第一型線積分和面積分2

1、2014年5月9日南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系1第一型線積分和面積分第一型線積分和面積分對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分對面積的曲面積分對面積的曲面積分南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系21.1.定義定義d-各小塊曲面直徑的最大值各小塊曲面直徑的最大值 ( , , )f x y z其中叫其中叫被積函數(shù)被積函數(shù)，.S叫積分曲面叫積分曲面( , , ):( , , )dSx y zSmmx y xS 面面密密度度為為連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)的的光光滑滑曲曲面面 質(zhì)質(zhì)量量為為第一型曲面積分的概念和基本性質(zhì)第一型曲面積分的概念和基本性質(zhì)由第由第1節(jié)節(jié)南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系3且有界且有界, ,則第一

2、型曲面積分存在則第一型曲面積分存在.在分片光滑曲在分片光滑曲S 上連續(xù)上連續(xù)2. 積分的存在性積分的存在性. 3. 3. 第一型曲面積分的性質(zhì)第一型曲面積分的性質(zhì)()11( )SdSSS （ ）的的面面積積12122( , , )( , , )( , , )SSSSSf x y z dSf x y z dSf x y z dS （ ）當當S S第一型曲面積分與第一型曲面積分與對弧長對弧長的曲線積分性質(zhì)類似的曲線積分性質(zhì)類似.(3)(3) 對稱性對稱性( (類似于三重積分類似于三重積分) )( , , )f x y z定定理理 若若1 1南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系4第一型曲面積分的計算第一

3、型曲面積分的計算計算法計算法:-轉化為二重積分轉化為二重積分:( ,),( , , )(),xySzz x ySxoyDf x y zC S 設設光光滑滑曲曲面面在在面面上上的的投投影影區(qū)區(qū)域域為為22d1d dxySzzx y面積元素22( , , )( , , ( , ) 1d dxyxySDf x y z dSf x y z x yzzx y 由由曲曲面面積積分分的的定定義義南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系522 , ( , ), 1d d ;xzxzDf x y x z zyyx z( , , )Sf x y z dS .1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy ( , , )

4、Sf x y z dS ( , )( , )yzSxx y zy zD 若若曲曲面面：:( , )( , )zxSyy x zx zD若曲面若曲面類似地類似地, ,南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系6若曲面方程為若曲面方程為( , )( , ) ( , )( , )xx u vSyy u vu vDzz u v ：2dSEGF dudv2( , , ) ( , ), ( , ), ( , )d dSDf x y z dSf x u vy u vz u vEGFu v 由由曲曲面面積積分分的的定定義義222222uuuuvuvuvvvvExyzFx xy yz zGxyz 其中：其中：南京航空航天

5、大學 理學院 數(shù)學系7例例1 1解解投影域投影域 ：25| ),(22 yxyxDxydxdyzzdSyx221 dxdy2)1(01 ,2dxdy 南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系8()Sxyz dS 故故 xyDdxdyyyx)5(2 xyDdxdyx)5(2.2125 25xyDdxdy投影域投影域 ：25| ),(22 yxyxDxy92222(),:1SxydSSzxyz 計計算算其其中中及及所所圍圍區(qū)區(qū)域域的的整整個個邊邊界界曲曲面面。2222(,):1xySzxyx yDxy 錐錐：SSSSS 平平平平錐錐錐錐21200(21)(21)2dd 2222()(21)()xySDxy

6、dSxydxdy 2222,zxzyxyxyxy:1Sz 平平例例2 2解解221()()2zzxy22( , ):1xyx yDxy南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系10例例 3 3 計計算算dSxyz |, 其其中中 為為拋拋物物面面 22yxz （10 z）. 解解依對稱性知：依對稱性知：被被積積函函數(shù)數(shù)| xyz關關于于xoz、yoz 坐標面對稱坐標面對稱軸對稱，軸對稱，關于關于拋物面拋物面zyxz22 有有 14成立成立，(1 為為第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)xyz南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系11dxdyzzdSyx221 dxdyyx22)2()2(1 原式原式dSxyz

7、|14dxyz SdxdyyxyxxyxyD2222)2()2(1)(4 其其中中1| ),(22 yxyxDxy, 0, 0 yx南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系1212222004cossin14dd 2152002sin214dd duuu2514141 .42015125 cossinxy利用極坐標132222zxyzR 設設球球心心在在原原點點，轉轉動動軸軸為為 軸軸S S：,R求求半半徑徑為為面面密密度度為為的的球球面面S S對對某某直直徑徑的的轉轉動動慣慣量量。222222,zxzyxyRxyRxy例例4 4解解22222()()1zzRxyRxy22()1zSIxydS 222

8、2221:SzRxyD xyR1222()SxydS 南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系14222222()DRxydRxy32332222200022222003342422()23282233RRRRRRdddRRRRRRRRRR22()1zSIxydS 1222()SxydS 15例例5. 計算計算2222:.SxyzR解解: 取球面坐標系取球面坐標系, I0d(cos)2cosRRR 20sindcosRR 20d :sin cos ,sin sin ,cos ,SxRyRzRd(),SSIRz 2dsin d dSR 2lnRRR 南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系16222222,0.

9、SdSSzzHxyRxyz 是界于及間的圓柱面是界于及間的圓柱面例6例6解法一解法一122212dSIxyz 22yRx 由由22222d1d d1()0d dyzySxxy zy zRy 22d dRy zRy222212d dyzDRIy zRzRy 2222012ddHRRRzyRzRy.arctan2RH xyzo南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系17解法二解法二cossinxRyRzz令2221DIEGF d dzRz22(sin )( cos )sin0cos00 11ERRFRRG 221DRd dzRz22200HRddzRz.arctan2RH 222222vvvvuvuvuu

10、uuzyxGzzyyxxFzyxE記記xyzo南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系18小結小結第一型曲面積分的解法是將其化為投影域上的第一型曲面積分的解法是將其化為投影域上的二重積分計算二重積分計算.1、 第一型曲面積分的概念第一型曲面積分的概念;（按照曲面的不同情況分為三種）（按照曲面的不同情況分為三種）( , , )Sf x y z dS iiiniiSf ),(lim10 2、曲面由直角坐標方程表示、曲面由直角坐標方程表示19;1),(,22dxdzyyzzxyxfxzDzx dSzyxf),(則則.1,),(22dydzxxzyzyxfyzDzy dSzyxf),(),(. 3zyxx ：

11、若曲面若曲面則則),(:. 2zxyy 若曲面若曲面203、若曲面方程為、若曲面方程為( , )( , ) ( , )( , )xx u vSyy u vu vDzz u v ：2dd dSEGFu v2( , , ) ( , ), ( , ), ( , )SDf x y z dSf x u vy u vz u vEGF dudv 22222222uuuuuvuvuvuvvvvuExyzrFx xy yz zrrGxyzr 其中：其中：南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系21EXEX被被積積函函數(shù)數(shù) ),(zyxf222zyx ,解解關關于于坐坐標標面面、原原點點均均對對稱稱 , 積分曲面積分曲面

12、 也具有對稱性也具有對稱性 , 故原積分故原積分 18, (其其中中1 表表示示第第一一卦卦限限部部分分曲曲面面)南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系221 ：azyx , 即即yxaz 22d1d dxySzzx ydxdy3 dSzyx)(222 1)(8222dSzyx2228() 3d dxyDxyaxyx y.324a 南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系23思考題思考題 在對面積的曲面積分化為二重積分在對面積的曲面積分化為二重積分的公式中的公式中, 有因子有因子 , 試說明試說明這個因子的幾何意義這個因子的幾何意義.221yxzz 南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系24思考題解答思考題解答是

13、曲面元的面積是曲面元的面積,dS2211),cos(yxzzzn 221yxzz 故故 是曲面法線與是曲面法線與 軸夾角的余弦軸夾角的余弦的倒數(shù)的倒數(shù).z南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系25一、一、 填空題填空題: :1 1、 已知曲面已知曲面 的面的面a積為積為, , 則則 ds10_；2 2、 dszyxf),(= = yzDzyzyxf),),(_dydz；3 3、 設設 為球面為球面2222azyx 在在xoy平面的上方部平面的上方部分分, ,則則 dszyx)(222_；4 4、 zds3_, ,其中其中 為拋物面為拋物面)(222yxz 在在xoy面上方的部分；面上方的部分；5 5

14、、 dsyx)(22_, ,其中其中 為錐面為錐面22yxz 及平面及平面1 z所圍成的區(qū)域的整個邊界曲面所圍成的區(qū)域的整個邊界曲面. .練練 習習 題題南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系26二、計算下列對面積的曲面積分二、計算下列對面積的曲面積分: :1 1、 dszxxxy)22(2, ,其中其中 為平面為平面 622 zyx在第一卦限中的部分；在第一卦限中的部分；2 2、 dszxyzxy)(, ,其中其中 為錐面為錐面22yxz 被被 柱面柱面axyx222 所截得的有限部分所截得的有限部分 . .三、求拋物面殼三、求拋物面殼)10)(2122 zyxz的質(zhì)量的質(zhì)量, ,此殼此殼的面密度的大小為的