光學薄膜理論基礎2

1、復習復習光學導納光學導納修正導納修正導納菲涅爾公式菲涅爾公式單一界面的反射率和透射率單一界面的反射率和透射率000000/rHNYNNykE coscosNTMNTEps波：波：01010 S012SSSSSSSSrt0101000112coscosPPPPPPPPPrt2201012010122111012200001cos4cosrriittsisiEIRrIENEITtINE 第二章第二章 光學薄膜理論基礎光學薄膜理論基礎等效界面思想等效界面思想單層薄膜的等效界面單層薄膜的等效界面等效介質的等效光學導納等效介質的等效光學導納單層介質膜的光學特性單層介質膜的光學特性多層介質膜的光學特性多層

2、介質膜的光學特性吸收薄膜的光學特性吸收薄膜的光學特性主要內容主要內容等效界面思想等效界面思想等效介質：等效介質：薄膜系統(tǒng)薄膜系統(tǒng)和和基底基底組合而成。組合而成。將入射介質和等效介質之間的界面稱為將入射介質和等效介質之間的界面稱為等效界面等效界面，即等效界面兩，即等效界面兩側分別是入射介質和等效介質。側分別是入射介質和等效介質。入射介質的折射率仍舊是入射介質的折射率仍舊是N0，等效介質具有等效光學導納，等效介質具有等效光學導納Y。因。因此，此，整個薄膜系統(tǒng)的反射率就是等效界面的反射率整個薄膜系統(tǒng)的反射率就是等效界面的反射率，等效界面的，等效界面的反射率計算公式為：反射率計算公式為：等效界面思想：

3、等效界面思想：任意光學多層膜，無論是介質薄膜或是金任意光學多層膜，無論是介質薄膜或是金屬薄膜組合，都可以用一虛擬的屬薄膜組合，都可以用一虛擬的等效界面等效界面代替，而且等效代替，而且等效界面的導納為界面的導納為 ，如圖，如圖1所示。所示。200YRY圖圖1 多層膜的等效界面多層膜的等效界面00HYE單層薄膜的等效界面單層薄膜的等效界面單層薄膜的兩個界面在數(shù)學上可以用一個等效的界面來表示，如圖2。膜層和基底組合的導納是Y。式中（已將前兩式代入）。義為等效介質的光學導納定即：強度的切向分量連續(xù)，界面兩側的電場、磁場根據(jù)邊界條件，在等效00/2/2/20/20,EHEHYHHEE圖2 單層薄膜的等效

4、界面/2/2,EH根據(jù)邊界條件可以知道：Y=H0/E0。于是如同單一界面的情形，單層膜的反射率可表示為：200YRY只要確定了組合導納只要確定了組合導納Y，就可以方便地計算單層膜的反射和，就可以方便地計算單層膜的反射和透射特性。因此問題就歸結為求取入射界面上的透射特性。因此問題就歸結為求取入射界面上的H0和和E0的比的比值。下面推導組合導納的表達式。值。下面推導組合導納的表達式。如圖如圖3在薄膜上下界面上都有無數(shù)次反射，為便于處理，我在薄膜上下界面上都有無數(shù)次反射，為便于處理，我們歸并所有同方向的波，正方向取們歸并所有同方向的波，正方向取+號，負方向取號，負方向取號。號。圖圖3 單層薄膜的電場

5、單層薄膜的電場同樣的意義。等具有和，和，符號上的和是指在界面和1211-12-111121121HHEEEEE等效介質的等效介質的等效光學導納等效光學導納 若要求出若要求出r，必須要先知道必須要先知道Y，下面即為等效光學導納，下面即為等效光學導納Y的推導及的推導及計算。其基本過程為：計算。其基本過程為：首先，根據(jù)界面首先，根據(jù)界面1上的邊界條件，建立上的邊界條件，建立E0、H0與與E11+、 E11-的聯(lián)系；的聯(lián)系；然后，根據(jù)平面電磁波傳播規(guī)律，找出然后，根據(jù)平面電磁波傳播規(guī)律，找出E11+、 E11-與與E12+、 E12-的關的關系，從而建立系，從而建立E0、H0與與E12+、 E12-

6、的聯(lián)系；的聯(lián)系；之后，再根據(jù)界面之后，再根據(jù)界面2上的邊界條件，找出上的邊界條件，找出E12+、 E12-與與E2、H2的關系，的關系，從而建立從而建立E0、H0與與E2、H2的聯(lián)系（具體的數(shù)值關系與膜系和基底的參的聯(lián)系（具體的數(shù)值關系與膜系和基底的參數(shù)數(shù)N1 、 N2、d1等有關等有關)；最后，基于等效界面思想，結合等效介質的等效光學導納最后，基于等效界面思想，結合等效介質的等效光學導納Y和基底和基底光學導納的定義式，最終建立光學導納的定義式，最終建立Y與膜系和基底的參數(shù)的關系。與膜系和基底的參數(shù)的關系。等效介質的等效介質的等效光學導納等效光學導納推導01101100011111100011

7、1111000111101110111011101111,()()()(EHEEEEEEEEEEHHHHHHkEkEEHHkEkEkEk（）用 和的切向分量在界面兩側連續(xù)的邊界條件寫出在界面 上：于是，可得：01111111121112110001111012)21 2exp(),2exp()cos,()iiEiin dEE eEE ekEkEEkEe（ ）在界面 ， 的內側，不同縱坐標、相同橫坐標的兩點，只要改變波的位相因子，就可確定它們在同一瞬時的狀況。正向行進的波的位相因子應乘以而負向行進的波的位相因子應乘以，其中。即：，所以（）0120101101101210121)()iiiikEe

8、HkEkEkEekEe（）（等效介質的等效介質的等效光學導納等效光學導納2201112012021201202120120201201120112011201212122012012012120212122121212121)(2121)(21)()()()()(223HEkEkEkHEkEkHEkEkHHEkEkEkEkHHHEkEkEkEEkEEEHE寫成矩陣形式：于是，可得：上：兩側連續(xù)可寫出在界面的切向分量在界面和）同理，根據(jù)（12012011000EkEkeeeeHEkiiii寫成矩陣形式：等效介質的等效介質的等效光學導納等效光學導納聯(lián)系起來。的切向分量和界面的的切向分量與透過最后和

9、上式就把入射界面的可得）中的矩陣帶入（）中的矩陣將（的數(shù)值關系與），建立）和（）綜合（220022011111122011110001201201100022011120120220000cossinsincos212121212212121213324HEHEHEkiiHEkeeeeHEkEkEkeeeeHEkHEkEkEkHEkHEkiiiiiiii等效介質的等效介質的等效光學導納等效光學導納)(1cossinsincos1)()(cossinsincos)(cossinsincos4)(,),()(252021111110020220111111000022011111100002000

10、00020222222EkiiYEkEkEkiiEkYEkHEkiiHEkHHEkYHEEHHEkYHEkHY，即可得）的矩陣帶入（和將；將其帶入上式可得：等效界面），有根據(jù)邊界條件（針對對于等效介質有：又根據(jù)等效界面思想，；（基底）有：對于介質的的關系膜系和基底參數(shù)與建立）運用等效界面思想，（等效介質的等效介質的等效光學導納等效光學導納111000221111112111000211111cossin11()()sincoscossin1,sincos1()()cossinsinikEkEYiiBCiBCkEkEYBYCii 令則上式可改寫為：解得矩陣1111111111cos2cos()c

11、oscosN dTMNPTESN稱為該膜層的，由薄層參數(shù)唯一確定，它包含了薄膜的全部有用參數(shù)，其中；對于（波）分量：，對于波分量：。以后我們將會看到，在分析薄膜特性是，這一矩陣是非常特征矩陣有用的。等效介質的等效介質的等效光學導納等效光學導納111211111111cossin1sincos2coscosiBCiYN dN d 矩陣定義為基底和膜層組合的特征矩陣。當膜層參數(shù)已知后，其矩陣元就確定了，便可以求出等效光學導納 ，進而就可以求得單層介質膜的反射率。我們把叫做薄膜的，把叫做薄膜的有效位相厚度有效光學厚度。單層介質膜的單層介質膜的光學特性光學特性（3）討論BCY故振幅反射系數(shù)為：故振幅反

12、射系數(shù)為：能量反射率為：能量反射率為：由由 矩陣的表達式可以知道，當薄膜的有效光學厚度為矩陣的表達式可以知道，當薄膜的有效光學厚度為1/4波長的整數(shù)波長的整數(shù)倍時，即倍時，即或其位相厚度為或其位相厚度為 的整數(shù)倍時，即的整數(shù)倍時，即CB21111111cossinsincosiiCB單層介質膜的單層介質膜的光學特性光學特性（4）2在參考波長處會出現(xiàn)一系列的極值。在參考波長處會出現(xiàn)一系列的極值。(a)對于厚度為對于厚度為 的的奇數(shù)倍，即奇數(shù)倍，即m=1,3,5.的情形，有：的情形，有：(b)而對于厚度為而對于厚度為 的偶數(shù)倍，即的偶數(shù)倍，即m=2,4,6.的情形，有：的情形，有：這通常稱為這通常

13、稱為四分之一波長法則四分之一波長法則。此時，。此時，計算可得計算可得計算可得計算可得在參考波長在參考波長 處，它對于膜系的反射或透射特性沒有任何影響，因此被稱為處，它對于膜系的反射或透射特性沒有任何影響，因此被稱為“虛設層虛設層”。當然在其他波長上，薄膜的特征矩陣不再是單位矩陣，對膜系的。當然在其他波長上，薄膜的特征矩陣不再是單位矩陣，對膜系的特性是具有影響的。特性是具有影響的。40400單層介質膜的單層介質膜的光學特性光學特性例例2.01 當厚度為當厚度為 波長波長的奇數(shù)倍時，反射率是極的奇數(shù)倍時，反射率是極大還是極小，視薄膜的折大還是極小，視薄膜的折射率是大于還是小于基片射率是大于還是小于

14、基片的折射率而定。的折射率而定。 a） b)4040圖圖4 單層介質膜的反射率隨其光學厚度的變化關系，其單層介質膜的反射率隨其光學厚度的變化關系，其中中n0=1,n2=1.5,膜的折射率為膜的折射率為n1，入射角，入射角 。00 當膜的光學厚度取當膜的光學厚度取 的偶數(shù)倍時，反射率也是極的偶數(shù)倍時，反射率也是極值，且視它們的折射率而定，值，且視它們的折射率而定，只是情況恰巧相反，如圖所只是情況恰巧相反，如圖所4示。示。單層介質膜的單層介質膜的光學特性光學特性注意：注意：（1）因為）因為R是是 的函數(shù)，所以，這里所說的的函數(shù)，所以，這里所說的“極值極值”、“虛虛設層設層”都是對特定波長（即滿足都

15、是對特定波長（即滿足 的波長）而的波長）而言。言。（2）單層介質膜的反射率隨其光學厚度的變化關系：單層介質膜的反射率隨其光學厚度的變化關系： a) b)（3）因為）因為 ，所以，所以單層介質膜的反射率隨膜層厚單層介質膜的反射率隨膜層厚度的周期性變化也有可能是波長度的周期性變化也有可能是波長 變化所致。變化所致。4cos111mdN111cos2dN單層介質膜的單層介質膜的光學特性光學特性例例2.1由于由于 波長厚度的薄膜在多層膜設計中用的非常廣泛，波長厚度的薄膜在多層膜設計中用的非常廣泛，因而有一些簡單的速寫符號。因而有一些簡單的速寫符號。經(jīng)常用經(jīng)常用H表示高折射率的表示高折射率的 波長的膜層

16、；而波長的膜層；而L表示低表示低折射率的折射率的 波長的膜層；且通常用波長的膜層；且通常用M表示中間折射表示中間折射率的率的 波長的膜層。波長的膜層。例如用例如用 表示一個高低折射率交替的三表示一個高低折射率交替的三層膜結構。層膜結構。40基片”“空氣HLH404040基片”膜系“空氣圖HLH5單層介質膜的單層介質膜的光學特性光學特性例題例題2.1根據(jù)上述根據(jù)上述 波長法則，等效界面的導納為波長法則，等效界面的導納為 ，同樣對于同樣對于4144HsLnnn 單層介質膜的單層介質膜的光學特性光學特性基片”膜系“空氣圖LHLH6等效界面的導納為等效界面的導納為多層介質膜的多層介質膜的光學特性光學特

17、性上面對單層薄膜的討論可以推廣到多層膜的情況。任意光學上面對單層薄膜的討論可以推廣到多層膜的情況。任意光學多層膜，無論是介質薄膜或是金屬薄膜組合，都可以用一虛多層膜，無論是介質薄膜或是金屬薄膜組合，都可以用一虛擬的等效界面代替，而且等效界面的導納為擬的等效界面代替，而且等效界面的導納為 ，如圖，如圖7所示。所示。00EHY 圖圖7 多層薄膜的等效界面多層薄膜的等效界面如上節(jié)討論的，在界面如上節(jié)討論的，在界面1和界面和界面2應用邊界條件可以得到：應用邊界條件可以得到：在界面在界面2和界面和界面3應用邊界條件可以得：應用邊界條件可以得：重復這一過程，（如圖重復這一過程，（如圖8）再到在界面）再到在

18、界面K和和K+1應用邊界條件得到：應用邊界條件得到：圖圖8 求解多層薄膜的矩陣法求解多層薄膜的矩陣法多層介質膜的多層介質膜的光學特性光學特性因為個界面的切向分量連續(xù)，故有：因為個界面的切向分量連續(xù)，故有：所以經(jīng)過連續(xù)的線性變換，最后可以得到矩陣方程式所以經(jīng)過連續(xù)的線性變換，最后可以得到矩陣方程式多層介質膜的多層介質膜的光學特性光學特性這樣，膜系的特征矩陣為：這樣，膜系的特征矩陣為：對對p-偏振波和偏振波和s-偏振波，膜層的位相厚度都是：偏振波，膜層的位相厚度都是：矩陣矩陣稱為第稱為第j層膜的特征矩陣。層膜的特征矩陣。多層介質膜的多層介質膜的光學特性光學特性（4）式（式（4）在薄膜光學中具有特別重要的意義，因為它幾乎構成了）在薄膜光學中具有特別重要的意義，因為它幾乎構成了全部計算的基礎。全部計算的基礎。多層介質膜的多層介質膜的光學特性光學特性該該k層膜系的光譜特征為：層膜系的光譜特征為：（5）式（式（5）雖然是針對