第七章彎曲變形

1、第七章第七章 彎曲變形彎曲變形 靜不定梁靜不定梁7-1 概概 述述一、工程實(shí)踐中的彎曲變形問(wèn)題一、工程實(shí)踐中的彎曲變形問(wèn)題 在工程實(shí)踐中，對(duì)某些受彎構(gòu)件，除要求在工程實(shí)踐中，對(duì)某些受彎構(gòu)件，除要求具有足夠的強(qiáng)度外，還要求變形不能過(guò)大，具有足夠的強(qiáng)度外，還要求變形不能過(guò)大，即要求構(gòu)件有足夠的剛度，以保證結(jié)構(gòu)或機(jī)即要求構(gòu)件有足夠的剛度，以保證結(jié)構(gòu)或機(jī)器正常工作。器正常工作。 搖臂鉆床的搖臂或車(chē)床的主軸變形過(guò)大，搖臂鉆床的搖臂或車(chē)床的主軸變形過(guò)大，就會(huì)影響零件的加工精度，甚至?xí)霈F(xiàn)廢品。就會(huì)影響零件的加工精度，甚至?xí)霈F(xiàn)廢品。 橋式起重機(jī)的橫梁變形過(guò)大橋式起重機(jī)的橫梁變形過(guò)大,則會(huì)使小車(chē)行則會(huì)使小車(chē)

2、行走困難，出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象。走困難，出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象。 但在另外一些情況下，有時(shí)卻要求構(gòu)件具但在另外一些情況下，有時(shí)卻要求構(gòu)件具有較大的彈性變形，以滿足特定的工作需要。有較大的彈性變形，以滿足特定的工作需要。 例如，車(chē)輛上的板彈簧，要求有足夠大的例如，車(chē)輛上的板彈簧，要求有足夠大的變形，以緩解車(chē)輛受到的沖擊和振動(dòng)作用。變形，以緩解車(chē)輛受到的沖擊和振動(dòng)作用。P2P2P1.撓曲線：梁在彎曲變形后的曲線。撓曲線：梁在彎曲變形后的曲線。在平面彎曲中，梁的軸線將變成在平面彎曲中，梁的軸線將變成XY平面內(nèi)的一條平面內(nèi)的一條曲線，如圖所示。曲線，如圖所示。在平面假設(shè)條件下，撓曲線一在平面假設(shè)條件下，撓曲線一條光滑連

3、續(xù)的彈性曲線。條光滑連續(xù)的彈性曲線。二、彎曲變形的基本概念二、彎曲變形的基本概念撓曲線撓曲線2.撓度和轉(zhuǎn)角撓度和轉(zhuǎn)角規(guī)定：向上的撓度為正，規(guī)定：向上的撓度為正，(Y軸正向軸正向) 逆時(shí)針的轉(zhuǎn)角為正，逆時(shí)針的轉(zhuǎn)角為正，(逆時(shí)針逆時(shí)針) 與坐標(biāo)系相關(guān)。與坐標(biāo)系相關(guān)。xyxv撓曲線方程：撓曲線方程：v f x ( )轉(zhuǎn)角方程：轉(zhuǎn)角方程： f xfx( )dd tan撓度撓度v：橫截面形心處的鉛垂位移。：橫截面形心處的鉛垂位移。轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角：橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度。：橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度。7-2 梁的撓曲線近似微分方程及其積分梁的撓曲線近似微分方程及其積分一、梁的撓曲線近似微分方程式一、梁的撓曲線近

4、似微分方程式Kyy()/123 2yf x( ) 曲線曲線 的曲率為的曲率為zEIM11123/2 vv()MEIvEIvMz 或 v梁純彎曲時(shí)中性層的曲率：梁純彎曲時(shí)中性層的曲率：EIvM M 0 xy v0MMMMM 0 v0 xy梁的撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程:EIvM xEIvxM x ( ):( )或dd22二、用積分法求梁的變形二、用積分法求梁的變形式中積分常數(shù)式中積分常數(shù)C、D由邊界條件和連續(xù)條件確定由邊界條件和連續(xù)條件確定EIvM x ( )EIvM xxC ( ) dEIvM xx xCxD ( ) d d 沒(méi)有約束無(wú)法確定位移沒(méi)有約束無(wú)法確定位移 光滑連續(xù)條件

5、：光滑連續(xù)條件：PCccccvv 例：已知梁的抗彎剛度為例：已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡(jiǎn)。試求圖示簡(jiǎn)支梁在均布載荷支梁在均布載荷q作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定方程，并確定max和和vmax。xylq解：解：M xqlxqx( ) 222EIvqlxqx 222EIvqlxqxC 4623EIvqlxqxCxD122434由邊界條件：由邊界條件：xvxlv000時(shí)，時(shí)，得：得：CqlD 3240,xqlxyAB梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：qEIlxxl2464233()vqxEIlxxl242233()最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分

6、別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：max ABqlEI324vvqlEIxlmax 245384xqlxyABAB 例：已知梁的抗彎剛度為例：已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示懸。試求圖示懸臂梁在集中力臂梁在集中力P作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定程，并確定max和和vmax。xylPAB解：解：M xP lx( )() EIvP xPl EIvPxPlxC 22EIvPxPlxCxD6232由邊界條件：由邊界條件：xvv 000時(shí)，,得：得：CD 0 xylPABx梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：PxEIxl22()vPxEIxl26

7、3()最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：max BPlEI22vvPlEIBmax 33xylPABxB 例：已知梁的抗彎剛度為例：已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡(jiǎn)。試求圖示簡(jiǎn)支梁在集中力支梁在集中力P作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定程，并確定max和和 vmax。xyl2PABCl2解：解：ACM xPx段：( ) 2EIvPx 2EIvPxC 42EIvPxCxD123由邊界條件：由邊界條件：xv00時(shí)，得：得：D 0由對(duì)稱條件：由對(duì)稱條件：xlv 20時(shí)，得：得：CPl 216xyl2PABCl2xAC段段梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：

8、梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：PEIxl16422()vPxEIxl484322()最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：max ABPlEI216vvPlEIxlmax 2348xyl2PABCl2x討論：討論：0c 例：已知梁的抗彎剛度為例：已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡(jiǎn)支。試求圖示簡(jiǎn)支梁的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定梁的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定max和和vmax。yaqABCxaaaDE解：由對(duì)稱性，只考慮半跨梁解：由對(duì)稱性，只考慮半跨梁ACDMxqaxxa11110()()EIvqaxEIvqaxqxa1122222()yaqABCxaaaDEqaqax1x2M

9、xqaxqxaaxa22222222()()()由連續(xù)條件：由連續(xù)條件：xxavvvv121212時(shí),EIvqaxC11212由邊界條件：由邊界條件：由對(duì)稱條件：由對(duì)稱條件：得CCDD1212xv1100時(shí),得 D10 xav2220時(shí),得 Cqa23116 EIvqax112222)(2axqqaxEIvEIvqaxC xD1131 116EIvqaxqxaC22223226()EIvqaxqxaC xD22324222624()梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：1212122223321211312232432261130631126110244442 qaE

10、IaxxaqEIaxxaaaxavqaEIa xxxavqEIaxxaa xaxa()()()()最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：max AxqaEI1031116vvqaEIxamax 22421987-3 用疊加法計(jì)算梁的變形用疊加法計(jì)算梁的變形梁的剛度計(jì)算梁的剛度計(jì)算一、用疊加法計(jì)算梁的變形一、用疊加法計(jì)算梁的變形 在材料服從胡克定律、且變形很小的前提下在材料服從胡克定律、且變形很小的前提下,載荷與它所引起的變形成線性關(guān)系。載荷與它所引起的變形成線性關(guān)系。 當(dāng)梁上同時(shí)作用幾個(gè)載荷時(shí)，各個(gè)載荷所引當(dāng)梁上同時(shí)作用幾個(gè)載荷時(shí)，各個(gè)載荷所引起的變形是各自獨(dú)立的，互不影響。若計(jì)

11、算幾個(gè)起的變形是各自獨(dú)立的，互不影響。若計(jì)算幾個(gè)載荷共同作用下在某截面上引起的變形，則可分載荷共同作用下在某截面上引起的變形，則可分別計(jì)算各個(gè)載荷單獨(dú)作用下的變形，然后疊加。別計(jì)算各個(gè)載荷單獨(dú)作用下的變形，然后疊加。例：用疊加法求例：用疊加法求vCAB、解：解：vC53844qlEIPlEI348mlEI216AqlEI324PlEI216mlEI3BqlEI324PlEI216mlEI3將梁上的各載荷分別引起的位移疊加將梁上的各載荷分別引起的位移疊加逐段剛化法：逐段剛化法：變形后：變形后：AB AB BC BC變形后變形后AB部分為曲線，部分為曲線，但但BC部分仍為直線。部分仍為直線。C點(diǎn)的

12、位移為：點(diǎn)的位移為：wc2LwwwwBBcBc例：求外伸梁例：求外伸梁C點(diǎn)的位移。點(diǎn)的位移。LaCABP解：解：將梁各部分分別引起的位移疊加ABCP剛化EI=PCfc11）BC部分引起的位移部分引起的位移fc1、 c1c1EIpafc331EIpac2212）AB部分引起的位移部分引起的位移fc2、 c2CABP剛化EI=fc2B2PPaB2aEIPaLafBc322EIpaLB3221cccfff21ccc 例：已知梁的例：已知梁的 為常數(shù)，今欲使梁的撓曲為常數(shù)，今欲使梁的撓曲線在線在 處出現(xiàn)一拐點(diǎn)，則比值處出現(xiàn)一拐點(diǎn)，則比值為多少？為多少？lm2xm1xl/ 3EImm12/解：由梁的撓曲

13、線近似微分方程解：由梁的撓曲線近似微分方程EIvM x ( )知，在梁撓曲線的拐點(diǎn)處有：知，在梁撓曲線的拐點(diǎn)處有：從彎矩圖可以看出：從彎矩圖可以看出：2121mmlm2xm1M 0Mm2m1 例：例：兩根材料相同、抗彎剛度相同的懸臂兩根材料相同、抗彎剛度相同的懸臂梁梁、如圖示，如圖示，梁的最大撓度是梁的最大撓度是梁的多梁的多少倍？少倍？CL9TU222llP2PPlEI33 例：例：簡(jiǎn)支梁在整個(gè)梁上受均布載荷簡(jiǎn)支梁在整個(gè)梁上受均布載荷q作用，若作用，若其跨度增加一倍，則其最大撓度增加多少倍？其跨度增加一倍，則其最大撓度增加多少倍？lqvqlEImax 53844例：例：欲使欲使AD梁梁C點(diǎn)撓度

14、為零，求點(diǎn)撓度為零，求P與與q的關(guān)系。的關(guān)系。解：解：vqaEIC 523844()PaaEI()2162 0Pqa56 例：若圖示梁例：若圖示梁B端的轉(zhuǎn)角端的轉(zhuǎn)角B=0，則力偶矩，則力偶矩等于多少？等于多少？解：解：BPaEI 22maEI20mPa4例：求圖示梁例：求圖示梁 C、D兩點(diǎn)的撓度兩點(diǎn)的撓度 vC、 vD。解：解：vvqaEIqaEICD 05238452444,()例：求圖示梁例：求圖示梁B、D兩處的撓度兩處的撓度 vB、 vD 。解：解： vqaEIqaaEIqaEIB()()2823143434 vvqaaEIqaEIDB222488334()例：求圖示梁例：求圖示梁C點(diǎn)的

15、撓度點(diǎn)的撓度 vC。解：解： 例：例： 用疊加法求圖示變截面梁用疊加法求圖示變截面梁B、C截面的截面的撓度撓度 vB 、 vC 。解：解：vPaEIPa aEIB323 22 2()()vvaPaEICBB33 5123PaEIBPaEIPa aEI22 22()342PaEI順時(shí)針 323PaEI例：例： 用疊加法求圖示梁端的轉(zhuǎn)角和撓度。用疊加法求圖示梁端的轉(zhuǎn)角和撓度。解：解：CBqaEIqaEI3364順時(shí)針BqaaEIqaaEI22223216()qaEI312順時(shí)針 vaqaEIqaEICB448524 例：例： 用疊加法求圖示梁跨中的撓度用疊加法求圖示梁跨中的撓度vC和和B點(diǎn)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角

16、的轉(zhuǎn)角B（為彈簧系數(shù)）。（為彈簧系數(shù)）。解：彈簧縮短量解：彈簧縮短量BqkqlEIqlEI8224222433qkqaEI873843順時(shí)針 vqlkqlEIC1657684 qlk8 例：例： 梁梁AB，橫截面為邊長(zhǎng)為，橫截面為邊長(zhǎng)為a的正方形，的正方形，彈性模量為彈性模量為E1；桿；桿BC，橫截面為直徑為，橫截面為直徑為d的圓的圓形，彈性模量為形，彈性模量為E2。試求。試求BC桿的伸長(zhǎng)及桿的伸長(zhǎng)及AB梁梁中點(diǎn)的撓度。中點(diǎn)的撓度。 例：例： 圖示梁處為彈性支座，彈簧剛度圖示梁處為彈性支座，彈簧剛度。求。求C端撓度端撓度vC。kEIa23解：解：(1)梁不變形，僅彈簧變形引起的梁不變形，僅彈簧

17、變形引起的C點(diǎn)撓度為點(diǎn)撓度為 vqakqaEIC14323 vqaEIaqaEIC 2342243()(2)彈簧不變形，僅梁變形引起的彈簧不變形，僅梁變形引起的C點(diǎn)撓度為點(diǎn)撓度為(3)C點(diǎn)總撓度為點(diǎn)總撓度為 vvvqaEICCC12483例：用疊加法求圖示梁例：用疊加法求圖示梁B端的撓度和轉(zhuǎn)角。端的撓度和轉(zhuǎn)角。解：解：二、梁的剛度計(jì)算二、梁的剛度計(jì)算剛度條件：剛度條件：vvmaxmax v、是構(gòu)件的許可撓度和轉(zhuǎn)角，它們決定是構(gòu)件的許可撓度和轉(zhuǎn)角，它們決定于構(gòu)件正常工作時(shí)的要求。于構(gòu)件正常工作時(shí)的要求。 例：圖示工字鋼梁，例：圖示工字鋼梁， l =8m， Iz=2370cm4, Wz=237cm

18、3， v = l500，E=200GPa，=100MPa。試根據(jù)梁的剛度條件，確定梁。試根據(jù)梁的剛度條件，確定梁的許可載荷的許可載荷 P，并校核強(qiáng)度。，并校核強(qiáng)度。解：由剛度條件解：由剛度條件vPlEIvlmax 348500得PEIl485002所以 .P 711kNmaxmaxMWz所以滿足強(qiáng)度條件。PlWz460MPa 711.kN7-4 提高彎曲剛度的措施提高彎曲剛度的措施 影響梁彎曲變形的因素不僅與梁的支承和載影響梁彎曲變形的因素不僅與梁的支承和載荷情況有關(guān)，而且還與梁的材料、截面尺寸、形荷情況有關(guān)，而且還與梁的材料、截面尺寸、形狀和梁的跨度有關(guān)。所以，要想提高彎曲剛度，狀和梁的跨度

19、有關(guān)。所以，要想提高彎曲剛度，就應(yīng)從上述各種因素入手。就應(yīng)從上述各種因素入手。一、增大梁的抗彎剛度一、增大梁的抗彎剛度EI二、減小跨度或增加支承二、減小跨度或增加支承三、改變加載方式和支座位置三、改變加載方式和支座位置7-5 用變形比較法解靜不定梁用變形比較法解靜不定梁一、靜不定梁的基本概念一、靜不定梁的基本概念 用多余反力代替用多余反力代替多余約束，就得多余約束，就得到一個(gè)形式上的到一個(gè)形式上的靜定梁，該梁稱靜定梁，該梁稱為原靜不定梁的為原靜不定梁的相當(dāng)系統(tǒng)。相當(dāng)系統(tǒng)。二、用變形比較法解靜不定梁二、用變形比較法解靜不定梁 用變形疊加法求靜不定梁的方法也稱變形比較法用變形疊加法求靜不定梁的方法也稱變形比較法例：求圖示靜不定例：求圖示靜不定梁的支反力。梁的支反力。解題步驟：解題步驟：1 1、選擇基本靜定系，確定多余約束及反力。、選擇基本靜定系，確定多余約束及反力。2 2、比較基本靜定系與靜不定梁在多余處的變、比較基本靜定系與靜不定梁在多余處的變 形、確定