Chap9A工程力學(xué)

1、92 92 彎曲正應(yīng)力彎曲正應(yīng)力93 93 求慣性矩的平行軸公式求慣性矩的平行軸公式94 94 彎曲切應(yīng)力彎曲切應(yīng)力95 95 梁的強(qiáng)度條件（正應(yīng)力）（切應(yīng)力）梁的強(qiáng)度條件（正應(yīng)力）（切應(yīng)力）96 96 撓度和轉(zhuǎn)角撓度和轉(zhuǎn)角第九章第九章 彎彎 曲曲彎曲種類彎曲種類 橫力彎曲橫力彎曲 純彎曲純彎曲橫截面上的應(yīng)力橫截面上的應(yīng)力 既有彎矩又有剪力既有彎矩又有剪力 只有彎矩而無(wú)剪力只有彎矩而無(wú)剪力 橫截面上切向分布內(nèi)力的集度橫截面上切向分布內(nèi)力的集度 橫截面上法向分布內(nèi)力的集度橫截面上法向分布內(nèi)力的集度 彎曲切應(yīng)力彎曲切應(yīng)力 彎曲正應(yīng)力彎曲正應(yīng)力ABCD7-2 7-2 彎曲正應(yīng)力彎曲正應(yīng)力一、純彎曲時(shí)

2、的彎曲正應(yīng)力一、純彎曲時(shí)的彎曲正應(yīng)力 可以從可以從幾何關(guān)系幾何關(guān)系、物理關(guān)系物理關(guān)系和和靜力學(xué)關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系這三方面著這三方面著手，研究直梁純彎曲時(shí)橫截面上的彎曲正應(yīng)力手，研究直梁純彎曲時(shí)橫截面上的彎曲正應(yīng)力。正應(yīng)力計(jì)算公式正應(yīng)力計(jì)算公式正應(yīng)力變化規(guī)律正應(yīng)力變化規(guī)律線應(yīng)變變化規(guī)律線應(yīng)變變化規(guī)律變形情況變形情況靜力學(xué)關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系物理關(guān)系物理關(guān)系幾何關(guān)系幾何關(guān)系1 1、幾何關(guān)系、幾何關(guān)系 表面變形情況表面變形情況（1 1）各縱向線段彎成弧線，且部分縱向線段伸長(zhǎng)，部分）各縱向線段彎成弧線，且部分縱向線段伸長(zhǎng)，部分縱向線段縮短；縱向線段縮短；（2 2）各橫向周線仍在一個(gè)平面內(nèi)，該平面仍與縱向弧線）各

3、橫向周線仍在一個(gè)平面內(nèi)，該平面仍與縱向弧線垂直，但相對(duì)轉(zhuǎn)過(guò)了一個(gè)角度。垂直，但相對(duì)轉(zhuǎn)過(guò)了一個(gè)角度。（1 1）原為平面的橫截面，變形后仍保持為平面，且仍垂）原為平面的橫截面，變形后仍保持為平面，且仍垂直于彎曲后梁的軸線；直于彎曲后梁的軸線； 兩個(gè)假設(shè)兩個(gè)假設(shè)平面假設(shè)平面假設(shè)（2 2）各縱向線段（纖維）之間無(wú)擠壓，即認(rèn)為每一纖維）各縱向線段（纖維）之間無(wú)擠壓，即認(rèn)為每一纖維處于軸向拉伸或壓縮狀態(tài)。處于軸向拉伸或壓縮狀態(tài)。中性層中性層z中性軸中性軸y對(duì)稱軸對(duì)稱軸 線應(yīng)變線應(yīng)變ABy1O2OAByd 距中性層為任意距離距中性層為任意距離y y的縱向線段的縱向線段ABAB的長(zhǎng)度變?yōu)榈拈L(zhǎng)度變?yōu)閐yBA)(

4、其原長(zhǎng)為其原長(zhǎng)為dOOOOdxAB2121故縱向線段故縱向線段ABAB的線應(yīng)變?yōu)榈木€應(yīng)變?yōu)閐ddy)(y式中式中 為中性層的曲率半徑。為中性層的曲率半徑。結(jié)論：結(jié)論：直梁純彎曲時(shí)縱向線段的線應(yīng)直梁純彎曲時(shí)縱向線段的線應(yīng)變與它到中性層的距離成正比。變與它到中性層的距離成正比。2 2、物理關(guān)系、物理關(guān)系 當(dāng)梁在線彈性范圍內(nèi)工作，且拉伸和壓縮的彈性模量當(dāng)梁在線彈性范圍內(nèi)工作，且拉伸和壓縮的彈性模量相等時(shí)，根據(jù)虎克定律可得相等時(shí)，根據(jù)虎克定律可得yEE結(jié)論：結(jié)論：直梁純彎曲時(shí)橫截面直梁純彎曲時(shí)橫截面上任意一點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力，上任意一點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力，與它到中性層的距離成正比。與它到中性層的距離成正比。即沿

5、截面高度，彎曲正應(yīng)力即沿截面高度，彎曲正應(yīng)力按直線規(guī)律變化。按直線規(guī)律變化。 中性軸中性軸注意：注意：因中性軸位置尚未確定，所以因中性軸位置尚未確定，所以y y值也無(wú)法確定，另值也無(wú)法確定，另外外 也未知。因此，上式還無(wú)法用來(lái)計(jì)算彎曲正應(yīng)力。也未知。因此，上式還無(wú)法用來(lái)計(jì)算彎曲正應(yīng)力。13 3、靜力學(xué)關(guān)系、靜力學(xué)關(guān)系dAM 橫截面上的微內(nèi)力橫截面上的微內(nèi)力 組成組成垂直于橫截面的空間平行力系。垂直于橫截面的空間平行力系。dA將這一力系向原點(diǎn)簡(jiǎn)化，可得到將這一力系向原點(diǎn)簡(jiǎn)化，可得到兩個(gè)內(nèi)力分量：兩個(gè)內(nèi)力分量：在純彎曲時(shí)，橫截面上的軸力在純彎曲時(shí)，橫截面上的軸力 為零，而對(duì)為零，而對(duì)z z軸的力偶

6、矩軸的力偶矩 即為橫截面上的彎矩即為橫截面上的彎矩 。NMAdANAdAyM0 將應(yīng)力表達(dá)式代入第一式，得將應(yīng)力表達(dá)式代入第一式，得0dAyA0E即橫截面對(duì)于中性軸的即橫截面對(duì)于中性軸的靜矩靜矩（面積矩面積矩）等于零。表明）等于零。表明中性中性軸通過(guò)截面形心。軸通過(guò)截面形心。zSdAyENA0dAyEAAdAN0 將應(yīng)力表達(dá)式代入第二式，得將應(yīng)力表達(dá)式代入第二式，得dAyyEMAdAyEA2 令令A(yù)zdAyI2 則有則有zEIM1橫截面對(duì)中性軸的慣性矩橫截面對(duì)中性軸的慣性矩曲率的計(jì)算公式曲率的計(jì)算公式 將上式代入應(yīng)力表達(dá)式，即得將上式代入應(yīng)力表達(dá)式，即得純彎曲時(shí)彎曲正應(yīng)力的純彎曲時(shí)彎曲正應(yīng)力的

7、計(jì)算公式計(jì)算公式 梁的抗彎剛度梁的抗彎剛度zEIyEzIMy （1 1）式中）式中 為橫截面的彎矩，為橫截面的彎矩，y y為所求應(yīng)力的點(diǎn)到為所求應(yīng)力的點(diǎn)到中性軸的距離，均為代數(shù)值；中性軸的距離，均為代數(shù)值；M說(shuō)明：說(shuō)明： （2 2）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)為拉應(yīng)力，反之則為壓應(yīng)力；時(shí)為拉應(yīng)力，反之則為壓應(yīng)力；0 yM 或者，直接由梁的或者，直接由梁的彎曲變形彎曲變形來(lái)判定是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)來(lái)判定是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力力 。以中性層為界，梁在。以中性層為界，梁在凸出的一側(cè)受拉凸出的一側(cè)受拉，凹入的一側(cè)凹入的一側(cè)受壓受壓。此時(shí)，將。此時(shí)，將 和和y y均看作絕對(duì)值。均看作絕對(duì)值。M 中性軸中性軸 （4 4）公式雖從矩

8、形截面梁導(dǎo)得，但對(duì)橫截面為其它）公式雖從矩形截面梁導(dǎo)得，但對(duì)橫截面為其它對(duì)稱形狀的梁也都適用。對(duì)稱形狀的梁也都適用。 （3 3）最大彎曲正應(yīng)力發(fā)生在距中性軸最遠(yuǎn)處，且當(dāng)）最大彎曲正應(yīng)力發(fā)生在距中性軸最遠(yuǎn)處，且當(dāng)中性軸為橫截面的對(duì)稱軸時(shí)，最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的中性軸為橫截面的對(duì)稱軸時(shí)，最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的絕對(duì)值相等，即絕對(duì)值相等，即zalIyMmaxmaxmax式中式中maxyIWzzzWM抗彎截面模量抗彎截面模量當(dāng)中性軸不是橫截面的對(duì)稱軸時(shí)，最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)當(dāng)中性軸不是橫截面的對(duì)稱軸時(shí)，最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的絕對(duì)值不相等，故有兩個(gè)抗彎截面模量。力的絕對(duì)值不相等，故有兩個(gè)抗彎截面模量

9、。解：解： （1 1）計(jì)算橫截面上的彎矩）計(jì)算橫截面上的彎矩例例1：圖示為一：圖示為一T形截面梁及其橫截面尺寸，在縱向平面形截面梁及其橫截面尺寸，在縱向平面內(nèi)受外力偶作用。已知內(nèi)受外力偶作用。已知 ： 。試求橫截面上試求橫截面上A、B、D、E四點(diǎn)處的彎曲正應(yīng)力。四點(diǎn)處的彎曲正應(yīng)力。48106 .290,3mImkNMze 純彎曲時(shí)，梁橫截面上的彎矩為常量，純彎曲時(shí)，梁橫截面上的彎矩為常量，由平衡條件有由平衡條件有mkNMMe3（2 2）計(jì)算各點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力）計(jì)算各點(diǎn)的彎曲正應(yīng)力ABDEzAAIMy833106 .290)1035()103(MPa1 .36zBBIMy833106 .29010

10、)3520()103(MPa5 .15zDDIMy833106 .2901065)103(MPa1 .67DEMPa1 .67MPaAl1 .36maxMPaDa1 .67max 若梁在水平面內(nèi)受外力偶作用，則中性軸為哪若梁在水平面內(nèi)受外力偶作用，則中性軸為哪個(gè)軸？此時(shí)彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式如何表示？個(gè)軸？此時(shí)彎曲正應(yīng)力計(jì)算公式如何表示？思考題：思考題： y y 軸軸ABDEyIMz二、軸慣性矩二、軸慣性矩1 1、計(jì)算公式、計(jì)算公式AzdAyI22 2、幾種常見(jiàn)形狀截面的慣性矩、幾種常見(jiàn)形狀截面的慣性矩（1 1）矩形截面）矩形截面AzdAyI2bdyyhh222123bh（2 2）空心矩形截面（）

11、空心矩形截面（形心重合形心重合）AzdAyI2AIIAIdAydAy22III121233bhBH622bhhIWzzHbhBHHIWZz62331233bhBH（3 3）實(shí)心圓截面）實(shí)心圓截面 極慣性矩為極慣性矩為ApddAI3242ApdAzyI)(22AAdAzdAy22yzII zI2yI2,6424dIIIpyz（4 4）空心圓截面（）空心圓截面（形心重合形心重合）)1(64)(644444DdDIIyz3223ddIWzz)1(32243DDIWzz（5 5）型鋼截面）型鋼截面可從型鋼表中查得?？蓮男弯摫碇胁榈谩?作作 業(yè)：業(yè)：P179 9 - 5 94 94 彎曲切應(yīng)力彎曲切應(yīng)力

12、95 95 梁的強(qiáng)度條件（正應(yīng)力）（切應(yīng)力）梁的強(qiáng)度條件（正應(yīng)力）（切應(yīng)力）96 96 撓度和轉(zhuǎn)角撓度和轉(zhuǎn)角第七九彎第七九彎 曲曲復(fù)習(xí)：彎曲變形復(fù)習(xí)：彎曲變形 純彎曲純彎曲橫截面上的應(yīng)力橫截面上的應(yīng)力 只有彎矩而無(wú)剪力只有彎矩而無(wú)剪力 橫截面上法向分布內(nèi)力的集度橫截面上法向分布內(nèi)力的集度 彎曲正應(yīng)力彎曲正應(yīng)力ABCDAzdAyI2橫截面對(duì)中性軸的慣性矩橫截面對(duì)中性軸的慣性矩 純彎曲時(shí)彎曲正應(yīng)力的計(jì)算公式：純彎曲時(shí)彎曲正應(yīng)力的計(jì)算公式：yE純彎曲時(shí)的彎曲正應(yīng)力純彎曲時(shí)的彎曲正應(yīng)力zIMy （1 1）式中）式中 為橫截面的彎矩，為橫截面的彎矩，y y為所求應(yīng)力的點(diǎn)到為所求應(yīng)力的點(diǎn)到中性軸的距離，均

13、為代數(shù)值；中性軸的距離，均為代數(shù)值；M說(shuō)明：說(shuō)明： （2 2）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)為拉應(yīng)力，反之則為壓應(yīng)力；時(shí)為拉應(yīng)力，反之則為壓應(yīng)力；0 yM 或者，直接由梁的或者，直接由梁的彎曲變形彎曲變形來(lái)判定是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)來(lái)判定是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力力 。以中性層為界，梁在。以中性層為界，梁在凸出的一側(cè)受拉凸出的一側(cè)受拉，凹入的一側(cè)凹入的一側(cè)受壓受壓。此時(shí)，將。此時(shí)，將 和和y y均看作絕對(duì)值。均看作絕對(duì)值。MzIMy （4 4）公式雖從矩形截面梁導(dǎo)得，但對(duì)橫截面為其它）公式雖從矩形截面梁導(dǎo)得，但對(duì)橫截面為其它對(duì)稱形狀的梁也都適用。對(duì)稱形狀的梁也都適用。 （3 3）最大彎曲正應(yīng)力發(fā)生在距中性軸最遠(yuǎn)處，且當(dāng)）最大彎

14、曲正應(yīng)力發(fā)生在距中性軸最遠(yuǎn)處，且當(dāng)中性軸為橫截面的對(duì)稱軸時(shí)，最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的中性軸為橫截面的對(duì)稱軸時(shí)，最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的絕對(duì)值相等，即絕對(duì)值相等，即zalIyMmaxmaxmax式中式中maxyIWzzzWM抗彎截面模量抗彎截面模量當(dāng)中性軸不是橫截面的對(duì)稱軸時(shí)，最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)當(dāng)中性軸不是橫截面的對(duì)稱軸時(shí)，最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力的絕對(duì)值不相等，故有兩個(gè)抗彎截面模量。力的絕對(duì)值不相等，故有兩個(gè)抗彎截面模量。 中性軸中性軸 橫力彎曲橫力彎曲 既有彎矩又有剪力既有彎矩又有剪力 橫截面上切向分布內(nèi)力的集度橫截面上切向分布內(nèi)力的集度 彎曲切應(yīng)力彎曲切應(yīng)力 橫截面上法向分布內(nèi)力的集度橫截

15、面上法向分布內(nèi)力的集度 彎曲正應(yīng)力彎曲正應(yīng)力ABCD橫截面上的應(yīng)力橫截面上的應(yīng)力 純彎曲理論的推廣純彎曲理論的推廣 在橫力彎曲的情況下，梁的橫截面上不僅有正應(yīng)力，在橫力彎曲的情況下，梁的橫截面上不僅有正應(yīng)力，還有切應(yīng)力，這就使得變形后的橫截面不能再保持為平面還有切應(yīng)力，這就使得變形后的橫截面不能再保持為平面而發(fā)生翹曲。同時(shí)，各縱向線段之間還存在擠壓。即，純而發(fā)生翹曲。同時(shí)，各縱向線段之間還存在擠壓。即，純彎曲時(shí)的彎曲時(shí)的兩個(gè)假設(shè)已不再成立兩個(gè)假設(shè)已不再成立。相應(yīng)地，在此基礎(chǔ)上導(dǎo)出。相應(yīng)地，在此基礎(chǔ)上導(dǎo)出的純彎曲梁橫截面上彎曲正應(yīng)力的計(jì)算公式也不能用。的純彎曲梁橫截面上彎曲正應(yīng)力的計(jì)算公式也不能

16、用。 但是，對(duì)于長(zhǎng)梁，若用純彎曲時(shí)的公式計(jì)算橫力彎曲但是，對(duì)于長(zhǎng)梁，若用純彎曲時(shí)的公式計(jì)算橫力彎曲時(shí)的彎曲正應(yīng)力，并不會(huì)引起太大的誤差，能夠滿足工程時(shí)的彎曲正應(yīng)力，并不會(huì)引起太大的誤差，能夠滿足工程問(wèn)題所需要的精度。因此，工程上計(jì)算梁的彎曲正應(yīng)力時(shí)，問(wèn)題所需要的精度。因此，工程上計(jì)算梁的彎曲正應(yīng)力時(shí)，可將純彎曲理論和公式推廣用于橫力彎曲?？蓪⒓儚澢碚摵凸酵茝V用于橫力彎曲。zIM(x) y例例2：圖示一：圖示一T形截面的懸臂梁及其橫截面尺寸，在自由端形截面的懸臂梁及其橫截面尺寸，在自由端作用一集中力。已知作用一集中力。已知 ： 。試求橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。試求橫截面上的最大拉應(yīng)力

17、和最大壓應(yīng)力。mLkNPmIz2,5 . 1,106 .29048LP解：解：（1 1）作梁的彎矩圖）作梁的彎矩圖mkN 3xM（2 2）計(jì)算最大正應(yīng)力）計(jì)算最大正應(yīng)力 因全梁橫截面的彎矩均為負(fù)值，故最大彎曲正應(yīng)力必因全梁橫截面的彎矩均為負(fù)值，故最大彎曲正應(yīng)力必定在彎矩絕對(duì)值最大的橫截面上，且最大拉應(yīng)力在該截面定在彎矩絕對(duì)值最大的橫截面上，且最大拉應(yīng)力在該截面的上邊緣處，最大壓應(yīng)力在該截面的下邊緣處。的上邊緣處，最大壓應(yīng)力在該截面的下邊緣處。zllIyMmaxmaxmax833106 .2901035103MPa1 .36zaaIyMmaxmaxmax833106 .2901065103MPa

18、1 .67mkN 3xM例例3：圖示為一：圖示為一T形截面的伸臂梁及其橫截面尺寸。已形截面的伸臂梁及其橫截面尺寸。已知知 ： 。試求橫截面上的最大拉應(yīng)力和最。試求橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。大壓應(yīng)力。48106 .290mIz解：解：（1 1）作梁的彎矩圖）作梁的彎矩圖（2 2）計(jì)算最大拉應(yīng)力）計(jì)算最大拉應(yīng)力 最大拉應(yīng)力可能發(fā)生在最大拉應(yīng)力可能發(fā)生在C C截面的下邊緣處和截面的下邊緣處和B B截面的上截面的上邊緣處邊緣處. .zsBBsIyM833106 .2901035103MPa1 .36MPaCxl9 .55max （3 3）同樣的方法可得最大壓應(yīng)力）同樣的方法可得最大壓應(yīng)力zxC

19、CxIyM833106 .2901065105 . 2MPa9 .55zsBBsaIyMmax833106 .2901065103MPa1 .679-3 9-3 慣性矩的平行移軸公式慣性矩的平行移軸公式AzdAyI2ACdAay2)(AaaICz20222AbIIAaIICCyyzZ慣性矩的平行慣性矩的平行 移軸公式移軸公式 設(shè)圖形對(duì)于形心軸的慣性矩設(shè)圖形對(duì)于形心軸的慣性矩分別為分別為 和和 ，圖形對(duì)于平行，圖形對(duì)于平行于形心軸的兩軸于形心軸的兩軸y y、z z的慣性矩分的慣性矩分別為別為 和和 。CyICzIyIzIbzzayyCCAAACCdAadAyadAy222AbbICy202ACA

20、ydAbzdAzI22)(IIIIIzIzzIII,12210)22035()2080(10122080123,IzI48103 .105m12210)28065()8020(10128020123,IIzI48103 .185m88103 .185103 .105zI48106 .290mCIzCIIzzI? ? 作作 業(yè)：業(yè)：P180 95 96 3 3、靜力學(xué)關(guān)系、靜力學(xué)關(guān)系dAM 橫截面上的微內(nèi)力橫截面上的微內(nèi)力 組成組成垂直于橫截面的空間平行力系。垂直于橫截面的空間平行力系。dA這一力系可簡(jiǎn)化為三個(gè)內(nèi)力分量這一力系可簡(jiǎn)化為三個(gè)內(nèi)力分量在純彎曲時(shí)，橫截面上的軸力在純彎曲時(shí)，橫截面上的軸

21、力 和對(duì)和對(duì)y y軸的力偶矩軸的力偶矩 均為均為零，而對(duì)零，而對(duì)z z軸的力偶矩軸的力偶矩 即為橫截面上的彎矩即為橫截面上的彎矩 。yMzMNMAdANAydAzMAzdAyM00M 將應(yīng)力表達(dá)式代入第一式，得將應(yīng)力表達(dá)式代入第一式，得0dAyA0E即橫截面對(duì)于中性軸的即橫截面對(duì)于中性軸的靜矩靜矩（面積矩面積矩）等于零。表明）等于零。表明中性中性軸通過(guò)截面形心。軸通過(guò)截面形心。zS 將應(yīng)力表達(dá)式代入第二式，得將應(yīng)力表達(dá)式代入第二式，得dAyzEMAy0zdAyEAdAyENA0dAyEA0dAzyAyzI橫截面對(duì)橫截面對(duì)y y和和z z軸的慣性積軸的慣性積因因y y軸是對(duì)稱軸，故上式自然滿足。軸是對(duì)稱軸，故上式自然滿足。AIIAIdAydAy22AzdAyI2IIzIzII,121233bhBHIzIzCIII,CICIIIIzIIzCIIII,( ( 錯(cuò)錯(cuò) ）CIzCIIzIII9-19-1剪力圖和彎矩圖的進(jìn)一步研究剪力圖和彎矩圖的進(jìn)一步研究1、剪力、剪力Q、彎矩、彎矩M與荷載集度與荷載集度q間的關(guān)系間的關(guān)系 取出長(zhǎng)為取出長(zhǎng)為dxdx的微的微段，畫(huà)受力圖，由平段，畫(huà)受力圖，由平衡條件衡條件:0Y0)()()()(dxxqxdQxQxQ得得02)()()()()(dxdxxqxdMxMdxxQxM)()(xQdxxdM