高考平面解析幾何專題突破

1、第一部分 考試要求直線和圓的方程(1) 理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線的斜率公式.掌握直線方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線方程。(2) 掌握兩條直線平行與垂直的條件.兩條直線所成的角和點(diǎn)到直線的距離公式能夠根據(jù)直線的方程判斷兩條直線的位置關(guān)系。(3) 了解二元一次不等式表示平面區(qū)域。(4) 了解線性規(guī)劃的意義.并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用。(5) 了解解析幾何的基本思想，了解坐標(biāo)法。(6) 掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程.了解參數(shù)方程的概念。理解圓的參數(shù)方程。圓錐曲線方程(1) 掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，理解橢圓的參數(shù)方程。(2) 掌握雙曲線的定義、標(biāo)

2、準(zhǔn)方程和雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)。(3) 掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)。(4) 了解圓錐曲線的初步應(yīng)用。（一）直線與圓知識(shí)要點(diǎn)直線的傾斜角與斜率k=tg（ ），直線的傾斜角一定存在，范圍是0,），但斜率不一定存在。斜率的求法：依據(jù)直線方程依據(jù)傾斜角依據(jù)兩點(diǎn)的坐標(biāo)直線方程的幾種形式，能根據(jù)條件，合理的寫出直線的方程；能夠根據(jù)方程，說出幾何意義。兩條直線的位置關(guān)系，能夠說出平行和垂直的條件。會(huì)判斷兩條直線的位置關(guān)系。（斜率相等還有可能重合）兩條直線的交角：區(qū)別到角和夾角兩個(gè)不同概念。點(diǎn)到直線的距離公式。會(huì)用一元不等式表示區(qū)域。能夠解決簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題。曲線與方程的概念，會(huì)由幾何條

3、件列出曲線方程。圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(xa)2+(yb)2=r2圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0注意表示圓的條件。圓的參數(shù)方程： 掌握?qǐng)A的幾何性質(zhì)，會(huì)判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系。會(huì)求圓的相交弦、切線問題。(二)圓錐曲線1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程： 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程： 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程： 4直線與圓錐曲線： 注意點(diǎn)：（1）注意防止由于“零截距”和“無斜率”造成丟解（2）要學(xué)會(huì)變形使用兩點(diǎn)間距離公式 ，當(dāng)已知直線 的斜率 時(shí)，公式變形為 或 ；當(dāng)已知直線的傾斜角 時(shí)，還可以得到 或 （3）靈活使用定比分點(diǎn)公式，可以簡(jiǎn)化運(yùn)算。（4）會(huì)在任何條件下求出直線方程。（5）注重運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想研究平面

4、圖形的性質(zhì)解析幾何中的一些常用結(jié)論：1.直線的傾斜角的范圍是，)2.直線的傾斜角與斜率的變化關(guān)系：當(dāng)傾斜角是銳角是，斜率k隨著傾斜角的增大而增大。當(dāng)是鈍角時(shí)，k與同增減。3.截距不是距離，截距相等時(shí)不要忘了過原點(diǎn)的特殊情形。4.兩直線：L1: A1x+B1y+C1=0 L2: A2x+B2y+C2=0 L1L2 A1A2+B1B2=05.兩直線的到角公式：L1到L2的角為，tan= 夾角為，tan=| |注意夾角和到角的區(qū)別6.點(diǎn)到直線的距離公式，兩平行直線間距離的求法。7.有關(guān)對(duì)稱的一些結(jié)論點(diǎn)（，）關(guān)于軸、軸、原點(diǎn)、直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)分別是（，），（，），（，），（，）如何求點(diǎn)（，）關(guān)于直線

5、Ax+By+C=0的對(duì)稱點(diǎn)直線Ax+By+C=0關(guān)于軸、軸、原點(diǎn)、直線y=x的對(duì)稱的直線方程分別是什么，關(guān)于點(diǎn)（，）對(duì)稱的直線方程又是什么？如何處理與光的入射與反射問題？曲線f(x,y)=0關(guān)于下列點(diǎn)和線對(duì)稱的曲線方程為：（）點(diǎn)(a.b)（）軸（）軸（）原點(diǎn)（）直線y=x（）直線y=x（）直線x點(diǎn)和圓的位置關(guān)系的判別轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小關(guān)系。點(diǎn)P(x0,y0),圓的方程：(xa)2+(yb)2=r2.如果(x0a)2+(y0b)2>r2點(diǎn)P(x0,y0)在圓外；如果 (x0a)2+(y0b)2<r2點(diǎn)P(x0,y0)在圓內(nèi)；如果 (x0a)2+(y0b)2=r2點(diǎn)P(x

6、0,y0)在圓上。10圓上一點(diǎn)的切線方程：點(diǎn)P(x0,y0)在圓x2+y2=r2上，那么過點(diǎn)P的切線方程為：x0x+y0y=r2.11.過圓外一點(diǎn)作圓的切線，一定有兩條，如果只求出了一條，那么另外一條就是與軸垂直的直線。12.直線與圓的位置關(guān)系，通常轉(zhuǎn)化為圓心距與半徑的關(guān)系，或者利用垂徑定理，構(gòu)造直角三角形解決弦長(zhǎng)問題。>r相離d=r相切d<r相交13圓與圓的位置關(guān)系，經(jīng)常轉(zhuǎn)化為兩圓的圓心距與兩圓的半徑之間的關(guān)系。設(shè)兩圓的圓心距為d，兩圓的半徑分別為r,Rd>r+R兩圓相離dr+R兩圓相外切|Rr|<d<r+R兩圓相交d|Rr|兩圓相內(nèi)切d<|Rr|兩圓內(nèi)含

7、d=0，兩圓同心。14. 兩圓相交弦所在直線方程的求法：圓C1的方程為：x2+y2+D1x+E1y+C1=0.圓C2的方程為：x2+y2+D2x+E2y+C2=0. 把兩式相減得相交弦所在直線方程為：(D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=015. 圓上一定到某點(diǎn)或者某條直線的距離的最大、最小值的求法。16. 焦半徑公式：在橢圓 中，F(xiàn)、F分別左右焦點(diǎn)，P(x0,y0)是橢圓是一點(diǎn)，則：(1)|PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0 (2) 三角形PFF的面積如何計(jì)算17圓錐曲線中到焦點(diǎn)的距離問題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離。18直線y=kx+b和圓錐曲線f(x,y)=0交于兩點(diǎn)P

8、1(x1,y1) ,P2(x2,y2)則弦長(zhǎng)P1P2= 19. 雙曲線的漸近線的求法（注意焦點(diǎn)的位置）已知雙曲線的漸近線方程如何設(shè)雙曲線的方程。20. 拋物線中與焦點(diǎn)有關(guān)的一些結(jié)論：（要記憶）解題思路與方法：高考試題中的解析幾何的分布特點(diǎn)是除在客觀題中有4個(gè)題目外，就是在解答題中有一個(gè)壓軸題.也就是解析幾何沒有中檔題.且解析幾何壓軸題所考查的內(nèi)容是求軌跡問題、直線和圓錐曲線的位置關(guān)系、關(guān)于圓錐曲線的最值問題等.其中最重要的是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.在復(fù)習(xí)過程中要注意下述幾個(gè)問題：（1）在解答有關(guān)圓錐曲線問題時(shí)，首先要考慮圓錐曲線焦點(diǎn)的位置，對(duì)于拋物線還應(yīng)同時(shí)注意開口方向，這是減少或避免錯(cuò)誤的

9、一個(gè)關(guān)鍵。（2）在考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系或兩圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，可以利用方程組消元后得到二次方程，用判別式進(jìn)行判斷.但對(duì)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行時(shí)，直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，不能使用判別式，為避免繁瑣運(yùn)算并準(zhǔn)確判斷特殊情況，此時(shí)要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法.畫出方程所表示的曲線，通過圖形求解. 當(dāng)直線與圓錐曲線相交時(shí)：涉及弦長(zhǎng)問題，常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)(即應(yīng)用弦長(zhǎng)公式)；涉及弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問題，常用“差分法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化.同時(shí)還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍。（3）求圓錐曲線方

10、程通常使用待定系數(shù)法，若能據(jù)條件發(fā)現(xiàn)符合圓錐曲線定義時(shí)，則用定義求圓錐曲線方程非常簡(jiǎn)捷.在處理與圓錐曲線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線有關(guān)問題，也可反用圓錐曲線定義簡(jiǎn)化運(yùn)算或證明過程。一般求已知曲線類型的曲線方程問題，可采用“先定形，后定式，再定量”的步驟。定形指的是二次曲線的焦點(diǎn)位置與對(duì)稱軸的位置。定式根據(jù)“形”設(shè)方程的形式，注意曲線系方程的應(yīng)用，如當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)不確定在哪個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，可設(shè)方程為mx2+ny2=1(m0,n0)。定量由題設(shè)中的條件找到“式”中特定系數(shù)的等量關(guān)系，通過解方程得到量的大小。（4）在解與焦點(diǎn)三角形（橢圓、雙曲線上任一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形）有關(guān)的命題時(shí)，一般需使用正余弦

11、定理、和分比定理及圓錐曲線定義。（5）要熟練掌握一元二次方程根的判別式和韋達(dá)定理在求弦長(zhǎng)、中點(diǎn)弦、定比分點(diǎn)弦、弦對(duì)定點(diǎn)張直角等方面的應(yīng)用。（6）求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程是解析幾何的重點(diǎn)內(nèi)容之一，它是各種知識(shí)的綜合運(yùn)用，具有較大的靈活性，求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的實(shí)質(zhì)是將“曲線”化成“方程”，將“形”化成“數(shù)”，使我們通過對(duì)方程的研究來認(rèn)識(shí)曲線的性質(zhì). 求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的常用方法有：直接法、定義法、幾何法、代入轉(zhuǎn)移法、參數(shù)法、交軌法等，解題時(shí)，注意求軌跡的步驟：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)、確定點(diǎn)的范圍。（7）參數(shù)方程，請(qǐng)大家熟練掌握公式，后用化歸的思想轉(zhuǎn)化到普通方程即可求解。 第二部分 解析幾何中的范圍問題（研究性學(xué)習(xí)之

12、二） 在直線與圓錐曲線相交問題中，關(guān)于直線的斜率或縱截距的取值范圍，關(guān)于圓錐曲線的離心率、長(zhǎng)軸長(zhǎng)（或?qū)嵼S長(zhǎng)）、短軸長(zhǎng)（或虛軸長(zhǎng)）等有關(guān)參量的取值范圍，是解析幾何高考命題以及備考復(fù)習(xí)的重點(diǎn)問題。對(duì)此，一般情況下的解題思路，首先尋覓出（或直接利用）相關(guān)的不等式，進(jìn)而通過這一不等式的演變解出有關(guān)變量的取值范圍。在這里，我們對(duì)尋覓所給問題中相關(guān)不等式的主要途徑和策略作以研討。一、“題設(shè)條件中的不等式關(guān)系”之運(yùn)用事物都是一分為二的。對(duì)于題設(shè)條件中明朗或隱蔽的不等關(guān)系，既可作為推導(dǎo)或求解的條件而增加難度，也可作為探索或?qū)ひ挿秶那腥朦c(diǎn)而提供方便。在解決范圍問題時(shí)，不失時(shí)機(jī)的利用明顯的不等關(guān)系或發(fā)掘隱匿的不

13、等式，往往成為解題的關(guān)鍵環(huán)節(jié).例1、已知雙曲線中心在原點(diǎn)，右頂點(diǎn)為A（1，0），點(diǎn)P、Q在雙曲線右支上 ，點(diǎn)M（m，0）到直線AP的距離為1.（1）若直線AP的斜率為k，且 ，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）當(dāng) 時(shí)，APQ的內(nèi)心恰好是點(diǎn)M，求此雙曲線方程.分析：對(duì)于（1），已知直線AP的斜率k的取值范圍，要求m的取值范圍，首先需要導(dǎo)出k與m的關(guān)系式；對(duì)于（2），則要利用三角形內(nèi)心的性質(zhì)，三角形內(nèi)心到三邊距離相等；三角形內(nèi)心與任一頂點(diǎn)的連線為相應(yīng)的角的平分線；三角形面積等于半周長(zhǎng)與內(nèi)切圓半徑之積等.至于運(yùn)用哪一性質(zhì)，還要視題設(shè)條件的具體情況來定奪.解：（1）由已知設(shè)直線AP的方程為yk(x1)，即kx

14、yk0點(diǎn)M到直線AP的距離為1 ，解得 或 所求m的取值范圍為 .（2）根據(jù)已知條件設(shè)雙曲線方程為 當(dāng) 時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（ ）.A(1,0)， ，點(diǎn)M到直線AP的距離為1，APQ的內(nèi)切圓半徑r1，PAM45°， （不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限）直線PQ的方程為 ，直線AP的方程為yx1因此解得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ）將點(diǎn)P坐標(biāo)代入雙曲線方程 得 所求雙曲線方程為 即 .點(diǎn)評(píng)：這里的（1），是題設(shè)條件中明顯的不等關(guān)系的運(yùn)用；這里的（2），審時(shí)度勢(shì)的求解出點(diǎn)P坐標(biāo)，恰如“四兩撥千斤”.同學(xué)們請(qǐng)注意：一不要對(duì)三角形內(nèi)心敬而生畏，二不可總想利用某一性質(zhì)。沉著冷靜地分析、認(rèn)知問題，便會(huì)逐漸撥開云霧，尋出解題

15、方向.例2、設(shè)橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn)是 ，且橢圓上存在點(diǎn)P使得直線 垂直.（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2）設(shè)L是相應(yīng)于焦點(diǎn) 的準(zhǔn)線，直線 與L相交于點(diǎn)Q，若 ，求直線 的方程.分析：對(duì)于（1），要求m的取值范圍，首先需要導(dǎo)出相關(guān)的不等式，由題設(shè)知，橢圓方程為第一標(biāo)準(zhǔn)方程，因而這里應(yīng)有 ， 便是特設(shè)條件中隱蔽的不等關(guān)系.對(duì)于（2），欲求直線 的方程，注意到這里題設(shè)條件與點(diǎn)P的密切關(guān)系，故考慮從求點(diǎn)P坐標(biāo)突破.解：（1）由題設(shè)知 設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為 ，則有 化簡(jiǎn)得 將與 聯(lián)立，解得 m>0，且 m1即所求m的取值范圍為 .（2）右準(zhǔn)線L的方程為 設(shè)點(diǎn) （）將 代入得 又由題設(shè)知 由得 ，無解.（）將 代

16、入得 由題設(shè)得 由此解得m2從而有 于是得到直線 的方程為 點(diǎn)評(píng)：對(duì)于（1），解題的關(guān)鍵是發(fā)掘并利用題設(shè)條件中隱蔽的不等式 對(duì)于（2），以求解點(diǎn)P坐標(biāo) 為方向，對(duì)已知條件 進(jìn)行“數(shù)形轉(zhuǎn)化”，乃是解決此類已知線段長(zhǎng)度之比問題的避繁就簡(jiǎn)的基本策略.二、“圓錐曲線的有關(guān)范圍”之運(yùn)用我們?cè)趯W(xué)習(xí)中已經(jīng)看到，橢圓、雙曲線和拋物線的“范圍”，是它們的第一幾何性質(zhì)。事實(shí)上，我們研究“范圍”，一在于認(rèn)知：認(rèn)知圓錐曲線特性；二在于應(yīng)用：“應(yīng)用”它們來解決有關(guān)問題。例、以 為焦點(diǎn)的橢圓 與x軸交于A，B兩點(diǎn)（1）過 作垂直于長(zhǎng)軸的弦MN，求AMB的取值范圍；（2）橢圓上是否存在點(diǎn)P，使APB120°？若存

17、在，求出橢圓離心率e的取值范圍.解：（1）基于橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)定 為右焦點(diǎn)，M在第一象限，則易得 ，設(shè)A(a,0)，B(a,0)，則AMB為直線AM到BM的角，又 利用公式得 此時(shí)注意到橢圓離心率的范圍：0<e<1， 由得 由此解得 （2）設(shè)橢圓上存在點(diǎn)P使APB120°基于橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)P（x，y）在第一象限則有x>0，y>0根據(jù)公式得 整理得 又這里 代入得 此時(shí)注意到點(diǎn)P在橢圓上，故得 由得 由得 于是可知，當(dāng) 時(shí)，點(diǎn)P存在且此時(shí)橢圓離心率的取值范圍為 ；當(dāng) 時(shí)，點(diǎn)P不存在.三、“一元二次方程有二不等實(shí)根的充要條件”之運(yùn)用在直線與曲線相交問題

18、中，直線與某圓錐曲線相交的大前提，往往由“相關(guān)一元二次方程有二不等實(shí)根”來體現(xiàn)。因此，對(duì)于有關(guān)一元二次方程的判別式>0，求某量的值時(shí)，它是去偽存真的鑒別依據(jù)，求某量的取值范圍時(shí)，它是導(dǎo)出該量的不等式的原始不等關(guān)系。例1、已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)A(0,1)，焦點(diǎn)在x軸上，且右焦點(diǎn)到直線 的距離為3，若斜率不為0的直線l與橢圓交于不同兩點(diǎn)M、N，使M、N關(guān)于過A點(diǎn)的直線對(duì)稱，求直線l的斜率取值范圍。解：（既設(shè)又解）設(shè)右焦點(diǎn)F(c,0)，則由 又b1， 橢圓方程為 設(shè)直線l的方程為ykxm 將代入得 由題意 且 點(diǎn)P坐標(biāo)為 又根據(jù)題意知M、N關(guān)于直線AP對(duì)稱，故有 于是將代入得 因此可知，所求k的

19、取值范圍為 .例2、已知橢圓C的中心在原點(diǎn)上，焦點(diǎn)在x軸上，一條經(jīng)過點(diǎn) 且方向向量為 的直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交x軸于點(diǎn)M，又 （1）求直線l的方程；（2）求橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍.解：（1）由題意設(shè)橢圓C的方程為 .直線l的方向向量為 亦為直線l的方向向量直線l的斜率 因此，直線l的方程為 即 （2）設(shè) 將直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立，消去x得 由題設(shè) 且 又這里M(1,0)由 得 進(jìn)而由得 由得 代入得 注意到由得 故由得 因而得1<a<3 由解出 代入并利用得 另一方面，再注意到 ，再由得 .因此有 即所求橢圓C的長(zhǎng)軸的取值范圍為 .點(diǎn)評(píng)：欲求圓錐曲線的某個(gè)重要參數(shù)的取

20、值范圍，需要利用或挖掘題目中的不等關(guān)系.在這里，我們由 導(dǎo)出關(guān)于a、b的等式之后，一方面利用了本題中人們熟知的>0確定的不等式，另一方面又利用了頗為隱蔽的新設(shè)方程中的大小關(guān)系：a>b>0，雙方聯(lián)合推出2a的范圍.這里的不等關(guān)系的充分挖掘與應(yīng)用，乃是解題成功的關(guān)鍵.四、“點(diǎn)在圓錐曲線內(nèi)部的充要條件”之運(yùn)用所給問題中的某些點(diǎn)，注定要在相關(guān)圓錐曲線的內(nèi)部。比如圓錐曲線的弦的內(nèi)分點(diǎn)，又如圓錐曲線任意兩弦的交點(diǎn)等。因此，點(diǎn)在圓錐曲線內(nèi)部的充要條件，便成為尋求某量的取值范圍的基本依據(jù)之一。其中，常用的充要條件為：1、 2、 3、 4、 例、已知橢圓的焦點(diǎn)為 ，過點(diǎn) 且垂直于x軸的直線與橢

21、圓的一個(gè)交點(diǎn)為B， ，又橢圓上不同兩點(diǎn)A、C滿足條件： 成等差數(shù)列.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)弦AC的垂直平分線方程為ykxm，求m的取值范圍.解：（1）由題設(shè)得2a10，c4a5，b3，c4橢圓方程為 （2）（設(shè)而不解）設(shè) 則由題意得 故有點(diǎn) A、C在橢圓 上 兩式相減得 由及所設(shè)得 弦AC的垂直平分線方程為 由題意得 注意到當(dāng)x4時(shí)橢圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ，又點(diǎn) 在橢圓內(nèi)部故得 于是由、得 所求的取值范圍為 點(diǎn)評(píng)：此題解法充分體現(xiàn)了“以我為主”的思想。以我為主：以我所引入的參數(shù)詮釋已知條件，以我所引入的參數(shù)構(gòu)造弦的斜率，以我對(duì)這一解的認(rèn)知決定解題策略，本解法以運(yùn)用自設(shè)參數(shù)為主而將所給的ykx

22、m放在十分次要的位置，從而使我們一直沉浸在所熟悉的探索中，待抬頭看題設(shè)時(shí)，解題已經(jīng)勝利在望。想一想：這里為什么可以不用直線方程ykxm與橢圓方程聯(lián)立。五、“圓錐曲線的定義或幾何性質(zhì)中隱蔽的不等關(guān)系”之運(yùn)用“相等”與“不等”是辯證的統(tǒng)一，根據(jù)“相等”與“不等”之間相互依存的辯證關(guān)系，橢圓與雙曲線定義中顯示了明朗的“相等”關(guān)系，那么必然蘊(yùn)含這隱蔽的“不等”關(guān)系。因此，對(duì)于橢圓或雙曲線的探求范圍問題，適時(shí)認(rèn)知并發(fā)掘出本題的不等關(guān)系，往往成為解題成敗的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。圓錐曲線的定義中隱含的不等關(guān)系主要有：1、 2、 例、已知雙曲線 的左、右焦點(diǎn)分別為 、 ，若在其左支上存在點(diǎn)P且點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離與 成等比

23、數(shù)列，求離心率e的取值范圍.分析：尋求e的范圍的一般途徑為（1）認(rèn)知或發(fā)掘出本題的不等關(guān)系；（2）將（1）中的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,b,c的不等式；（3）將（2）中的不等式演變?yōu)殛P(guān)于e的不等式，進(jìn)而通過解這一不等式導(dǎo)出所求范圍.其中，有關(guān)雙曲線上點(diǎn)P處的兩條焦點(diǎn)半徑 的問題，定義中明朗的等量關(guān)系： 是認(rèn)知或求值的理論基礎(chǔ)；而定義中隱蔽的不等關(guān)系： 則是尋求參量范圍的重要依據(jù)。解：（1）確立不等關(guān)系注意到這里 （2）不等關(guān)系演變之一設(shè)左支上的點(diǎn)P到左準(zhǔn)線的距離為d，則由題意得 （變形目的：利用第二定義，尋找兩焦半徑與e的聯(lián)系） 又點(diǎn)P在雙曲線左支上 （點(diǎn)P在左支這一條件的應(yīng)用） 由解得 將代入得

24、 （3）不等關(guān)系演變之二：由得 故解得 于是可知，所求離心率e的范圍為 第三部分 直線與圓錐曲線問題的解題策略（研究性學(xué)習(xí)之一）眾所周知，直線與圓錐曲線的問題，是解析幾何解答題的主要題型，是歷年來高考備考的重點(diǎn)和高考命題的熱點(diǎn)。多年備考的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)告訴我們，欲更快地提高解決這類問題的實(shí)踐能力，需要切實(shí)解決好以下兩個(gè)問題：（1）條件或目標(biāo)的等價(jià)轉(zhuǎn)化； （2）對(duì)于交點(diǎn)坐標(biāo)的適當(dāng)處理。本文試從上述兩個(gè)問題的研究切入，對(duì)直線與圓錐曲線問題的解題策略作初步探索，希望對(duì)高考備考有所幫助。一、條件或目標(biāo)的認(rèn)知與轉(zhuǎn)化解題的過程是一系列轉(zhuǎn)化的過程。從某種意義上說，解題，就是要將所解的題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過的題。然而，轉(zhuǎn)

25、化的基礎(chǔ)是認(rèn)知認(rèn)知已知、目標(biāo)的本質(zhì)和聯(lián)系。有了足夠的認(rèn)知基礎(chǔ)，我們便可以著力實(shí)踐化生為熟或化繁為簡(jiǎn)的轉(zhuǎn)化。1、化生為熟化生為熟是解題的基本策略。在直線與圓錐曲線相交問題中，弦長(zhǎng)問題及弦中點(diǎn)問題是兩類基本問題。因此，由直線與圓錐曲線相交引出的線段間的關(guān)系問題，要注意適時(shí)向弦長(zhǎng)或弦中點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化。一但轉(zhuǎn)化成功，解題便得以駕輕就熟，勝券在握。（1）向弦中點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化例1.已知雙曲線 =1（a>0,b>0）的離心率 ，過點(diǎn)A（0,-b）和B（a,0）的直線與原點(diǎn)間的距離為 （1）求雙曲線方程；（2）若直線（km0）與雙曲線交于不同兩點(diǎn)C、D，且C、D兩點(diǎn)都在以A為圓心的同一個(gè)圓上，求m的取值范

26、圍。略解：（1）所求雙曲線方程為（過程略）（2）由 消去y得： 由題意知，當(dāng) 時(shí)， 設(shè) 中點(diǎn) 則C、D均在以A為圓為的同一圓上 又 于是由得 由代入得 ，解得m<0或m>4 于是綜合、得所求m的范圍為 （2）向弦長(zhǎng)問題轉(zhuǎn)化例2設(shè)F是橢圓 的左焦點(diǎn)，M是C1上任一點(diǎn)，P是線段FM上的點(diǎn)，且滿足 （1）求點(diǎn)P的軌跡C2的方程；（2）過F作直線l與C1交于A、D兩點(diǎn)，與C2交點(diǎn)B、C兩點(diǎn)，四點(diǎn)依A、B、C、D順序排列，求使 成立的直線l 的方程。分析：為避免由代換 引發(fā)的復(fù)雜運(yùn)算，尋覓替代 的等價(jià)條件：設(shè)弦AD、BC的中點(diǎn)分別為O1、O2，則，故 ，據(jù)此得 于是，所給問題便轉(zhuǎn)化為弦長(zhǎng)與弦

27、中點(diǎn)問題。略解：橢圓C1的中心 點(diǎn)P分 所成的比=2。（1）點(diǎn)P的軌跡C2的方程為 （過程略）（2）設(shè)直線l的方程為 代入橢圓C1的方程得 ，故有 故弦AD中點(diǎn)O1坐標(biāo)為 代入橢圓C2的方程得 ，又有 故弦BC中點(diǎn)O2坐標(biāo)為 由、得 注意到 于是將、代入并化簡(jiǎn)得： 由此解得 。因此，所求直線l的方程為 2化繁為簡(jiǎn)解析幾何是用代數(shù)計(jì)算的方法解決幾何問題，因此，解答解析幾何問題，人們都有這樣的共同感受：解題方向或途徑明朗，但目標(biāo)難以靠近或達(dá)到。解題時(shí)，理論上合理的思路設(shè)計(jì)能否在實(shí)踐中得以實(shí)現(xiàn)？既能想到，又能做到的關(guān)鍵，往往在于能否化繁為簡(jiǎn)?；睘楹?jiǎn)的策略，除去“化生為熟”之外，重要的當(dāng)數(shù)“借重投影

28、”或“避重就輕”。（1）借助投影對(duì)于線段的定比分點(diǎn)以及其它復(fù)雜的線段間關(guān)系的問題，當(dāng)題設(shè)條件的直接轉(zhuǎn)化頗為繁雜時(shí)，不妨運(yùn)用當(dāng)初推導(dǎo)定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式的基本方法；將線段上有關(guān)各點(diǎn)向x軸（或y軸或其它水平直線）作以投影，進(jìn)而利用平行線分線段成比例定理推理或轉(zhuǎn)化，這一手法往往能夠有效地化解難點(diǎn)，將人們引入熟悉的解題情境。例3如圖，自點(diǎn)M（1，-1）引直線l交拋物線 于P1 、P2兩點(diǎn)，在線段P1 、P2上取一點(diǎn)Q，使 、 、 的倒數(shù)依次成等差數(shù)列，求點(diǎn)Q的軌跡方程。解：設(shè) 又設(shè)直線l的方程為 代入 得 由題意得 或 且 又由題意得 作P1、Q、P2在直線y=-1上的投影P1、Q、P2（如圖）又令直線l

29、的傾斜角為 則由 得 同理， 將上述三式代入得 將代入得 將代入得 于是由、消去參數(shù)k得 再注意到式，由得 或 因此，由、得所求點(diǎn)Q的軌跡方程為 （2）避重就輕事物都是一分為二的，復(fù)雜問題中有關(guān)事物之間你中有我、我中有你的局面，在給我們解題制造麻煩的同時(shí)，也會(huì)為我們側(cè)面迂回、避重就輕帶來機(jī)會(huì)。例4已知 點(diǎn)P、Q在橢圓 上，橢圓中心為O，且 ， 求橢圓中心O到弦PQ的距離。分析：這里需要P、Q點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)此，如果直面直線PQ方程和橢圓方程聯(lián)立方程組，則不論是求解P、Q坐標(biāo)，還是利用所設(shè)P、Q坐標(biāo)，都不免招致復(fù)雜局面。于是轉(zhuǎn)而考慮側(cè)面迂回，避重就輕，同時(shí)，注意到P、Q兩點(diǎn)的雙重屬性，想到避開正面求解

30、，而由直線OP（或OQ）方程和橢圓方程聯(lián)立方程組解出點(diǎn)P（或點(diǎn)Q）坐標(biāo)。解（避重就輕，解而不設(shè)）：設(shè) 則由 得 （1）當(dāng)點(diǎn)P、Q不在坐標(biāo)軸上時(shí)，設(shè)直線OP的方程 則直線OQ的方程為 將代入橢圓方程 易得 將代入橢圓方程 易得 由、得 又在 中作 于H，于是由 及式得 = （2）當(dāng)點(diǎn)P、Q在坐標(biāo)軸上時(shí)，同樣可得 ，從而有 。于是由（1）（2）知所求橢圓中心O到弦PQ的距離為 。直線與圓錐曲線相交的問題，適當(dāng)處置交點(diǎn)坐標(biāo)是解題繁簡(jiǎn)乃至解題成敗的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。循著教材中關(guān)于曲線交點(diǎn)的定位，直線與圓錐曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，首先是立足于“解”，其次是輔助于“設(shè)”。于是，在宏觀上圍繞著“解”與“設(shè)”的選擇，產(chǎn)生出兩

31、對(duì)解題思路：解而不設(shè)與設(shè)而不解；既設(shè)又解與不解。在這里，“設(shè)”是舉手之勞，問題在于，在一個(gè)具體問題中，“解”的火候如何把握？“不解”的時(shí)機(jī)如何捕捉？以下繼續(xù)作以探索。二、求解交點(diǎn)坐標(biāo)的“度”的把握個(gè)體與整體是辯證的統(tǒng)一，循著“個(gè)體”與“整體”的辯證關(guān)系，立足于“解”交點(diǎn)坐標(biāo)，主要是以下兩種選擇：1、半心半意，解至中途從認(rèn)識(shí)目標(biāo)切入，如果目標(biāo)不是交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的個(gè)體，而是關(guān)于交點(diǎn)橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）的和與積的對(duì)稱式，則一般選擇從直線方程與曲線方程的聯(lián)立方程組入手，解至中途運(yùn)用韋達(dá)定理，進(jìn)而對(duì)目標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化、靠攏，直至利用上述結(jié)果解決問題。例1.設(shè)斜率為2的直線與拋物線 相交于A、B兩點(diǎn)，以線段

32、AB為邊作矩形ABCD，使 ，求矩形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)M的軌跡方程。解：設(shè) 直線AB的方程為 。由 由題意 由韋達(dá)定理得 再設(shè)AB中點(diǎn)為 ，則有 ， 注意到四邊形ABCD為矩形，故有 ，且 ，由此得 由（4）得 代入（5）得 化簡(jiǎn)得 再注意到中 ，由（5）得 因此由、得所求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為 。點(diǎn)評(píng)：本例是“立足于一條直線與曲線相交”的問題。這里所說的“立足于一條直線與曲線相交”的問題，是指這樣兩種題型：（1）問題由一直線與曲線相交引出；（2）問題中雖然出現(xiàn)多條直線與同一曲線相交，但這些直線的引出存在著明顯的順序（或依賴關(guān)系），整個(gè)問題構(gòu)建在某一條直線與曲線相交的基礎(chǔ)之上，對(duì)此，我們的求解仍

33、倚仗于對(duì)交點(diǎn)坐標(biāo)“既設(shè)又解”的策略。這里的“解”，是解直線方程與曲線方程所聯(lián)立的方程組，是“半心半意”地求解，解至中途運(yùn)用韋達(dá)定理，因此，此類問題的解題三部曲為（1）全心全意地設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）“半心半意”地求解上述方程組，解至中途運(yùn)用韋達(dá)定理；（3）對(duì)題設(shè)條件主體進(jìn)行分析、轉(zhuǎn)化，使之靠攏并應(yīng)用（2）的結(jié)果導(dǎo)出既定目標(biāo)。2、真心實(shí)意，求解到底當(dāng)目標(biāo)的轉(zhuǎn)化結(jié)果不是交點(diǎn)橫標(biāo)（或縱標(biāo)）的對(duì)稱式，而是交點(diǎn)坐標(biāo)的個(gè)體時(shí)，則需要真心實(shí)意地將求解交點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行到底。例2.正方形ABCD的中心為M（3，0），一條頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在X軸正半軸上的拋物線E，一條斜率為 的直線l，若A、B兩點(diǎn)在拋物線E上，而C、D

34、兩點(diǎn)在直線l上，求拋物線E和直線l的方程。解：由題意設(shè)拋物線E的方程為 ，直線l的方程為 。又設(shè)正方形ABCD的（一條）對(duì)角線的斜率為k，則由 直線AM、BM的方程分別為 再設(shè) 則由 得 又點(diǎn)A、B在拋物線E上，故有 于是由、解得 。故得A（4，2）、B（1，1）、 因此可知，所求拋物線E的方程為 ； 所求直線l方程為 。點(diǎn)評(píng)：上述問題中出現(xiàn)“相對(duì)獨(dú)立的多條直線與同一曲線相交”，即問題中多條直線的出現(xiàn)沒有確定的順序或依賴關(guān)系，各條直線之間具有相對(duì)獨(dú)立性。對(duì)此，我們?nèi)匀贿\(yùn)用對(duì)交點(diǎn)坐標(biāo)“既設(shè)又解”的策略，不過，這里的“解”不是解直線方程與曲線方程所聯(lián)立的方程組，而是解關(guān)于所設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)的等式所聯(lián)立的

35、方程組；這里的“解”不是“半心半意”地解至中途運(yùn)用韋達(dá)定理，而是全心全意地去解出交點(diǎn)坐標(biāo)，因此，此類問題的解題三部曲為：（1）全心全意地設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）全心全意地求解所設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)滿足的方程所聯(lián)立的方程組，解出所設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)；（3）利用（2）的結(jié)果追求既定目標(biāo)。三、求解交點(diǎn)坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換與回避解決直線與圓錐曲線相交問題招致復(fù)雜局面或陷入絕境，究其原因，大多是求解直線與圓錐曲線所聯(lián)立方程組惹的禍。因此，面對(duì)所給問題，當(dāng)能預(yù)見到求解上述方程組的繁難程度時(shí)，能轉(zhuǎn)換正面求解（交點(diǎn)坐標(biāo)）便盡量轉(zhuǎn)換，能回避正面求解（交點(diǎn)坐標(biāo)）便盡量回避。1、設(shè)而不解這里所謂的“設(shè)而不解”，是指設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)之后，借助已知方程，

36、運(yùn)用交點(diǎn)坐標(biāo)去表示已知條件或主要目標(biāo)。其中，用所設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)去構(gòu)造有關(guān)直線的斜率最為多見。例1設(shè)橢圓 的上半部有不同三點(diǎn)A、B、C，它們到同一焦點(diǎn)的距離依次成等差數(shù)列，且點(diǎn)B的縱坐標(biāo)與橢圓的半焦距相等，求線段AC的中垂線在y軸上的截距。分析：考察線段AC的中垂線方程，易知其斜率由點(diǎn)A、C同名坐標(biāo)的差式表出，弦中點(diǎn)由點(diǎn)A、C同名坐標(biāo)的和式表出。由此想到對(duì)交點(diǎn)坐標(biāo)“設(shè)而不解”，并借助焦點(diǎn)半徑公式求解。解：設(shè) ，弦AC中點(diǎn)M(x0,y0)。由已知橢圓方程得 又運(yùn)用橢圓第二定義可得 ， 由題設(shè)條件得 而 此時(shí)，注意到點(diǎn)A、C在橢圓 上，故有 -得 代入得 由此得 由、得 ，即AC中點(diǎn) 于是可知弦AC的中

37、垂線方程為 在中令x=0得 由此可知，所求弦AC的中垂線在y軸上的截距為 2、不設(shè)不解這是解決直線與曲線相交問題的至高境界。因此，欲適時(shí)地正確選擇對(duì)交點(diǎn)坐標(biāo)“不設(shè)不解”，需要我們對(duì)問題或圖形本質(zhì)的深刻認(rèn)知，需要我們對(duì)有關(guān)知識(shí)的深厚積淀或升華。（1）利用圓錐曲線定義回避交點(diǎn)坐標(biāo)例2已知F1、F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F2的直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn)， ，且 ，求橢圓的離心率。解：注意到這里涉及點(diǎn)P處兩條焦點(diǎn)半徑，故考慮利用橢圓定義1。設(shè)橢圓方程為 。又設(shè) ，則由題意得 根據(jù)橢圓定義得 代入得 ，解得 再由 得 代入得 化簡(jiǎn)得 ，由此解得 。（2）借助有關(guān)圖形性質(zhì)回避交點(diǎn)坐標(biāo)例3已知直線l： 與 相交于

38、A、B兩點(diǎn)，當(dāng) 時(shí)，求C的方程。提示：圓心C到弦AB的距離（弦心距） 注意到 由圓的弦的性質(zhì)得 ，由此解得a的值。（3）利用有關(guān)問題的深入認(rèn)知回避交點(diǎn)坐標(biāo)這是處置直線與曲線乃至兩曲線相交問題的重要策略，現(xiàn)以例4示范說明。例4已知圓M與圓 相交于不同兩點(diǎn)A、B，所得公共弦AB平行于已知直線 ，又圓M經(jīng)過點(diǎn)C（-2，3），D（1，4），求圓M的方程。解（利用對(duì)圓的根軸方程的認(rèn)知廻避交點(diǎn)坐標(biāo)）：設(shè)圓M方程為 又已知圓方程為 得上述兩圓公共弦AB所在直線方程 由題設(shè)得 注意到點(diǎn)C、D在圓M上，故有 將、聯(lián)立解得 所求圓M的方程為 四、高考真題1.已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，斜率為1且過橢

39、圓在焦點(diǎn)F的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)， 與 共線。（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)M為橢圓上任意一點(diǎn)，且 ，證明 為定值。分析：（1）求橢圓離心率，首先要求關(guān)于a，b，c的等式。為此，從設(shè)出橢圓方程與直線AB的方程切入，運(yùn)用對(duì)A、B坐標(biāo)“既設(shè)又解”的策略；（2）注意到這里的點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，故考慮對(duì)點(diǎn)的坐標(biāo)“設(shè)而不解”。解：（1）設(shè)橢圓方程為 則直線AB方程為 設(shè) 將代入橢圓方程 得 由題意 ，顯然成立由韋達(dá)定理得 又 ， ， 與 共線 即所求橢圓的離心率為 （2）由（1）得 ，橢圓方程化為 設(shè) ，由題設(shè)得 點(diǎn)M在橢圓上 又由（1）知， 而 , 將、代得 ， 即 為定值。點(diǎn)評(píng)：對(duì)于（1），立足于

40、對(duì)A、B坐標(biāo)“既設(shè)又解”，對(duì) 與 共線的充要條件 ，先“轉(zhuǎn)化”而后“代入”，與先“代入”而后化簡(jiǎn)比較，計(jì)算量要明顯減少。因此，諸如此類的問題，要注意選擇“代入”的形式或時(shí)機(jī)，以求減少解題的計(jì)算量。2.P、Q、M、N四點(diǎn)都在橢圓 上，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點(diǎn)，已知 與 共線， 與 共線，且 ，求四邊形PMQN的面積的最小值和最大值。分析：這里 ，b=1，c=1，故F（0，1）由題設(shè)知 ，四邊形PMQN的面積等于 ，因此解題從求 ， 切入。解：這里 ，b=1，c=1，F(xiàn)（0，1），由 得 ，即 直線PQ，MN中至少有一條直線斜率存在。不妨設(shè)PQ的斜率為k，則直線PQ的方程為 又設(shè) 將代入橢圓方程得 且 （1）當(dāng) 時(shí)，直線MN的斜率為 ，同理可得 四邊形PMQN的面積 令 ，