2019-2020學年湖南永州高二上學期期末數(shù)學試題解析版

1、2019-2020學年湖南省永州市高二上學期期末數(shù)學試題一、單選題1 .已知a,bR,i是虛數(shù)單位，若ai與2bi互為共軻復數(shù)，則ab()A.0B,1C,2D,3【答案】D【解析】由條件利用共軻復數(shù)的定義求得a,b的值，即可得到ab的值.【詳解】因為ai與2bi互為共軻復數(shù)，則a2,b1,所以ab3,故選：D.【點睛】該題考查的是有關共軻復數(shù)白概念，屬于基礎題目2,已知命題p：xR,sinx,1,則A.p:xr,sinxTb.p:xr,sinxTC.p:xR,sinx1d,p:xr,sinx1【答案】C【解析】試題分析：因為全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題，所以，只需將原命題

2、中的條件全稱改特稱，并對結(jié)論進行否定，故答案為C.【考點】全稱命題與特稱命題的否定.rrrr3.已知向量a(1,0,1),b(1,1,k),且ab，則k的值是()A.0B,1C,2D,3【答案】B【解析】利用向量垂直，它們的數(shù)量積為0,得到關于k的等量關系式，求得結(jié)果.【詳解】一，rrrr因為ab，所以ab0，即1101(1)k0,解得k1,故選：B.該題考查的是有關向量的問題，涉及到的知識點有向量垂直的條件，向量數(shù)量積坐標公式，屬于基礎題目.4.已知函數(shù)f(x)ax22019,且f4,則a的值為()A.2019B. 2015C. 2【答案】C【解析】首先對函數(shù)求導，之后利用f'(1)

3、4得到a所滿足的等量關系式，求解即可得結(jié)果.【詳解】2因為f(x)ax2019,所以f'(x)2ax,由f'(1)4,得2a4,求得a2,故選：C.【點睛】該題考查的是有關利用導數(shù)求參數(shù)值的問題，涉及到的知識點有求導公式，屬于基礎題目.5.設雙曲線的焦點在x軸上，其漸近線為yJ2x,則該雙曲線的離心率為()A.乏B.石C.2D.75【答案】B【解析】根據(jù)雙曲線的簡單性質(zhì)和漸近線方程即可求出結(jié)果【詳解】因為雙曲線的焦點在x軸上，其漸近線為yJ2x,所以-72,即b72a,c4ab26a，a所以該雙曲線的離心率為ec.3,故選：B.該題考查的是有關雙曲線的簡單性質(zhì)的問題，涉及到的知

4、識點有雙曲線的漸近線方程,雙曲線的離心率，屬于簡單題目.1.35.26.一質(zhì)點做直線運動，經(jīng)過t秒后的位移為S-1-t4t,則速度為零的時刻是32（）A.1秒末B,4秒末C.1秒與4秒末D.0秒與4秒末【答案】C【解析】求出位移S的導數(shù)即質(zhì)點運動的瞬時速度，令導數(shù)為0,求出t的值即得到速度為0的時刻.【詳解】1 3520因為St-t4t,所以S't25t4,3令t25t40,解得t1或t4,所以速度為零的時刻是1秒末或4秒末，故選：C.【點睛】該題考查的是有關導數(shù)在物理中的應用，要明確位移的導數(shù)為速度，屬于基礎題目.2 一17.已知拋物線yax2的焦點為0,-，則a的值為（）4A.1B

5、.1C.1D.22【答案】B【解析】利用拋物線的焦點坐標求解即可.【詳解】由yax2可得x2-y,a21拋物線yax的焦點為0,二，4一、，11所以,所以a1,4a4故選：B.【點睛】該題考查的是有關拋物線的問題，涉及到的知識點有根據(jù)拋物線的焦點坐標求參數(shù)，在解題的過程中，注意首先將拋物線的方程化為標準形式，屬于基礎題目8.如圖所示，在長方體ABCDA1BQ1D1中，M為AG與BQ的交點.若器：，ADvv,aA1v，則下列向量中與BMv相等的向量是（）A,B.1Vv2C.1V1bv22【解析】即可【詳解】連接AC,BD交于點ujuu,BM1uuur-BD2uuuurNMuurADuuuABuu

6、rAA，代入整理由題，連接AC,BD交于點N,uuu1uuruuur1uur則BMBDNMAD22umABuuirAA1b0BiBI*I故選：A【點睛】本題考查向量的線性運算，考查空間向量，屬于基礎題9.若函數(shù)f(x)ax有大于零的極值點，則(B.a1C.a【解析】f'(x)根據(jù)函數(shù)f(x)exax有大于零的極值點，可得ex即可得出結(jié)果.f'(x)exa,因為函數(shù)f(x)exax有大于零的極值點,所以a所以實數(shù)a的取值范圍是a1,故選：B.【點睛】該題考查的是有關導數(shù)的應用的問題，涉及到的知識點有根據(jù)極值點的符號判斷參數(shù)的取值范圍，屬于簡單題目.10.九章算術中，將底面為長方形

7、且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬.在如圖所示的陽馬PABCD中，側(cè)棱PD底面ABCD,且PDCDAD,點E是PC的中點，則PD與BE所成角的余弦值()a.旦b.e36【答案】D【解析】首先取DC中點F,連接EF,能夠得到FEB是PD與BE所成角，設出邊長PDCDAD2a,利用勾股定理求得BFJ5a,BEJ6a,在直角三角形中,求得cosFEB6,得到結(jié)果6【詳解】取DC中點F,連接EF,因為E為PC中點，所以EF/PD,所以FEB是PD與BE所成角，設PDCDAD2a,則EFa,BF5a,BE.a2-5a26a，所以cosFEBEF-a,BE；6a6故選：D.【點睛】該題考查的是有關異

8、面直線所成角的余弦值的問題，涉及到的知識點有異面直線所成角的概念，在三角形中求角的余弦值，屬于簡單題目22XV11.已知點P是橢圓1(xy0)上的動點，F(xiàn)i、F2為橢圓的左、右焦點，O1612uuuuruuLruuuu為坐標原點，若M是F1PF2的角平分線上的一點，且F1MMP0,則|OM|的取值范圍是()A.(0,2)B.(0,百)C.(0,4)D.(2,273)【答案】A【解析】延長PF?與F1M交于點G,由條件判斷PG為等腰三角形，OM為F1F2G-1一L，rPF2-2a2PF2,再根據(jù)PF2的值域，求得211的中位線，故OM=-F2G-PF122uuuuOM的最值，從而得到結(jié)果.如圖,

9、延長PF2與F1M交于點G,則PM是F1PF2的角平分線,uuiuruuir由F1MMP0可得F1M與pm垂直，可得PEG為等腰三角形，故M為FiG的中點,由于O為F1F2的中點，1則OM為FiF2G的中位線，故OM=F2G,2由于PFiPG,所以F2GPFiPF2,11所以OM=-PF1PF2-2a2PF2,22問題轉(zhuǎn)化為求PF?的最值，而PF2的最小值為ac,PF2的最大值為ac,即PF2的值域為ac,ac,故當PF2ac或PF2ac時，OM|取得最大值為OM2a2PF212a2(ac)cVa2b2，16122,22當PF2a時，P在y軸上，此時M與O重合，OM|取得最小值為0,又由題意，

10、最值取不到，uuuu所以OM的取值范圍是(0,2),故選：A.【點睛】該題考查的是與橢圓相關的問題，涉及到的知識點有橢圓的定義，橢圓的性質(zhì)，角分線的性質(zhì)，屬于較難題目.12.定義在0,上的函數(shù)f(x),f2(x)是它的導函數(shù),且恒有f(x)f(x)tanx成,2f3B.f(1)2fsin16D.、.3fc.、.2f把給出的等式變形得到f'(x)sinxf(x)cosx0,由此聯(lián)想構造輔助函數(shù)g(x)上(&,由其導函數(shù)的符號得到其在(0,一)上為增函數(shù)，則g(-)g(一),整sinx263理后即可得到答案【詳解】因為x(0,),所以sinx20,cosx0,f(x)f(x)tan

11、x,得f(x)cosxf'(x)sinx,f'(x)sinxf(x)cosx0,g(x)g'(x)sinx2f'(x)sinxf(x)cosx一2sinx0,所以函數(shù)f(x)g(x)-在xsinx(0,-)上為增函數(shù),2則g(一)4sin4sin3，所以，22f(3).三【即、3f42*J2f3g(6)g,即f(6)sin6f(1)所以sin1f(6)12功，即f(1)2fsin16sinl,g(6)g(-)，即4f(6)sin6f(R,所以sin4f(4),即.2f(-)6g(6)g(-),即f(6)sin一6f(3)1,所以sin3f()_彳，即73f(一)

12、.36Tf(一),3故選:A.該題考查的是有關通過構造新函數(shù)，根據(jù)題意利用導數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，屬于較難題目二、填空題13.已知復數(shù)zabi(a,bR),其中i是虛數(shù)單位，若復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點在直線yx1上，則ab的值等于.【答案】1【解析】復數(shù)zabi(a,bR),復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點(a,b)在直線yx1上，所以點的坐標滿足直線的方程，有ba1,從而求得ab1,得到結(jié)果【詳解】復數(shù)zabi(a,bR),復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點（a,b）在直線yx1上，所以ba1,所以ab1,故答案為：1.【點睛】該題考查的是有關復數(shù)的問題，涉及到的知識點有復數(shù)在

13、復平面內(nèi)對應的點，點在直線上的條件，屬于基礎題目.2214.與雙曲線上1有公共焦點，且長軸長為8的橢圓方程為.2722167【解析】首先根據(jù)題中所給的雙曲線的方程寫出其焦點坐標，從而確定橢圓的焦點所在軸并且得到c3,再根據(jù)橢圓的長軸長，得到a4,利用橢圓中a,b,c的關系，求得b27,進而得到橢圓的方程.【詳解】22因為橢圓與雙曲線工1有相同白焦點（±3,0）,27所以c3,因為長軸長為8,所以2a8,a4,所以b2a2c21697,22所以橢圓的方程為1,16722故答案為：1.167【點睛】該題考查的是有關橢圓標準方程的求解問題，涉及到的知識點有雙曲線的焦點坐標，橢a的取圓中a,

14、b,c的關系，屬于基礎題目.15 .已知p:a1xa1,q:ex1,若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)值范圍是.【答案】（，1【解析】首先通過解不等式求得q,進而求得q對應的結(jié)果，之后將p是q的充分不必要條件，轉(zhuǎn)化為兩集合端點值間的關系，列出關于a的不等式組求解.【詳解】由ex1解得x0,所以q：x0,因為p是q的充分不必要條件，所以（a1,a1）（,0,所以有a10,求得a1,所以實數(shù)a的取值范圍是（，1,故答案為：（，1.【點睛】該題考查的是充分必要條件的判定及其應用，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，屬于基礎題目.16 .已知拋物線y22px（p0）,直線l過焦點F且與拋物線交于M、N（點N在x軸的上

15、方，點M在x軸的下方，）點E在x軸上且E在F右側(cè)，若|NF|EF|NE|,且VMNE的面積為12向，則p的值為.【答案】3【解析】首先根據(jù)題意，得到NFE為等邊三角形，得到直線NF的傾斜角為一，設3出直線MN的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，消元得到3x25px手0,解方程求得交點的橫坐標，求得NFFE3p2p,MN8P，結(jié)合正三角形的特223征，求得三角形的高，利用三角形的面積公式求得結(jié)果【詳解】根據(jù)題意，|NF|EF|NE|,所以NFE為等邊三角形，所以直線NF的傾斜角為一,33p25px0,4LL3PpeFE2p,22直822P4Jp43312.3,設直線MN的方程為yJ3(xE),2r22與

16、y2px(p0)聯(lián)立可得3x解得xi,X23p,所以NF628pMNx1x2p,31所以SMNE-MNFEsin602解得p3,故答案為：3.該題考查的是有關拋物線的問題，涉及到的知識點有拋物線的定義、標準方程和幾何性質(zhì)的綜合應用，考查數(shù)學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，屬于中檔題目三、解答題2-2_-17.已知p:x1,1,xa0,q:xoR,xo2axoa20(1)若p為真命題，求a的取值范圍；(2)若p為假命題，q為真命題，求a的取值范圍.【答案】(1)(,0；(2)2,.【解析】(1)根據(jù)已知條件p是真命題，則只需函數(shù)的最小值大于等于0,據(jù)此可求得a的取值范圍；(2)先求出簡單命題為真命題時

17、對應的參數(shù)的取值范圍，最后借助于兩個命題的真假，得到對應的條件，最后求得結(jié)果.2(1) .x1,1,xa0ax2恒成立a0,所以a的取值范圍是(，0；(2) .q為真命題，04a24(a2)0a2或a1又Qp為假命題，由(1)可得a0綜上，a的范圍為2,【點睛】該題考查的是有關簡易邏輯的問題，涉及到的知識點有根據(jù)命題為真時確定參數(shù)的取值范圍，根據(jù)兩個命題的真假求參數(shù)的范圍，屬于簡單題目18.已知拋物線C:x22py(p0)上的點M(m,1)到焦點F的距離為2.(1)求m,p的值；(2)若m0,求過點M且與C只有一個公共點的直線方程.【答案】(1)m2.p2(2)yx1或x2【解析】(1)可得拋

18、物線的準線為y,由點M(m,1)到焦點的距離轉(zhuǎn)化為其到準線的距離，列出等式求得p的值，將點M(m,1)的坐標代入拋物線方程求得m的值,得到結(jié)果；(2)當斜率存在時，寫出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，令判別式等于零求得結(jié)果，當斜率不存在時，寫出方程，得到最后結(jié)果.【詳解】(1)由拋物線的定義得，1E2,解得p2,2所以拋物線的方程為x24y,代入點M(m,1),可解得m2.(2)當斜率存在時，設過點M(2,1)的直線方程為y1k(x2),x24y22聯(lián)乂，消兀得x24kx8k40,16k232k160ykx2k1得k1,所以直線方程為yx1當斜率不存在時，x2所以過點M且與C只有一個公共點的直線方

19、程為yX1或x2【點睛】該題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)與直線與拋物線的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題目.13219.已知函數(shù)f(x)XX3xa.3(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)有3個零點，求a的取值范圍.【答案】(1)f(x)在(，1)上單調(diào)遞增；在(1,3)上單調(diào)遞減；在(3,)上單調(diào)遞一5一減(2)(-,9)3【解析】(1)求導數(shù)f(x),在定義域內(nèi)解不等式f(x)0、f(x)0可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)由(1)可知f(x)的單調(diào)性，求得f(x)的極值，由題意可得極值、端點處函數(shù)值的符號，解不等式即可.【詳解】2一_(1)Qf(x)x2x3,令f(x)0,得x1或3

20、可知，x(,1)時，f(x)0；x(1,3)時，f(x)0；x(3,)時，f(x)0；故，f(x)在(，1)上單調(diào)遞增；在(1,3)上單調(diào)遞減；在(3,)上單調(diào)遞減(2)令f(x)0,有a1x3x23x3132-2設g(x)-xx3x,g(x)x2x3,3由(1)得g(x)在(，1)上單調(diào)遞增；在(1,3)上單調(diào)遞減；在(3,)上單調(diào)遞減5g(1)3,g(3)9,5結(jié)合g(x)的圖像可知，yg(x)與ya有3個交點，故9a-35所以a的范圍為(-,9).該題考查的是有關導數(shù)的應用問題，涉及到的知識點有利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，將函數(shù)零點的個數(shù)轉(zhuǎn)化為極值的符號，最后確定參數(shù)的取值范圍，屬于簡單題

21、目20.如圖，在正方形ABCD中，E,F分別是BC,AD的中點，將正方形ABCD沿著線段EF折起，使得DFA60,設G為AF的中點.(1)求證：DG平面ABEF;(2)求二面角CBFE的余弦值.【答案】(1)見解析(2)獨919【解析】(1)利用線面垂直的判定定理，證得EF，平面ADF,從而得到EFDG,再利用等邊三角形的特征，得到AFDG,之后利用線面垂直的判定定理證得DG平面ABEF;(2)利用GA,GQ,GD兩兩垂直，建立空間直角坐標系，設AB4,寫出相應點的坐標，求得兩個平面的法向量，之后求出兩個法向量所成角的余弦值，進而得到二面角的余弦值.【詳解】證明：(1)E,F分別為正方形ABC

22、D的邊BC,AD的中點，.EFDF,EFAF,又DF平面ADF,AF平面ADF,AFDFF,EF,平面ADF,DG平面ADF,EFDG,AFDF,DFA60，;ADF是等邊三角形，.G為AF的中點.，AFDG.又EFDG,EF面ABEFAF面ABEF,EFIAFF,.DG平面ABEF.(2)設BE中點為Q,連結(jié)GQ,則GA,GQ,GD兩兩垂直，不妨設AB4.以G為原點，以GA,GQ,GD為坐標軸建立空間直角坐標系如圖:則G(0,0,0),A(1,0,0),uuir(1,0,0),BC1,0,3),uuirBF(2,4,0)r設平面BCF的法向量為n(x,y,z),vn則vnuuu/BCuuvB

23、Fx、3z0r，令z2,得n(273,73,2)2x4y0uuu-而GD(0,0,、/3)為平面BEF的一個法向量.ruuurcos;：n,GDruuurnGDruuurnGD2,3,19；32.1919面角CBFE的余弦值為2巫19B(1,4,0).C(0,4,、,3),F(1,0,0).該題考查的是有關立體幾何的問題，涉及到的知識點有線面垂直的判定，二面角的余弦值的求解，屬于中檔題目.121.點P(x,y)與定點F(1,0)的距離和它到直線l:x4距離的比是常數(shù)一.2(1)求點P的軌跡方程；(2)記點P的軌跡為C,過F的直線l與曲線C交于點M,N,與拋物線y24x交S2于點A,B,設D(1

24、,0),記VDMN與VDAB面積分別是S1,S2,求管的取值范圍.Si2【答案】(1)4【解析】(1)根據(jù)題意可得-.(x1)2y2(2)當直線l的斜率存在時,將直線方程分別與橢圓和拋物線的方程聯(lián)立,將兩個三角形的面積比轉(zhuǎn)化為弦長比，化為關于k的關系式，求最值求值域即可，之后將直線l的斜率不存在的情況求出，最后得到答案.【詳解】(1)依題意有(xi)yi化簡彳導：3x24y2i2,故Ci的方程為2y3-S2(2)依題意二SiABIMN當l不垂直于x軸時，設l的方程是聯(lián)立ykxy24x一22，得kx2k2xk20xi,yiX2,y2,則XiX22k24k2ABXiX24k2ik-聯(lián)立y3x24y

25、i2得:04k28k2x2_4ki20,X3,y3,NX4,y4,則X3X4JX3X434k24k2i234k2MNk2X32X44X3X4i2ik24k2則應SiABIMN4k23k2當l垂直于x軸時，易知此時名網(wǎng)SiMNAB4,MN空3,aS2,4綜上，資的取值范圍是-,G3該題考查的是有關解析幾何的問題,涉及到的知識點有動點軌跡方程的求解,直線被橢圓截得的弦長，直線被拋物線截得的弦長，屬于較難題目22.已知函數(shù)f(x)x2,g(x)Inx.(1)求函數(shù)yg(x)在xe處的切線方程；(2)若方程f(x)g(x)在區(qū)間(k,k1),kN上有實根，求k的值；(3)若不等式(xm)(x1)xf(x)g(x)對任意正實數(shù)x恒成立，求正整數(shù)m的取值集合.1【答案】(1)y-x(2)k0或3(3)1,2,3.e【解析】(1)由g(e)的值可得切點坐標，求出g'(e)的值，可得切線斜率，利用點斜式可得曲線yg(x)在點xe處的切線方程；(2)令h(x)f(x)g(x),方程f(x)g(x)有實根等價于h(x)有零點，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)零點存在性定理可判斷h(x)在0,1和3,4上分別存在一個零點，從而可得結(jié)果；(3)