p-q變換與d-q變換的理解與推導

1、p-q變換與d-q變換的理解與推導（2010.12.24）1. 120變換和空間向量120坐標系是一個靜止的復數(shù)坐標系。120分量首先由萊昂（Lyon）提出，所以亦成為萊昂分量。下面以電流為例說明120變換。ia、ib、ic為三相電流瞬時值，120坐標系與abc坐標系之間的關系為1：ic.2.式中a和a分別為定子繞組平面內(nèi)的a2=ej24:上式的逆變換為：-i1i2i02.二aiai2I。2,=aai2i0120和240空間算子，a=ej12,12i1=3(iaaibaic)12i2=(iaaibaic)=i1ioic是可以看出，120變換在形式上與矢量對稱分量變換很相似，不過這里的ia、ib

2、、瞬時值而不是矢量，i1、i2是瞬時復數(shù)值，所以120變換亦稱為瞬時值對稱分量變換由于是瞬時值之間的變換，所以120變換對瞬態(tài)（動態(tài)）和任何電流波形都適用，而矢量對稱分量法僅適用于交流穩(wěn)態(tài)和正弦波的情況。另外，由于a和a2是空間算子,所以iDi2是空間向量而不是時域里的矢量；所以瞬時值對稱分量和矢量對稱分量具有本質(zhì)上的區(qū)別。另外，從上式可知,用矩陣表示時，可寫成-ia1i2等于i1的共食值，所以i2不是獨立變量。C1204c一1二a21a=C1一11111,C11120二二3(1-1)a2lMMF:MagneticMotive?此變換矩陣為等幅變換。所謂等幅值變換，是指原三相電流形成的總的磁動

3、勢（Force）和變換后的電流形成的磁動勢MMF幅度一樣。？由于本文中120變換的目的是生成電壓電流的空間矢量。而電流矢量的定義為其單獨產(chǎn)生的磁動勢與原三相電流產(chǎn)生的磁動勢相等，所以此處從abc到120的變換應以磁動勢不變?yōu)闇蕜t，應選取等幅值變換。雖然等幅值變換雖然有明確的物理意義，但是如果對三相電壓、電流均進行等幅值變換，在計算功率的時候就會出現(xiàn)功率不守恒的情況。因此，相對于等幅值變換，還有等功率變換。所謂等功率變換，是指原三相系統(tǒng)中的功率和變換后的功率相等。對實線性空間，由于正交變換保持內(nèi)積不變，而功率恰好是電流、電壓矢量的內(nèi)積，只要將組成變換矩陣的特征向量規(guī)范化(單位化)，即可保證變換前

4、后的功率形式不變。iauaI令i=ib,u=Ub,變換矩陣為C。c1.Uc原三相系統(tǒng)中功率為：p=(u,i)=uC即為正交矩變換后的功率為：p=(Cu,Ci)=(Cu)TCi=uTCTCi=uT(CTC)i當CTC=E,即CT=C,可使變換前后功率不變，滿足此條件的在120分量中，由于負序分量i2不是一個獨立變量，所以可以把它省略；另外，零序分量是一個孤立系統(tǒng)，可以單獨處理；所以實用上通常僅需用到正序分量ii。為此定義定子電流的空間矢量iori，它等于ii的2倍，即iori=-(1ia+aib+a2ic)(1-2)3式中的1、a和a2分別表示a相、b相和c相軸線位置處的單位空間矢量。若零序電流

5、為0,&在a、b、c相軸線上的投影即為ia、ib、ic,如圖1-1所示。從式(1-2)可以看出，定子電流的空間矢量iori既表達了三相電流在時域內(nèi)的變化情況，又表達了三相繞組在空間的不同位置；就物理意義而言，它實質(zhì)上是代表定子三相繞組所組成的基波合成磁動勢。正交變換：變換矩陣C為正交矩陣，滿足CT=C圖1-1電流的空間向量電壓矢量同理可得。2. Park變換與Clarke變換(1) Clarke變換a坐標系是一個兩相坐標系，其中a軸與a相繞組軸線重合，解由超前a軸90電角，0序則是一個孤立的系統(tǒng)。以電流為例，說明abc與a坐標系之間的坐標變換。把圖中a和佛由線上的電流ia和ip分別投影到a、b

6、、c三相軸線上，再加上孤立的零序電流io,可得ia、ib和ic:ia=ia+i0L+上b=-2%21001.后入ic=-2展Tip0a【ibc1Cop0ipJ0b巾=C101一1,，.1.其中cm=-1/22011-12-1.2V3./21,%p0=20封2，3223-21_|_1/21/21/2_不難看出，此變換是等幅值變換，如果得到等功率變換，需要把1-T交化，變?yōu)檎痪仃?，使得CoP0=Cc00,得到等功率變換矩陣為CoP0進行單位正-12-1.2口2-73-2訪施(2) Park變換dq0坐標系是一種與轉子一起旋轉的兩相坐標系和零序系統(tǒng)的組合。若轉子為凸極，則d軸與凸極的中心軸線重合，

7、q軸超前d軸90電角，如圖1-3所示。dq0變換是從靜止的abc坐標系變換到旋轉的dq0坐標系的一種變換。圖1-3dq0變換以定子電流為例。設定子三相繞組中電流為ia、ib、ic，轉子d軸與定子a相繞組軸線之間夾角為0(電角)，dq0變換后定子電流的dq0分量分別為id、iq、把旋轉的d、q軸上的id、iq分別投影到定子a、b、c三相軸線上，再加上零序電流i0,可得到ia、ib和ic：ia=idcoseiqsine+i0人=idcos-2n/3)-iqsin(6-2n/3)+i0ic=idcos(日+2n/3)-iqsin(6+2n/3)+i0】a【ibc1dl=Cdq0Idiq:i01其中C

8、dq0cosu=cos（日-2n/3）_cos（e+2n/3）-sin二-sinC-2-/3）-sin（u2二/3）111cos?cos（二-2二/3）Cdq0-sin日.12-sin（i-2-/3）12cosG2二/3）-sin（0+2n/3）12式中Q=8t+e0,為轉子的角速度，線為0時刻時，d軸與a軸夾角，轉子旋轉時，Cdq0是一個時變陣。若e=0,即轉子不轉，且d軸與a軸重合時，dq0坐標系退化為“坐標系。實際上，由圖1-3可知，若10=0,就意味著。與圖1-2致。顯然上式不是正交矩陣，上述變換為等幅值變換，把變換矩陣單位正交化變?yōu)檎痪仃嘽osecos（e-2/3）cos（e+2n

9、/3）1Cdq0=J-sin9sin（H2n/3）sin（+2n/3）3_曲V?2弋而一則Cdq0=Cdq0T,此時變換將成為等功率變換。Clarke變換也是“變換，它變換后的量仍然是交流量，也就是說，它的值是隨著abc三相值的變化而變化的。它的主要用途是瞬時無功功率控制。dq量可以Park變換是交流坐標系變換為直流坐標系，一般在VSC(voltagesourceconverter)的控制中常用，它將交流變化的量變換到直流坐標系下，穩(wěn)態(tài)時保持恒定。VSC控制就是控制變換過的dq量從而對系統(tǒng)的電壓電流等參數(shù)進行控制的3O3.瞬時無功理論設三相電路各相電壓和電流的瞬時值分別為ea、eb、ec和ia

10、、ib、ic。為分析問2o圖1-4口一口系中電壓、電流矢量由下面的變換可以得到“、口兩相瞬時電壓%、ep和口、P兩相瞬時電流Q、ip。=Copeb爭一一ial(1-3)lb(1-4)-12-12此變換為等功率變換,標準正交化成可逆的轉移矩陣（正交陣）為V3/2-2.-12-12、32-v3/2LVV2匹a一1%/=加一1/21/2032-32不難推導出，120分量與a0分量之間具有下列關系i.1i1一布(Iji：)1i2二,6（二”：）以電流為例推導過程如下：丫i21。一laiC120=C120cl.01目-二6（巳Je：）(1-5)一1卜1a2a1一1v231/21=,6一110-10空間矢

11、量與-1/273120歷ij好|ip廨。一a汾量的關系為(1-6)在圖1-4所示的汽-P平面eori=2e=J|(ea+jep)匕矢量%、ep和匕、ip。分別可以合成為（旋轉）電壓矢量e和電流矢量i用于瞬時功率計算中的Clarke變換需要保證變換前后功率保持不變，因此應采用為等功率變換。一，2一一，系數(shù)為一，等功率變換矩陣系數(shù)為3電壓電流矢量的原始定義中采用的120變換為等幅值變換，Clarke等幅值變換矩陣J2。電壓電流矢量應用到等功率變換體系中應相1,3應改變系數(shù)，因此此處的等功率變換中應用的電壓電流矢量應為原始定義的電壓電流矢量的口倍：.2i=|eori=ia+ip=iW(1-7)式中e

12、、i為矢量e、i的模（黑體e、i為矢量，非黑體e、i為矢量的幅值），久、*分別為矢量e、i的相角?！径x1】三相電路瞬時有功電流ip和瞬時無功電流iq分別為矢量i在矢量e及其法線pq上的投影。即(1-8)7p=icos邛ia=isin中q式中cp=cpe*。aP平面中的i和i如圖1-4所示。epq【定義2】三相電路瞬時有功功率p為電壓矢量e的模e和三相電路瞬時有功電流ip的p乘積，三相電路6S時無功功率q為電壓矢量e的模e和三相電路瞬時無功電流iq的乘積，即，P=eip(1-9)=q=eiq把式(1-8)及中=e-Q代入式(1-9)中，并寫成矩陣形式得出p=eicos(e-9)=ei(cose

13、cossinesin)=e-.，e：i一：q=eisin(；e-？)=ei(sinecosl一cosesin)=ei一一e.i-(1-10)把式（1-3）、式（1-4）代入上式，可得出p、q對于三相電壓、電流的表達式ed=v231-12.32-12-.32&nT(文1一1/2-HI、刃。V3/2-熱2_iaP301-12ec032eb一11-1/21/2=|、-12eb-12ec3eb.G1T；1-12-12-x32J。百/2-v3；2-12-1/2-12TiaI1-12-121al-12eaeb-12ec-12q-12ebe3lbJc由于ea+eb+ec=0,所以上式可以寫為alb二eaia

14、ebibecicTH，0胤lia【I%I0-1.=LI.HR|_印_!”0用M:23；-1232-12-32eapTeb-10,f1-1/2J2/3I二J043/2=3ea-12-120-1V3/2-v32J00,32-V3/2j!icteaec】3.2-v32加2la-J312網(wǎng)2-320一2r,I,ip=-3/2ea3/2eb3/2ec3=2132eb-32ec-32ea32ec32ea-32eb131二-eb-eciaec-eaibea-ebic3由上述推導得到:j-p=eaiaebibecic_1R午+/t、1（1-11）,q=36eciaeceaibeaic就三相電路而言，其功率的瞬

15、時值實際上應該理解為：把瞬時值分別置于各軸成120的abc坐標系中，按有功無功理論進行數(shù)乘，有功是電流在電壓方向上的分量與電壓數(shù)乘，無功是電流在電壓法向上的分量與電壓數(shù)乘。顯然，從式（1-11）可以看出，三相電路瞬時有功功率就是三相電路的瞬時功率。4.派克變換與瞬時功率之間的關系當電網(wǎng)電壓三相對稱且波形無畸變時，設電網(wǎng)電壓角頻率為切，且A相電壓初相角為中0W（0,2n），E為電網(wǎng)電壓基波即電網(wǎng)電壓的有效值，則電壓瞬時值為|sin(，t，：0)eb91(1-12)=V2esin(cot+502n/3)sin(切t+中0+2冗/3)（1）第一種推導方式則將式（1-12）代入式（1-3）將得到:版1

16、一12一21一、/3卜J3/2_奔/2一sin(t0)sin(t+中0-2/3)sin(cct十中0十2n/3)=23Esin(t0)-12sin(t0一2二3)-12sin(t02二1-32sin(t一2二3)-32sin(t%2二3)sin(t)IL-cos(t0)(1-13)將式（1-13）代入式（1-10）計算出瞬時有功和無功為P&二sin(t0)=3E,.、q|-cos(t0)-cos(t1)i-sin(t%)i-：(1-14)對于式（1-14）中系數(shù)的理解為：原系統(tǒng)電壓幅值為無E,由于是等功率變換,由等幅值與等功率變換矩陣系數(shù)可知，“繇統(tǒng)中的電壓向量e的幅值，即e,為y32*面E=

17、V3E。因此由式（1-9）可知；PJpLiip；ip=e.|.1=3E.|.q一與式（1-14）對比可得ip!1q1小1兇-嗎psin(t，)IHcosft:0)-cos(t0)i：.-sin(t0)_ii(1-15)其中Cpqp為從坐標系到pq坐標系的轉移矩陣卜面推導以坐標到dq坐標的變換矩陣Cdq_opdq坐標逆時針以角頻率0同步旋轉，d軸與a軸的夾角為e=cot+仇，仇為t=0時刻d軸與a軸的夾角，60w(0,2n)，q軸位于在旋轉方向上比d軸超前90的位置上。從abc坐標到dq坐標的轉移公式為3=Cdq（1-16）aibc1其中abc坐標到dq坐標的轉移矩陣:2cos（t入）3|-si

18、n（t0）cos（t入-2二3）-sin（t入-2二3）cos（t%2二3）-sin（t+g+2n：/3）拓展為可逆轉移矩陣為cos（6t+備）Cdq0欄I-sin（ot+瓦）、3._M2cos（t%-2二.3）-sin（t入-2二3）12cost+或+2n/3）Isin（0t十仇十2冗/3）cos（航+80）Cdq0dcos（8t+02n/3cos（t+2冗/3-sin（t10）-sin（t入-2二.3）-sin（t02二3）由Clarke等功率逆變換得出下式:ia!ij=Cop0ip=：0一一10|1/2.3/231/2-包2代入式(1-16):id_2cos（t10）iqJ工3-sin（

19、t加）2cos（t10）cos（t/一2二3）-sin（；：；t口。-2：-3）cos（t入2二3）-sin（t入2二3）3-1/233；2|一）-1/2旨2_邛-得出:d】_C_cos3t+00)sint+%)1卜iqdq_2gp-sin(wt+00)cosgt+仇)_ip(1-17)顯然，由式（1-15）和式（1-17）對比可知：Cpq_cP與Cdq_cB并不相同，d、q與p、q變量，并不能直接等價。由式（1-15）可得豆ipI_一sin(cot+中0)%一兇一邠iqcosgt+%)-cos(t:0)ip-sin(-t)|jiq代入（1-17）得id|.=Cdq_CPCpq_CPq1ip!

20、:iq.sin(t-;:0)cos(t10)sin(-t10)|-sin(-t10)cos(t%)|-cos(-t:0)-cos(t0)ip-sin(tiq(1-18)_sin(：0-0)-cos(:0-0)ipid、iq為派克變換后得到的_Cos(0?l0)-sin(0-%)iq注意：式(1-18)中等式兩端的變量意義，等式左邊的d-q軸瞬時電流；而等式右邊的ip、iq為瞬時有功電流、瞬時無功電流。另外，這里pq再次重申式（1-18）中變量的意義如下：50為1=0時刻A相電壓的初相角，e0為t=0(1-19)時刻d軸與a軸的夾角。因此列出以下幾種特殊情況:Q=%*=%+冗/2,中=-3兀/2

21、平0=%n/2,Q=%+3n/2由此可見，派克變換后得到的d-q瞬時電流id、iq與瞬時有功電流、瞬時無功電流ip、iq的相對關系，取決于當前時刻電網(wǎng)電壓相角以及d軸與a軸之間相位的關系pq顯然，若在逆變器控制中利用d-q變換后得到的瞬時電流id、iq來分別控制有功和無功，則意味著Q與之間相差90。因此，在逆變器控制中，通過鎖相環(huán)PLL獲得0時刻a相電壓相角中0,從而決定Park變換矩陣中的日0值，以確保d軸與a電網(wǎng)電壓矢量方向相同，從而達到有功無功獨立控制的目的。在Simulink仿真平臺自帶的Park變換模塊中，默認0時刻a相電壓相角90為0,由PLL模塊獲得sinat、cosE,形成Cd

22、q0,進行Park變換，如圖1-5所示：PLLa3c_to_dqO圖1-5逆變器控制中Park變換部分的simulink模型圖中Vabc_filter為逆變器經(jīng)濾波器并網(wǎng)處的三相電壓，Vabc_filter_pu為其標幺值。(2)第二種推導方式對式(1-12)所表示的三相電壓進行派克變換，可得eb=V2ECdqsin(t-0)sin(cot+中02n/3)n(6t+%+2n/3)_2Ecos(t%)3_-sin(t%)cos(t%-2n.3)-sin(t4-2二3)cos(t入2二3)-sin(t22二3)|-sin儂t十90)1sin(at十中0一2冗/3)sin(t+中0+2n/3)將日=

23、應+80,中=以十90,代入上式計算得e2cossin:cos(u-2二3)sin(：P2二.3)cos(r2二.3)sin(:2二.3)-331sin日sin*sin(日2n/3)sin(中一2n/3)sin(6+2n/3)sin(中十2n/3_化簡可得:3(cossin中一sin8cos中)3-(sin日sin中+coscos中)=.3Ecos-sin-sincos一(sinsin:coscos)(1-20)=.匚和Icos”嘰同Clark變換同理，等功率變換到兩相dq坐標中，電壓幅值變?yōu)镴3E為方便計算，選d軸方向為電網(wǎng)電壓合成矢量的方向，則上式計算結果應為要得出此結果需使(1-21)s

24、in(平一8)=1(1-22)s=cosfp-日)=0滿足上述條件可將瞬時功率計算公式化簡為:P-edid+eqiqedid（1-23）q=-ediq+eqid=_ediq因此，在這種情況下，可以認為id相當于有功電流，iq相當于無功電流。為了清晰起見，在dq軸坐標平面上，繪制電壓電流相對關系如圖1-6所示。圖1-6dq系中電壓電流矢量為以示區(qū)別，此圖中有功、無功分量的下標用P、Q表示，dq分量用d、q表示。則電壓矢量與d軸的夾角為中e一9,電流矢量與d軸的夾角為中i-日。其中邛=中一中e。對于式（1-23）的推導，與式（1-10）的推導過程一樣，即由式（1-8）、式（1-9）,可得:p=ei

25、p=eicos（邛e-9）-（-日）】=eiCos件eH）cos（%日）+sin（邛e8）sin（*8）=qid+eqiqq=eiq=eisin（中e-6）-（i-9）=eibin（中e-8）cos優(yōu)-8）-cos（Pe-6）sin（cPi-0）=-ediq+eqid傳統(tǒng)理論中的有功功率、無功功率等都是在平均值基礎或向量的意義上定義的，它們只適用于電壓、電流均為正弦波時的情況。而瞬時無功功率理論中的概念，都是在瞬時值的基礎上定義的，它不僅適用于正弦波，也適用于非正弦波和任何過渡過程的情況。從以上各定義可以看出，瞬時無功功率理論中的概念，在形式上和傳統(tǒng)理論非常相似，可以看成傳統(tǒng)理論的推廣和延伸。5,無功的物理意義在正弦電路中由于儲能元件電感和電