè)， cos,cos,cos是是 上上點(diǎn)點(diǎn)),(zyx處處的的法法向向量量的的方方向向余余弦弦. .證明證明xyzo 由由1 ,

2、 ,2 和和3 三三部部分分組組成成, ,),(1:1yxzz ),(2:2yxzz 3 1 2 3 xyD高等數(shù)學(xué)根據(jù)三重積分的計(jì)算法根據(jù)三重積分的計(jì)算法dxdydzzRdvzRxyDyxzyxz ),(2),(1.),(,),(,12 xyDdxdyyxzyxRyxzyxR根據(jù)曲面積分的計(jì)算法根據(jù)曲面積分的計(jì)算法,),(,),(11 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR( (1 取取下下側(cè)側(cè), , 2 取取上上側(cè)側(cè), , 3 取取外外側(cè)側(cè)) )高等數(shù)學(xué),),(,),(22 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR,),(,),(,12 xyDdxdyyxzyxRyxzyxR dxd

3、yzyxR),(于是于是. 0),(3 dxdyzyxR.),( dxdyzyxRdvzR高等數(shù)學(xué),),( dydzzyxPdvxP同理同理,),( dzdxzyxQdvyQ RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(-高斯公式高斯公式和并以上三式得：和并以上三式得：高等數(shù)學(xué)GaussGauss公式的實(shí)質(zhì)公式的實(shí)質(zhì) 表達(dá)了表達(dá)了空間閉區(qū)域上的三重積分空間閉區(qū)域上的三重積分與與其其邊界曲面上的曲面積分邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系之間的關(guān)系.)coscoscos()( dSRQPdvzRyQxP 由兩類曲面積分之間的關(guān)系知由兩類曲面積分之間的關(guān)系知高等數(shù)學(xué)高斯高斯(1777-1855),

4、 德國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和物理德國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和物理學(xué)家，被譽(yù)為歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，和阿學(xué)家，被譽(yù)為歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，和阿基米德、牛頓并列，同享盛名?；椎隆⑴ｎD并列，同享盛名。高等數(shù)學(xué) 高斯高斯1777年年4月月30日生于不倫瑞克的一個(gè)工匠家庭，日生于不倫瑞克的一個(gè)工匠家庭，1855年年2月月23日卒于格丁根。幼時(shí)家境貧困，但聰敏異常，受一貴族資日卒于格丁根。幼時(shí)家境貧困，但聰敏異常，受一貴族資助才進(jìn)學(xué)校受教育。助才進(jìn)學(xué)校受教育。17951798年在格丁根大學(xué)學(xué)習(xí)年在格丁根大學(xué)學(xué)習(xí)798年轉(zhuǎn)入年轉(zhuǎn)入黑爾姆施泰特大學(xué)，翌年因證明代數(shù)基本定理獲博士學(xué)位。從黑爾姆施泰特大學(xué)，翌年因

5、證明代數(shù)基本定理獲博士學(xué)位。從1807年起擔(dān)任格丁根大學(xué)教授兼格丁根天文臺(tái)臺(tái)長(zhǎng)直至逝世。年起擔(dān)任格丁根大學(xué)教授兼格丁根天文臺(tái)臺(tái)長(zhǎng)直至逝世。 高斯的成就遍及數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，在數(shù)論、非歐幾何、高斯的成就遍及數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，在數(shù)論、非歐幾何、微分幾何、超幾何級(jí)數(shù)、復(fù)變函數(shù)論以及橢圓函數(shù)論等方面均微分幾何、超幾何級(jí)數(shù)、復(fù)變函數(shù)論以及橢圓函數(shù)論等方面均有開(kāi)創(chuàng)性貢獻(xiàn)。他十分注重?cái)?shù)學(xué)的應(yīng)用，并且在對(duì)天文學(xué)、大有開(kāi)創(chuàng)性貢獻(xiàn)。他十分注重?cái)?shù)學(xué)的應(yīng)用，并且在對(duì)天文學(xué)、大地測(cè)量學(xué)和磁學(xué)的研究中也偏重于用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行研究。地測(cè)量學(xué)和磁學(xué)的研究中也偏重于用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行研究。高等數(shù)學(xué)二、應(yīng)用二、應(yīng)用 計(jì)計(jì)算算曲曲面面積積分

6、分 xdydzzydxdyyx)()( 其其中中為為柱柱面面122 yx及及平平 面面3, 0 zz所所圍圍成成的的空空間間閉閉 區(qū)區(qū)域域 的的整整個(gè)個(gè)邊邊界界曲曲面面的的外外側(cè)側(cè). . xozy解解, 0,)(yxRQxzyP 例例1 1311高等數(shù)學(xué), 0, 0, zRyQzyxP dxdydzzy)(原式原式 dzrdrdzr )sin(.29 (利用柱面坐標(biāo)得利用柱面坐標(biāo)得)xozy311高等數(shù)學(xué)使用使用Guass公式時(shí)應(yīng)注意公式時(shí)應(yīng)注意:1.1.RQP,是對(duì)什么變量求偏導(dǎo)數(shù)是對(duì)什么變量求偏導(dǎo)數(shù); ;2 2. .是是否否滿滿足足高高斯斯公公式式的的條條件件; ;3 3. .是是否否取取

7、閉閉曲曲面面的的外外側(cè)側(cè). .高等數(shù)學(xué)xyzoh 例例2 2高等數(shù)學(xué)xyDxyzoh 1 解解空間曲面在空間曲面在 面上的投影域?yàn)槊嫔系耐队坝驗(yàn)閤oyxyD)(:2221hyxhz 補(bǔ)充補(bǔ)充曲面曲面 不是封閉曲面不是封閉曲面, 為利用為利用高斯公式高斯公式取上側(cè)，取上側(cè)，1 構(gòu)成封閉曲面，構(gòu)成封閉曲面，1 .1 圍成空間區(qū)域圍成空間區(qū)域,上上使使用用高高斯斯公公式式在在 高等數(shù)學(xué) dvzyxdSzyx)(2)coscoscos(1222 xyDhyxdzzyxdxdy22,)(2.| ),(222hyxyxDxy 其中其中 xyDhyxdzyxdxdy22, 0)( xyDdxdyyxhdSz

8、yx)()coscoscos(2222221 .214h 高等數(shù)學(xué) 112222)coscoscos(dSzdSzyx xyDdxdyh2.4h 故所求積分為故所求積分為 dSzyx)coscoscos(222421h 4h .214h 高等數(shù)學(xué)例例3 3 dxdyazaxdydzaI)(12化化簡(jiǎn)簡(jiǎn)得得解解3 3).0(,()(222222212) ayxazzyxdxdyazaxdydzI的的上上側(cè)側(cè)半半球球面面為為其其中中求求 : S補(bǔ)補(bǔ)一一塊塊有有向向平平面面 0222zayx取下側(cè)取下側(cè),1 ssaI則則高等數(shù)學(xué) advzdv32,232cossin24420320aadrrdda

9、.2)(231344aaaaI 1 ssaI則則 dvazaSS)(2,公公式式所所圍圍，取取內(nèi)內(nèi)側(cè)側(cè)，由由高高斯斯與與由由設(shè)設(shè).:,)(2224222ayxDadxdyadxdyadxdyazaxdydzxyDSSxy 其其中中高等數(shù)學(xué) 計(jì)計(jì)算算曲曲面面積積分分 yzdxdydzdxyxdydzyI4)1(2)18(2 , , 其其中中 是是由由曲曲線線)31(01 yxyz繞繞 y 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周 所所成成的的曲曲面面, ,它它的的法法向向量量與與 y 軸軸正正向向的的夾夾角角恒恒大大于于2 . . 解解22101xzyyxyz 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)面面方方程程為為繞繞( (如下圖如下圖)

10、)例例4 4高等數(shù)學(xué)xyzo132 * *I且有且有dvzRyQxP)(* dvyyy)4418(yzdxdydzdxyxdydzyI4)1(2)18(2 欲求欲求 dv xzDxzdydxdz3122 3120202rdyrdrd高等數(shù)學(xué) 203)2(2drrr,2 *2)31(2dzdx,32 )32(2 I故故.34 高等數(shù)學(xué)例例4 4解解.1,)2(2223222的的外外側(cè)側(cè)球球面面為為其其中中求求 zyxzyxdxdyzydzdxxdydzI. 0,)2()2(,)2(322232223222 zRyQxPzyxzRzyxyQzyxxP 由于函數(shù)由于函數(shù)P, Q, R在原點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)

11、不存在在原點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)不存在, ,因此因此不能直接應(yīng)用高斯公式不能直接應(yīng)用高斯公式. ., 1,2:2222取取內(nèi)內(nèi)側(cè)側(cè)記記有有向向曲曲面面 rrzyxS.,21所所圍圍與與為為則則 SIIssI高等數(shù)學(xué).,21所所圍圍與與為為則則 SIIssI;00,1 dvI由由高高斯斯公公式式 SSdxdyzydzdxxdydzrzyxdxdyzydzdxxdydzI3322221)2( 1313dvr.22)22(0 I所所圍圍為為 S1.22223433 rrrr高等數(shù)學(xué)三、物理意義三、物理意義-通量與散度通量與散度設(shè)設(shè)有有向向量量場(chǎng)場(chǎng)kzyxRjzyxQizyxPzyxA),(),(),(),(

12、沿沿場(chǎng)場(chǎng)中中某某一一有有向向曲曲面面的的第第二二類類曲曲面面積積分分為為1. 1. 通量的定義通量的定義: : RdxdyQdzdxPdydzdSnASdA0稱稱為為向向量量場(chǎng)場(chǎng)),(zyxA向向正正側(cè)側(cè)穿穿過(guò)過(guò)曲曲面面的的通通量量. .高等數(shù)學(xué)設(shè)設(shè)有有向向量量場(chǎng)場(chǎng)),(zyxA, ,在在場(chǎng)場(chǎng)內(nèi)內(nèi)作作包包圍圍點(diǎn)點(diǎn) M 的的閉閉曲曲面面 , , 包包圍圍的的區(qū)區(qū)域域?yàn)闉?V, ,記記體體積積為為 V. .若若 當(dāng)當(dāng)V收收縮縮成成點(diǎn)點(diǎn)M時(shí)時(shí), , 極限極限VSdAMV lim存在存在, ,則則稱稱此此極極限限值值為為A在在點(diǎn)點(diǎn)M處處的的散散度度, , 記記為為Adiv. .2. 2. 散度的定義散度的定義: :高等數(shù)學(xué)散度在直角坐標(biāo)系下的形式散度在直角坐標(biāo)系下的形式 dSvdvzRyQxPn)( dSvVdvzRyQxPVn1)(1 dSvVzRyQxPn1)(),( dSvVzRyQxPnM1lim積分中值定理積分中值定理,兩邊取極限兩邊取極限,zRyQxPAdiv 高等數(shù)學(xué)高斯公式可寫(xiě)成高斯公式可寫(xiě)成 dSAdvAdivn)coscoscos(0 RQPnAAn 的邊界曲面，的邊界曲面，是空間閉區(qū)域是空間閉區(qū)域其中其中 .的外側(cè)法向量上的投影的外側(cè)法向量上的投影在曲面在曲面是向量是向量 AAn高等數(shù)學(xué)四、小結(jié)四、小結(jié) dSAdvAdivn（1）