第4章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征

1、第四章第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征 上面討論了隨機(jī)變量的分布函數(shù)，我們看到分上面討論了隨機(jī)變量的分布函數(shù)，我們看到分布函數(shù)能夠完整地描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特征。但是布函數(shù)能夠完整地描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特征。但是在一些實(shí)際問(wèn)題中，不需要去完全考察隨機(jī)變量的在一些實(shí)際問(wèn)題中，不需要去完全考察隨機(jī)變量的變化情況，而只需要知道隨機(jī)變量的某些特征，因變化情況，而只需要知道隨機(jī)變量的某些特征，因而不需要求出它的分布函數(shù)。例如而不需要求出它的分布函數(shù)。例如 (1)(1)在評(píng)定某一地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平時(shí)，在許多在評(píng)定某一地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平時(shí)，在許多場(chǎng)合只要知道該地區(qū)的平均產(chǎn)量；場(chǎng)合只要知道該地區(qū)的平均

2、產(chǎn)量； (2)(2)在研究水稻的品種優(yōu)劣時(shí)，時(shí)常是關(guān)心在研究水稻的品種優(yōu)劣時(shí)，時(shí)常是關(guān)心稻穗的平均稻谷粒數(shù)；稻穗的平均稻谷粒數(shù)； (3) (3)在檢查一批棉花的質(zhì)量時(shí)，既要注意纖維在檢查一批棉花的質(zhì)量時(shí)，既要注意纖維的的平均長(zhǎng)度，又要注意纖維長(zhǎng)度與平均長(zhǎng)平均長(zhǎng)度，又要注意纖維長(zhǎng)度與平均長(zhǎng) 度的偏離程度的偏離程度，平均長(zhǎng)度較大、偏離程度較小，質(zhì)量就較好。度，平均長(zhǎng)度較大、偏離程度較小，質(zhì)量就較好。 從上面的例子看到，與隨機(jī)變量有關(guān)的某些數(shù)從上面的例子看到，與隨機(jī)變量有關(guān)的某些數(shù)值，雖然不能完整地描述隨機(jī)變量，但能描述隨機(jī)值，雖然不能完整地描述隨機(jī)變量，但能描述隨機(jī)變量在某些方面的重要特征。這些數(shù)

3、字特征在理論變量在某些方面的重要特征。這些數(shù)字特征在理論和實(shí)踐上都具有重要的意義。和實(shí)踐上都具有重要的意義。第四章第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征4.1 4.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 （一）（一）4.2 4.2 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 （二）（二）4.3 4.3 隨機(jī)變量的方差（一）隨機(jī)變量的方差（一）4.4 4.4 隨機(jī)變量的方差（二）隨機(jī)變量的方差（二）4.5 4.5 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)4.6 4.6 其它特征數(shù)其它特征數(shù)4.14.1隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（一）隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（一）（Mathematical expectation o

4、f random variable） 4.1.14.1.1數(shù)學(xué)期望的概念數(shù)學(xué)期望的概念 “ “期望期望”在我們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｖ赣懈鶕?jù)的希望，在在我們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｖ赣懈鶕?jù)的希望，在概率論中，它源于歷史上一個(gè)著名的分賭本問(wèn)題：概率論中，它源于歷史上一個(gè)著名的分賭本問(wèn)題： 例例4.1.14.1.1（分賭本問(wèn)題）（分賭本問(wèn)題） 1717世紀(jì)中葉，一位賭徒向世紀(jì)中葉，一位賭徒向法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡（法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡（1623-16621623-1662）提出一個(gè)使他苦惱很）提出一個(gè)使他苦惱很久的分賭本問(wèn)題：甲、乙兩賭徒賭技相同，各出賭注久的分賭本問(wèn)題：甲、乙兩賭徒賭技相同，各出賭注5050法郎，每局中無(wú)平局法

5、郎，每局中無(wú)平局. .他們約定，誰(shuí)先贏三局則得到全他們約定，誰(shuí)先贏三局則得到全部部100100法郎的賭本法郎的賭本. .當(dāng)甲贏了兩局，乙贏了一局時(shí)，因故當(dāng)甲贏了兩局，乙贏了一局時(shí)，因故要中止賭博，現(xiàn)問(wèn)這要中止賭博，現(xiàn)問(wèn)這100100法郎如何分才算公平？法郎如何分才算公平？ 分析分析 第一種分法：甲得第一種分法：甲得 100100 1/2=50 (1/2=50 (法郎法郎) ) 乙得乙得 100100 1/2=50 (1/2=50 (法郎法郎) ) 第二種分法第二種分法: : 甲得甲得 100100 2/32/36 67 (7 (法郎法郎) ) 乙得乙得 100100 1/31/333 (33

6、(法郎法郎) ) 這兩種方法都沒(méi)有考慮到如果繼續(xù)比下去會(huì)出現(xiàn)什這兩種方法都沒(méi)有考慮到如果繼續(xù)比下去會(huì)出現(xiàn)什么樣的結(jié)果，沒(méi)有照顧到兩人在現(xiàn)有基礎(chǔ)下對(duì)比賽結(jié)果么樣的結(jié)果，沒(méi)有照顧到兩人在現(xiàn)有基礎(chǔ)下對(duì)比賽結(jié)果的一種期待，雙方均不滿意的一種期待，雙方均不滿意. .首席數(shù)學(xué)家帕斯卡，帕斯卡認(rèn)為甲的最終所得可能為：首席數(shù)學(xué)家帕斯卡，帕斯卡認(rèn)為甲的最終所得可能為：0 0 或或 100 100 再賭兩局比賽必定結(jié)束，其結(jié)果不外乎以下四種：再賭兩局比賽必定結(jié)束，其結(jié)果不外乎以下四種：( (甲贏甲贏 甲贏甲贏) () (甲贏甲贏 乙贏乙贏) () (乙贏乙贏 甲贏甲贏) () (乙贏乙贏 乙贏乙贏) )于是，他們

7、去求助法國(guó)的于是，他們?nèi)デ笾▏?guó)的于是甲贏得法郎數(shù)于是甲贏得法郎數(shù)X的分布列為的分布列為帕斯卡認(rèn)為甲的帕斯卡認(rèn)為甲的“期望期望”所得應(yīng)為所得應(yīng)為 0 0 1/41/4+100100 3/4=75 (3/4=75 (法郎法郎) )乙的乙的“期望期望”所得應(yīng)為所得應(yīng)為100-75=25 100-75=25 法郎法郎. . 這種方法照顧到了已賭局?jǐn)?shù)，又包括了再賭下去的這種方法照顧到了已賭局?jǐn)?shù)，又包括了再賭下去的一種一種“期望期望”，它比前兩種方法都更為合理，它比前兩種方法都更為合理. .這就是數(shù)這就是數(shù)學(xué)期望這個(gè)名稱的由來(lái)，其實(shí)這個(gè)名稱稱為學(xué)期望這個(gè)名稱的由來(lái)，其實(shí)這個(gè)名稱稱為“均值均值”更更形象易

8、懂一些，對(duì)上例而言，也就是再賭下去的話，甲形象易懂一些，對(duì)上例而言，也就是再賭下去的話，甲“平均平均”可以贏可以贏7575法郎法郎. .X0100P1/43/4 引例（射擊問(wèn)題）引例（射擊問(wèn)題） 設(shè)某射擊手在同樣的條件下設(shè)某射擊手在同樣的條件下, ,相繼射擊相繼射擊9090了次，擊中情況如下了次，擊中情況如下( (命中的環(huán)數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量命中的環(huán)數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量) ). .試問(wèn)試問(wèn): :該射手每次射擊平均命中靶多少環(huán)該射手每次射擊平均命中靶多少環(huán)? ? 命中環(huán)數(shù) k nnk頻頻率率90290109030901590139020命中次數(shù) nk 0 1 2 3 4 5 2 13 15 10 20

9、30 解解 平均擊中環(huán)數(shù)平均擊中環(huán)數(shù)集中靶的總環(huán)數(shù)射擊總次數(shù)0 2 1 132 153 104 205 3090 21315012345102030909090909090 50kknnk3.37 50kknnk 平均擊中環(huán)數(shù)平均擊中環(huán)數(shù) 頻率隨機(jī)波動(dòng)頻率隨機(jī)波動(dòng) 隨機(jī)波動(dòng)隨機(jī)波動(dòng) 50kknkn n50kkk p隨機(jī)波動(dòng)隨機(jī)波動(dòng) 穩(wěn)定值穩(wěn)定值 “平均射中環(huán)數(shù)平均射中環(huán)數(shù)”的穩(wěn)定值的穩(wěn)定值 ? “平均平均擊中擊中環(huán)數(shù)環(huán)數(shù)”趨向于趨向于 “擊中擊中環(huán)數(shù)的可能值與其概率之積的累加環(huán)數(shù)的可能值與其概率之積的累加” 定義定義4.1.14.1.1 設(shè)離散隨機(jī)變量設(shè)離散隨機(jī)變量X的分布列為的分布列為如果如

10、果那么稱那么稱為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望(mathematical expectation)或該分布的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱或該分布的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望期望或或均值均值. .若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù) 不收斂不收斂, ,則稱則稱X的期望不存在的期望不存在. .()( ) (1,2,)iiiP Xxpp xi1| ( )iiix p x 1()( )iiiE Xx p x1| ( )iiix p x 定義定義4.1.24.1.2 設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為 f (x),如果如果則稱為則稱為X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望，或該分布的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱，或該分布的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望期望或或

11、均值均值. .若若 不收斂，則稱不收斂，則稱X的期望不存在的期望不存在. .|( )x f x dx ()( )E Xxf x dx|( )x f x dx 例例4.1.24.1.2 某車站每天某車站每天8:009:00,9:0010:00都都恰好有一輛客車到站，但到站的時(shí)刻是隨機(jī)的，且恰好有一輛客車到站，但到站的時(shí)刻是隨機(jī)的，且兩者到站的時(shí)間相互獨(dú)立兩者到站的時(shí)間相互獨(dú)立. .其規(guī)律是其規(guī)律是一旅客一旅客8:20到車站，求他的平均候車時(shí)間到車站，求他的平均候車時(shí)間. . 1/61/6 3/63/6 2/62/68:10 8:30 8:508:10 8:30 8:509:10 9:30 9:5

12、09:10 9:30 9:50概率概率到站時(shí)刻到站時(shí)刻 解解 設(shè)設(shè)X=“=“該旅客的候車時(shí)間該旅客的候車時(shí)間”( (以分鐘計(jì)以分鐘計(jì)) )則則于是該旅客的平均候車時(shí)間為于是該旅客的平均候車時(shí)間為32132()103050709066363636E X 27.22 1/61/6 3/63/6 2/62/68:10 8:30 8:508:10 8:30 8:509:10 9:30 9:509:10 9:30 9:50概率概率到站時(shí)刻到站時(shí)刻26361166 10 30 50 70 90 13661266XP 例例4.1.34.1.3 若若Xb(n,p)，則，則E(X)=np. 證明證明 因?yàn)橐驗(yàn)閄

13、b(n,p)，所以，所以于是于是()(1)0,1,kkn knP XkC ppkn（）0()()nkE Xk P Xk0(1)nkkn knkk C pp0!(1)!()!nkn kknkppk nk1!(1)(1)!()!knkn knppknk1(1) (1)1(1)!(1)!(1)(1)!(1)nknkknknnp pkp11(1) (1)11(1)nkknknknpCpp1(1)101 (1)niininiiknpCpp1(1)nnp ppnp 例例4.1.4 4.1.4 若若XP()，則，則E(X)=. 證明證明 因?yàn)橐驗(yàn)閄P() ，所以，所以于是于是0()!kkE Xkek()(0

14、,1,2,)!kP Xkekk11(1)!kkek 0 !1iieiki 例例4.1.54.1.5 在一個(gè)人數(shù)為在一個(gè)人數(shù)為N的人群中普查某種疾病，的人群中普查某種疾病，為此要抽驗(yàn)為此要抽驗(yàn)N個(gè)人的血。如果將每個(gè)人的血分別檢驗(yàn)，個(gè)人的血。如果將每個(gè)人的血分別檢驗(yàn)，則共需檢驗(yàn)則共需檢驗(yàn)N次，為了能減少工作量，一位統(tǒng)計(jì)學(xué)家提次，為了能減少工作量，一位統(tǒng)計(jì)學(xué)家提出一種方法：按出一種方法：按k個(gè)人一組進(jìn)行分組，把同組人的血樣個(gè)人一組進(jìn)行分組，把同組人的血樣混合后檢驗(yàn)，如果這種混合血樣呈現(xiàn)陰性反應(yīng)，說(shuō)明這混合后檢驗(yàn)，如果這種混合血樣呈現(xiàn)陰性反應(yīng)，說(shuō)明這k個(gè)人只需要檢驗(yàn)一次就夠了；如果這種混合血樣呈現(xiàn)個(gè)人

15、只需要檢驗(yàn)一次就夠了；如果這種混合血樣呈現(xiàn)陽(yáng)性反應(yīng)，說(shuō)明這陽(yáng)性反應(yīng)，說(shuō)明這k個(gè)人中至少有一個(gè)人的血呈現(xiàn)陽(yáng)性個(gè)人中至少有一個(gè)人的血呈現(xiàn)陽(yáng)性反應(yīng)，則再對(duì)此反應(yīng)，則再對(duì)此k個(gè)分別進(jìn)行檢驗(yàn)個(gè)分別進(jìn)行檢驗(yàn). .假設(shè)該疾病的的發(fā)病假設(shè)該疾病的的發(fā)病率為率為p，且每人是否得此疾病相互獨(dú)立，且每人是否得此疾病相互獨(dú)立. .試問(wèn)這種方法能試問(wèn)這種方法能否實(shí)現(xiàn)減少平均檢驗(yàn)次數(shù)？否實(shí)現(xiàn)減少平均檢驗(yàn)次數(shù)？ 解解 令令X=“該人群中每個(gè)人需要驗(yàn)血的次數(shù)該人群中每個(gè)人需要驗(yàn)血的次數(shù)”，則，則所以每人的平均驗(yàn)血次數(shù)為所以每人的平均驗(yàn)血次數(shù)為X1/k1+1/kP(1-p)k1-(1-p)k11()(1)(1)1 (1) kk

16、E Xppkk11(1)(11)11 (kkkpppkkk 11 (1)kpk 只要只要適當(dāng)選擇適當(dāng)選擇k，就可使驗(yàn)血次數(shù)達(dá)到最小就可使驗(yàn)血次數(shù)達(dá)到最小. .譬如，譬如，當(dāng)當(dāng)p=0.1時(shí)，有時(shí)，有對(duì)不同的發(fā)病率對(duì)不同的發(fā)病率p，計(jì)算出最佳得分組人數(shù)計(jì)算出最佳得分組人數(shù)k，見下表，見下表k()E X0.690 0.604 0.690 0.604 0.5940.594 0.610 0.695 0.751 0.991 0.994 0.610 0.695 0.751 0.991 0.994 1.00161.0016 2 3 2 3 4 4 5 8 10 30 33 5 8 10 30 33 34 34

17、Pk()E X0.697 0.594 0.534 0.466 0.384 0.274 0.2050.697 0.594 0.534 0.466 0.384 0.274 0.2053 4 4 5 6 8 113 4 4 5 6 8 110.14 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.010.14 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.01 例例4.1.64.1.6 有兩個(gè)相互獨(dú)立工作的電子裝置，它們有兩個(gè)相互獨(dú)立工作的電子裝置，它們的壽命的壽命X1, X2服從同一指數(shù)分布，其密度函數(shù)如下服從同一指數(shù)分布，其密度函數(shù)如下 若將這兩個(gè)電子裝置串聯(lián)組成一個(gè)整機(jī)，求整機(jī)壽

18、命若將這兩個(gè)電子裝置串聯(lián)組成一個(gè)整機(jī)，求整機(jī)壽命Y的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望. .,0( )0,0.xexf xx；解解 因?yàn)橐驗(yàn)閄iExp() (i=1,2)，所以所以Xi的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為于是于是Y=minX1, X2的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為故故Y=minX1, X2的密度函數(shù)為的密度函數(shù)為1,0( )0,0.xexF xx ；221,0( )1 1( )0,0.yYeyFyF yy ；22,0( )( )0,0.yYYeyfyFyy；所以所以( )( )YE Yy fy dy202yyedy012222tteytdt012tte dt111 (1)22 作作 業(yè)業(yè)1132P4.2 4.2

19、 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（二）隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（二） 例例4.2.14.2.1 設(shè)設(shè)XU(a,b)，求，求E(X). 解解 因?yàn)橐驗(yàn)閄U(a,b)，所以，所以2ab()( )E Xxf x dx1baxdxba212baxba2212baba 例例4.2.24.2.2 設(shè)設(shè)XN(,2)，則，則E(X)= . 證明證明 因?yàn)橐驗(yàn)閄N(,2)，所以，所以22()21()2xE Xxedx221()2yxyedyy22221212yydyedyye 例例4.2.34.2.3 設(shè)設(shè)X(,)，則，則E(X)=/ . 證明證明 因?yàn)橐驗(yàn)閄(,)，所以于是，所以于是10()( )xE Xxxedx0( )xx

20、 edx01( )( )yyexydy01( )yy e dy1( )( ) 定理定理4.2.14.2.1 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X的分布用分布列的分布用分布列p(xi)或用密度函數(shù)或用密度函數(shù)f(x)表示，則表示，則X的某一函數(shù)的某一函數(shù)g(X)的數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)期望為期望為推廣推廣: :1( ) ( ),()g( ) ( ),iiig x p xE g Xx f x dx在離散場(chǎng)合；在連續(xù)場(chǎng)合.( ,)(, )g( , ) ( , ),ijijijg x ypE g X Yx y f x y dxdy ,在離散場(chǎng)合；在連續(xù)場(chǎng)合. 例例4.2.44.2.4 已知隨機(jī)變量的分布列如下已知隨機(jī)變量的分布

21、列如下求求Y=X2的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望. . 解解 Y=X2的分布列為的分布列為X-2-1012P0.20.10.10.30.3X-2-1012Y=X241014P0.20.10.10.30.3對(duì)相同的值合并，并把對(duì)應(yīng)的概率相加，可得對(duì)相同的值合并，并把對(duì)應(yīng)的概率相加，可得所以所以 E(Y)=E(X2)=00.1+10.4+40.5=2.4或 E(Y)=E(X2) =(-2)20.2+(-1)2 0.1+02 0.1+12 0.3+22 0.3=2.4Y014P0.10.40.5數(shù)學(xué)期望的常用性質(zhì)數(shù)學(xué)期望的常用性質(zhì)（1 1）若）若c是常數(shù)，則是常數(shù)，則E(c)=c；（2 2）對(duì)任意的常數(shù)）對(duì)任

22、意的常數(shù)a，有，有E(aX)=aE(X)； （3 3）對(duì)任意的兩個(gè)變量）對(duì)任意的兩個(gè)變量X,Y，有，有 E(XY)= E(X) E(Y)推廣：對(duì)任意的隨機(jī)變量推廣：對(duì)任意的隨機(jī)變量X,Y，有，有Eg1(X) g2(Y)=Eg1(X) Eg2(Y)（4 4）若隨機(jī)變量）若隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則E(XY)= E(X) E(Y) 例例4.2.54.2.5 某公司經(jīng)銷某種原料，歷史資料表明：該某公司經(jīng)銷某種原料，歷史資料表明：該原料的市場(chǎng)需求量原料的市場(chǎng)需求量X(單位單位: :噸噸)服從服從(300,500)上的均勻分上的均勻分布布. .每出售一頓該原料，公司可獲利潤(rùn)每出售一頓該原料，

23、公司可獲利潤(rùn)1.5(1.5(萬(wàn)元萬(wàn)元) )；若積；若積壓壓1 1噸，則公司損失噸，則公司損失0.5(0.5(萬(wàn)元萬(wàn)元).).問(wèn)公司應(yīng)該組織多少貨問(wèn)公司應(yīng)該組織多少貨源，可使平均收益最大？源，可使平均收益最大？ 一、模型假設(shè)：一、模型假設(shè)：市場(chǎng)需求量市場(chǎng)需求量XU(300,500). 二、模型建立：二、模型建立：公司收益公司收益Y( (萬(wàn)元萬(wàn)元) )與市場(chǎng)需求量與市場(chǎng)需求量X和和組織的貨源組織的貨源a噸有關(guān)，即噸有關(guān)，即1.50.5()20.5 ,;() 1.5 ,.XaXXaXaYg XaXa公司收益公司收益Y=g(X)也是隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望為也是隨機(jī)變量，其數(shù)學(xué)期望為則則故公司組織故公司組

24、織450450噸貨源，可使平均收益最大噸貨源，可使平均收益最大. . ( )Xdxg x fx( ) ()E YE g X50030011(20.5 )1.5200200aaxadxadx221(900300 )200aa1( )( 2900)0450200faaa令令 f (a)a30050001200( )Xfx 12000( )g x 20.5xa20.5xa1.5a1.5a三、模型求解：三、模型求解： 例例4.2.64.2.6 一民航客車載有一民航客車載有2020位旅客自機(jī)場(chǎng)開出旅客位旅客自機(jī)場(chǎng)開出旅客有有1010車站可以下車，如到達(dá)一個(gè)車站沒(méi)有旅客下車就不車站可以下車，如到達(dá)一個(gè)車站

25、沒(méi)有旅客下車就不停車停車. .以以X表示停車的次數(shù)，求該客車的平均停車次數(shù)表示停車的次數(shù)，求該客車的平均停車次數(shù). .（假設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的，并設(shè)各旅（假設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的，并設(shè)各旅客是否下車相互獨(dú)立）客是否下車相互獨(dú)立） 解解 令令Xi=“第第i個(gè)車站停車的次數(shù)個(gè)車站停車的次數(shù)”，i=1,2,10.則則 Xib(1, 1-0.920), (i=1,2,10)，且且 X =X1+ X2+ + X10.于是于是 E(X)=E(X1+ X2+ + X10 ) =E(X1) + E(X2) + + E(X10) = (1-0.920) + (1-0.920) + +

26、(1-0.920) = 10(1-0.920) 8.784n 個(gè)作作 業(yè)業(yè)1141155,14PP4.34.3隨機(jī)變量的方差（一）隨機(jī)變量的方差（一） 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望E(X)是一種位置特征數(shù)，它是一種位置特征數(shù)，它反應(yīng)了反應(yīng)了X取值的集中位置，但它無(wú)法反映出取值的集中位置，但它無(wú)法反映出X取值的取值的“波波動(dòng)動(dòng)”程度程度. .譬如，已知譬如，已知X與與Y的分布列分別為的分布列分別為則則 E(X)= 0 =E(Y). 但顯然但顯然Y的取值要比的取值要比X的取值波動(dòng)大。為了用數(shù)值的取值波動(dòng)大。為了用數(shù)值來(lái)反映出隨機(jī)變量取值的來(lái)反映出隨機(jī)變量取值的“波動(dòng)波動(dòng)”大小，引入了大小

27、，引入了方差與標(biāo)準(zhǔn)差這兩個(gè)特征數(shù)。方差與標(biāo)準(zhǔn)差這兩個(gè)特征數(shù)。X-101P1/31/31/3Y-1000100P1/31/31/3 定義定義4.3.14.3.1 設(shè)設(shè)X為隨機(jī)變量，若為隨機(jī)變量，若EX-E(X)2存在，則存在，則稱其隨機(jī)變量稱其隨機(jī)變量X的的方差方差(Variance)或該分布的方差，記為或該分布的方差，記為D(X)或或Var(X) .即即稱稱 為為X的的標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差，記為，記為 (X) 或或X . . 方差和標(biāo)準(zhǔn)差的取值都是非負(fù)數(shù)，它們都是用來(lái)方差和標(biāo)準(zhǔn)差的取值都是非負(fù)數(shù)，它們都是用來(lái)描描述隨機(jī)變量取值集中（或分散）程度的特征數(shù)述隨機(jī)變量取值集中（或分散）程度的特征數(shù). .由于

28、標(biāo)由于標(biāo)準(zhǔn)差與所討論的隨機(jī)變量、數(shù)學(xué)期望有相同的量綱，所準(zhǔn)差與所討論的隨機(jī)變量、數(shù)學(xué)期望有相同的量綱，所以在實(shí)際中，人們比較樂(lè)意選用標(biāo)準(zhǔn)差以在實(shí)際中，人們比較樂(lè)意選用標(biāo)準(zhǔn)差. .221()()(,.()iiixE Xf x dxxE Xp x2()()D XE XE X()D X偏差 例例4.3.14.3.1 某人有一筆資金，可投入房地產(chǎn)和商業(yè)，某人有一筆資金，可投入房地產(chǎn)和商業(yè)，其收益都與市場(chǎng)狀態(tài)有關(guān)其收益都與市場(chǎng)狀態(tài)有關(guān). .若把未來(lái)市場(chǎng)分為好、中、差若把未來(lái)市場(chǎng)分為好、中、差三個(gè)等級(jí)，其發(fā)生的概率分別為三個(gè)等級(jí)，其發(fā)生的概率分別為0.2,0.7,0.1.0.2,0.7,0.1.通過(guò)調(diào)查通

29、過(guò)調(diào)查該投資者認(rèn)為投資于房地產(chǎn)的收益該投資者認(rèn)為投資于房地產(chǎn)的收益X (萬(wàn)元萬(wàn)元)和投資于商業(yè)和投資于商業(yè)的收益的收益Y(萬(wàn)元萬(wàn)元)的分布分別為的分布分別為試問(wèn)該投資者投資哪個(gè)項(xiàng)目為好？試問(wèn)該投資者投資哪個(gè)項(xiàng)目為好？X113-3P0.20.70.1Y64-1P0.20.70.1解解 E(X) = 110.2+30.7+(-3)0.1=4.0 (萬(wàn)元) E(Y) = 60.2+40.7+(-1)0.1=3.9 (萬(wàn)元)從平均收益看，投資房地產(chǎn)比投資商業(yè)更劃算從平均收益看，投資房地產(chǎn)比投資商業(yè)更劃算. .所以所以 因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)差越大收益的波動(dòng)就越大，從而風(fēng)險(xiǎn)也因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)差越大收益的波動(dòng)就越大，從而風(fēng)險(xiǎn)也

30、越大越大. .若綜合權(quán)衡收益和風(fēng)險(xiǎn)，選擇投資房地產(chǎn)的平均若綜合權(quán)衡收益和風(fēng)險(xiǎn)，選擇投資房地產(chǎn)的平均收益相對(duì)投資商業(yè)多了收益相對(duì)投資商業(yè)多了0.10.1萬(wàn)元，僅僅多出萬(wàn)元，僅僅多出1/391/39，但風(fēng)，但風(fēng)險(xiǎn)卻提高了一倍還多，故投資商業(yè)比較劃算險(xiǎn)卻提高了一倍還多，故投資商業(yè)比較劃算. .222()(11 4)0.2(34)0.7( 34)0.1D X 222( )(63.9)0.2(43.9)0.7( 1 3.9)0.1D Y 3.2915.4()15.43.92,( )3.291.81.XY由于由于方差的常用性質(zhì)方差的常用性質(zhì)（1 1）D(X)= E(X2)-E2(X)；（2 2）對(duì)任意的常

31、數(shù)）對(duì)任意的常數(shù)c，有，有D(c)=0； （3 3）若）若a,b為常數(shù)，則為常數(shù)，則D(aX+b)= a2D(X) ；（4 4）若隨機(jī)變量）若隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則 D(X+Y)= D(X)+D(Y) （5 5）D(X)=0 P(X=c)=1.隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)化 例例4.3.24.3.2 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望具有數(shù)學(xué)期望E(X)=, ,方方差差D(X)=20，令，令則則于是稱于是稱X*為為X的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量. .*XX*()()XE XE1 ()E X0*()()XD XD2()D X1常見分布的方差常見分布的方差 (1) (1)兩點(diǎn)

32、分布兩點(diǎn)分布 設(shè)設(shè)Xb(1,p)，則，則 E(X)=p, D(X)=pq=p(1-p).證明證明 因?yàn)橐驗(yàn)閄b(1,p)，所以，所以P(X=1)=p, P(X=0)=1-p=q.故故 E(X)=p E(X2)=12p+02q=p所以所以 D(X)= E(X2) - E2(X)=p-p2= p(1-p)=pq. (2) (2)二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 若若Xb(n,p)，則，則 E(X)=np, D(X)=npq.證明證明 令令Xib(1,p) (i=1, 2, , n)，且相互獨(dú)立，且相互獨(dú)立.則則 D(Xi)=pq (i=1, 2, , n)， X=X1+ X2+ + Xn.所以所以npq12()(

33、)nD XD XXX12()()()nD XD XD Xnpqpqpq 個(gè) (3) (3)泊松分布泊松分布 若若XP()，則，則 E(X)= , D(X)=.證明證明 因?yàn)橐驗(yàn)閄P()，所以，所以故故 D(X)=E(X2)-E2(X)=2+-2= .220()!kkE Xkek00(1)!kkkkk kekkek222(2)!kkek20 !2iieii k 2 （4 4）幾何分布）幾何分布(Geometry distribution) 若若XGe(p)，則，則 E(X)= 1/p , D(X)=q/p2 .證明證明 略略 （5 5）超幾何分布）超幾何分布 若若Xh(n,N,M) ，則，則證明

34、證明 略略 (6)(6)巴斯卡巴斯卡(Pascal)分布分布 若若XNb(r,p)，則，則 E(X)=r/p , D(X)=rq/p2.證明證明 略略()ME XnN2()(),()(1)M NMNnD XnNN (1)(1)均勻分布均勻分布 若若XU(a,b)，則，則 證明證明 因?yàn)橐驗(yàn)閄U(a,b)，所以，所以故故 D(X)=E(X2)-E2(X)2(),()12(.2abD XabE X22()( )E Xx f x dx21baxxbad3313baba223baba222()34aabbab2()12ba1/()ba00ab (2) (2)伽瑪分布伽瑪分布 若若X(,)，則，則 E(

35、X)= / , D(X)= /2 .證明證明 因?yàn)橐驗(yàn)閄 (,)，所以，所以于是于是 D(X)=E(X2)-E2(X)22()( )XE Xx fx dx210( )xxxedx10( )xxedx101( )( )yxyyedy1201( )yye dy2(1)(11)()2(1) 22(1)() 2 (3) (3)正態(tài)分布正態(tài)分布 若若XN(,2)，則，則 E(X)= , D(X)= 2 . 證明證明 因?yàn)橐驗(yàn)閄N(,2)，所以，所以2()()D XE XE X2221()2xyyyedy22()221()2xxedx212202221)22(22tyttetdt2222022yy edy

36、12202tt e dt2211( )222推推 廣廣若若XiN(i,i2), i=1,2,n，且相互獨(dú)立，且相互獨(dú)立, ,則存在不全為則存在不全為零的常數(shù)零的常數(shù)k1,k2 , ,kn，使得，使得常用分布表常用分布表1()niiik XN=1221,niiiiinikksm= 例例4.4.14.4.1 若若XN(1,3),YN(2,4)，且，且X,Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立求證求證Z=2X-3YN(-4,48). 證明證明 因?yàn)橐驗(yàn)閄N(1,3),YN(2,4), ,且且X,Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立所以所以Z=2X-3Y服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布, ,且且E(X) =1, D(X) =3, E(Y) =2,

37、 D(Y) =4于是于是 E(Z)=E(2X-3Y )=2E(X)-3E(Y)=21-32=-4 D(Z)=D(2X-3Y )=4D(X)+9D(Y)=43+94=48故故Z=2X-3YN(-4,48) . 例例4.4.24.4.2 設(shè)活塞的直徑設(shè)活塞的直徑XN(22.4, 0.032), ,氣缸的氣缸的直徑直徑Y(jié)N(22.5, 0.042), ,且且X,Y相互獨(dú)立，任取一只活相互獨(dú)立，任取一只活塞，一只氣缸，求活塞能裝入氣缸的概率塞，一只氣缸，求活塞能裝入氣缸的概率. . 解解 因?yàn)橐驗(yàn)閄N(22.4, 0.032) , YN(22.5, 0.042)且且X,Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立. .所以所以

38、 X-YN(-0.1, 0.0025) 故故0.9772(2) 0.100.1(2)0.00250.0025XYP()(0)P XYP XY 定理定理4.4.1(4.4.1(Chebyshev不等式不等式) )設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X滿足滿足E(X)=，方差方差D(X)=2，則對(duì)于任意正數(shù)，則對(duì)于任意正數(shù)，有，有證明證明 （1 1）因?yàn)椋┮驗(yàn)镋(X)= , D(X)=2 ，所以，所以22(|)PX(|)PX|ix2)1(D X22|( )iixp x離212()(1)iiixp x22|()( )iiixxp x22()1ix 22()ix（2 2）因?yàn)椋┮驗(yàn)镋(X)= , D(X)=2 ，所以

39、，所以(|)PX|x2)1(D X22|( )xp x dx連22()( )1xp x dx22|()( )xxp x dx22()1x 22()x作作 業(yè)業(yè)11511618,21PP4.5 4.5 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù) 二維聯(lián)合分布中除含有各分量的邊際分布外，二維聯(lián)合分布中除含有各分量的邊際分布外，還含有兩個(gè)分量間相互關(guān)聯(lián)的信息，協(xié)方差就是描還含有兩個(gè)分量間相互關(guān)聯(lián)的信息，協(xié)方差就是描述這種關(guān)聯(lián)程度的一個(gè)特征數(shù)，其定義如下述這種關(guān)聯(lián)程度的一個(gè)特征數(shù)，其定義如下: : 定義定義4.5.14.5.1 設(shè)設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，如果數(shù)學(xué)是二維隨機(jī)變量，如果數(shù)學(xué)期望期望EX-E(X)

40、Y-E(Y)存在，則稱此期望為存在，則稱此期望為X與與Y的的協(xié)協(xié)方差方差(Covariance)，記為，記為Cov(X,Y)，即，即 特別地，特別地，Cov(X, X)=D(X).(, )()( )Cov X YEXE XYE Y從協(xié)方差的定義可以看出，它是從協(xié)方差的定義可以看出，它是X的偏差的偏差X-E(X)與與Y的偏差的偏差Y-E(Y)乘積的數(shù)學(xué)期望乘積的數(shù)學(xué)期望. .由于偏差可正可負(fù)由于偏差可正可負(fù)也可以為零，故協(xié)方差可正可負(fù)，也可以為零，其也可以為零，故協(xié)方差可正可負(fù)，也可以為零，其具體表現(xiàn)如下：具體表現(xiàn)如下： (1)(1)當(dāng)當(dāng)Cov(X,Y)0時(shí)，稱時(shí)，稱X與與Y正相關(guān)正相關(guān). .此

41、時(shí)兩個(gè)此時(shí)兩個(gè)偏差偏差X-E(X)與與Y-E(Y)同時(shí)增大或減小，而兩個(gè)數(shù)同時(shí)增大或減小，而兩個(gè)數(shù)學(xué)期望學(xué)期望E(X)與與E(Y)都是常數(shù)，所以都是常數(shù)，所以X與與Y同時(shí)增加或同時(shí)增加或同時(shí)減少同時(shí)減少. . (2) (2)當(dāng)當(dāng)Cov(X,Y)0時(shí)，稱時(shí)，稱X與與Y負(fù)相關(guān)負(fù)相關(guān). .此時(shí)兩個(gè)此時(shí)兩個(gè)偏差偏差X-E(X)與與Y-E(Y)一個(gè)增大，另一個(gè)減小；而一個(gè)增大，另一個(gè)減小；而兩個(gè)數(shù)學(xué)期望兩個(gè)數(shù)學(xué)期望E(X)與與E(Y)都是常數(shù)，所以都是常數(shù)，所以X與與Y一個(gè)一個(gè)增大，另一個(gè)減小增大，另一個(gè)減小. . (3) (3)當(dāng)當(dāng)Cov(X,Y)=0時(shí)，稱時(shí)，稱X與與Y不不( (線性線性) )相關(guān)相

42、關(guān). . 協(xié)方差的性質(zhì)協(xié)方差的性質(zhì)(1)(1)Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) . .(2)(2)對(duì)任意的常數(shù)對(duì)任意的常數(shù)c，有，有Cov(X,c)=0 . .(3)(3)若有若有X,Y相互獨(dú)立，則相互獨(dú)立，則Cov(X,Y)=0；反之不然反之不然. .(4)(4)Cov(X,Y)=Cov(Y,X) . .(5)(5)a,bR，有，有Cov(aX,bY)=abCov(X,Y) . .(6)(6)Cov(X Y,Z)=Cov(X,Z) Cov(Y,Z) . .(7)(7)a,b,c,dR，有，有Cov(aX+b, cY+d)=acCov(X,Y). .(8)(8)D(XY)= D(

43、X) D(Y) 2Cov(X,Y) . .相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)(Correlation) 協(xié)方差協(xié)方差Cov(X,Y)是有量綱的量，譬如是有量綱的量，譬如X表示表示人的身高，單位是米人的身高，單位是米(m)，Y表示人的體重，單位表示人的體重，單位是公斤是公斤(kg)，則協(xié)方差，則協(xié)方差Cov(X,Y)帶有量綱帶有量綱(mkg).為了消除量綱的影響，現(xiàn)對(duì)協(xié)方差除以相同量綱為了消除量綱的影響，現(xiàn)對(duì)協(xié)方差除以相同量綱的量，就得到一個(gè)新的概念的量，就得到一個(gè)新的概念相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù). . 定義定義3.4.23.4.2 設(shè)設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，且是二維隨機(jī)變量，且D(X)0 D(Y)0，則稱，則稱為為

44、X與與Y的的( (線性線性) )相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)( (Correlation).).(, )()( )Cov X YD XD Y(, )XYCov X Y (, )XYX Y或（1 1）X與與Y的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù) (X,Y)是個(gè)無(wú)量綱的量是個(gè)無(wú)量綱的量. .（2 2）Cov(X,Y)與與 (X,Y)同符號(hào)，故從它的取值也可反同符號(hào)，故從它的取值也可反 應(yīng)出應(yīng)出X與與Y的的正相關(guān)，負(fù)相關(guān)正相關(guān)，負(fù)相關(guān)和和不相關(guān)不相關(guān). .（3 3）相關(guān)系數(shù)）相關(guān)系數(shù) (X,Y)的另一個(gè)解釋是：它是的另一個(gè)解釋是：它是X與與Y相相 應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)化變量應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)化變量X*與與Y*的協(xié)方差的協(xié)方差Cov(X*,Y*). .

45、*(,)(,)XYXYXYCov XYCov1(, )XYCov X Y (, )X Y11,11()XYXYXYCovXY定理定理4.5.1(4.5.1(相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)) )（1 1）| |XY| | 1 1；（2 2）| |XY| |=1=1常數(shù)常數(shù)a,b，使得，使得 P(Y=aX+b)=1 . X,Y幾乎處處線性相關(guān)幾乎處處線性相關(guān). .說(shuō)說(shuō) 明明（1）若）若XY=0，稱，稱X與與Y不（線性）相關(guān)，但它們之間可能有不（線性）相關(guān)，但它們之間可能有 其他的關(guān)系其他的關(guān)系.譬如譬如:平方關(guān)系，對(duì)數(shù)關(guān)系等平方關(guān)系，對(duì)數(shù)關(guān)系等.（2）若）若XY=1，則稱，則稱X與與Y完全正相關(guān)；完

46、全正相關(guān)； 若若XY=-1，則稱，則稱X與與Y 完全負(fù)相關(guān)完全負(fù)相關(guān) . （3 3）若）若0 | |XY| |1，則稱，則稱X與與Y有有“一定程度一定程度”的線性關(guān)系的線性關(guān)系 | |XY| |越接近于越接近于1 1，則，則X與與Y的線性相關(guān)程度越高；的線性相關(guān)程度越高； | |XY| |越接近于越接近于0 0，X與與Y的線性相關(guān)程度越低的線性相關(guān)程度越低. . 但協(xié)方差看不出這一點(diǎn)但協(xié)方差看不出這一點(diǎn). .若協(xié)方差很小，而其兩個(gè)標(biāo)若協(xié)方差很小，而其兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差準(zhǔn)差X,Y也很小，則其比值就不一定很小也很小，則其比值就不一定很小. . 例例4.5.14.5.1 設(shè)設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合

47、密度函數(shù)為試求試求X與與Y的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù)XY. .8, 00.5, 0,1;( , )30, . xyx yf x y其他2222(, )()() ( )()( ) ()() ()( )XYCov X YE XYE X E YD X D YE XEXE YE Y解解()( , )E Xxp x y dxdy 0.510.5000.58833xxxxdydxxdydx 111822()( , )E Xx p x y dxdy 1220.50.5000.58833xxxxdydxxdydx 3172( )( , )E Yyp x y dxdy 0.510.5000.58833xxxydydx

48、ydydx 718于是于是22()( , )E Yy p x y dxdy 1220.50.5000.58833xxxydydxydydx 1572()( , )E XYxyp x y dxdy 010.55000.5.8833xxxxydydxxydydx 41144222311137()()()()7218648Var XE XEX22215737( )()( )()7218648Var YE YE Y4111761(, 04716Cov X Y (, )6164861129637740.8243XYXYCov X Y 本題的協(xié)方差很小，可是相關(guān)系數(shù)并不小本題的協(xié)

49、方差很小，可是相關(guān)系數(shù)并不小. .從從相相關(guān)系數(shù)關(guān)系數(shù)XY =0.8243看，看，X與與Y有相當(dāng)程度的正相關(guān)；有相當(dāng)程度的正相關(guān)；當(dāng)從相應(yīng)的協(xié)方差當(dāng)從相應(yīng)的協(xié)方差Cov(X,Y)=0.0471看，看，X與與Y的相關(guān)的相關(guān)性很微弱，幾乎可以忽略不計(jì)性很微弱，幾乎可以忽略不計(jì). .造成這種錯(cuò)覺(jué)的原因造成這種錯(cuò)覺(jué)的原因在于是沒(méi)有考慮標(biāo)準(zhǔn)差在于是沒(méi)有考慮標(biāo)準(zhǔn)差. . 若兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差都很小，即使是協(xié)方差小一些，若兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差都很小，即使是協(xié)方差小一些，相關(guān)系數(shù)也能顯示一定程度的相關(guān)性相關(guān)系數(shù)也能顯示一定程度的相關(guān)性. .由此可見，在由此可見，在協(xié)方差的基礎(chǔ)上加工形成的相關(guān)系數(shù)是更為重要的協(xié)方差的基礎(chǔ)上加工形

50、成的相關(guān)系數(shù)是更為重要的相關(guān)性的特征數(shù)相關(guān)性的特征數(shù). .例例4.5.24.5.2 若若(X,Y)N(1, 2, 12, 22,) ，求證，求證XY =. .證明一證明一 (, )()( )Cov X YEXE XYE Y2211222221212()()()()122(1)122121()()e21xxyyxydxdy 12( , )xyp x y dxdy 1212222121,122 122()121e21uuv vxyuvuvdudv 222()2(1)2122ee21uvvdvuvdu 故故222()2()212121ee221uvvvududv 2(,1)vUN222121e2vd

51、vv (0,1)VN( )E Uv2()( )1E VD V12 (, )(, )XYCov X YX Y 1212 證明二證明二令令 12221221,1xyyuv2211222221212()()()()122(1)122121()()e21xxyyxydxdy ()( )( , )xE XyE Yf x y dxdy 2221222122112(1)122121()()e21xyydyxydx uv(, )()( )Cov X YEXE XYE Y則則于是于是故故2112( , )1( , )0 x yJu v 2121 2222122(, )1e2uvCov X Yuvvdudv 22

52、22221222221eeee2uuvvvdudvvdudvu 2222122e2evudvduv 12 (, )(, )XYCov X YX Y 1212 022 一般場(chǎng)合，獨(dú)立必然導(dǎo)致不相關(guān)，不相關(guān)推不出獨(dú)一般場(chǎng)合，獨(dú)立必然導(dǎo)致不相關(guān)，不相關(guān)推不出獨(dú)立立. .但也有例外，如下面的例子但也有例外，如下面的例子. . 定理定理4.5.14.5.1 若若(X, Y)N(1,12, 2,22,)，則，則X與與Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立 X與與Y不相關(guān)不相關(guān) =0. . 證明證明 由以前的結(jié)論知由以前的結(jié)論知XY= ，故只需證明，故只需證明X與與Y不相關(guān)不相關(guān) =0（1 1）必要性）必要性 因?yàn)橐驗(yàn)閄N(1

53、,12, 2,22,0) ，所以，所以22122212()()12121( , )e2xyf x y 且且XN(1,12) , XN(2,22)，于是于是故故所以所以X與與Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立. .22122212()()221211( )e,( )e22xyXYfxfy22212221()()221211ee22yx22122212()()12121( , )e2xyf x y ( )( )XYfx fy（2 2）充分性）充分性 因?yàn)橐驗(yàn)閄與與Y相互獨(dú)立，所以相互獨(dú)立，所以f (x,y) = fX(x)fY(y)即即所以所以 =0. .2211222221212()()()()122(1)21

54、21e21xxyy 22212221()()221211ee22yx作作 業(yè)業(yè)11732P4.6 4.6 分布的其它特征數(shù)分布的其它特征數(shù)(Figure Characteristic) 數(shù)學(xué)期望和方差是隨機(jī)變量最重要的兩個(gè)特征數(shù)學(xué)期望和方差是隨機(jī)變量最重要的兩個(gè)特征數(shù)，此外，隨機(jī)變量還有一些其他的特征數(shù)。數(shù)，此外，隨機(jī)變量還有一些其他的特征數(shù)。 4.6.1 4.6.1 K階矩階矩 設(shè)設(shè)X為隨機(jī)變量，為隨機(jī)變量，k為正整數(shù)為正整數(shù). .如果以下的數(shù)學(xué)如果以下的數(shù)學(xué)期望都成存在，則期望都成存在，則(1)(1)X的的k階原點(diǎn)矩階原點(diǎn)矩：(2)(2)X的的k階中心矩階中心矩：() 1,2,kkE Xk

55、（）()(1,2,)kkvE XE Xk(3)(3)X與與Y的的k+l 階混合原點(diǎn)矩階混合原點(diǎn)矩：(4)(4)X與與Y的的k+l 階混合中心矩階混合中心矩： 由于由于| |X| |k-1 | |X| |k+1，所以若，所以若X的的k階矩存在，則階矩存在，則X的的k-1階矩也存在，進(jìn)而低于階矩也存在，進(jìn)而低于k階的各階矩都存在階的各階矩都存在. .() ,1,2,klE X Yk l （）() ( ) ,1,2,klE XE XYE Yk l() 4.6.3 4.6.3 協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣 二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量(X1, X2)有四個(gè)二階中心矩有四個(gè)二階中心矩( (假設(shè)它假設(shè)它們都存在們都存

56、在) )，它們分別為，它們分別為于是于是(X1, X2)的的協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣為為11122122CCCCC21111()CE XE X121122()()CEXE XXE X212211()()CEXE XXE X22222()CE XE X 設(shè)設(shè)(X1,X2, ,Xn)的二階混合中心矩都存在，令的二階混合中心矩都存在，令則則(X1,X2, ,Xn)的協(xié)方差矩陣為的協(xié)方差矩陣為因而上述矩陣是一個(gè)因而上述矩陣是一個(gè)對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣. .(,) ( ,1,2, )ijijCCov XXi jn121212121122nnnnnnCCCCCCCCCC n維正態(tài)隨機(jī)變量具有四條重要性質(zhì)：維正態(tài)隨機(jī)

57、變量具有四條重要性質(zhì)：(1)(1)n維正態(tài)隨機(jī)變量維正態(tài)隨機(jī)變量(X1,X2, ,Xn)的每一個(gè)分量都是的每一個(gè)分量都是 正態(tài)變量正態(tài)變量; ;反之反之, ,若若(X1,X2, ,Xn)的每一個(gè)分量都的每一個(gè)分量都 是正態(tài)隨機(jī)變量，是正態(tài)隨機(jī)變量，且相互獨(dú)立且相互獨(dú)立, ,則是則是(X1,X2, ,Xn) n維正態(tài)隨機(jī)變量。維正態(tài)隨機(jī)變量。(2)(2)n隨機(jī)變量隨機(jī)變量(X1,X2, ,Xn)是正態(tài)分布的充要條件是是正態(tài)分布的充要條件是 它的任意線性組合：它的任意線性組合：a1X1+a2X2+ +anXn+a0 (其中，a12+a22+ +an20) 都服從一維正態(tài)分布都服從一維正態(tài)分布. .

58、（3 3）若）若(X1,X2, ,Xn)服從服從n維正態(tài)分布，維正態(tài)分布，Y1,Y2, ,Ym是是X1,X2, ,Xn的線性函數(shù)，則的線性函數(shù)，則(Y1,Y2, ,Ym)也服從也服從正態(tài)分布正態(tài)分布. . 上述性質(zhì)稱為上述性質(zhì)稱為正態(tài)變量的線性變換不變性正態(tài)變量的線性變換不變性. .（4 4）設(shè)）設(shè)(X1,X2, ,Xn)服從服從n維正態(tài)分布，則維正態(tài)分布，則“X1,X2, ,Xn相互獨(dú)立相互獨(dú)立”“X1,X2, ,Xn兩兩不相關(guān)兩兩不相關(guān)”. .作作 業(yè)業(yè)沒(méi) 有證明證明 返回返回() ( )E X E Y11iijjijx py p11ijijijp px y11()ijijijE XYx

59、y p離散( , )() E XYxydxdyp x y連續(xù)() ( )E X E Y( )( )XYxpx dxypy dy( )( ) XYxydxdypx py證明證明 返回返回12121212121212( )()()( )( )()( )()()()()( )()iiiiijijiijijjiijjiijjijjjiijjijjjijijjig xgypg x pgypg x pgE g Xg Yg xgyg x pgypE g XEXpgypp離散12121212211()( )( )( ) ( , )( )( )( )( )( )( ) ( , )( ) ( , )( , )(

60、,( )()XYE g Xg Yg xgyp x y dxdydxdyg x p x y dygy p x y dxp x y dyp x y dxg xdxgydyg x px dxgy py dyE g XE 連續(xù)2( )g Y證明證明22(1)()()().D XE XEX()D X22()()E XEX222()()E XXE XEX22()2 ()()()E XE XE XEX2()E XE X(2) D(C)=0, ,其中其中c為常數(shù)為常數(shù). .證明證明2( )( )D cE cE c02()E cc（3 3）若）若a,b為常數(shù)，則為常數(shù)，則D(aX+b)= a2D(X)證明證明(