第1章 利息的基本概念0

1、金融數(shù)學(xué)考情分析金融數(shù)學(xué)考情分析1考查內(nèi)容考查內(nèi)容（1）利息理論（ 分?jǐn)?shù)比例約為 30%）（2）利率期限結(jié)構(gòu)與隨機(jī)利率模型 （ 分?jǐn)?shù)比例 16% ）（3）金融衍生工具定價(jià)理論 （ 分?jǐn)?shù)比例 26% ）（4）投資理論 （ 分?jǐn)?shù)比例 28% ）2考試方式考試方式考試采用閉卷方式進(jìn)行，題型為客觀題（一般30題單項(xiàng)選擇），考試時(shí)間為3小時(shí)，滿(mǎn)分100分，最后按10分制計(jì)，6分以上（包括6分）為及格。3講解內(nèi)容講解內(nèi)容（1）結(jié)合最新大綱講解知識(shí)點(diǎn)（2）結(jié)合經(jīng)典例題及歷年考試真題剖析?？伎键c(diǎn)4指定教材及推薦教輔指定教材及推薦教輔（1）指定參考書(shū)：金融數(shù)學(xué)，徐景峰主編， 楊靜平主審，中國(guó)財(cái)政經(jīng)濟(jì)出版社，20

2、10年（2）推薦教輔：金融數(shù)學(xué)過(guò)關(guān)必做1000題（含歷年真題），圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)主編，2011年第一篇第一篇利息理論利息理論第第1章利息的基本概念章利息的基本概念【考試要求【考試要求】1.1利息度量利息度量實(shí)際利率單利和復(fù)利實(shí)際貼現(xiàn)率名義利率和名義貼現(xiàn)率利息力1.2利息問(wèn)題求解利息問(wèn)題求解價(jià)值等式投資期的確定未知時(shí)間問(wèn)題未知利率問(wèn)題【要點(diǎn)詳解【要點(diǎn)詳解】1.1利息度量利息度量1實(shí)際利率實(shí)際利率（1）本金：每項(xiàng)業(yè)務(wù)開(kāi)始時(shí)投資的金額。（2）積累值（或終值）：業(yè)務(wù)在一定時(shí)間后回收到的總金額。（3）積累函數(shù)a（t）：是指0時(shí)刻的本金1在時(shí)刻t的積累值。顯然，a（0）=1，且a（t）通常為單增函數(shù)。（4）總量

3、函數(shù)A（t）：是指本金為k的投資在時(shí)刻t0時(shí)的積累值。顯然，A（t）=ka（t）。（5）折現(xiàn)函數(shù)a-1 （t）：積累函數(shù)a（t）的倒數(shù)。特別地，把一期折現(xiàn)因子a-1（1）簡(jiǎn)稱(chēng)為折現(xiàn)因子，并記為v。（6）現(xiàn)值（或折現(xiàn)值）：是指為在t期末得到某個(gè)積累值，而在開(kāi)始投資的本金金額。顯然，a-1 （t）是在t期末支付1的現(xiàn)值。（7）把從投資日起第n個(gè)時(shí)期所得到的利息金額記為In，則：注意：In是指一個(gè)時(shí)間區(qū)間上所得利息的量，而A（n）則是在某一特定時(shí)刻的積累量。( )(1)11.1nIA nA nn為整數(shù)（8）實(shí)際利率對(duì)于一個(gè)度量期：某一度量期的實(shí)際利率，是指該度量期內(nèi)得到的利息金額與此度量期開(kāi)始時(shí)投資

4、的本金金額之比。通常用字母i來(lái)表示實(shí)際利率。對(duì)于多個(gè)度量期：把從投資日算起第n個(gè)度量期的實(shí)際利率記為in，則：【例題【例題1.1】已知A（t）=t2+2t+3，要使in10%，則n至少等于（）。2008年春季真題A18B19C20D21E22【答案【答案】D【解析【解析】由已知A（t）=t2+2t+3，得：令in10%，得：即n220n80，解得：n20.39，故取n=21。 1(1)(0)(1)(0)1.2(0)(0)(0)IaaAAiaAA1( )(1)11.3(1)nnnA nA nIinAA n為整數(shù)2( )(1)21(1)(1)2(1) 3nA nA nniA nnn，22110%(

5、1)2(1) 3nnn，2單利和復(fù)利單利和復(fù)利（1）單利如果一單位本金在t時(shí)的積累值a（t）=1+it，那么就說(shuō)該比投資以每期單利i計(jì)息，并將這樣產(chǎn)生的利息稱(chēng)為單利。（2）復(fù)利如果一單位本金在t時(shí)的積累值a（t）=（1+i）t，那么就說(shuō)該筆投資以每期復(fù)利i計(jì)息，并將這樣產(chǎn)生的利息稱(chēng)為復(fù)利。（3）以每期單利i計(jì)息時(shí)，第n期的實(shí)際利率為顯然，常數(shù)的單利意味著遞減的實(shí)際利率。以每期復(fù)利i計(jì)息時(shí)，第n期的實(shí)際利率為顯然，常數(shù)的復(fù)利意味著常數(shù)的實(shí)際利率?！纠}【例題1.2】某人初始投資額為100，假定年復(fù)利為4%，則這個(gè)人從第6年到第10年的5年間所賺利息為（）。2008年春季真題A26B27C28D2

6、9E30【答案【答案】A【解析【解析】從第6年到第10年的5年間所賺利息為：100（1+0.04）10（1+0.04）5=26( )(1)1.4(1)11na na niia ni n( )(1)1.5(1)na na niia n 3實(shí)際貼現(xiàn)率實(shí)際貼現(xiàn)率（1）某一度量期的實(shí)際貼現(xiàn)率：是指該度量期內(nèi)取得的利息金額與期末的投資可回收金額之比。通常用字母d來(lái)表示實(shí)際貼現(xiàn)率。（2）對(duì)于有多個(gè)度量期的情形，可以分別定義各個(gè)度量期的實(shí)際貼現(xiàn)率，令dn為從投資日算起第n個(gè)時(shí)期的實(shí)際貼現(xiàn)率，則（3）三個(gè)重要關(guān)系實(shí)際利率i與實(shí)際貼現(xiàn)率d的關(guān)系：實(shí)際貼現(xiàn)率d與實(shí)際利率i的關(guān)系：貼現(xiàn)率d與折現(xiàn)因子v的關(guān)系：d=i

7、v1(1)(0)(1)(0)1.6(1)(1)(1)IaaAAdaAA( )(1)11.7( )nnnA nA nIdnAA n為整數(shù)1did1idi（4）單貼現(xiàn)、復(fù)貼現(xiàn)對(duì)于單貼現(xiàn)，第n期的實(shí)際貼現(xiàn)率為：顯然，常數(shù)的單貼現(xiàn)率意味著單增的實(shí)際貼現(xiàn)率。對(duì)于復(fù)貼現(xiàn)，第n期的實(shí)際貼現(xiàn)率為：顯然，常數(shù)的復(fù)貼現(xiàn)率意味著常數(shù)的實(shí)際貼現(xiàn)率?！纠}【例題1.3】已知年利率為9%，為了在第三年末得到1000元，分別用單利和復(fù)利進(jìn)行計(jì)算，在開(kāi)始時(shí)必須投資（）元。A785.0；768.0B786.2；770.2C787.4；772.2D788.6；774.3E789.7；776.5【答案【答案】C【解析【解析】按單利

8、計(jì)算：按復(fù)利計(jì)算： 111( )(1)( )1111.8111na na nda nndnddndnd(1)11( )(1)1.9( )1nnnndda na ndda nd 110001000(3)787.41 0.09 3a（元）3) 1000772.181.09av（元）。4名義利率與名義貼現(xiàn)率名義利率與名義貼現(xiàn)率（1）定義：在一個(gè)度量期中利息支付不止一次或在多個(gè)度量期利息才支付一次，稱(chēng)相應(yīng)的一個(gè)度量期的利率和貼現(xiàn)率為“名義”的。記i（m）為每一度量期付m次利息的名義利率，d（m）為每一度量期付m次利息的名義貼現(xiàn)率。（2）三個(gè)重要關(guān)系名義利率i（m）與實(shí)際利率i

9、之間的關(guān)系：名義貼現(xiàn)率d（m）與實(shí)際貼現(xiàn)率d之間的關(guān)系：名義利率i（m）與名義貼現(xiàn)率d（m）之間的關(guān)系：【例題【例題1.4】假定名義利率為每季度計(jì)息一次的年名義利率6%，則1000元在3年末的積累值為（）元。2008年春季真題A1065.2B1089.4C1137.3D1195.6E1220.1【答案【答案】D【解析【解析】1000元在3年末的積累值為：( )11mmiim ( )11mmddm1( )( )11mmidmm126%1000 11195.64AV【例題【例題1.5】已知在未來(lái)三年中，銀行第一年的實(shí)際利率為7.5%，第二年按計(jì)息兩次的名義利率12%計(jì)息，第三年按計(jì)息四次的名義利率

10、12.5%計(jì)息，某人為了在第三年未得到500000元的款項(xiàng)，第一年初需要存入銀行多少？（）2011年春季真題A365001B365389C366011D366718E367282【答案【答案】C【解析【解析】設(shè)第一年初需存入銀行X元，則得：X=366010.853?！纠}【例題1.6】已知，則m=（）。A30B33C35D37E40【答案【答案】A【解析【解析】由已知條件，得：又由，可得：故m=30。24(10.075)(10.12/2) (10.125/4)500000X(5)( )(6)15116mddmd5 6(5)30(5)630( )56 5(6)(6)115151111166mdd

11、idimdid ( )11mmdim 30( )( )11mmmddmm5利息力利息力（1）定義：對(duì)利息在各個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的度量稱(chēng)為利息力。即定義為t時(shí)刻的利息力。由t的定義可知，t為t時(shí)每一單位資金的變化率。（2）應(yīng)用：（3）在利息力為常數(shù)的情況下，與i的關(guān)系為： ( )( )tA ta tA ta t0( )trdra teln 1lniv【例題【例題1.7】已知0時(shí)刻在基金A中投資一元到t時(shí)刻的積累值為1.5t+1，在基金B(yǎng)中投資一元到3t時(shí)刻的積累值為9t2-3t+1元，假設(shè)在t時(shí)刻基金B(yǎng)的利息力為基金A的利息力的兩倍，則0時(shí)刻在基金B(yǎng)中投資10000元，在7t時(shí)刻的積累值為（）。2011

12、年春季真題A566901B567902C569100D570000E570292【答案【答案】D【解析【解析】由題意知，又因?yàn)榧唇獾胻=8/7，因此 221 51393112ABBBAa ttattta ttt t t( ).( )( )( )( )=+=-+=-+=1 51 51AAAa t ta tt( ).( )( ).=+2211BBBa tt ta ttt( )( )( )-=-+22131 511tttt.-=+-+71000081000057570000BBAta()( )=【例題【例題1.8】已知 ，則第10年的d （2）等于（）。2008年春季真題A0.1671B0.1688

13、 C0.1715D0.1818E0.1874【答案【答案】D【解析【解析】由已知條件得：，所以，又，故?！纠}【例題1.9】己知t=abt，其中a0，b0為常數(shù)，則積累函數(shù)a（t）為（）。2008年春季真題【答案【答案】E【解析【解析】0221( )1td tta tet2102(10)(9)(9)1011(10)(10)11aaadaa 22101(1)2dd12210102 112 10.181811dd(-1)/ln(1)/ln(1)/ln(-1)/ln(-1)/lnABCDEtttttb aba baa bba baa bbeeeee 0(1)lntrtab dra bba tee=1

14、2tt【例題【例題1.10】甲基金以月度轉(zhuǎn)換12%的利率積累，乙基金以利息力t=t/6積累，期初存入兩支基金相等的金額，則兩支基金金額相等的下一個(gè)時(shí)刻為（）。2008年春季真題A1.4328B1.4335C1.4362D1.4371E1.4386【答案【答案】A【解析【解析】不妨設(shè)期初存入的金額為1，則甲基金的積累值為：乙基金的積累值為：由S1（t）=S2（t），得：，解得：t=1.4328。121210.12)11.0112ttS t（206122)trtdxStee（212121.01tte【例題【例題1.11】基金A在利息力函數(shù)t=a+bt下積累，基金B(yǎng)在利息力函數(shù)t=g+ht下積累，在

15、t0和tn時(shí)，基金A與基金B(yǎng)價(jià)值相等。已知ag0，hb0，計(jì)算n=（）?！敬鸢浮敬鸢浮緾【解析【解析】tn時(shí)，基金A的積累值為：，基金B(yǎng)的積累值為：，已知tn時(shí)基金A與基金B(yǎng)價(jià)值相等，即：解得：。2ABC2DE2agagh bagh bh bh bh bagag2012na bt dtanbnAee2012ng ht dtgnhnBee221122anbngnhn2 agnh b1.2利息問(wèn)題求解利息問(wèn)題求解1價(jià)值等式價(jià)值等式通常，一個(gè)簡(jiǎn)單的利息問(wèn)題包括以下四個(gè)基本量：（1）最初投資的本金；（2）投資時(shí)期的長(zhǎng)度；（3）利率；（4）本金在投資期末的積累值。如果已知其中的任何三個(gè)，就可以建立一個(gè)價(jià)

16、值等式，由此等式確定第四個(gè)量?！纠}【例題1.12】甲基金按6%的年利率增長(zhǎng)，乙基金按8%的年利率增長(zhǎng)，在第20年的年末兩個(gè)基金之和為2000，在第10年末甲基金是乙基金的一半，則第5年年末兩基金之和為（）。2008年春季真題A652.86B663.24C674.55D682.54E690.30【答案【答案】E【解析【解析】設(shè)甲、乙基金分別為P、R，則有：解方程組，得：故第5年年末兩基金之和為：20201010(1 0.06)(1 0.08)2000(1 0.082 (1 0.06)PRRP）182.2303.30PR。551 0.061 0.08690.30PR【例題【例題1.13】某賬戶(hù)在

17、2008年1月1日有一筆存款，4月1日取走50元，7月1日存入100元，9月1日存入30元，到了2009年1月1日，賬戶(hù)內(nèi)金額為1051元，該年度的基金收益率為1.12%。則2008年1月1日的存款及2008年度獲得的利息分別為（）元。A955；10B960；11C965；12D970；13E975；14【答案【答案】B【解析【解析】設(shè)2008年1月1日的存款為A元，又i=0.0112，由題意，得：解之，得：A=959.95960；故2008年度獲得的利息為：105196010030+50=11（元）。964121212150 1100 130 11051Aiiii 2投資期的確定投資期的確定

18、（1）年數(shù)：在實(shí)際問(wèn)題中常常會(huì)遇到投資時(shí)期不為整數(shù)個(gè)度量期的情況，通常定義：由于一般在投資期不足一個(gè)度量期的情況下，通常使用單利來(lái)計(jì)息，因此計(jì)算利息的基本公式可表示為：利息=金額利率年數(shù)（2）對(duì)國(guó)際金融領(lǐng)域來(lái)說(shuō)，目前常用的方法有以下三種：嚴(yán)格單利法（英國(guó)法）。計(jì)算公式為：常規(guī)單利法（歐洲大陸法，常記為“30/360”）。計(jì)算公式為：天數(shù)=360（Y2Y1）30（M2M1）（D2D1）（1.10）其中：Y1為第一日期的年份；Y2為第二日期的年份；M1為第一日期的月份；M2為第二日期的月份；D1為第一日期的日期；D2為第二日期的日期。銀行家規(guī)則（歐洲貨幣法，常記為“實(shí)際/360”）。計(jì)算公式為：投

19、資期天數(shù)年數(shù)基礎(chǔ)天數(shù)實(shí)際投資天數(shù)投資期的時(shí)間長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)年份的一年實(shí)際總天數(shù)1.11360天數(shù)投資期的時(shí)間長(zhǎng)度3601.12實(shí)際投資天數(shù)投資期的時(shí)間長(zhǎng)度【例題【例題1.14】王女士在2008年3月13日存入1000元，于2008年的11月27日取出，利率為單利8%。則分別按英國(guó)法和銀行家規(guī)則計(jì)算其利息金額為（）元。A53.8；54.6B54.8；55.6C55.8；56.6D56.2；57.6E56.8；57.6【答案【答案】E【解析【解析】按英國(guó)法計(jì)算：天數(shù)=31+30+31+30+31+31+30+31+14=259（天），年數(shù)=259/365=0.71。故利息金額為：I1=10008%0.7

20、1=56.8（元）；按銀行家規(guī)則計(jì)算：天數(shù)=259天，年數(shù)=259/360=0.72。故利息金額為：I2=10008%0.72=57.6（元）。3未知時(shí)間問(wèn)題未知時(shí)間問(wèn)題（1）對(duì)于只有一次付款的未知時(shí)間問(wèn)題，常用的方法有：使用計(jì)算機(jī)或具有指數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的計(jì)算器，此方法是最簡(jiǎn)單和最有效的；利用復(fù)利函數(shù)表；級(jí)數(shù)展開(kāi)法；對(duì)整數(shù)時(shí)期用復(fù)利，對(duì)非整數(shù)時(shí)期用單利近似。（2）不同時(shí)刻的多次付款情形，可以利用等時(shí)間法：設(shè)在t1，t1，tn時(shí)分別付出s1，s1，sn，在等時(shí)間法下的t近似為：【例題【例題1.15】在第n年末付款n，第2n年末付款2n，第mn年末付款mn。則按等時(shí)間法確定的t的近似值為（）?！敬鸢复鸢浮緾【解析【解析】 11 12 21211.13nk kn nknnkks tsts ts ttssss2211 2121ABC263211 21DE36mn mmn mmnmnmmnmm 222222221 21 6211221 231 2nnmnm mmnmnmtnnnnmnmm m 4未知利率問(wèn)題未知