上海交通大學數學分析答案

1、2004年上海交通大學數學分析limn(14)設limana,n證因xnn242a2UInan證明lima12a22nn,故利用Stolzlimn(n1)an1/(22(n1)nnana公式,.nlimn2n二(14)證明sin(x2)在0,上不一致連續(xù).證因xnJ2n無2sinxnlimnyn1ynxn11-liman11n2sinyn.、2n兀2n兀;xnVn0,2n兀22n兀2xna2故sin(x2)在0,上不一致連續(xù).X0三(14)設f(x)在0,2a上連續(xù)，且f(0)=f(2a),證明f(x0)=f(x0a)證作g(x)f(xa)f(x)(x0,a),則g(x)在0,a上連續(xù)，因f(

2、0)=f(2a),故g(2a)g(0),情形1若g(0)0,則取x00,則f(x0)=f(x0a),情形2若g(0)0,則因g(2a)g(0)g2(0)0,故由介值定理知，存在x00,a,使得g(選)0,即f(x0)=f(x0a).四(14)證明不等式2x<sinx<xx0,2證作f(x)snx,x0,，則因x2xcosxsinxcosxz,、八f(x)22(xtanx)0,xx故f(x)在0,-上嚴格單調減少，而limf(x)1,limf(x)x2x0x兀2因此，在0,上，有2f(x),inx1,即2x<sinx<x.27tx五(14)設f(x)dx收斂，且f(x)在

3、a,上一致連續(xù)，證明limf(x)=ax0.證因f(x)在a,上一致連續(xù)，故0,0,使得當tja,且也t2|時，有|f(L)f(t2)|2，an令unf(x)dx,則由積分第一中值定理得，a(n1)anxna(n1),an,使得unf(x)dxf(xn).a(n1)因f(x)dx收斂，故級數Un收斂，從而Un0,即an1f(%)0,也即f(xn)0,故對上述的，存在N2,使得當nN時，|f(xn)|-.取XaN,則當xX時，因xa,a(k1),ak故存在惟一的k2,使得xa(k1),ak,易見kN,且xxk|,從而|f(x)|f(xk)|f(x)f(xk)|-六(14)設乂2口1斂.1Ix2n

4、n解.x2n1dxxlnx|S2nk1xkln(1七(14)設f(x)在0,1上連續(xù),1一1ln(1一),因S2n1S2n一，故只要證nk1n111一-)二1(4)收斂即可.kk12k*2八k2f(1)=0,gn(x)f(x)xn,n1,2,|,22證明gn(x)在0,1上一致收斂.1c八(12)設f(x)在0,1上連續(xù)，證明limnxnf(x)dx=f(1).n0一一,人ni1n證(1)(令tx,貝Un°xf(x)dx0tnf(tn)dt,(2)因f(x)在0,1上連續(xù)，故M3M10,使得|f(x)|M,x0,1,(3)1,則(4)(5)(6)otnf(tn)dt111tnf(tn

5、)dtaa1tn0f(1)因f(x)在0,1上連續(xù),1f(tn)dt111tnf(tn)aaMdt0f(1)dtMa3，11t”(t，f(1)dt11Mf(M)1t”。)tnf(1)f(1)dt1f(tn)f(1)dt1fatdt故f(X)在0,1上一致連續(xù)，故對上述的正數0,當X1,x20,1且|x1f(X1)f(X2)|X2時，有3(1a)1因limannmin3M(1,則存在正整數N,使得當a)nN時,1有an1(7)t(a,1)時，1tn11an,從而當nN時，有1f(tn)f(1)dtf(1)1tadt一33(8)11由(3)和(7)1知，當a1nN時，有0tnf(tn)dtf(1)

6、otnf(tn)dt111atnf(tn)dtf(1)九(12)設a1>0,an1=an+,證明liman證(1)要證lim-a=1,只要證limn.2nnan、2n2趣2n=11,即證lim(a21a2)222即只要證liman1an1,n(2n2)2n(2)因ani=an+工，故an1ana2ia；(anian)(anian)1-an1/an0,，1anan2an因此只要證limn1-2anan1anan0,即只要證limann_,1(3)由an1an0知，an單調增加，假如an有上界，則an必an11有極限a,由an1=an+°知，a=a+一,因此一0,矛盾.anaa這表

7、明an單調增加、沒有上界，因此liman.(證完)n十(28)計算下述積分：1.口，丫x2dxdy,其中D是矩形區(qū)域x1,0解記口1(x,y)|x|1,0y2,yx20D2(x,y)|x|1,0y2,0yx2,yx2dxdyDix2ydxdyD2yx2dxdy122x)dy1 x21122 、萬dx(xy)dydx(y1 01x2o14o12 (x2)dx2(2x2)dx3 131，13，134 2142，1x3dx兀1644cos30tdt(這里xV2sint)兀1641cos2t2dt-(x)dx-(2x)dx1313134412cos2t43tsin2t3 24 3九冗13821cos4t1JLdt2兀sin4t422、yzdydz(xz)ydzdxxydxdy,S其中S是曲面z2上y0的那部分正側.解記(x,y,z)|x2z24,y0(取下側)，V(x,y,z)|0y4x2z2,則VS22、yzdydz(xz)yd