初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)與其他求導(dǎo)法2

1、1一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理定理并且并且可導(dǎo)可導(dǎo)處也處也在點(diǎn)在點(diǎn)分母不為零分母不為零們的和、差、積、商們的和、差、積、商則它則它處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)如果函數(shù)如果函數(shù),)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu2證證(1)(1)、(2)(2)略略. .證證(3)(3),0)( ,)()()( xvxvxuxf設(shè)設(shè)hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvxuhxvhxuh)()()()(l

2、im0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 3hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(處可導(dǎo)處可導(dǎo)在在xxf4注注 （1）即是和、差的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)的和、差）即是和、差的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)的和、差（2）即是乘積的導(dǎo)數(shù)等于第一個(gè)因子的導(dǎo)數(shù)）即是乘積的導(dǎo)數(shù)等于第一個(gè)因子的導(dǎo)數(shù) 乘以第二個(gè)因子再加上第一個(gè)因子乘以乘以第二個(gè)因子再加上第一個(gè)因子乘以 第二個(gè)因子的導(dǎo)數(shù)第二個(gè)因子的導(dǎo)數(shù)（3）即是商的導(dǎo)數(shù)

3、等于分子的導(dǎo)數(shù)乘以分母）即是商的導(dǎo)數(shù)等于分子的導(dǎo)數(shù)乘以分母 減去分子乘以分母的導(dǎo)數(shù)，再除以分母減去分子乘以分母的導(dǎo)數(shù)，再除以分母 的平方的平方 作為（作為（2）的特殊情況）的特殊情況uccucv )(，則，則若若);( )(xfCxCf 或或wuvwvuvwuuvw )(5二、例題分析二、例題分析例例1 1.sin223的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xxxy 解解23xy x4 .cos x 作為（作為（3）的一種特殊情況，）的一種特殊情況，2)1(, 1vvvu 則則若若6例例2 2.ln2sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin

4、2 xxx1cossin2 .2sin1ln2cos2xxxx 例例3 3.tan的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xy 解解)cossin()(tan xxxy7xxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx即同理可得同理可得.csc)(cot2xx 例例4 4yxy 求求sec解解 xycos1xx2cos)(cos xxxxxtanseccos1cossin 同理可得同理可得xxxcotcsc)(csc 8三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 前面我們已經(jīng)會(huì)求簡單函數(shù)前面我們已經(jīng)會(huì)求簡單函數(shù)基本初等函數(shù)經(jīng)基本初等

5、函數(shù)經(jīng)有限次四則運(yùn)算的結(jié)果有限次四則運(yùn)算的結(jié)果的導(dǎo)數(shù)，但是像的導(dǎo)數(shù)，但是像12sin,tanln22 xxexx等函數(shù)（復(fù)合函數(shù)）是否可導(dǎo)，可導(dǎo)的話，如何求等函數(shù)（復(fù)合函數(shù)）是否可導(dǎo)，可導(dǎo)的話，如何求它們的導(dǎo)數(shù)它們的導(dǎo)數(shù)先看一個(gè)例子先看一個(gè)例子例例5 yxy ，求，求22)1(922)1(xy 4221xx 344xxy )1(42xx 這里我們是先展開，再求導(dǎo)，若像這里我們是先展開，再求導(dǎo)，若像10002)1(xy 求導(dǎo)數(shù)，展開就不是辦法，再像求導(dǎo)數(shù)，展開就不是辦法，再像521xy 求導(dǎo)數(shù)，根本無法展開，又該怎么辦？求導(dǎo)數(shù)，根本無法展開，又該怎么辦？ 仔細(xì)分析一下，這三個(gè)函數(shù)具有同樣的復(fù)合結(jié)

6、構(gòu)仔細(xì)分析一下，這三個(gè)函數(shù)具有同樣的復(fù)合結(jié)構(gòu)我們從復(fù)合函數(shù)的角度來分析一下上例的結(jié)果。我們從復(fù)合函數(shù)的角度來分析一下上例的結(jié)果。22)1(xy 復(fù)復(fù)合合而而成成的的和和是是由由221xuuy uyu2 xux2 )1(4)2(22xxxuuyxu xy 10再如再如xy2sin )cossin2( xxy)(cossincos)(sin2 xxxx)sin(cos222xx x2cos2 注意到注意到xy2sin xuuy2,sin uyucos 2 xuuuyxucos2 x2cos2 xy 由以上兩例可見：由由以上兩例可見：由)(),(xuufy 復(fù)合復(fù)合而成的函數(shù)而成的函數(shù))(xfy 的

7、導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)xy 恰好等于恰好等于y對中間變量對中間變量u的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)uy 與中間變量與中間變量u對自變量對自變量x的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)xu 的乘積的乘積xuxuyy 這就是這就是鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t11定理定理).()(,)(,)()(,)(0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxx 且其導(dǎo)數(shù)為且其導(dǎo)數(shù)為可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)而而可導(dǎo)可導(dǎo)在點(diǎn)在點(diǎn)如果函數(shù)如果函數(shù)即即 因變量對自變量求導(dǎo)因變量對自變量求導(dǎo), ,等于因變量對中間變量等于因變量對中間變量求導(dǎo)求導(dǎo), ,乘以中間變量對自變量求導(dǎo)乘以中間變量對自變量求導(dǎo).(.(鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t) )dxdududydxd

8、yIxfyIxuIxIufyIxu 上可導(dǎo)，且有上可導(dǎo)，且有在在則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)上可導(dǎo)上可導(dǎo)在在上可導(dǎo)，上可導(dǎo)，在在若若)(,)(,)()(11 12證證,)(0可可導(dǎo)導(dǎo)在在點(diǎn)點(diǎn)由由uufy )(lim00ufuyu )0lim()(00 uufuy故故uuufy )(0則則xyx 0lim)(lim00 xuxuufx xuxuufxxx 0000limlimlim)().()(00 xuf 13注注1.鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t“由外向里，逐層求導(dǎo)由外向里，逐層求導(dǎo)”2.注意中間變量注意中間變量推廣推廣),(),(),(xvvuufy 設(shè)設(shè).)(dxdvdvdududydxdyxfy 的導(dǎo)數(shù)為的

9、導(dǎo)數(shù)為則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù) 例例6 6.sinln的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot 14例例7 7.)1(102的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx15例例8 8.)2(21ln32的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例例9 9.1sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxe

10、x.1cos11sin2xexx 16四、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)四、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理定理.)(1)(,)(,0)()(yxfIxfyyIyxxy且有內(nèi)也可導(dǎo)在對應(yīng)區(qū)間那末它的反函數(shù)且內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)在某區(qū)間如果函數(shù)即即 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).17例例1010.arcsin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xy 解解,)2,2(sin內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)在在 yIyx, 0cos)(sin yy且且內(nèi)有內(nèi)有在在)1 , 1( xI)(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 .112x 同理可得同理可得.11)(arccos2xx ;11)(arcta

11、n2xx .11)cot(2xx arc18例例1111.log的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)xya 解解,),(內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)在在 yyIax, 0ln)( aaayy且且,), 0(內(nèi)有內(nèi)有在在 xI)(1)(log yaaxaayln1 .ln1ax 特別地特別地.1)(lnxx 19五、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題五、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln

12、)( xxeexx1)(ln)( 202211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc2.函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè)設(shè))(),(xvvxuu 可導(dǎo)，則可導(dǎo)，則（1） vuvu )(, （2）uccu )(（3）vuvuuv )(, （4）)0()(2 vvvuvuvu.( ( 是常數(shù)是常數(shù)) )C 213.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或?qū)?shù)為導(dǎo)數(shù)為的的則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)而而設(shè)設(shè)利用上述公式及法則初等函數(shù)求導(dǎo)問

13、題可完全解利用上述公式及法則初等函數(shù)求導(dǎo)問題可完全解決決.注意注意: :初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù).22五、小結(jié)五、小結(jié)注意注意:);()( )()(xvxuxvxu .)()()()(xvxuxvxu 反函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則（注意成立條件）（注意成立條件）;復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（注意函數(shù)的復(fù)合過程（注意函數(shù)的復(fù)合過程,合理分解正確使用鏈合理分解正確使用鏈導(dǎo)法）導(dǎo)法）;已能求導(dǎo)的函數(shù)已能求導(dǎo)的函數(shù):可分解成基本初等函數(shù)可分解成基本初等函數(shù),或?；虺?shù)與基本初等函數(shù)的和、差、積、商數(shù)與基本初等函數(shù)的和、差、積、商.關(guān)鍵關(guān)鍵: 正確分解初等函數(shù)的

14、復(fù)合結(jié)構(gòu)正確分解初等函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu).23隱函數(shù)與參量函數(shù)微分法隱函數(shù)與參量函數(shù)微分法一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義定義: :.)(稱為隱函數(shù)稱為隱函數(shù)由方程所確定的函數(shù)由方程所確定的函數(shù)xyy .)(形式稱為顯函數(shù)形式稱為顯函數(shù)xfy 0),( yxF)(xfy 隱函數(shù)的顯化隱函數(shù)的顯化問題問題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)?隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則: :用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo).24)(0),(xyyyxF 確定了一元隱函數(shù)確定了一元隱函數(shù)設(shè)設(shè)得得代入代入將將0),()( yxFxyy0)(, xy

15、xFu0 xu則則兩邊對兩邊對 x 求導(dǎo)，當(dāng)遇到求導(dǎo)，當(dāng)遇到 y 的函數(shù)的函數(shù) f(y)時(shí)時(shí)xyf )( 要求的是要求的是)(yfz 記記xyzxyxyzz xyyf )(25將求出的這些導(dǎo)數(shù)代入將求出的這些導(dǎo)數(shù)代入得到關(guān)于得到關(guān)于xy 的代數(shù)方程，的代數(shù)方程，即即為為所所求求解解得得),(yxgyx 0 xu26例例1 1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)求由方程求由方程解解,求求導(dǎo)導(dǎo)方方程程兩兩邊邊對對x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy.

16、1 27例例2 2.,)23,23(,333線線通通過過原原點(diǎn)點(diǎn)在在該該點(diǎn)點(diǎn)的的法法并并證證明明曲曲線線的的切切線線方方程程點(diǎn)點(diǎn)上上求求過過的的方方程程為為設(shè)設(shè)曲曲線線CCxyyxC 解解,求導(dǎo)求導(dǎo)方程兩邊對方程兩邊對 xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切線方程為所求切線方程為)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法線方程為法線方程為,xy 即即顯然通過原點(diǎn)顯然通過原點(diǎn).28二、對數(shù)求導(dǎo)法二、對數(shù)求導(dǎo)法 有時(shí)會(huì)遇到這樣的情形，即雖然給出的是顯函數(shù)有時(shí)會(huì)遇到這樣的情形，即雖然給出的是顯函數(shù)但直接求導(dǎo)有困難或很麻煩但直接求導(dǎo)有困難或很麻

17、煩.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 觀察函數(shù)觀察函數(shù)29方法方法: :先在方程兩邊取對數(shù)先在方程兩邊取對數(shù), 然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù)方法求出導(dǎo)數(shù).目的是利用對數(shù)的性質(zhì)簡化目的是利用對數(shù)的性質(zhì)簡化求導(dǎo)運(yùn)算。求導(dǎo)運(yùn)算。-對數(shù)求導(dǎo)法對數(shù)求導(dǎo)法適用范圍適用范圍: :.)()(的情形的情形開方和冪指函數(shù)開方和冪指函數(shù)多個(gè)函數(shù)相乘、乘方、多個(gè)函數(shù)相乘、乘方、xvxu30 xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求導(dǎo)得求導(dǎo)得上式兩邊對上式兩邊對 x142)1(3111 xxxyy 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx.,)4(1)

18、1(23yexxxyx 求求設(shè)設(shè)等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得解解例例3 331的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求)4)(3()2)(1( xxxxy例例4 這函數(shù)的定義域這函數(shù)的定義域 解解1, 32, 4xxx324 x若若兩邊取對數(shù)得兩邊取對數(shù)得)4ln()3ln()2ln()1ln(21ln xxxxy兩邊對兩邊對 x 求導(dǎo)得求導(dǎo)得41312111211 xxxxyy413121112xxxxyy1x若)4)(3()2)(1(xxxxy 兩邊取對數(shù)得兩邊取對數(shù)得)4ln()3ln()2ln()1ln(21lnxxxxy 33兩邊對兩邊對 x 求導(dǎo)得求導(dǎo)得41312111211xxxxyy 413121112xxxxyy同理同理413121112xxxxyy23x若34yxxylnln 兩邊對兩邊對 x 求導(dǎo)得求導(dǎo)得yyxyxyxy 1ln1ln22lnlnxxxyyyxyy dxdyyxxy求求設(shè)設(shè) 例例5兩邊取對數(shù)得兩邊取對數(shù)得解解35三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).,)()(定的函數(shù)定的函數(shù)稱此為由參數(shù)方程所確稱此為由參數(shù)方程所確間的函數(shù)關(guān)系間的函數(shù)關(guān)系與與確定確定若參數(shù)方程若參