加法原理與乘法原理

1、分類計(jì)數(shù)原理分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理分步計(jì)數(shù)原理(二二)1、分類加法計(jì)數(shù)原理、分類加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事，有：完成一件事，有n類辦法，在類辦法，在第第1類辦法中有類辦法中有m1種不同的方法種不同的方法,在第在第2類辦法中有類辦法中有m2種不同的方法種不同的方法在第在第n類辦法中類辦法中有有m mn n種不同的方法種不同的方法. .那么完成這件事共有那么完成這件事共有 種不同的方種不同的方法法. .12nNmmm2 2、分步乘法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理：完成一件事，需要分成完成一件事，需要分成n n個(gè)步個(gè)步驟，做第驟，做第1 1步有步有m m1 1種不同的方法種不同的方法, ,做第做第2

2、2步有步有m m2 2種不同的種不同的方法方法，做第，做第n n步有步有m mn n種不同的方法種不同的方法. .那么完成這件那么完成這件事共有事共有 種不同的方法種不同的方法. .12nNmmm分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的共同點(diǎn)：共同點(diǎn)：不同點(diǎn)：不同點(diǎn)：分類加法計(jì)數(shù)原理與分類有關(guān)，分類加法計(jì)數(shù)原理與分類有關(guān)，分步乘法計(jì)數(shù)原理與分步有關(guān)。分步乘法計(jì)數(shù)原理與分步有關(guān)?；卮鸬亩际怯嘘P(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問題回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問題分類計(jì)數(shù)原理分類計(jì)數(shù)原理 分步計(jì)數(shù)原理分步計(jì)數(shù)原理完成一件事，共有完成一件事，共有n類類辦法，關(guān)鍵詞辦法

3、，關(guān)鍵詞“分類分類”區(qū)別區(qū)別1完成一件事，共分完成一件事，共分n個(gè)個(gè)步驟，關(guān)鍵詞步驟，關(guān)鍵詞“分步分步”區(qū)別區(qū)別2區(qū)別區(qū)別3每類辦法都能獨(dú)立地完成每類辦法都能獨(dú)立地完成這件事情，它是獨(dú)立的、這件事情，它是獨(dú)立的、一次的、且每次得到的是一次的、且每次得到的是最后結(jié)果，最后結(jié)果，只須一種方法只須一種方法就可完成這件事就可完成這件事。每一步得到的只是中間結(jié)果，每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能獨(dú)立完成這件任何一步都不能獨(dú)立完成這件事，缺少任何一步也不能完成事，缺少任何一步也不能完成這件事，這件事，只有各個(gè)步驟都完成只有各個(gè)步驟都完成了，才能完成這件事了，才能完成這件事。各類辦法是互相獨(dú)立的。各

4、類辦法是互相獨(dú)立的。各步之間是互相關(guān)聯(lián)的。各步之間是互相關(guān)聯(lián)的。即：即：類類獨(dú)立，步步關(guān)聯(lián)類類獨(dú)立，步步關(guān)聯(lián)。例例1. 1. 五名學(xué)生報(bào)名參加四項(xiàng)體育比賽，每人五名學(xué)生報(bào)名參加四項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，報(bào)名方法的種數(shù)為多少？又他們爭(zhēng)限報(bào)一項(xiàng)，報(bào)名方法的種數(shù)為多少？又他們爭(zhēng)奪這四項(xiàng)比賽的冠軍，獲得冠軍的可能性有多奪這四項(xiàng)比賽的冠軍，獲得冠軍的可能性有多少種？少種？ 解：（解：（1）5名學(xué)生中任一名均可報(bào)其中的任一項(xiàng)，因此每名學(xué)生中任一名均可報(bào)其中的任一項(xiàng)，因此每個(gè)學(xué)生都有個(gè)學(xué)生都有4種報(bào)名方法，種報(bào)名方法，5名學(xué)生都報(bào)了項(xiàng)目才能算完成名學(xué)生都報(bào)了項(xiàng)目才能算完成這一事件故報(bào)名方法種數(shù)為這一事件故

5、報(bào)名方法種數(shù)為44444= 種種 .54（2）每個(gè)項(xiàng)目只有一個(gè)冠軍，每一名學(xué)生都可能獲得）每個(gè)項(xiàng)目只有一個(gè)冠軍，每一名學(xué)生都可能獲得其中的一項(xiàng)獲軍，因此每個(gè)項(xiàng)目獲冠軍的可能性有其中的一項(xiàng)獲軍，因此每個(gè)項(xiàng)目獲冠軍的可能性有5種種故有故有n=5= 種種 .45例例2.給程序模塊命名，需要用給程序模塊命名，需要用3個(gè)字符，其中首個(gè)字個(gè)字符，其中首個(gè)字符要求用字母符要求用字母AG或或UZ，后兩個(gè)要求用數(shù)字，后兩個(gè)要求用數(shù)字19，問最多可以給多少個(gè)程序命名？問最多可以給多少個(gè)程序命名？分析：分析：要給一個(gè)程序模塊命名，可以分三個(gè)步驟：第一步，要給一個(gè)程序模塊命名，可以分三個(gè)步驟：第一步，選首字符；第二步

6、，先中間字符；第三步，選末位字符。選首字符；第二步，先中間字符；第三步，選末位字符。解：解：首字符共有首字符共有7+613種不同的選法，種不同的選法，答：答：最多可以給最多可以給10531053個(gè)程序命名。個(gè)程序命名。中間字符和末位字符各有中間字符和末位字符各有9種不同的選法種不同的選法根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，最多可以有根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，最多可以有13991053種不同的選法種不同的選法例例3.核糖核酸（核糖核酸（RNA）分子是在生物細(xì)胞中發(fā)現(xiàn)的化學(xué)成分，一個(gè)）分子是在生物細(xì)胞中發(fā)現(xiàn)的化學(xué)成分，一個(gè)RNA分子分子是一個(gè)有著數(shù)百個(gè)甚至數(shù)千個(gè)位置的長(zhǎng)鏈，長(zhǎng)鏈中每一個(gè)位置上都由一種稱是一個(gè)有著數(shù)百個(gè)甚至數(shù)

7、千個(gè)位置的長(zhǎng)鏈，長(zhǎng)鏈中每一個(gè)位置上都由一種稱為堿基的化學(xué)成分所占據(jù)，總共有個(gè)不同的堿基，分別用為堿基的化學(xué)成分所占據(jù)，總共有個(gè)不同的堿基，分別用A，C，G，U表表示，在一個(gè)示，在一個(gè)RNA分子中，各種堿基能夠以任意次序出現(xiàn)，所以在任意一個(gè)位分子中，各種堿基能夠以任意次序出現(xiàn)，所以在任意一個(gè)位置上的堿基與其他位置上的堿基無(wú)關(guān)。假設(shè)有一類置上的堿基與其他位置上的堿基無(wú)關(guān)。假設(shè)有一類RNA分子由分子由100個(gè)堿基組個(gè)堿基組成，那么能有多少種不同的成，那么能有多少種不同的RNA分子？分子？UUUAAACCCGGG分析分析:用用100個(gè)位置表示由個(gè)位置表示由100個(gè)堿基組成的長(zhǎng)鏈，每個(gè)位置都可以從個(gè)堿基

8、組成的長(zhǎng)鏈，每個(gè)位置都可以從A、C、G、U中任選一個(gè)來(lái)占據(jù)。中任選一個(gè)來(lái)占據(jù)。第1位第2位第3位第100位4種4種4種4種解：解：100個(gè)堿基組成的長(zhǎng)鏈共有個(gè)堿基組成的長(zhǎng)鏈共有100個(gè)位置，在每個(gè)位置中，從個(gè)位置，在每個(gè)位置中，從A、C、G、U中任選一個(gè)來(lái)填入，每個(gè)位置有中任選一個(gè)來(lái)填入，每個(gè)位置有4種填充方法。根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有種填充方法。根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有100410044444個(gè) 種不同的種不同的RNA分子分子.例例4.電子元件很容易實(shí)現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與底等兩種電子元件很容易實(shí)現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與底等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài)。因此計(jì)算機(jī)內(nèi)部就采狀態(tài)，而

9、這也是最容易控制的兩種狀態(tài)。因此計(jì)算機(jī)內(nèi)部就采用了每一位只有用了每一位只有0或或1兩種數(shù)字的計(jì)數(shù)法，即二進(jìn)制，為了使計(jì)兩種數(shù)字的計(jì)數(shù)法，即二進(jìn)制，為了使計(jì)算機(jī)能夠識(shí)別字符，需要對(duì)字符進(jìn)行編碼，每個(gè)字符可以用一算機(jī)能夠識(shí)別字符，需要對(duì)字符進(jìn)行編碼，每個(gè)字符可以用一個(gè)或多個(gè)字節(jié)來(lái)表示，其中字節(jié)是計(jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)存儲(chǔ)的最小計(jì)個(gè)或多個(gè)字節(jié)來(lái)表示，其中字節(jié)是計(jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)存儲(chǔ)的最小計(jì)量單位，每個(gè)字節(jié)由個(gè)二進(jìn)制位構(gòu)成，問量單位，每個(gè)字節(jié)由個(gè)二進(jìn)制位構(gòu)成，問（1）一個(gè)字節(jié)（）一個(gè)字節(jié)（8位）最多可以表示多少個(gè)不同的字符？位）最多可以表示多少個(gè)不同的字符？（2）計(jì)算機(jī)漢字國(guó)標(biāo)碼（）計(jì)算機(jī)漢字國(guó)標(biāo)碼（GB碼）包含了碼

10、）包含了6763個(gè)漢字，一個(gè)漢個(gè)漢字，一個(gè)漢字為一個(gè)字符，要對(duì)這些漢字進(jìn)行編碼，每個(gè)漢字至少要用多字為一個(gè)字符，要對(duì)這些漢字進(jìn)行編碼，每個(gè)漢字至少要用多少個(gè)字節(jié)表示？少個(gè)字節(jié)表示？如如00000000，10000000，11111111.8,0,1,.由于每個(gè)字節(jié)有 個(gè)二進(jìn)制位 每一位上的值都有兩種選擇 而且不同的順序代表不同的字符 因此可以用分步乘法計(jì)數(shù)分原理求解本題析;256222222222,.2,88個(gè)不同的字符一個(gè)字節(jié)最多可以表示法計(jì)數(shù)原理根據(jù)分步乘種選擇每位上有位一個(gè)字節(jié)有1.1 3用圖來(lái)表解示一個(gè)字節(jié)位位第第1位位第第2位位第第3位位第第8種種2種種2種種2種種2 31.1圖圖

11、.256,256.2,6763,12種表示方法后一個(gè)字節(jié)也有種不同的表示方法前一個(gè)字節(jié)有能夠表示多少個(gè)字符個(gè)字節(jié)我們就考慮用個(gè)字符不夠不同用一個(gè)字節(jié)所能表示的知由,2256 25665536,6763.,2.根據(jù)個(gè)字節(jié)可以表示個(gè)不同字符 這已經(jīng)大于漢字國(guó)標(biāo)碼包含的漢字個(gè)數(shù)所以要表示這些漢字 每個(gè)漢字至少要分步用個(gè)字乘法計(jì)數(shù)原節(jié)表示理開始子模塊118條執(zhí)行路徑子模塊328條執(zhí)行路徑子模塊245條執(zhí)行路徑子模塊543條執(zhí)行路徑子模塊438條執(zhí)行路徑結(jié)束A例例5.計(jì)算機(jī)編程人員在編計(jì)算機(jī)編程人員在編寫好程序以后要對(duì)程序進(jìn)寫好程序以后要對(duì)程序進(jìn)行測(cè)試。程序員需要知道行測(cè)試。程序員需要知道到底有多少條執(zhí)

12、行路（即到底有多少條執(zhí)行路（即程序從開始到結(jié)束的線），程序從開始到結(jié)束的線），以便知道需要提供多少個(gè)以便知道需要提供多少個(gè)測(cè)試數(shù)據(jù)。一般的，一個(gè)測(cè)試數(shù)據(jù)。一般的，一個(gè)程序模塊又許多子模塊組程序模塊又許多子模塊組成，它的一個(gè)具有許多執(zhí)成，它的一個(gè)具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊。問：行路徑的程序模塊。問：這個(gè)程序模塊有多少條執(zhí)這個(gè)程序模塊有多少條執(zhí)行路徑？另外為了減少測(cè)行路徑？另外為了減少測(cè)試時(shí)間，程序員需要設(shè)法試時(shí)間，程序員需要設(shè)法減少測(cè)試次數(shù)，你能幫助減少測(cè)試次數(shù)，你能幫助程序員設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)試方式，程序員設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)試方式，以減少測(cè)試次數(shù)嗎？以減少測(cè)試次數(shù)嗎？開始子模塊118條執(zhí)行路徑子模塊328條執(zhí)

13、行路徑子模塊245條執(zhí)行路徑子模塊543條執(zhí)行路徑子模塊438條執(zhí)行路徑結(jié)束A分析：分析：整個(gè)模塊的任整個(gè)模塊的任意一條路徑都分兩步意一條路徑都分兩步完成完成：第：第1步是從開步是從開始執(zhí)行到始執(zhí)行到A點(diǎn)；第點(diǎn)；第2步步是從是從A點(diǎn)執(zhí)行到結(jié)束。點(diǎn)執(zhí)行到結(jié)束。而第步可由子模塊而第步可由子模塊1或子模塊或子模塊2或子模塊或子模塊3來(lái)完成；第二步可由來(lái)完成；第二步可由子模塊子模塊4或子模塊或子模塊5來(lái)來(lái)完成。因此，分析一完成。因此，分析一條指令在整個(gè)模塊的條指令在整個(gè)模塊的執(zhí)行路徑需要用到兩執(zhí)行路徑需要用到兩個(gè)計(jì)數(shù)原理。個(gè)計(jì)數(shù)原理。開始子模塊118條執(zhí)行路徑子模塊328條執(zhí)行路徑子模塊245條執(zhí)行路

14、徑子模塊543條執(zhí)行路徑子模塊438條執(zhí)行路徑結(jié)束A再測(cè)試各個(gè)模塊之間的信再測(cè)試各個(gè)模塊之間的信息交流是否正常，需要測(cè)息交流是否正常，需要測(cè)試的次數(shù)為：試的次數(shù)為：3*2=6。如果每個(gè)子模塊都正常工如果每個(gè)子模塊都正常工作，并且各個(gè)子模塊之間作，并且各個(gè)子模塊之間的信息交流也正常，那么的信息交流也正常，那么整個(gè)程序模塊就正常。整個(gè)程序模塊就正常。這樣，測(cè)試整個(gè)這樣，測(cè)試整個(gè)模塊的次數(shù)就變?yōu)槟K的次數(shù)就變?yōu)?172+6=178（次）（次）2）在實(shí)際測(cè)試中，程序）在實(shí)際測(cè)試中，程序員總是把每一個(gè)子模塊看員總是把每一個(gè)子模塊看成一個(gè)黑箱，即通過(guò)只考成一個(gè)黑箱，即通過(guò)只考察是否執(zhí)行了正確的子模察是否執(zhí)

15、行了正確的子模塊的方式來(lái)測(cè)試整個(gè)模塊。塊的方式來(lái)測(cè)試整個(gè)模塊。這樣，他可以先分別單獨(dú)這樣，他可以先分別單獨(dú)測(cè)試測(cè)試5個(gè)模塊，以考察每個(gè)模塊，以考察每個(gè)子模塊的工作是否正常。個(gè)子模塊的工作是否正常?？偣残枰臏y(cè)試次數(shù)為：總共需要的測(cè)試次數(shù)為：18+45+28+38+43=172。?.3 ,3,33,.,6少輛汽車上牌照那么這種辦法共能給多必須合成一組出現(xiàn)個(gè)數(shù)字也現(xiàn)個(gè)字母必須合成一組出并且字個(gè)不重復(fù)的阿拉伯?dāng)?shù)復(fù)的英文字母和個(gè)不重有每一個(gè)汽車牌照都必須成辦法種汽車牌照組交通管理部門出臺(tái)了一擴(kuò)容汽車牌照號(hào)碼需要庭汽車擁有量迅速增長(zhǎng)某城市家高著人們生活水平的提隨例.6.,2,個(gè)個(gè)步步驟驟的的字字母母和和

16、數(shù)數(shù)字字可可以以分分確確定定一一個(gè)個(gè)牌牌照照在在右右母母組組合合在在左左和和字字母母組組合合即即字字類類牌牌照照可可以以分分為為按按照照新新規(guī)規(guī)定定分分析析.,2類的字母組合在右另一一類字母組合在左類將汽車牌照分為解:6,字母和數(shù)字照的個(gè)步驟確定一個(gè)汽車牌分字母組合在左時(shí);26,126,1種選法有放在首位個(gè)個(gè)字母中選從步第;25,2,125,2種選法有位放在第個(gè)個(gè)字母中選從剩下的步第;24,3,124,3種選法有位放在第個(gè)個(gè)字母中選從剩下的步第;10,4,110,4種選法有位放在第個(gè)個(gè)數(shù)字中選從步第;9,5,19,5種選法有位放在第個(gè)個(gè)數(shù)字中選從剩下的步第.8,6,18,6種選法有位放在第個(gè)個(gè)

17、數(shù)字中選從剩下的步第.000232118910242526,個(gè)有字母組合在左的牌照共根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理.00023211,個(gè)有字母組合在右的牌照也同理.224640001123200011232000,輛汽車上牌照共能給所以?題題的的方方法法嗎嗎法法計(jì)計(jì)數(shù)數(shù)原原理理解解決決計(jì)計(jì)數(shù)數(shù)問問法法計(jì)計(jì)數(shù)數(shù)原原理理、分分步步乘乘你你能能歸歸納納一一下下用用分分類類加加思思考考1、乘積、乘積 展開后共有幾項(xiàng)？展開后共有幾項(xiàng)？)()(54321321321cccccbbbaaa2、某商場(chǎng)有、某商場(chǎng)有6個(gè)門，如果某人從其中的任意一個(gè)個(gè)門，如果某人從其中的任意一個(gè)門進(jìn)入商場(chǎng)，并且要求從其他的門出去，共有多門進(jìn)

18、入商場(chǎng)，并且要求從其他的門出去，共有多少種不同的進(jìn)出商場(chǎng)的方式？少種不同的進(jìn)出商場(chǎng)的方式？ 3.如圖如圖,該電該電路路,從從A到到B共共有多少條不有多少條不同的線路可同的線路可通電？通電？AB例例1 用用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字這六個(gè)數(shù)字,(1)可以組成多少個(gè)各位數(shù)字不允許重復(fù)的三位可以組成多少個(gè)各位數(shù)字不允許重復(fù)的三位的奇數(shù)的奇數(shù)?(2)可以組成多少個(gè)各位數(shù)字不重復(fù)的小于可以組成多少個(gè)各位數(shù)字不重復(fù)的小于1000的自然數(shù)的自然數(shù)?(3)可以組成多少個(gè)大于可以組成多少個(gè)大于3000,小于小于5421且各位數(shù)且各位數(shù)字不允許重復(fù)的四位數(shù)字不允許重復(fù)的四位數(shù)?一、排數(shù)字問題一、排數(shù)字問題分

19、析分析:1.如圖如圖,個(gè)位可填個(gè)位可填1,3,5,故有三種情況故有三種情況,當(dāng)個(gè)為數(shù)字確定后當(dāng)個(gè)為數(shù)字確定后,百位可填的數(shù)字為除百位可填的數(shù)字為除0和個(gè)位已填數(shù)字外都可以和個(gè)位已填數(shù)字外都可以,有有4種情種情況況,十位除已填的兩個(gè)數(shù)字外都可以十位除已填的兩個(gè)數(shù)字外都可以,有有4中情況中情況,故共有故共有: 4 4 348 5 4 3 2.比比1000小的自然數(shù)有三類小的自然數(shù)有三類:三位數(shù)三位數(shù),有有 個(gè)個(gè);兩位數(shù)兩位數(shù),有有 個(gè)個(gè);個(gè)位數(shù)個(gè)位數(shù),有有6個(gè)個(gè),故共有故共有:555 5 4 5 5 6 131 5 4 3 5 4 3 55 175 3.可分三類可分三類:千位數(shù)字為千位數(shù)字為3的的

20、;千位數(shù)字為千位數(shù)字為4的的;千位數(shù)字千位數(shù)字為為5的的,共有共有:1、將數(shù)字、將數(shù)字1,2,3,4,填入標(biāo)號(hào)為填入標(biāo)號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)的四個(gè)方格里方格里,每格填一個(gè)數(shù)字每格填一個(gè)數(shù)字,則每個(gè)格子的標(biāo)則每個(gè)格子的標(biāo)號(hào)與所填的數(shù)字均不同的填法有號(hào)與所填的數(shù)字均不同的填法有_種種引申引申:號(hào)方格里可填，三個(gè)數(shù)字，有種填號(hào)方格里可填，三個(gè)數(shù)字，有種填法。號(hào)方格填好后，再填與號(hào)方格內(nèi)數(shù)字相法。號(hào)方格填好后，再填與號(hào)方格內(nèi)數(shù)字相同的號(hào)的方格，又有種填法，其余兩個(gè)方格只同的號(hào)的方格，又有種填法，其余兩個(gè)方格只有種填法。有種填法。 所以共有所以共有3*3*1=9種不同的方法。種不同的方法。 例、如圖例

21、、如圖,要給地圖要給地圖A、B、C、D四個(gè)區(qū)域四個(gè)區(qū)域分別涂上分別涂上3種不同顏色中的某一種種不同顏色中的某一種,允許同一種允許同一種顏色使用多次顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種？不同的涂色方案有多少種？二、染色問題二、染色問題:解解: 按地圖按地圖A、B、C、D四個(gè)區(qū)域依次分四個(gè)區(qū)域依次分四步完成四步完成, 第一步第一步, m1 = 3 種種, 第二步第二步, m2 = 2 種種, 第三步第三步, m3 = 1 種種, 第四步第四步, m4 = 1 種種,所以根據(jù)乘法原理所以根據(jù)乘法原理, 得到不同的涂色方案得到不同的涂色方案種數(shù)共有

22、種數(shù)共有 N = 3 2 11 = 6 種。種。 、如圖、如圖,要給地圖要給地圖A、B、C、D四個(gè)區(qū)域分四個(gè)區(qū)域分別涂上別涂上3種不同顏色中的某一種種不同顏色中的某一種,允許同一種顏允許同一種顏色使用多次色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不不同的涂色方案有多少種？同的涂色方案有多少種？ 若用若用4色、色、5色等色等,結(jié)結(jié)果又怎樣呢？果又怎樣呢？ 答答:它們的涂色方案種數(shù)它們的涂色方案種數(shù)分別是分別是 4322 = 48、 5433 = 180種種等。等。思考：思考：. .如圖如圖, ,用用5種不同顏色給圖中的種不同顏色給圖中的A A、B B、C C、D D四個(gè)區(qū)

23、域涂色四個(gè)區(qū)域涂色, , 規(guī)定一個(gè)區(qū)域規(guī)定一個(gè)區(qū)域 只涂一種顏色只涂一種顏色, , 相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色, , 不同的涂色方案有不同的涂色方案有 種。種。ABCD分析：分析：如圖，如圖，A A、B B、C C三個(gè)區(qū)域兩兩相鄰，三個(gè)區(qū)域兩兩相鄰，A A與與D D不相鄰，因此不相鄰，因此A A、B B、C C三個(gè)區(qū)域的顏色兩兩三個(gè)區(qū)域的顏色兩兩不同，不同，A A、D D兩個(gè)區(qū)域可以同色，也可以不同色，兩個(gè)區(qū)域可以同色，也可以不同色，但但D D與與B B、C C不同色。由此可見我們需根據(jù)不同色。由此可見我們需根據(jù)A A與與D D同色與不同色分成兩大類。同色與不同色分成兩大

24、類。解：解：先分成兩類：第一類，先分成兩類：第一類，D D與與A A不同色，可分成四步完成。不同色，可分成四步完成。第一步涂第一步涂A A有有5 5種方法，第二步涂種方法，第二步涂B B有有4 4種方法；第三步涂種方法；第三步涂C C有有3 3種方法；第四步涂種方法；第四步涂D D有有2 2種方法。根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，種方法。根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有共有5 54 43 32 2120120種方法。種方法。根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有12120+600+60180180種方法。種方法。第二類，第二類，A A、D D同色，分三步完成，同色，分三步完成，第一步涂第一步涂A A和和D D有

25、有5 5種種方法，第二步涂方法，第二步涂B B有有4 4種方法；第三步涂種方法；第三步涂C C有有3 3種方法。根據(jù)分種方法。根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有步計(jì)數(shù)原理，共有5 54 43 36060種方法。種方法。、某城市在中心廣場(chǎng)建造一個(gè)花圃，、某城市在中心廣場(chǎng)建造一個(gè)花圃，花圃分為花圃分為6個(gè)部分（如右圖）現(xiàn)要栽個(gè)部分（如右圖）現(xiàn)要栽種種4種不同顏色的花，每部分栽種一種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法有不同的栽種方法有_種種.（以（以數(shù)字作答）數(shù)字作答） ?6?5?4?3?2?1（1 1）與與同色，則同色，則也同色或也同色

26、或也同色，所以共有也同色，所以共有N N1 1=4=43 32 22 21=481=48種；種；所以，共有所以，共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120種. （2）與與同色，則同色，則或或同色，所以共有同色，所以共有N N2 2=4=43 32 22 21=481=48種；種；（3）與與且且與與同色，則共同色，則共N N3 3=4=43 32 21=241=24種種 解法一：從題意來(lái)看解法一：從題意來(lái)看6 6部分種部分種4 4種顏色的花，又從圖形看種顏色的花，又從圖形看知必有知必有2 2組同顏色的花，從同顏色的花入手分類求組同顏色的花，從同顏色的花入手分類求三、子集問題三、子集問題規(guī)

27、律：規(guī)律：n元集合元集合 的不的不同子集有個(gè)同子集有個(gè) 。12 ,.,nAa aa2n例例3：集合集合A=a,b,c,d,e,它的子集個(gè)數(shù)它的子集個(gè)數(shù)為為 ，真子集個(gè)數(shù)為，真子集個(gè)數(shù)為 ，非空，非空子集個(gè)數(shù)為子集個(gè)數(shù)為 ，非空真子集個(gè)數(shù)為，非空真子集個(gè)數(shù)為 。四、綜合問題四、綜合問題: 例例4 若直線方程若直線方程ax+by=0中的中的a,b可以可以從從0,1,2,3,4這五個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)不同的這五個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)不同的數(shù)字?jǐn)?shù)字,則方程所表示的不同的直線共有多則方程所表示的不同的直線共有多少條少條?、7560075600有多少個(gè)正約數(shù)有多少個(gè)正約數(shù)? ?解解: :由于由于 75600=275600=24 43 33 35 52 27 7 75600 75600的每個(gè)約數(shù)都可以寫成的每個(gè)約數(shù)都可以寫成的形式的形式, ,其中其中, , , , lkjl753240 i30 j20 k10 l于是于是, ,要確定要確定7560075600的一個(gè)約數(shù)的一個(gè)約數(shù), ,可分四步完成可分四步完成,