《數(shù)值計算引論》ppt課件

1、數(shù)值計算方法數(shù)值計算方法本課程的性質(zhì)、目的和義務(wù)：本課程的性質(zhì)、目的和義務(wù)： 本課程是電氣工程及其自動化專業(yè)本課程是電氣工程及其自動化專業(yè)一門專業(yè)根底課。其目的是經(jīng)過本課程的學(xué)一門專業(yè)根底課。其目的是經(jīng)過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握利用計算機計算各種數(shù)學(xué)模習(xí)，使學(xué)生掌握利用計算機計算各種數(shù)學(xué)模型的數(shù)值計算方法，并經(jīng)過數(shù)值上機實驗提型的數(shù)值計算方法，并經(jīng)過數(shù)值上機實驗提高學(xué)生程序設(shè)計的根本技藝。為進(jìn)一步學(xué)習(xí)高學(xué)生程序設(shè)計的根本技藝。為進(jìn)一步學(xué)習(xí)專業(yè)課和畢業(yè)后從事專業(yè)任務(wù)打下必要的根專業(yè)課和畢業(yè)后從事專業(yè)任務(wù)打下必要的根底。底。課時安排：課時安排： 講課：講課：2424學(xué)時學(xué)時 上機：上機：8 8學(xué)時

2、學(xué)時 第一章第一章 數(shù)值計算引論數(shù)值計算引論主要內(nèi)容：主要內(nèi)容： 數(shù)值計算方法的概念、研討對象及特點數(shù)值計算方法的概念、研討對象及特點 數(shù)值計算中的誤差；數(shù)值計算中的誤差； 近似數(shù)的誤差表示法；近似數(shù)的誤差表示法； 運算誤差分析；運算誤差分析； 減小運算誤差的原那么；減小運算誤差的原那么；數(shù)值計算方法研討的對象數(shù)值計算方法研討的對象 隨著計算機技術(shù)的開展和科學(xué)研討、消費實際的需隨著計算機技術(shù)的開展和科學(xué)研討、消費實際的需求，利用計算機作為科學(xué)計算的主要工具越來越不可短求，利用計算機作為科學(xué)計算的主要工具越來越不可短少，因此要求研討適宜計算機運用的數(shù)值計算方法。為少，因此要求研討適宜計算機運用的

3、數(shù)值計算方法。為了更詳細(xì)地闡明數(shù)值計算方法的研討對象，我們調(diào)查用了更詳細(xì)地闡明數(shù)值計算方法的研討對象，我們調(diào)查用計算機處文科學(xué)計算問題的普經(jīng)過程。計算機處文科學(xué)計算問題的普經(jīng)過程。 1.1 1.1 數(shù)值計算方法數(shù)值計算方法處文科學(xué)計算問題的過程處文科學(xué)計算問題的過程數(shù)值數(shù)值分析分析 計算機計算機近似解近似解實踐問題實踐問題數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型.),(,)(,ln,xfdxddxxfbxAxaxbax計算機計算的特點：計算機計算的特點：運算速度快運算速度快 只能完成加、減、乘、除和一些邏輯運算只能完成加、減、乘、除和一些邏輯運算 計算機計算數(shù)學(xué)問題的步驟：計算機計算數(shù)學(xué)問題的步驟：數(shù)學(xué)問題數(shù)學(xué)問題四

4、那么運算四那么運算編程指令編程指令 數(shù)值計算方法，又稱數(shù)值分析或計算方法數(shù)值計算方法，又稱數(shù)值分析或計算方法, 它是它是研討用計算機求解各種數(shù)學(xué)問題的數(shù)值方法及其實際研討用計算機求解各種數(shù)學(xué)問題的數(shù)值方法及其實際的一門學(xué)科，是程序設(shè)計和對數(shù)值結(jié)果進(jìn)展分析的根的一門學(xué)科，是程序設(shè)計和對數(shù)值結(jié)果進(jìn)展分析的根據(jù)和根底。據(jù)和根底。 根據(jù)計算機的特點，必需把對數(shù)學(xué)問題的解法歸根據(jù)計算機的特點，必需把對數(shù)學(xué)問題的解法歸結(jié)為結(jié)為及邏輯運算，并對運算順序有完好、準(zhǔn)及邏輯運算，并對運算順序有完好、準(zhǔn)確的描畫的算法。確的描畫的算法。 數(shù)值計算方法定義：數(shù)值計算方法定義：處理的數(shù)學(xué)問題處理的數(shù)學(xué)問題 計算方法課是研

5、討各種數(shù)值算法及其有關(guān)計算方法課是研討各種數(shù)值算法及其有關(guān)實際的一門課程。從工程實踐出發(fā)，本課程所實際的一門課程。從工程實踐出發(fā)，本課程所要處理的數(shù)學(xué)問題主要是：要處理的數(shù)學(xué)問題主要是： 非線性方程的數(shù)值求解非線性方程的數(shù)值求解 線性方程組的數(shù)值求解線性方程組的數(shù)值求解 插值和曲線擬合插值和曲線擬合 數(shù)值積分和微分?jǐn)?shù)值積分和微分 常微分方程的數(shù)值求解。常微分方程的數(shù)值求解。 數(shù)值算法特點：數(shù)值算法特點： 1面向計算機 根據(jù)計算機特點提供實踐可行的有效算法，即算法只能包括加，減，乘，除運算和邏輯運算，是計算機能直接處置的； 2保證算法的收斂性和穩(wěn)定性 數(shù)值算法的數(shù)值解能恣意逼近準(zhǔn)確解到要求的程度

6、；還要保證算法的數(shù)值穩(wěn)定性。例如，求解一個例如，求解一個20階線性方程組，用加減消元法需階線性方程組，用加減消元法需3000次乘法運算，而用克萊姆法那么要進(jìn)展次乘法運算，而用克萊姆法那么要進(jìn)展 次運算，如用每秒次運算，如用每秒1億次乘法運算的計算機要億次乘法運算的計算機要30萬年。萬年。209.7 10計算方法中常用的一些概念計算方法中常用的一些概念n數(shù)值問題：由一組知數(shù)據(jù)輸入數(shù)據(jù)，求出一數(shù)值問題：由一組知數(shù)據(jù)輸入數(shù)據(jù)，求出一組結(jié)果數(shù)據(jù)輸出數(shù)據(jù)，使得這兩組數(shù)據(jù)之間組結(jié)果數(shù)據(jù)輸出數(shù)據(jù)，使得這兩組數(shù)據(jù)之間滿足預(yù)先制定的某種關(guān)系的問題。滿足預(yù)先制定的某種關(guān)系的問題。 n數(shù)值解：經(jīng)過計算機的計算求出的

7、解，或由數(shù)值數(shù)值解：經(jīng)過計算機的計算求出的解，或由數(shù)值計算公式得出的解稱為數(shù)值解。普通為近似值。計算公式得出的解稱為數(shù)值解。普通為近似值。n算法：由給定的知量，經(jīng)過有限次的四那么運算算法：由給定的知量，經(jīng)過有限次的四那么運算及規(guī)定的運算順序，求出所關(guān)懷的未知量的數(shù)值及規(guī)定的運算順序，求出所關(guān)懷的未知量的數(shù)值解，這樣所構(gòu)成的整個計算步驟，稱為算法。解，這樣所構(gòu)成的整個計算步驟，稱為算法。 1.2 數(shù)值計算中誤差的來源數(shù)值計算中誤差的來源 從實踐問題中籠統(tǒng)出數(shù)學(xué)模型從實踐問題中籠統(tǒng)出數(shù)學(xué)模型 模型誤差模型誤差 經(jīng)過丈量得到模型中參數(shù)的值經(jīng)過丈量得到模型中參數(shù)的值 觀測誤差觀測誤差 求近似解求近似解

8、 方法誤差方法誤差 (截斷誤差截斷誤差 機器字長有限機器字長有限 舍入誤差舍入誤差dxex 102 近近似似計計算算: :例例大家一同猜？大家一同猜？ dxe2x1011 / e解法之一：將解法之一：將 作作Taylor展開后再積分展開后再積分2xe 91!4171!3151!21311)!4!3!21(10864210dxxxxxdxe2xS4R4,104 Sdxe2x取取那那么么 111!5191!414R稱為截斷誤差稱為截斷誤差005091!414.R 這這里里7430024010333014211013114.S = 0.747 1.3 誤差與有效數(shù)字誤差與有效數(shù)字|*e*100050

9、74302.dxex*xx ，例如：，例如：工程上常記為工程上常記為，稱為絕對誤差限，稱為絕對誤差限 ，簡稱誤差、精度，簡稱誤差、精度的上限記為的上限記為由于無法準(zhǔn)確地知道絕對誤差由于無法準(zhǔn)確地知道絕對誤差 的大小，但根據(jù)詳細(xì)情的大小，但根據(jù)詳細(xì)情況可估計出誤差范圍。況可估計出誤差范圍。誤差限不獨一，實踐中常用四舍五入來取近似值。誤差限不獨一，實踐中常用四舍五入來取近似值。例如丈量數(shù)據(jù)、四舍五入數(shù)據(jù)例如丈量數(shù)據(jù)、四舍五入數(shù)據(jù)四舍五入的誤差限是末位的半個單位四舍五入的誤差限是末位的半個單位 絕對誤差絕對誤差*xxxe）（其中其中x x為準(zhǔn)確值，為準(zhǔn)確值，x x* *為為x x的近似值。簡記為的近

10、似值。簡記為*e 有效數(shù)字有效數(shù)字用科學(xué)計數(shù)法，記用科學(xué)計數(shù)法，記 其中其中 。假。假設(shè)設(shè) ，那么稱，那么稱 為有為有n n 位有效數(shù)字，準(zhǔn)確位有效數(shù)字，準(zhǔn)確到到 。mnaa.ax10021* 01 anm.xx 1050|*xnm 10有效數(shù)字即有效數(shù)字位數(shù)，它是由絕對誤差決議的。有效數(shù)字即有效數(shù)字位數(shù)，它是由絕對誤差決議的。等價定義：一個四舍五入的近似數(shù)，從左向右第一位非零等價定義：一個四舍五入的近似數(shù)，從左向右第一位非零數(shù)數(shù) 字到最后一位數(shù)字的個數(shù)就是有效數(shù)字位數(shù)。字到最后一位數(shù)字的個數(shù)就是有效數(shù)字位數(shù)。 定義：定義： 1415389793214159265353.*;.例：例：問：問：

11、 有幾位有效數(shù)字？請證明他的結(jié)論。有幾位有效數(shù)字？請證明他的結(jié)論。* 131 40 3141510*0 5100 510*.,| |. 證明：證明：有有 位有效數(shù)字，準(zhǔn)確到小數(shù)點后第位有效數(shù)字，準(zhǔn)確到小數(shù)點后第 位。位。43關(guān)于有效數(shù)字還要指出以下幾點：關(guān)于有效數(shù)字還要指出以下幾點：1)用四舍五入取準(zhǔn)確值的前用四舍五入取準(zhǔn)確值的前 n 位作為近似值，那么必有位作為近似值，那么必有 n位位有效數(shù)字。有效數(shù)字。2) 把任何數(shù)乘以把任何數(shù)乘以10p，等于挪動該數(shù)的小數(shù)點。這樣不影響其，等于挪動該數(shù)的小數(shù)點。這樣不影響其有效數(shù)字位數(shù)。有效數(shù)字位數(shù)。 例如：例如： 9.80 寫成寫成0.00980 10

12、-33數(shù)字末尾的數(shù)字末尾的0不可隨意省去不可隨意省去0.2300有有4位有效數(shù)字，而位有效數(shù)字，而00023只需只需2位有效。位有效。12300假設(shè)寫假設(shè)寫成成0.123105，那么表示只需，那么表示只需3位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。準(zhǔn)確值被以為具有無窮多位有效數(shù)字準(zhǔn)確值被以為具有無窮多位有效數(shù)字 相對誤差相對誤差*r*e ()()|rrexxxx x 的相對誤差上限的相對誤差上限 定義為定義為:絕對誤差還缺乏以刻劃近似數(shù)的準(zhǔn)確程度，例如，有兩個量絕對誤差還缺乏以刻劃近似數(shù)的準(zhǔn)確程度，例如，有兩個量 yx, 110101000哪個近似程度哪個近似程度 好？好？*( *)rexxexxx 定義：定義

13、：實踐運用：實踐運用：*( *)rexxexxx 相對誤差限在實踐計算中常稱為相對誤差。相對誤差限在實踐計算中常稱為相對誤差。由相對誤差限的定義可知，相對誤差限可由絕對誤差限求出。由相對誤差限的定義可知，相對誤差限可由絕對誤差限求出。反之，絕對誤差限也可由相對誤差限求出，即。反之，絕對誤差限也可由相對誤差限求出，即。*rx 1.4 函數(shù)的誤差估計函數(shù)的誤差估計問題：對于問題：對于 y = f (x) y = f (x)，假設(shè)用，假設(shè)用 x x* * 取代取代 x x，將對，將對y y 產(chǎn)生什么產(chǎn)生什么影響？影響？ 設(shè)一元函數(shù)設(shè)一元函數(shù) 的自變量的自變量 的近似值為的近似值為 ， 的近似值為的近

14、似值為 ，其誤差限記為，其誤差限記為 。將。將 在在近似值近似值 作泰勒展開作泰勒展開 介于介于 ， 之間。取絕對值得之間。取絕對值得其中：其中： 為近似數(shù)為近似數(shù) 的絕對誤差限。的絕對誤差限。 xf*x fx *fx *fx fx*x 2*2ff xf xfxxxxx x*x 2*2ffxfxfx *xx分析：利用函數(shù)的泰勒展開式可分析這種誤差。分析：利用函數(shù)的泰勒展開式可分析這種誤差。1.4 函數(shù)的誤差估計函數(shù)的誤差估計注：關(guān)于多元函數(shù)注：關(guān)于多元函數(shù) 的討論，請參閱教的討論，請參閱教材第材第10頁。頁。).,(21nx,x,xfy 忽略忽略 高次項，可得到高次項，可得到 *rfxfxfx

15、 函數(shù)運算相對誤差函數(shù)運算相對誤差: *f xfx 函數(shù)運算絕對誤差函數(shù)運算絕對誤差:利用多元函數(shù)的誤差估計公式可得和、差、積、商的利用多元函數(shù)的誤差估計公式可得和、差、積、商的誤差估計誤差估計1.5 減小運算誤差的假設(shè)干原那減小運算誤差的假設(shè)干原那么么1. 防止相近二數(shù)相減防止相近二數(shù)相減 (詳細(xì)分析請參閱教材詳細(xì)分析請參閱教材P11)例：例：a1 = 0.12345，a2 = 0.12346，各有，各有5位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。 而而 a2 a1 = 0.00001，只剩下，只剩下1位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。 幾種閱歷性防止方法：幾種閱歷性防止方法：;xxxx ;1lnlnln xxx當(dāng)當(dāng)

16、| x | 1 時：時：;2sin2cos12xx .6121112xxxexl公式變換公式變換l假設(shè)計算公式不能改動時，添加有效位數(shù)；假設(shè)計算公式不能改動時，添加有效位數(shù)；l 當(dāng)當(dāng) 很接近時，采用泰勒展開；很接近時，采用泰勒展開； *fxfx 1.5 減小運算誤差的原那減小運算誤差的原那么么2. 防止小分母防止小分母 : 分母小會呵斥浮點溢出分母小會呵斥浮點溢出3. 防止大數(shù)吃小數(shù)防止大數(shù)吃小數(shù)例：用單精度計算例：用單精度計算 的根。的根。010)110(992 xx準(zhǔn)確解為準(zhǔn)確解為110291 x,x 算法算法1 1：利用求根公式：利用求根公式aacbbx242 在計算機內(nèi)，在計算機內(nèi)，1

17、09存為存為0.11010，1存為存為0.1101。做加法。做加法時，兩加數(shù)的指數(shù)先向大指數(shù)對齊，再將浮點部分相加。時，兩加數(shù)的指數(shù)先向大指數(shù)對齊，再將浮點部分相加。即即1 的指數(shù)部分須變?yōu)榈闹笖?shù)部分須變?yōu)?010，那么：，那么：1 = 0.0000000001 1010，取單精度時就成為：，取單精度時就成為： 109+1=0.100000001010+0.00000000 1010=0.10000000 1010大數(shù)吃小數(shù)大數(shù)吃小數(shù)024,102422921 aacbbxaacbbx算法算法2 2：先解出：先解出 再利用再利用9211024aacbbx11010991221 xacxacxx

18、例：按從小到大、以及從大到小的順序分別計算例：按從小到大、以及從大到小的順序分別計算1 + 2 + 3 + + 40 + 1094. 減少步驟，減少運算次數(shù)，防止誤差積累。減少步驟，減少運算次數(shù)，防止誤差積累。例例1：計算：計算x255的值的值 5. 選用數(shù)值穩(wěn)定性好的算法。選用數(shù)值穩(wěn)定性好的算法。1.5 減小運算誤差的原那減小運算誤差的原那么么數(shù)值穩(wěn)定性定義：假設(shè)在執(zhí)行算法的過程中舍入誤差在一數(shù)值穩(wěn)定性定義：假設(shè)在執(zhí)行算法的過程中舍入誤差在一定條件下可以得到控制結(jié)果是可靠的，那么該算法是定條件下可以得到控制結(jié)果是可靠的，那么該算法是數(shù)值穩(wěn)定的，否那么就是數(shù)值不穩(wěn)定的。數(shù)值穩(wěn)定的，否那么就是數(shù)

19、值不穩(wěn)定的。 在實踐運算過程中，參與運算的各種數(shù)據(jù)普通都帶有一定的誤差，這些誤差即使很小，也會隨著計算過程的進(jìn)展不斷傳播或積累下去，對結(jié)果產(chǎn)生一定的影響。 假設(shè)計算結(jié)果對初值誤差不敏感，那么以為算法是數(shù)值穩(wěn)定的。 算法數(shù)值穩(wěn)定的一個必要條件是原始數(shù)據(jù)小的變化只會引起最后結(jié)果有小的變化。.210110,n,dxexeIxnn 例：計算例：計算11 nnInI 公式公式一：一：留意此公式準(zhǔn)確成留意此公式準(zhǔn)確成立立632120560111100.edxeeIx 記為記為*0I80001050 .IIE那么初始誤差那么初始誤差111111110010 nI)e(ndxexeIdxexennnn391414231519594249414122764807131632896000121030592000111088128000101.367879440111415*13*14*12*13*11*12*10*11*9*10*0*1.I