數(shù)理方程5PPT學(xué)習(xí)教案

1、數(shù)理方程數(shù)理方程51、Bessel函數(shù)的漸近特性022) 1(!1) 1()(kknknxknkxJ022) 1(!1) 1()(kknknxknkxJnxJnxJxYnnnsin)(cos)()(因此當(dāng)0 x時(shí)0( )1 ( )0 ( )( ) (0)nnnJxJxJxY xn -5.3、傅立葉-貝塞爾級數(shù) 第1頁/共48頁)(0 xJ)(1xJ)(2xJ第2頁/共48頁0Y1Y2Y第3頁/共48頁2、貝塞爾函數(shù)的零點(diǎn)性質(zhì)：mnmnmxx)()(1（3）（1） 有可列無窮多單重零點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對稱分布； )(xJn（2） 的零點(diǎn)與 的零點(diǎn)相間分布； 且前者絕對值的零點(diǎn)更接近于零。)(xJn)

2、(1xJn3、貝塞爾函數(shù)圖的正零點(diǎn)為)(), 3 , 2 , 1()(xJmxnnm 第4頁/共48頁4、貝塞爾函數(shù)和本征值在柱坐標(biāo)系下，拉普拉斯方程02 u經(jīng)過分離變量法)()()(),(zZRzu得到 2222220dzZdZddRRdRdR而由)(的自然周期性條件得到本征值和本征函數(shù)分別為2 (0,1,2,)( )cossinnnAnBn 應(yīng)用Bessel函數(shù)求解數(shù)理方程時(shí)，最終都要把已知函數(shù)按Bessel函數(shù)系展開為級數(shù)。第5頁/共48頁那么剩下的第二個(gè)方程變成2222222111dzZdZmddRRdRdR也即變成兩個(gè)常微分方程222201()0ZZd RdRnRdd式中為待定的本征

3、值，是由齊次邊界條件確定 下面按照00, 0和給出)(zZ的解為 第6頁/共48頁0 sincos0 0 )(zBzABzABeAezZzz)(R的解為()() 0ln 0( ) 0/ 1,2,()() 0nnnnnnnCJDYCDnRCDnCIDK第7頁/共48頁)(, 0R由于圓柱軸上的自然邊界條件，也即當(dāng) 為有限的，因此)(R的解應(yīng)該寫成 0( ) 0 1,2,() () 00nnnCnCCJRnCI對圓柱內(nèi)部問題，若圓柱側(cè)面有齊次的邊界條件，則0底面為齊次邊界條件，則0，也即問題的本征值是由齊次邊界條件決定的。 ；若圓柱上下現(xiàn)在討論圓柱側(cè)面有齊次邊界條件情況，也即0條件決定了本征值，對

4、應(yīng)的( )()nRJ 就是本征函數(shù)。 情況。柱側(cè)的齊次邊界第8頁/共48頁(1) 第一類齊次邊界條件0)(0R，其中0為圓柱半徑，因此0()0nJ因此本征值為( )( )20(/)nnmmx式中( )nmx為( )nJ x的第m 個(gè)零點(diǎn)。(2) 第二類其次邊界條件0)(0R ，也即00()|() 0nndJJd 因此本征值為( )( )20(/)nnmmx( )nmx式中為( )nJx的第m個(gè)零點(diǎn)。對應(yīng)的本征函數(shù)為：( )0( )()nmmnxRJ對應(yīng)的本征函數(shù)為：( )0( )()nmmnxRJ第9頁/共48頁5、貝塞爾函數(shù)的正交關(guān)系0( )( )000()()0 nnmknnxxJJdmk

5、n階Bessel函數(shù)序列在區(qū)間 上帶權(quán) 正交，即), 0(0222221()0()()0d RdRnddRnRRdddd取其解的兩個(gè)值( )( )1200( )() , ( )()nnmknnxxRJRJ分別代入原方程得( )22110() ()0nmddRxnRdd( )22220() ()0nkddRxnRdd證明：第10頁/共48頁( )2212120() ()0nmddRxnRR Rdd( )2221210() ()0nkddRxnRR Rdd兩式相減，并對 從0到 積分，得00022( )( )12211200000nnmkdRdRxxRRR R ddd0( )( )0()()0 n

6、nmknnxxJJdmkRR上面兩式分別乘21, RR22( )( )( )( )2001000000()()0,()()0,0nnnnkmmknnxxxxRJRJ第11頁/共48頁正交（向量正交、函數(shù)正交）cos0 x yx y 1122330 x yx yx y31,0iiix yx y( ) ( ),0baf x g x dxx y無窮維向量求和內(nèi)積第12頁/共48頁6、傅立葉-貝塞爾級數(shù)廣義傅立葉級數(shù) 對級數(shù)展開1)()(nnnxyfxf稱為廣義傅立葉級數(shù)由于廣義傅立葉級數(shù)是絕對且一致收斂的，可以逐項(xiàng)積分。用( ) ( )myx w x乘以展開式兩端且逐項(xiàng)積分 1)()()()()()

7、(nbamnnbamdxxxyxyfdxxxyxf由于基函數(shù)的正交性，上式變成bammbamdxxxyfdxxxyxf)()()()()(2系數(shù) 稱為廣義傅立葉系數(shù)，)(xyn稱為該級數(shù)展開的基。nf第13頁/共48頁因此bammmdxxxyxfNf)()()(12式中bammdxxxyN)()(22稱為基函數(shù))(xym的模。本征函數(shù)族( )()nnmJ是完備的，即可作為廣義傅立葉級數(shù)展開的基函數(shù)。 在區(qū)間, 00上函數(shù))(f的傅立葉-貝塞爾級數(shù)為0( )1( )( ) 20( )()1( )()nmnmmnmnmnmff JffJdN 第14頁/共48頁7、貝塞爾函數(shù)的模貝塞爾函數(shù)( )()

8、nnmJ的模( )nmN為0( ) 2( )20()nnmnmNJd設(shè)( )( )00, nnmmxx，則上式變成0000( ) 22( )022( )02220( )( )01( )1 ( )()211 ( )( )( )2xnmnnmxnnmxxnnnnnmmNJxxdxJxd xx Jxx Jx Jx dx利用貝塞爾方程222( )( )()( )0nnnx JxxJxxnJx第15頁/共48頁則模寫成0000000( ) 222220( )( )0222220( )( )( )00222220( )( )011211 () 211 ()222xxnmnnnnnnnmmxxxnnnnnn

9、nnnmmmxxnnnnmmNx Jx JxJn JJ dxdJnx Jx Jx JdxJ dJdxnx Jd x J00020( )2222200( )( )22( )22( )20000( )11 ()2211 ()()()22xnnmxxnnnnmmnnnmnmnmJxnJx JnJJ第16頁/共48頁因此，對第一類邊界條件( )0()0nnmJ，貝塞爾函數(shù)模的平方為( ) 22( )2001()2nnmnmNJ若把遞推關(guān)系1( )( )/( )nnnJxnJxxJx 代入上式，那么( ) 22( )20101()2nnmnmNJ對第二類邊界條件( )0()0nnmJ，則貝塞爾函數(shù)模的平

10、方為2( ) 22( )200( )1()()2nnmnmnmnNJ第17頁/共48頁例題解析：RdrrJr003)(1、求解RdrrJr033)(2、求解注：（1）上述兩積分都是應(yīng)用Bessel函數(shù)的遞推公式及分部積分 方法計(jì)算的，這是計(jì)算Bessel函數(shù)積分的基本方法，所 以要靈活，熟練 運(yùn)用Bessel函數(shù)的遞推公式。第18頁/共48頁（2）例2中出現(xiàn)了積分 不能靠遞推公式計(jì)算，但注意 為整個(gè)數(shù)軸上收斂的普通冪級數(shù)（收斂半徑為無窮）， 可逐項(xiàng)積分。RdrrJ00)()(0rJ(3) 在計(jì)算積分dxxJxsk)(中，當(dāng)k, s為整數(shù)，且0 sk則：若sk 為奇數(shù)，經(jīng)過遞推公式可直接得出結(jié)果

11、；不能再用遞推公式，必須通過 冪級數(shù)逐項(xiàng)積分求得最終結(jié)果。)(0 xJ為偶數(shù)，經(jīng)過遞推公式，將導(dǎo)出積分dxxJ)(0若sk 第19頁/共48頁3、半徑為R的均勻彈性圓膜，邊緣固定，初始位移為 )(f初始速度為零，試解膜的振動，其中 為圓膜上一點(diǎn)到dRxJNRmnmmn0)(22)()(圓心的距離，又： 4、設(shè) 是 的第m個(gè)正零點(diǎn)，（m=1,2,），將函數(shù)m)(1xJ) 10()(xxxf展開為 的Fourier-Bessel級數(shù)。1()mJx第20頁/共48頁4、圓柱形空腔內(nèi)電磁振蕩的定解問題為：0|zu|zu , 0| , 00lzzarucuu，試證電磁振蕩的固有頻率為： ,.2 , 1,

12、.;2 , 1 , 0 ,)()(22)0(mnlnaxccmmn0)( , 0)0( 0 lZZZZ0)(0)0( 222aRRkRR解：分離變量法得：2k第21頁/共48頁第22頁/共48頁格林函數(shù)法格林函數(shù):又稱點(diǎn)源影響函數(shù)，是數(shù)學(xué)物理中的一個(gè)重要概念格林函數(shù)代表一個(gè)點(diǎn)源在一定的邊界條件和初始條件下所產(chǎn)生的場， 知道了點(diǎn)源的場就可以用迭加的方法計(jì)算出任意源所產(chǎn)生 的場。點(diǎn)源產(chǎn)生的場可以用泊松方程求解第23頁/共48頁第24頁/共48頁1.1、格林公式VSdVASdA)(設(shè))(ru和)(rv在區(qū)域V內(nèi)及其邊界S上具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)，而V在 中具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)。 令vuA ，那么VVSdVvu

13、vudVvuSdvu)()(2這就是格林第一公式 第25頁/共48頁把格林第一公式中u和v對調(diào)一下VSdVuvvuSduvvu)()(22也可表示為22()()SVvuuvdSuvvu dVnn 這就是格林第二公式VSdVuvuvSduv)(2然后相減得到 第26頁/共48頁泊松方程及邊界條件的定解問題為2( ) ( ) ufVuuSnrrrr式中)(r為在區(qū)域邊界S上給定的函數(shù)。1.2、泊松方程的基本積分公式該邊界條件是包括三類邊界條件：(1)、00，為第一類邊界條件，泊松方程與第一類邊界條件構(gòu)成的定解問題稱為第一邊值問題或狄里希利問題；第27頁/共48頁為第三類邊界條件，泊松方程與第三類邊

14、界條件構(gòu)成的定解問題稱為第三邊值問題。00，(2)、為第二類邊界條件，泊松方程與第二類邊界條件構(gòu)成的定解問題稱為第二邊值問題或諾伊曼問題；00，(3)、首先研究點(diǎn)源的場，用 函數(shù)描述單位點(diǎn)源的密度分布函數(shù)，該0( ,)G r r0rr點(diǎn)源產(chǎn)生的場 表示位于 點(diǎn)的單位強(qiáng)度的點(diǎn)源在點(diǎn) 產(chǎn)產(chǎn)生的場，也即滿足方程：第28頁/共48頁000() ( ) ()( ) ( ) ( )( ,) ( )SVVGuuGdSuGfdVnnuGfdVrrrrrrr rr把該式和原泊松方程代入格林第二公式200( ,)()Gr rrr得到22()()SVvuuvdSuvvu dVnn 第29頁/共48頁格林函數(shù)具有對稱

15、性，所以上式又可寫為：00000( )( ,) ( )( )VSuGuGfdvGdsnnrr rrr也即00( )( ,) ( )()VSuGuGfdVGudSnnrr rr該式稱為泊松方程的基本積分公式 第30頁/共48頁(1) 對第一邊值問題，u在邊界S上的值為已知函數(shù))(r。令G滿足2000( ,)() ( ,)0 GVGSr rrrrr rr0000( )( ,) ( )( )VSGuGfdvdsnrr rrr則該方程的解稱為泊松方程第一類邊值問題的格林函數(shù)此時(shí)泊松方程的基本積分公式為第31頁/共48頁該定解問題的解不存在。比如，把格林函數(shù)看作溫度分布，泊松方程表明邊界S包圍的區(qū)域有點(diǎn)

16、源，而在邊界上格林函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零表明邊界是絕熱的，也就是點(diǎn)源不斷放出熱量，而熱量又不能從邊界散發(fā)出去，V內(nèi)的溫度就會升高，其分布就不可能穩(wěn)定的。(2) 對第二邊值問題，格林函數(shù)),(0rrG滿足SnGVGrrrrrrrr 0),( )(),(0002第32頁/共48頁2、用電像法求格林函數(shù) 基本思想：用另一個(gè)設(shè)想的等效點(diǎn)電荷來代替所有的感應(yīng)電荷，因此原空間的場是由點(diǎn)電荷和像電荷的疊加得到。鏡像電荷永遠(yuǎn)不會出現(xiàn)在所求場的區(qū)域內(nèi)。(1) 對三維無限大空間的泊松方程第一邊值問題的格林函數(shù)為2000( ,)()lim( ,)0rGGr rrrr r設(shè)點(diǎn)源位于坐標(biāo)原點(diǎn)，因區(qū)域是無界的，點(diǎn)源產(chǎn)生的場應(yīng)與方

17、向無關(guān)第33頁/共48頁采用球坐標(biāo)系),(r0r時(shí)，此格林函數(shù)滿足：2021()0 dGdrr drdr解得210CrCG令無窮遠(yuǎn)處00G02 C將方程)(),(002rrrrG在包含0r的區(qū)域作體積分得220222221G11sin()sinsinGGrrrrrrrr第34頁/共48頁VSdVuvvudSnuvnvu)()(22再利用格林第二公式222010100()sin4GCG dVdSrd dCrrr 411 C01 1( )4G rr 令 u=1201G dV第35頁/共48頁該方程的解為：011( )4|G r rr例、求泊松方程 的積分解2( )( )/srr 0( )( )4|

18、sssVrrdv rr若電荷位于任何點(diǎn) ，則0r0000( )( ,) ( )( )VSGuGfdvdsnrr rrr根據(jù)泊松方程的基本積分公式：第36頁/共48頁該方程的解為0011( ,)ln2|G r rrr(2) 對二維無限大空間的泊松方程第一邊值問題的格林函數(shù)為(3) 對三維半無限大空間的泊松方程第一邊值問題的格林函數(shù)0)(),(0002zGGrrrr( ) ()sssVf r G rr dv對應(yīng)的泊松方程的解為：2000( ,)()lim( ,)0rGGr rrrr r第37頁/共48頁0222222000000111( , )4()()()()()()Gx xy yz zx xy

19、 yz zr r由鏡像法得該方程的解為0)(),(002arGGrrrr該方程的解為20002000011111( ,)4|4| 1 1114|4|aarraGr rr rrrrrrrr(4)對球外泊松方程第一邊值問題的格林函數(shù)滿足第38頁/共48頁-3-2-10123-0.500.511.522.533.5單位點(diǎn)電荷在球外時(shí)的情況第39頁/共48頁0)(),(002arGGrrrr該方程的解為0020200100ln21|1ln21|1ln21 ln21|1ln21|1ln21),(rararaGrrrrrrrrrr(5) 對二維圓內(nèi)泊松方程第一邊值問題的格林函數(shù)滿足第40頁/共48頁例1、求解三維半限大空間的狄利克雷問題00 (0)( , )zuzuf x y 2000( ,)()0zGGr rrr先求格林函數(shù)0222222000000111( , )4()()()()()()Gx xy yz zx xy yz z r r000( )( , ) ( )( )VSGu