波利亞及其解題理論

1、主講人:李 忠 如西南大學數(shù)學與統(tǒng)計學院 美國著名數(shù)學家、教育家。出生于匈牙利的布達佩斯。早在中學時代，就顯示出卓越的數(shù)學才能，曾先后在布達佩斯、維也納、哥廷根、巴黎等地攻讀數(shù)學、物理學和哲學。1912年在布達佩斯獲約特沃斯洛倫得大學哲學博士學位。1914年，在蘇黎世瑞士聯(lián)邦理工學院任教,1928年任教授，1938年任數(shù)理學院院長。1940年移居美國，先在布朗大學任教。1942年后一直在斯坦福大學任教。1953年起，任該校退休教授。 波利亞在眾多的數(shù)學分支：函數(shù)論、變分學、概率論、數(shù)論、組合數(shù)學以及計算數(shù)學和應用數(shù)學領域中都頗有建樹，共發(fā)表200多篇著名論文，以他的名字命名的波利亞計數(shù)定理則是

2、近代組合數(shù)學的重要工具。波利亞還是杰出的數(shù)學教育家，他對數(shù)學思維一般規(guī)律的研究，堪稱是對人類思想寶庫的特殊貢獻。為了表彰波利亞對數(shù)學的杰出貢獻，1963年美國數(shù)學協(xié)會授予他以功勛獎(Distinguished Services Award),1968年美國教育電影圖書協(xié)會授予他以數(shù)學物理最高榮譽獎(Top Honor of Mathematics and Physics)。他并先后當選為美國國家科學院院士和法國科學院通訊院士等。 波利亞的重要數(shù)學著作有怎樣解題、不等式(與哈代、李特伍德合著)、數(shù)學的發(fā)現(xiàn)多卷、數(shù)學與猜想多卷、數(shù)學分析中的問題和定理(與塞格合著)、數(shù)學物理中的等周不等式(與塞格合

3、著)等。 弄清題意弄清題意擬定計劃擬定計劃執(zhí)行計劃執(zhí)行計劃檢驗回顧檢驗回顧變換變換, ,推廣推廣, ,類類比比, ,作出新的作出新的數(shù)學發(fā)現(xiàn)數(shù)學發(fā)現(xiàn). .概括方法論因概括方法論因素素, ,建立數(shù)學建立數(shù)學模型模型. .1) 已知是什么? 2) 未知是什么? 3) 題目要求你干什么? 4) 可否畫一個圖形? 5) 可否數(shù)學化?6)你能否一眼看出結(jié)果?7)是否見過形式上稍有不同的題目?8) 你是否知道與此有關的題目,是否知道用得上的定義,定理公式?9) 有一個與你現(xiàn)在的題目有關且你已解過的題目,你能利用它嗎?10) 已知條件A,B,C可否轉(zhuǎn)化?可否建立一個等式或不等式?11) 你能否引入輔助元素?

4、12) 如果你不能解這個題,可先解一個有關的題,你能否想出一個較易下手的,較一般的,特殊的,類似的題?13)把你想好的解題過程具體地用術語,符號,圖形,式子表述出來.14)修正解題方向以及原來擬定的不恰當?shù)姆桨?15)解題要求是:嚴密具有邏輯性.16)你能擬定其它解題方案嗎?17)你能利用它嗎?你能用它的結(jié)果嗎?你能用它的方法嗎?18)你能找到什么方法檢驗你的結(jié)果嗎? “問題是數(shù)學的心臟.” PRHalmos “最有吸引力的題材莫過于展望數(shù)學的未來，列出在新世紀里數(shù)學家應當努力解決的問題.” Minkowski 某類問題對于一般數(shù)學進展的深遠意義以及它們在研究者個人的工作中所起的重要作用是不容

5、否認的只要一門科學分支能提出大量的問題，它就充滿著生命力；而問題缺乏則預示著獨立發(fā)展的衰亡或中止正如人類的每項事業(yè)都追求著確定的目標一樣，數(shù)學研究也需要自己的問題正是通過這些問題的解決，研究者鍛煉其鋼鐵般的意志和力量，發(fā)現(xiàn)新方法和新觀點，達到更廣闊、更自由的境界. 希爾伯特 (1900) “夫?qū)W算者，題從法取，法將題驗，凡欲明一法，必設一題” 楊輝 “從來沒有像現(xiàn)在這樣，美國人需要為生存而思考，他們需要進行數(shù)學式的思維” 美國數(shù)學科學委員會(1989) 學數(shù)學如同下圍棋，必須實踐(做習題)，必須和較高水平的人切磋(做有一定難度的題)，棋力(數(shù)學水平)才有長進此外，還需揣摩成局(學習定理的證明或

6、著名問題的解法)，領會其精髓(深刻的數(shù)學思想) 單墫 做習題并不只是在學完一個方法或一些知識之后知識、方法應當盡可能地通過問題的形式引人例1：一大學教授向中學生介紹圖論 定義圖定義圖G=(VG=(V，E)E)，由頂點集，由頂點集V V與一些連結(jié)與一些連結(jié)V V中兩中兩個點的邊的集個點的邊的集E E組成組成 定義定義 如果如果E E由連結(jié)由連結(jié)V V中每兩個點的邊組成，那么中每兩個點的邊組成，那么G G(V(V，E)E)稱為完全圖稱為完全圖 定義如果圖定義如果圖G1G1(V(V，E1)E1)，G2G2(V(V，E2)E2)具有相具有相同的頂點集同的頂點集V V，并且，并且E1E2E1E2 ，(V

7、(V，E1E2)E1E2)是是完全圖，那么稱完全圖，那么稱G1G1為為G2G2的補圖的補圖 定理在定理在|V|6|V|6時，時，G=(VG=(V，E)E)或它的補圖中必有或它的補圖中必有三角形三角形 符合中學生特點的教法： “任意六個人中必有三個人互相認識或三個人互任意六個人中必有三個人互相認識或三個人互不相識為什么？不相識為什么？” 為了解決這個問題，為了敘述的方便，我們用六為了解決這個問題，為了敘述的方便，我們用六個點表示六個人如果兩個人互相認識，就將相個點表示六個人如果兩個人互相認識，就將相應的兩點用線連結(jié)起來這種由點及一些連結(jié)點應的兩點用線連結(jié)起來這種由點及一些連結(jié)點的線組成的圖形，就

8、稱為圖問題就成為：的線組成的圖形，就稱為圖問題就成為： “六個點的圖中，一定有三個點兩兩相連六個點的圖中，一定有三個點兩兩相連(即構(gòu)即構(gòu)成三角形成三角形)，或者有三個點互不相連，或者有三個點互不相連.” 數(shù)學技能就是解題能力不僅能解決一般的問題，而且能解決需要某種程度的獨立思考、判斷力、獨創(chuàng)性和想像力的問題所以，中學數(shù)學教學的首要任務就在于加強解題能力的訓練” 數(shù)學的發(fā)現(xiàn)第一卷序 開設數(shù)學課程的主要目的是教會學生如何思考。 “教會思考”意味著數(shù)學教師不僅僅應該傳授知識，而且也應當去發(fā)展學生運用所傳授的知識的能力 數(shù)學的發(fā)現(xiàn)第二卷 波利亞將學生依照未來的職業(yè)分為三類：數(shù)學家(包括理論物理學家、天

9、文學家及某些專門研究領域里的工程師)約占1%，用到數(shù)學的人(工程師、科學家及一些社會科學家、數(shù)學教師?？茖W教師等)約占29%，不用數(shù)學的人(實業(yè)家、律師、牧師等)約占70%，他指出數(shù)學教育應當符合于兩個原則： 第一，每一個學生應當能夠從他的學習中得到某些收獲而不管他以后的職業(yè)是什么 第二，那些在數(shù)學上表現(xiàn)出有一些資質(zhì)的學生應當受到鼓勵和吸引，而不要由于拙劣的教育使他們嫌棄數(shù)學 解題是一種實踐性的技能，就像游泳、滑雪或彈鋼琴一樣，只能通過模仿和實踐學到它你想學會游泳，你就必須下水，你想成為解題的能手，你就必須去解題波利亞 學習數(shù)學要做到熟練化熟能生巧，進而出神入化而要這樣，就必須練。華羅庚 按數(shù)

10、學內(nèi)容來分，可以分成幾何、代數(shù)、數(shù)論(算術)、組合數(shù)學等 按問題的結(jié)論來分，可以分為計算題、求解題、證明題 從形式上分，有選擇題、填充題、綜合題 從與已有經(jīng)驗關系分，有固定模式、沒有或較少固定模式 弄清題意 擬定計劃 實施計劃 檢驗與回顧 問題應當用自己的語言重新敘述通過復述，可以發(fā)現(xiàn)學生是否理解了題意，有沒有忽略重要的部分凡有學生來問問題，首先讓他復述，切不可急急忙忙地把解答告訴他因為比解答更重要的是解法，即如何從已知走向未知，而將題目中的“信息”重新編排，適當整理，正是走向未知的第一步 例2 某市有n所中學，第i所中學派出Ci名學生(1Ci39，1in)到體育館觀看球賽，總?cè)藬?shù) =1990

11、看臺上每一橫排有199個座位同一學校的學生必須坐在同一橫排，問至少要安排多少個橫排才能保證學生全部坐下？1niiC 例2重述為： 一些學校派出學生看球賽，看臺上每一排有199個座位，同一學校的學生必須坐在同一排每個學校派出的學生不超過39人，學生總數(shù)為 1990人，問至少要安排多少排才能保證學生全部坐下？ 例例1 1還可以用填充與提問的方式來加深理解：還可以用填充與提問的方式來加深理解： 學生總數(shù)是學生總數(shù)是1 9901 990人人 每個學校派出人數(shù)每個學校派出人數(shù)3939 每排可坐每排可坐199199人人 還有什么要求？還有什么要求？( (答：同一學校的學生必須坐在同一排答：同一學校的學生必

12、須坐在同一排) ) 本題還有一個至關重要的詞本題還有一個至關重要的詞“至少至少”，必須弄清楚，必須弄清楚 “ “至少要安排多少排才能保證學生全部坐下至少要安排多少排才能保證學生全部坐下”，這句話是，這句話是什么意思？什么意思？ 答：答：( (略略) ) 這兩層含義，需要我們怎樣去做？怎樣才是完整的解答？這兩層含義，需要我們怎樣去做？怎樣才是完整的解答？ 答：答：( (略略) ) 例3 攝制組從A市到B市有一天的路程，計劃上午比下午多走100千米到C市吃午飯由于道路堵塞，中午才趕到一個小鎮(zhèn)，只行駛了原計劃的三分之一過了小鎮(zhèn)，汽車趕了400千米，傍晚才停下來休息司機說再走從C市到這里的二分之一，就

13、到達目的地了問A、B兩市相距多少千米？ 圖中D是小鎮(zhèn)，E是傍晚休息處D、E之間的距離是 400千米EB是CE的二分之一，AD是AC的三分之一，AC比CB多100千米求AB的長A D C E B 實際上，改變問題的提法已不僅是弄清題意，可以說是向問題的解決進了一大步 波利亞主張“不斷地變換你的問題”，“我們必須一再地變化它，重新敘述它，變換它，直到最后成功地找到某些有用的東西為止” 例4 已知kabc0，求證： k2(a+b+c)k + ab +bc+ ca 0 讀題，讀題，反復讀題，這是解題時首先要認真做的事，切莫忽視 問題明確后，便是通常所說的真正的解題階段 熟悉的問題，有一定套路的問題，不

14、需太多思考 稍進一步的問題，需要一點變化，波利亞的表中“你是否見過相同的或形式稍有不同的問題？”可用，以喚醒你的記憶，從大腦的信息庫中找到一個可以利用的模式 真正的問題是不能照套的，需要解題者發(fā)揮某種程度的主動性與創(chuàng)造性主動性與創(chuàng)造性程度越大，問題的難度越大，質(zhì)量越高對這類問題來說，波利亞所說的“你以前見過它嗎？”等等，就不用再考慮了，沒有多大用處這類問題往往是競賽性的. 例4 已知kabc0，求證： k2(a+b+c)k + ab +bc+ ca 0 拋物線y=x2(abc) xabbcca開口向上如果二次多項式 x2(abc) xabbcca 的判別式 =(abc) 24(abbcca)

15、滿足0 那么拋物線與x軸沒有交點，從而在x軸上方，恒有 x2 (abc)xabbcca0 于是成立 故，原問題化為證明成立 這一計劃也很清楚，但是無法證明一定成立 在解題中，這一步是最容易的，如果計劃是完善的，實現(xiàn)計劃往往是“例行公事”，作一些機械性的計算，但計劃往往是不完善的，所以又往往需要回到上一步，出現(xiàn)一些反復此外，計算或操作中也許有困難存在，甚至會遇到難以逾越的困難，這時原來計劃必須推倒重來 解題，如同在黑暗中走進一間陌生的房間回顧，則好像打開了電燈這時一切都清楚了：在以前的探索中，哪幾步走錯了，哪幾步不必要，應當怎樣走，等等朦朧變成了自覺 正如波利亞所說，這是“領會方法的最佳時機”，

16、“當讀者完成了任務，而且他的體驗在頭腦中還是新鮮的時候，去回顧他所做的一切，可能有利于探究他剛才克服困難的實質(zhì)，他可以對自己提出許多有用的問題：關鍵在哪里？重要的困難是什么？什么地方我可以完成得更好些？我為什么沒有覺察到這一點？要看出這一點我必須具備哪些知識？應該從什么角度去考慮？這里有沒有值得學習的訣竅可供下次遇到類似問題時應用？ 1 1要享受到解題的樂趣對解題有濃厚的興趣，要享受到解題的樂趣對解題有濃厚的興趣，能有幾分癡迷更好能有幾分癡迷更好 2 2要有充足的信心要有充足的信心 3 3要有百折不回的決心與堅韌不拔的毅力要有百折不回的決心與堅韌不拔的毅力 4 4要做要做100100道有質(zhì)量的題目道有質(zhì)量的題目 5 5反復探索，大膽地跟著感覺走反復探索，大膽地跟著感覺走 6 6從簡單的做起從簡單的做起 7 7從不同的角度看問題從不同的角度看問題 8 8學、思結(jié)合，發(fā)揮創(chuàng)造性，努力產(chǎn)生學、思結(jié)合，發(fā)揮創(chuàng)造性，努力產(chǎn)生“好想好想法法” 9 9設法創(chuàng)造條件，不斷變更問題設法創(chuàng)造條件，不斷變更問題1010引入適當字母，向基本量靠攏引入適當字母，向基本量靠攏1111力求簡單自然，直剖核心力求簡單自然，直剖核心1212注意總結(jié)