現(xiàn)代控制理論復(fù)習(xí)題1

1、現(xiàn)代控制理論復(fù)習(xí)題1二、（15分）考慮由下式確定的系統(tǒng)：試求其狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)的能控標(biāo)準(zhǔn)型、能觀標(biāo)準(zhǔn)型和對(duì)角線標(biāo)準(zhǔn)型，并畫(huà)出能控標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)變量圖。解：能控標(biāo)準(zhǔn)形為能觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形為 對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)形為 三、（10分）在線性控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中，系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣起著很重要的作用。對(duì)系統(tǒng)求其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。解：解法1。容易得到系統(tǒng)狀態(tài)矩陣A的兩個(gè)特征值是，它們是不相同的，故系統(tǒng)的矩陣A可以對(duì)角化。矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量是取變換矩陣， 則因此，從而，解法2。拉普拉斯方法由于故解法3。凱萊-哈密爾頓方法將狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣寫(xiě)成系統(tǒng)矩陣的特征值是-1和-2，故解以上線性方程組，可得因此，四、（15分）已知對(duì)象的狀

2、態(tài)空間模型,是完全能觀的，請(qǐng)畫(huà)出觀測(cè)器設(shè)計(jì)的框圖，并據(jù)此給出觀測(cè)器方程，觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法。 解 觀測(cè)器設(shè)計(jì)的框圖： 觀測(cè)器方程： 其中：是觀測(cè)器的維狀態(tài)，L是一個(gè)np維的待定觀測(cè)器增益矩陣。觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法：由于因此，可以利用極點(diǎn)配置的方法來(lái)確定矩陣L，使得具有給定的觀測(cè)器極點(diǎn)。具體的方法有：直接法、變換法、愛(ài)克曼公式。五、（15分）對(duì)于一個(gè)連續(xù)時(shí)間線性定常系統(tǒng)，試敘述Lyapunov穩(wěn)定性定理，并舉一個(gè)二階系統(tǒng)例子說(shuō)明該定理的應(yīng)用。解連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性定理：線性時(shí)不變系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處漸近穩(wěn)定的充分必要條件是：對(duì)任意給定的對(duì)稱正定矩陣Q，李雅普諾夫矩陣方程有惟一的對(duì)稱正定解P。

3、在具體問(wèn)題分析中，可以選取Q=I?？紤]二階線性時(shí)不變系統(tǒng)：原點(diǎn)是系統(tǒng)的惟一平衡狀態(tài)。求解以下的李雅普諾夫矩陣方程 其中的未知對(duì)稱矩陣將矩陣A和P的表示式代入李雅普諾夫方程中，可得進(jìn)一步可得聯(lián)立方程組從上式解出、和，從而可得矩陣根據(jù)塞爾維斯特方法，可得故矩陣P是正定的。因此，系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。六、（10分）已知被控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是試設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制律，使得閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為-1 j。解系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型是 將控制器代入到所考慮系統(tǒng)的狀態(tài)方程中，得到閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程 該閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程是 期望的閉環(huán)特征方程是通過(guò)可得從上式可解出因此，要設(shè)計(jì)的極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制器是七、

4、（10分）證明：等價(jià)的狀態(tài)空間模型具有相同的能控性。證明對(duì)狀態(tài)空間模型它的等價(jià)狀態(tài)空間模型具有形式其中：T是任意的非奇異變換矩陣。利用以上的關(guān)系式，等價(jià)狀態(tài)空間模型的能控性矩陣是 由于矩陣T是非奇異的，故矩陣，和具有相同的秩，從而等價(jià)的狀態(tài)空間模型具有相同的能控性。八、（15分）在極點(diǎn)配置是控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中的一種有效方法，請(qǐng)問(wèn)這種方法能改善控制系統(tǒng)的哪些性能？對(duì)系統(tǒng)性能是否也可能產(chǎn)生不利影響？如何解決？解：極點(diǎn)配置可以改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，如調(diào)節(jié)時(shí)間、峰值時(shí)間、振蕩幅度。極點(diǎn)配置也有一些負(fù)面的影響，特別的，可能使得一個(gè)開(kāi)環(huán)無(wú)靜差的系統(tǒng)通過(guò)極點(diǎn)配置后，其閉環(huán)系統(tǒng)產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差，從而使得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能變

5、差。改善的方法：針對(duì)階躍輸入的系統(tǒng)，通過(guò)引進(jìn)一個(gè)積分器來(lái)消除跟蹤誤差，其結(jié)構(gòu)圖是構(gòu)建增廣系統(tǒng)，通過(guò)極點(diǎn)配置方法來(lái)設(shè)計(jì)增廣系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器，從而使得閉環(huán)系統(tǒng)不僅保持期望的動(dòng)態(tài)性能，而且避免了穩(wěn)態(tài)誤差的出現(xiàn)?，F(xiàn)代控制理論復(fù)習(xí)題2二、（20分）已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為（1）采用串聯(lián)分解方式，給出其狀態(tài)空間模型，并畫(huà)出對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量圖；（2）采用并聯(lián)分解方式，給出其狀態(tài)空間模型，并畫(huà)出對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量圖。答:（1）將G(s)寫(xiě)成以下形式：這相當(dāng)于兩個(gè)環(huán)節(jié)和串連，它們的狀態(tài)空間模型分別為：和 由于，故可得給定傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)是：將其寫(xiě)成矩陣向量的形式，可得：對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量圖為：串連分解所得狀態(tài)空間實(shí)

6、現(xiàn)的狀態(tài)變量圖（2）將G (s)寫(xiě)成以下形式：它可以看成是兩個(gè)環(huán)節(jié)和的并聯(lián)，每一個(gè)環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間模型分別為：和由此可得原傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)：進(jìn)一步寫(xiě)成狀態(tài)向量的形式，可得：對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量圖為：并連分解所得狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)的狀態(tài)變量圖 三、（20分）試介紹求解線性定常系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的方法，并以一種方法和一個(gè)數(shù)值例子為例，求解線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；答：求解狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的方法有：方法一直接計(jì)算法：根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義來(lái)直接計(jì)算，只適合一些特殊矩陣A。方法二通過(guò)線性變換計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，設(shè)法通過(guò)線性變換，將矩陣A 變換成對(duì)角矩陣或約當(dāng)矩陣，進(jìn)而利用方法得到要求的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。方法三拉普拉斯變

7、換法：。方法四凱萊-哈密爾頓方法根據(jù)凱萊-哈密爾頓定理和，可導(dǎo)出具有以下形式：其中的均是時(shí)間t的標(biāo)量函數(shù)。根據(jù)矩陣A有n個(gè)不同特征值和有重特征值的情況，可以分別確定這些系數(shù)。舉例：利用拉普拉斯變換法計(jì)算由狀態(tài)矩陣所確定的自治系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。由于故四、（10分）解釋狀態(tài)能觀性的含義，給出能觀性的判別條件，并舉例說(shuō)明之。答：狀態(tài)能觀性的含義：狀態(tài)能觀性反映了通過(guò)系統(tǒng)的輸出對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的識(shí)別能力，對(duì)一個(gè)零輸入的系統(tǒng)，若它是能觀的，則可以通過(guò)一段時(shí)間內(nèi)的測(cè)量輸出來(lái)估計(jì)之前某個(gè)時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)。狀態(tài)能觀的判別方法：對(duì)于n階系統(tǒng) 1. 若其能觀性矩陣列滿秩，則系統(tǒng)完全能觀2. 若系統(tǒng)的能觀格拉姆矩陣非奇異

8、，則系統(tǒng)完全能觀。舉例：對(duì)于系統(tǒng)其能觀性矩陣的秩為2，即是列滿秩的，故系統(tǒng)是能觀的。五、（20分）對(duì)一個(gè)由狀態(tài)空間模型描述的系統(tǒng)，試回答：（1）能夠通過(guò)狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)任意極點(diǎn)配置的條件是什么？（2）簡(jiǎn)單敘述兩種極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)方法；（3）試通過(guò)數(shù)值例子說(shuō)明極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)。答：（1）能夠通過(guò)狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)任意極點(diǎn)配置的條件：系統(tǒng)是能控的。（2）極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)方法有直接法、變換法、愛(ài)克曼公式法。直接法驗(yàn)證系統(tǒng)的能控性，若系統(tǒng)能控，則進(jìn)行以下設(shè)計(jì)。設(shè)狀態(tài)反饋控制器u=Kx，相應(yīng)的閉環(huán)矩陣是ABK，閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為由期望極點(diǎn)可得期望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式通過(guò)讓以上兩

9、個(gè)特征多項(xiàng)式相等，可以列出一組以控制器參數(shù)為變量的線性方程組，由這組線性方程可以求出極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋的增益矩陣K。變換法驗(yàn)證系統(tǒng)的能控性，若系統(tǒng)能控，則進(jìn)行以下設(shè)計(jì)。將狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)化為能控標(biāo)準(zhǔn)型，相應(yīng)的狀態(tài)變換矩陣設(shè)期望的特征多項(xiàng)式為而能控標(biāo)準(zhǔn)型的特征多項(xiàng)式為所以，狀態(tài)反饋控制器增益矩陣是（3）采用直接法來(lái)說(shuō)明極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)考慮以下系統(tǒng)設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制器，使閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)為2和3。該狀態(tài)空間模型的能控性矩陣為該能控性矩陣是行滿秩的，所以系統(tǒng)能控。設(shè)狀態(tài)反饋控制器將其代入系統(tǒng)狀態(tài)方程中，得到閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程其特征多項(xiàng)式為由期望的閉環(huán)極點(diǎn)2和3，可得閉環(huán)特征多項(xiàng)式通過(guò)可得由此方程

10、組得到因此，要設(shè)計(jì)的極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制器六、（20分）給定系統(tǒng)狀態(tài)空間模型（1）試問(wèn)如何判斷該系統(tǒng)在李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性？（2）試通過(guò)一個(gè)例子說(shuō)明您給出的方法；（3）給出李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的物理解釋。答：（1）給定的系統(tǒng)狀態(tài)空間模型是一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)，根據(jù)線性時(shí)不變系統(tǒng)穩(wěn)定性的李雅普諾夫定理，該系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件是：對(duì)任意給定的對(duì)稱正定矩陣Q，矩陣方程有一個(gè)對(duì)稱正定解矩陣P。因此，通過(guò)求解矩陣方程，若能得到一個(gè)對(duì)稱正定解矩陣P，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；若得不到對(duì)稱正定解矩陣P，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。一般的，可以選取Q=I。（2）舉例：考慮由以下?tīng)顟B(tài)方程描述的二階線性時(shí)不變系統(tǒng)：原點(diǎn)是該系

11、統(tǒng)的惟一平衡狀態(tài)。求解李雅普諾夫方程：，其中的未知矩陣將矩陣A和P的表示式代入李雅普諾夫方程中，可得為了計(jì)算簡(jiǎn)單，選取Q=2I，則從以上矩陣方程可得：求解該線性方程組，可得：即判斷可得矩陣P是正定的。因此該系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。（3）李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的物理意義：針對(duì)一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)和確定的平衡狀態(tài)，通過(guò)分析該系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中能量的變化來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。具體地說(shuō)，就是構(gòu)造一個(gè)反映系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中能量變化的虛擬能量函數(shù)，沿系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡，通過(guò)該能量函數(shù)關(guān)于時(shí)間導(dǎo)數(shù)的取值來(lái)判斷系統(tǒng)能量在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否減少，若該導(dǎo)數(shù)值都是小于零的，則表明系統(tǒng)能量隨著時(shí)間的增長(zhǎng)是減少的，直至消耗殆盡，表明在系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)上，就是系

12、統(tǒng)運(yùn)動(dòng)逐步趨向平緩，直至在平衡狀態(tài)處穩(wěn)定下來(lái)，這就是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性?，F(xiàn)代控制理論復(fù)習(xí)題3二、（20分）（1）如何由一個(gè)傳遞函數(shù)來(lái)給出其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間模型，試簡(jiǎn)述其解決思路？（2）給出一個(gè)二階傳遞函數(shù)的兩種狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)。解：（1）單輸入單輸出線性時(shí)不變系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式是若，則通過(guò)長(zhǎng)除法，傳遞函數(shù)總可以轉(zhuǎn)化成將 分解成等效的兩個(gè)特殊環(huán)節(jié)的串聯(lián)：可得一個(gè)狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn) 串聯(lián)法 其思想是將一個(gè)n階的傳遞函數(shù)分解成若干低階傳遞函數(shù)的乘積，然后寫(xiě)出這些低階傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)，最后利用串聯(lián)關(guān)系，寫(xiě)出原來(lái)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。并聯(lián)法 其的思路是把一個(gè)復(fù)雜的傳遞函數(shù)分解成若干低階傳遞函數(shù)的和，然

13、后對(duì)每個(gè)低階傳遞函數(shù)確定其狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)，最后根據(jù)并聯(lián)關(guān)系給出原來(lái)傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)。 （2）方法一：將重新寫(xiě)成下述形式：每一個(gè)環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間模型分別為：又因?yàn)?，所以因此，若采用串?lián)分解方式，則系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為：方法二：將重新寫(xiě)成下述形式：每一個(gè)環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間模型分別為：又由于 因此，若采用并聯(lián)分解方式，則系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為：方法三：將重新寫(xiě)成下述形式：則系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為：評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：?jiǎn)栴}（1）10分，由一個(gè)傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型思路清晰，方法正確10分；問(wèn)題（2）10分，兩種狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)方法各5分。 三、（20分）（1）試問(wèn)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的意義是什么？（2）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣是否包含了

14、對(duì)應(yīng)自治系統(tǒng)的全部信息？（3）介紹兩種求解線性定常系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的方法；（4）計(jì)算系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。 解：（1）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的意義是決定狀態(tài)沿著軌線從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到下一個(gè)狀態(tài)的規(guī)律，即初始狀態(tài)x0在狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t,t 0)的作用下，t0時(shí)刻的初始狀態(tài)x0經(jīng)過(guò)時(shí)間tt0后轉(zhuǎn)移到了時(shí)刻t的狀態(tài)x (t)。（2）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣包含了對(duì)應(yīng)自治系統(tǒng)的全部信息；對(duì)于自治系統(tǒng)（3）拉普拉斯變換法、凱萊-哈密爾頓法、線性變換法、直接計(jì)算法。方法一直接計(jì)算法根據(jù)定義，我們已經(jīng)知道上式中的矩陣級(jí)數(shù)總是收斂的，故可以通過(guò)計(jì)算該矩陣級(jí)數(shù)的和來(lái)得到所要求的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。方法二線性變換法如果矩陣A是一個(gè)可對(duì)角化的矩陣

15、，即存在一個(gè)非奇異矩陣T，使得則方法三拉普拉斯變換法方法四凱萊-哈密爾頓法解一個(gè)線性方程組其系數(shù)矩陣的行列式是著名的范德蒙行列式，當(dāng)1,2,L,n互不相同時(shí)，行列式的值不為零，從而從方程組可得惟一解0(t),1 (t),L,n1 (t) 。由可得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。 （4）方法一：線性變換法， 容易得到系統(tǒng)狀態(tài)矩陣A的兩個(gè)特征值是，它們是不相同的，故系統(tǒng)的矩陣A可以對(duì)角化。矩陣A對(duì)應(yīng)與特征值的特征向量是取變換矩陣因此，從而，方法二：拉普拉斯變換法，由于故方法二：凱萊-哈密爾頓法將狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣寫(xiě)成系統(tǒng)矩陣的特征值是-1和-2，故解以上線性方程組，可得因此，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：每個(gè)問(wèn)題5分。問(wèn)題（1）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣

16、的意義敘述完整5分；問(wèn)題（2）判斷正確5分；問(wèn)題（3）給出兩種求解線性定常系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的方法5分；問(wèn)題（3）方法和結(jié)果正確5分。四、（20分）（1）解釋系統(tǒng)狀態(tài)能控性的含義；（2）給出能控性的判別條件，并通過(guò)一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明該判別條件的應(yīng)用；（3）若一個(gè)系統(tǒng)是能控的，則可以在任意短時(shí)間內(nèi)將初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到任意指定的狀態(tài)，這一控制效果在實(shí)際中能實(shí)現(xiàn)嗎？為什么？解：（1）對(duì)一個(gè)能控的狀態(tài)，總存在一個(gè)控制律，使得在該控制律作用下，系統(tǒng)從此狀態(tài)出發(fā)，經(jīng)有限時(shí)間后轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)。（2）通過(guò)檢驗(yàn)?zāi)芸匦耘袆e矩陣是否行滿秩來(lái)判別線性時(shí)不變系統(tǒng)的能控性。若能控性判別矩陣是行滿秩的，則系統(tǒng)是能控的。 試判別由以下?tīng)?/p>

17、態(tài)方程描述的系統(tǒng)的能控性： 系統(tǒng)的能控性判別矩陣 由于即矩陣cA,B不是滿秩的，該系統(tǒng)不是狀態(tài)完全能控的。（3）若一個(gè)系統(tǒng)是能控的，則可以在任意短時(shí)間內(nèi)將初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到任意指定的狀態(tài)，這一控制效果在實(shí)際中難以實(shí)現(xiàn)，T越小，則控制律的參數(shù)越大，從而導(dǎo)致控制信號(hào)的幅值很大，這要求執(zhí)行器的調(diào)節(jié)幅度要很大，從而使得在有限時(shí)間內(nèi)完成這一控制作用所需要消耗的能量也很大。由于在實(shí)際過(guò)程中，執(zhí)行器的調(diào)節(jié)幅度總是有限的（如閥門(mén)的開(kāi)度等），能量供應(yīng)也是有限制的。評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：?jiǎn)栴}（1）系統(tǒng)狀態(tài)能控性的含義敘述完整6分；問(wèn)題(2) 能控性的判別條件4分，舉例3分；問(wèn)題（3）判斷正確3分，原因分析正確4分。五、（20分）

18、（1）能夠通過(guò)狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)任意極點(diǎn)配置的條件是什么？（2）已知被控對(duì)象的狀態(tài)空間模型為設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器，使得閉環(huán)極點(diǎn)為4和5。（3）極點(diǎn)配置是否會(huì)影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能？若會(huì)的話，如何克服？試簡(jiǎn)單敘述之？解：（1）能夠通過(guò)狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)任意極點(diǎn)配置的條件是系統(tǒng)狀態(tài)能控。（2）由于給出的狀態(tài)空間模型是能控標(biāo)準(zhǔn)形，因此，系統(tǒng)是能控的。根據(jù)所期望的閉環(huán)極點(diǎn)是4和5，可得期望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式是因此，所要設(shè)計(jì)的狀態(tài)反饋增益矩陣是相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)矩陣是閉環(huán)傳遞函數(shù)是評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：?jiǎn)栴}（1）給出通過(guò)狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)任意極點(diǎn)配置的條件6分；問(wèn)題（2）狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)方法正確7分；問(wèn)題（3）判斷正確3分，敘述克服方法4

19、分。六、（10分）（1）敘述線性時(shí)不變系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性定理；（2）利用李雅普諾夫穩(wěn)定性定理判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 解：（1）連續(xù)時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性定理；線性時(shí)不變系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處漸近穩(wěn)定的充分必要條件是：對(duì)任意給定的對(duì)稱正定矩陣Q，存在一個(gè)對(duì)稱正定矩陣P，使得矩陣方程 成立。離散時(shí)間線性時(shí)不變系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性定理；線性時(shí)不變系統(tǒng)在平衡點(diǎn)處漸近穩(wěn)定的充分必要條件是：對(duì)任意給定的對(duì)稱正定矩陣Q，矩陣方程存在對(duì)稱正定解矩陣P。（2）原點(diǎn)是系統(tǒng)的惟一平衡狀態(tài)。求解以下的李雅普諾夫方程其中的未知對(duì)稱矩陣將矩陣A和P的表示式代入李雅普諾夫方程中，可得進(jìn)一步將以上矩陣方程展開(kāi)，可得聯(lián)

20、立方程組應(yīng)用線性方程組的求解方法，可從上式解出p11、p12和p22，從而可得矩陣P：根據(jù)矩陣正定性判別的塞爾維斯特方法，可得故矩陣P是正定的。因此，系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：?jiǎn)栴}（1）完整敘述線性時(shí)不變系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性定理5分；問(wèn)題（2）穩(wěn)定性判斷方法和結(jié)果正確5分?，F(xiàn)代控制理論復(fù)習(xí)題4二、（15分）建立一個(gè)合理的系統(tǒng)模型是進(jìn)行系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。已知一單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)的微分方程為：（1）采用串聯(lián)分解方式，給出其狀態(tài)空間模型，并畫(huà)出對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量圖；（7分3分）（2）歸納總結(jié)上述的實(shí)現(xiàn)過(guò)程，試簡(jiǎn)述由一個(gè)系統(tǒng)的n階微分方程建立系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的思路。（

21、5分）解：（1）方法一：由微分方程可得令每一個(gè)環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間模型分別為：又因?yàn)閥1= u1，所以因此，采用串聯(lián)分解方式可得系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為：對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量圖為：方法二：由微分方程可得每一個(gè)環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間模型分別為：又因?yàn)閥1= u1，所以因此，采用串聯(lián)分解方式可得系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為：對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量圖為（2）單輸入單輸出線性時(shí)不變系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式是若bn0，則通過(guò)長(zhǎng)除法，傳遞函數(shù)G(s)總可以轉(zhuǎn)化成將傳遞函數(shù)c(s)/a(s)分解成若干低階(1階)傳遞函數(shù)的乘積，然后根據(jù)能控標(biāo)準(zhǔn)型或能觀標(biāo)準(zhǔn)型寫(xiě)出這些低階傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)，最后利用串聯(lián)關(guān)系，寫(xiě)出原來(lái)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。三、（10

22、分）系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣不僅包含了對(duì)應(yīng)自治系統(tǒng)的全部信息，而且在線性控制系統(tǒng)的分析、設(shè)計(jì)中具有重要的作用。已知系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣如下：（1）試給出對(duì)應(yīng)自治系統(tǒng)的全部信息；（5分）（2）試列舉狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì)，并簡(jiǎn)述其意義。（5分）解：（1）一個(gè)自治系統(tǒng)的全部信息由其狀態(tài)矩陣A描述，可由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t)確定一線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣A。對(duì)任意的t，滿足，而對(duì)等式取t=0，并利用(0)=I，則可得狀態(tài)矩陣A （2）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì)： ，包含對(duì)應(yīng)系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的全部信息； 對(duì)任意的t和s，滿足(t+s)= (t)(s)，即利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可以從任意指定的初始時(shí)刻t0的狀態(tài)x(t0)出發(fā)，以確

23、定任意時(shí)刻t處的狀態(tài)x(t)； 對(duì)任意的t，滿足(t)-1= (-t)，即可以由當(dāng)前的狀態(tài)信息確定以前的狀態(tài)信息。四、（20分）實(shí)際被控系統(tǒng)通常是連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，但計(jì)算機(jī)控制卻是一種基于離散模型的控制，因此一種方法是對(duì)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)做離散化。那么請(qǐng)問(wèn)（1）一個(gè)能控能觀的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，其離散化后的狀態(tài)空間模型是否仍然保持能控能觀性？（2分）（2）以如下線性定常系統(tǒng)為例：說(shuō)明你的理由以支持你的觀點(diǎn)。（10分）（3）令采樣周期T=/2,初始狀態(tài)為，求u(k)，使得（2）中離散化狀態(tài)空間模型在第2個(gè)采樣時(shí)刻轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)。（8分）解：（1）不一定。（2）連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型是能控標(biāo)準(zhǔn)形，故系統(tǒng)是能控的。將狀

24、態(tài)方程離散化，設(shè)采樣周期為T(mén)，系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為根據(jù)，可得到離散化狀態(tài)方程，此時(shí)因此，離散化狀態(tài)空間模型為則離散化系統(tǒng)的能控性矩陣為所以，當(dāng)sin2T=2sin T，即T =k(k=0,1,2,)時(shí)，離散化系統(tǒng)是不能控的；當(dāng)Tk(k=0,1,2)時(shí)，離散化系統(tǒng)是能控的。同理，離散化系統(tǒng)的能觀性矩陣為L(zhǎng)所以，sinT=0，即T =k(k=0,1,2,)時(shí)，離散化系統(tǒng)是不能觀的；當(dāng)Tk(k=0,1,2)時(shí)，離散化系統(tǒng)是能觀的。因此，一個(gè)能控能觀的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，其離散化后的狀態(tài)空間模型不一定仍然是能控能觀的，主要取決與采樣周期T的選擇。（3）當(dāng)采樣周期T=/2時(shí)，離散化狀態(tài)空間模型為可得將式(a)

25、代入式(b)得即整理可得五、（10分）證明：狀態(tài)反饋不改變被控系統(tǒng)的能控性。證明一：采用能控性定義證明，具體見(jiàn)教材P125. 證明二：考慮被控系統(tǒng)（A, B, C, D），則狀態(tài)反饋后得到閉環(huán)系統(tǒng)SK，其狀態(tài)空間模型為開(kāi)環(huán)系統(tǒng)S0的能控性矩陣為閉環(huán)系統(tǒng)SK的能控性矩陣為由于以此類(lèi)推，總可以寫(xiě)成的線性組合。因此，存在一個(gè)適當(dāng)非奇異的矩陣U，使得由此可得：若，即有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量，則也有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量，故，命題得證。六、（20分）雙足直立機(jī)器人可以近似為一個(gè)倒立擺裝置，如圖所示。假設(shè)倒立擺系統(tǒng)的一個(gè)平衡點(diǎn)線性化狀態(tài)空間模型如下：其中，狀態(tài)變量，y是小車(chē)的位移，是擺桿的偏移角，u是作用在小車(chē)上的動(dòng)力。試回答（1）雙足直立機(jī)器人在行走過(guò)程中被人推了一把而偏離垂直面，那么根據(jù)倒立擺原理，請(qǐng)問(wèn)雙足直立機(jī)器人在該擾動(dòng)推力消失后還能回到垂直面位置嗎？（2分）（2）如果不能，那么請(qǐng)你從控制學(xué)的角度，給出兩種能夠使雙足直立機(jī)器人在擾動(dòng)推力消失后回到垂直面位置的方法。（4分）（3）請(qǐng)結(jié)合倒立擺模型，簡(jiǎn)單敘述雙足直立機(jī)器人能控性的含義。（4分）（4）在狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)中，需要用到系統(tǒng)的所有狀態(tài)信息，但根據(jù)倒立擺原理，可測(cè)量的狀態(tài)信息只有水平移動(dòng)的位移y，那么你有什么方法可以實(shí)現(xiàn)這個(gè)狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)？你所用方法的條件是什么？依據(jù)是什么？