第一章 函數(shù)與極限(正式1)

1、劉國良劉國良：1897078642018970786420本門學科所任課教師介紹本門學科所任課教師介紹考核方式介紹考核方式介紹(1)(1)理論考核占理論考核占70%70%，平時考核占，平時考核占30%30%。(2)(2)理論考核采取理論考核采取期末考試期末考試的方式。的方式。(3)(3)考勤考勤曠課：曠課：首次扣首次扣5 5分分，第，第2 2次扣次扣1010分分，依此類推；，依此類推；遲到：遲到：首次扣首次扣3 3分分，第，第2 2次扣次扣6 6分分，依此類推，依此類推。授課進度安排授課進度安排授課內(nèi)容授課內(nèi)容授課學時授課學時第一章第一章 函數(shù)與極限函數(shù)與極限8第二章第二章 導數(shù)與微分導數(shù)與微

2、分10第三章第三章 微分中值定理與導數(shù)的應用微分中值定理與導數(shù)的應用8第四章第四章 不定積分不定積分8第五章第五章 定積分定積分8第六章第六章 定積分的應用定積分的應用6考試考試2引引 言言一、什么是高等數(shù)學？一、什么是高等數(shù)學？初等數(shù)學初等數(shù)學 研究對象為研究對象為常量常量, 以靜止觀點研究問題以靜止觀點研究問題.高等數(shù)學高等數(shù)學 研究對象為研究對象為變量變量, 運動運動和和辯證法辯證法進入了數(shù)學進入了數(shù)學.數(shù)學中的數(shù)學中的轉折點轉折點是是笛卡兒笛卡兒的的變數(shù)變數(shù)。有了變數(shù)有了變數(shù) , 運動運動進入了數(shù)學進入了數(shù)學,有了變數(shù)，有了變數(shù)，辯證法辯證法進入了數(shù)學進入了數(shù)學 ,有了變數(shù)有了變數(shù) ,

3、 微分和積分微分和積分也就立刻成也就立刻成為必要的了為必要的了,而它們也就立刻產(chǎn)生。而它們也就立刻產(chǎn)生。恩格斯恩格斯1. 分析基礎：函數(shù)分析基礎：函數(shù) , 極限極限 , 連續(xù)連續(xù) 2. 微積分學：一元函數(shù)微積分微積分學：一元函數(shù)微積分(上冊上冊)(下冊下冊)3. 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何4. 無窮級數(shù)無窮級數(shù)5. 常微分方程常微分方程主要內(nèi)容主要內(nèi)容多元函數(shù)微積分多元函數(shù)微積分二、如何學習高等數(shù)學？二、如何學習高等數(shù)學？1. 認識高等數(shù)學的重要性認識高等數(shù)學的重要性, 培養(yǎng)濃厚的學習興趣。培養(yǎng)濃厚的學習興趣。2. 學數(shù)學最好的方式是做數(shù)學。學數(shù)學最好的方式是做數(shù)學。聰明在于

4、學習，天才在于積累。聰明在于學習，天才在于積累。學而優(yōu)則用，學而優(yōu)則創(chuàng)。學而優(yōu)則用，學而優(yōu)則創(chuàng)。由薄到厚，由厚到薄。由薄到厚，由厚到薄。馬克思馬克思 恩格斯恩格斯要辨證而又唯物地了解自然，要辨證而又唯物地了解自然，就必須熟悉數(shù)學。就必須熟悉數(shù)學。一門科學一門科學, , 只有當它成功地運用數(shù)學時只有當它成功地運用數(shù)學時, ,才能達到真正完善的地步。才能達到真正完善的地步。華羅庚華羅庚給出了幾何問題的統(tǒng)一笛卡兒笛卡兒 (15961650)法國哲學家, 數(shù)學家, 物理學家, 他 是解析幾何奠基人之一 . 1637年他發(fā)表的幾何學論文分析了幾何學與 代數(shù)學的優(yōu)缺點, 進而提出了 “ 另外 一種包含這兩

5、門科學的優(yōu)點而避免其缺點的方法”, 從而提出了解析幾何學的主要思想和方法, 恩格斯把它稱為數(shù)學中的轉折點.把幾何問題化成代數(shù)問題 ,作圖法,華羅庚華羅庚(19101985)我國在國際上享有盛譽的數(shù)學家.他在解析數(shù)論,自守函數(shù)論,高維數(shù)值積分等廣泛的數(shù)學領域中,程,都作出了卓越的貢獻 ,發(fā)表專著與學術論文近 300 篇.偏微分方多復變函數(shù)論,矩陣幾何學, 典型群,他對青年學生的成長非常關心, 他提出治學之道是 “ 寬寬, 專專, 漫漫 ”, 即基礎要寬, 專業(yè)要專, 要使自己的專業(yè)知識漫到其它領域. 1984年來中國礦業(yè)大學視察時給給師生題詞: “ 學而優(yōu)則用學而優(yōu)則用, 學而優(yōu)則創(chuàng)學而優(yōu)則創(chuàng)

6、”.第一章第一章 函數(shù)與極限函數(shù)與極限分析基礎分析基礎 函數(shù)函數(shù) 極限極限 連續(xù)連續(xù) 研究對象 研究方法 研究橋梁一、教學目的與要求一、教學目的與要求1.理解函數(shù)的概念；理解函數(shù)的概念；2.了解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。了解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性。3.理解復合函數(shù)及分段函數(shù)的概念。理解復合函數(shù)及分段函數(shù)的概念。4.掌握基本初等函數(shù)的性質及其圖形。掌握基本初等函數(shù)的性質及其圖形。5.理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關系。在與左、右極限之間的關系。6.掌握極限的性質及四則運

7、算法則。掌握極限的性質及四則運算法則。7.了解極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個了解極限存在的兩個準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法。重要極限求極限的方法。8.理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會用等價理解無窮小、無窮大的概念，掌握無窮小的比較方法，會用等價無窮小求極限。無窮小求極限。9.理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會判別函數(shù)間斷點的類型。點的類型。10.了解連續(xù)函數(shù)的性質和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函了解連續(xù)函數(shù)的性質和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的

8、性質并會應用這些性質數(shù)的性質并會應用這些性質 教學重點：教學重點：1復合函數(shù)及分段函數(shù)的概念；復合函數(shù)及分段函數(shù)的概念；2基本初等函數(shù)的性質及其圖形；基本初等函數(shù)的性質及其圖形；3極限的概念極限的性質及四則運算法則；極限的概念極限的性質及四則運算法則；4兩個重要極限；兩個重要極限；5無窮小及無窮小的比較；無窮小及無窮小的比較；6函數(shù)連續(xù)性及初等函數(shù)的連續(xù)性；函數(shù)連續(xù)性及初等函數(shù)的連續(xù)性；7區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質。區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質。教學難點：教學難點：1分段函數(shù)的建立與性質；分段函數(shù)的建立與性質；2左極限與右極限概念及應用；左極限與右極限概念及應用；3極限存在的兩個準則的應用；極限存在的兩個準

9、則的應用；4間斷點及其分類；間斷點及其分類；5閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質的應用。閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質的應用。二、教學重點、難點二、教學重點、難點課外作業(yè)課外作業(yè)習題習題1-1 10；11；14(2)(4)；15(1)(3)習題習題1-2 1 (2)(4)(6)(8)習題習題1-3 3；4；7；9 習題習題1-4 3；4 (1)；6習題習題1-5 1 (1)(5)(7)(10)(11)(14)；2(1)(3)；3(1)；5習題習題1-6 1(2)(5)(6)；2(2)(3)(4)；4(1)(2)習題習題1-7 2；4 (1)(3) (4)習題習題1-8 3(2)(4)；5 習題習題1-9 3(5)(6

10、)(7)；4(2)(4)(6)；6習題習題1-10 2；3；5 第一章 二、映射二、映射 三、函數(shù)三、函數(shù) 一、集合一、集合第一節(jié)第一節(jié) 映射與函數(shù)映射與函數(shù)元素元素 a 屬于集合屬于集合 M , 記作記作元素元素 a 不屬于集合不屬于集合 M , 記作記作一、集合一、集合1.1.定義及表示法定義及表示法定義定義 1 具有具有某種特定性質某種特定性質的事物的總體稱為的事物的總體稱為集合集合。組成集合的事物稱為組成集合的事物稱為元素元素。不含任何元素不含任何元素的集合稱為的集合稱為空集空集 , 記作記作 。Ma( 或Ma) .Ma注注: M 為數(shù)集為數(shù)集 *M表示表示 M 中排除中排除 0 的集

11、的集;M表示表示 M 中排除中排除 0 與與負數(shù)負數(shù)的集的集.表示法表示法(1) 列舉法列舉法：按某種方式列出集合中的全體元素按某種方式列出集合中的全體元素 .例例:自然數(shù)集自然數(shù)集,2,1,0Nnn(2) 描述法：描述法： xM x 所具有的特征所具有的特征例例: 整數(shù)集合整數(shù)集合 ZxNx或Nx有理數(shù)集有理數(shù)集qpQ,N,Zqp p 與與 q 互質互質實數(shù)集合實數(shù)集合 Rx x 為有理數(shù)或無理數(shù)為有理數(shù)或無理數(shù)開區(qū)間開區(qū)間 ),(xbabxa閉區(qū)間閉區(qū)間 ,xbabxa ),xbabxa ,(xbabxa無限區(qū)間無限區(qū)間 ),xaxa ,(xb bx ),(xRx半開區(qū)間半開區(qū)間區(qū)間區(qū)間o

12、axobx ),(Uxa點的點的 鄰域鄰域 ),(xaaxa xaxax0其中其中, a 稱為稱為鄰域中心鄰域中心 , 稱為稱為鄰域半徑鄰域半徑 .去心 鄰域鄰域左左 鄰域鄰域 :, ),(aa右右 鄰域鄰域 :. ),(aa鄰域鄰域xa a a 是 B 的子集 , 或稱 B 包含 A ,2.2.集合之間的關系及運算集合之間的關系及運算定義2 則稱 A.BA若BA,AB 且則稱 A 與 B 相等,.BA 例如例如 ,ZNQZRQ顯然有下列關系顯然有下列關系 :;) 1 (AA;AA BA)2(CB 且CA , ,A若Ax,Bx設有集合,BA記作記作必有AcABB定義定義 3 給定兩個集合給定兩

13、個集合 A, B, 并集并集 xBAAx交集交集 xBAAxBx且且差集差集 xBAAxBx且且定義下列定義下列運算運算:ABBA余集余集)(ABBABcA其中直積直積 ),(yxBA,AxBy特例特例:RR記記2R為平面上的全體點集為平面上的全體點集ABABBABABx或或定義定義4 設設 X , Y 是兩個非空集合是兩個非空集合, 若存在一個對應規(guī)若存在一個對應規(guī)則則 f , 使得,Xx有唯一確定的Yy與之對應 , 則則稱稱 f 為從為從 X 到到 Y 的的映射映射,記作記作.:YXf元素y稱為元素x在映射 f 下的像像 ,記作).(xfy 元素x稱為元素y在映射 f 下的原像原像 .XY

14、fxy二、映射二、映射常見的三種映射：常見的三種映射：滿射、單射、一一映射滿射、單射、一一映射兩類特殊的映射：兩類特殊的映射：逆映射逆映射和和復合映射復合映射X (數(shù)集 或點集 ) 說明說明:在不同數(shù)學分支中有不同的慣用 X ( ) Y (數(shù)集)f f 稱為X上的泛函X ( ) X f f 稱為X上的變換 R f f 稱為定義在 X 上的為函數(shù)映射映射又稱為算子算子. 名稱。例如, 定義域三、函數(shù)三、函數(shù)1.1.函數(shù)的概念函數(shù)的概念 定義定義4. 設數(shù)集設數(shù)集,RD則稱映射則稱映射R:Df為定義在為定義在D上的函數(shù)上的函數(shù) , 記為記為Dxxfy, )( f (D) 稱為值域稱為值域 函數(shù)圖形

15、函數(shù)圖形: ),(yxC Dx, )(xfy xy) ,(baDabxy)(DfD自變量因變量2.2.函數(shù)的幾種特性函數(shù)的幾種特性設函數(shù), )(Dxxfy且有區(qū)間.DI (1)(1)有界性有界性,Dx,0M使,)(Mxf稱 )(xf, Ix,0M使,)(Mxf稱 )(xf說明說明: 還可定義有上界、有下界、無界 為有界函數(shù).在 I 上有界. ,Dx使若對任意正數(shù) M , 均存在 ,)(Mxf則稱 f (x) 無界無界.稱 為有上界有上界稱 為有下界有下界,)(,Mxf),(,xfM 當(2)(2)單調(diào)性單調(diào)性,21Ixx21xx 時時, )()(21xfxf若稱稱 )(xf為為 I 上的上的,

16、 )()(21xfxf若稱稱 )(xf為為 I 上的上的單調(diào)增函數(shù)；單調(diào)增函數(shù)；單調(diào)減函數(shù)。單調(diào)減函數(shù)。xy1x2xxyoxx(3)(3)奇偶性奇偶性,Dx且有且有,Dx若若, )()(xfxf則稱則稱 f (x)為為偶函數(shù)偶函數(shù);若若, )()(xfxf則稱則稱 f (x)為為奇函數(shù)奇函數(shù). 說明說明: 若若)(xf在在x = 0有定義有定義 ,. 0)0(f)(xf為奇函數(shù)時為奇函數(shù)時,則當必有必有例如,2)(xxeexfyxch 偶函數(shù)偶函數(shù)xyoxexexych雙曲余弦 記l奇函數(shù)和偶函數(shù)的性質奇函數(shù)和偶函數(shù)的性質1.1.兩偶兩偶( (奇奇) )函數(shù)的和為偶函數(shù)的和為偶( (奇奇) )

17、函數(shù)函數(shù)( (和為同性和為同性) )2.2.兩偶兩偶( (奇奇) )函數(shù)的積為函數(shù)的積為偶函數(shù)偶函數(shù)。3.3.偶函數(shù)與奇函數(shù)之積為奇函數(shù)偶函數(shù)與奇函數(shù)之積為奇函數(shù)( (同積為偶同積為偶, ,異積為奇異積為奇) )4.4.奇奇函數(shù)的圖形關于函數(shù)的圖形關于坐標原點坐標原點對稱，對稱，偶偶函數(shù)的圖形關于函數(shù)的圖形關于y軸軸對稱對稱。說明說明：若若f(x)在在x=0有定義有定義,則當則當f(x)為奇函數(shù)時，必為奇函數(shù)時，必有有f(0)=0例例2 2 指出下列函數(shù)在其定義域內(nèi)哪些是奇函數(shù)指出下列函數(shù)在其定義域內(nèi)哪些是奇函數(shù), , 哪哪些是偶函數(shù)。些是偶函數(shù)。1) y = sinx2) y = cosx3

18、) y = x4) y = x + x45) y = | x |6) y = 5)1ln( )72xx 1)、3)、7)為奇函數(shù)為奇函數(shù), , 解解: :4)為非奇非偶函數(shù)為非奇非偶函數(shù)。2)、5)、6)為偶函數(shù)為偶函數(shù), , (4)周期性周期性,0,lDx且且,Dlx)()(xflxf則稱則稱)(xf為為周期函數(shù)周期函數(shù) ,to)(tf22xo2y2若若稱稱 l 為為周期周期 ( 一般指一般指最小正周期最小正周期 ).周期為周期為 周期為周期為2注注: 周期函數(shù)不一定存在周期函數(shù)不一定存在最小正周期最小正周期。例如例如, 常量函數(shù)常量函數(shù)Cxf)(狄里克雷函數(shù)狄里克雷函數(shù))(xfx 為有理數(shù)

19、為有理數(shù)x 為無理數(shù)為無理數(shù), 1,0例例3 3 哪些是周期函數(shù)？對于周期函數(shù)，指出其周期哪些是周期函數(shù)？對于周期函數(shù)，指出其周期。(1) y=cos(x- -2) (2) y=cos4x (3) y=1+sin x(4) y=xcosx (5) y=sin2x解：解：(1)(1)周期為周期為2；(2)(2)周期為周期為/2；(3)(3)周期為周期為2；(4)(4)非周期函數(shù)；非周期函數(shù)；(5)(5)周期為周期為, , 因為因為 )2cos1 (21sin2xx1),(Duufy,),(Dxxgu1)(DDg且則Dxxgfy, )(設有函數(shù)鏈設有函數(shù)鏈稱為由, 確定的復合函數(shù) , u稱為中間變

20、量. 注意: 構成復合函數(shù)的條件 1)(DDg不可少. 3.3.復合函數(shù)復合函數(shù)理解：理解：1.1.兩個函數(shù)復合要滿足復合條件；兩個函數(shù)復合要滿足復合條件；2.2.中間變量可以多個；中間變量可以多個；3.3.復合函數(shù)分解不唯一。復合函數(shù)分解不唯一。注意注意：并不是所有的兩個函數(shù)均可組成復合函數(shù)，并不是所有的兩個函數(shù)均可組成復合函數(shù)，如函數(shù)如函數(shù) y=arcsinu，u=2+x2 不能構成復合函數(shù)。不能構成復合函數(shù)。4.4.初等函數(shù)初等函數(shù)(1)(1)基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)冪函數(shù)、冪函數(shù)、 指數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、 對數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、 三角函數(shù)、三角函數(shù)、 反三角函數(shù)反三角函數(shù).1)1)冪函數(shù)冪

21、函數(shù))( 是常數(shù)xy 2xy xy oxyxy xy1 11)1 , 1(2)2)指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)),(),1, 0(aaayxy0a1xo3)3)對數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)), 0(),1, 0(log aaxyaxoa10a 0,1當 x = 0,0當 x N 時時, 總有總有記作記作此時也稱數(shù)列此時也稱數(shù)列收斂收斂, 否則稱數(shù)列否則稱數(shù)列發(fā)散發(fā)散。幾何解釋幾何解釋 :aaa)(axan)(Nn 即),(axn)(Nn axnnlim或)(naxn1Nx2Nxaxn則稱該數(shù)列則稱該數(shù)列nx的極限為的極限為 a ,例如例如,1,43,32,21nn1nnxn)(1n,) 1(,43,34,21,21n

22、nnnnxnn1) 1()(1 n,2,8,4,2nnnx2)(n,) 1( ,1,1,11n1) 1(nnx趨勢不定收收 斂斂發(fā) 散nxn1)1( 212)2(nxn nnx)21()3( 5)4(nx例例4 4 觀察下列數(shù)列的變化趨勢，寫出它們的極限：觀察下列數(shù)列的變化趨勢，寫出它們的極限：解：解：計算出數(shù)列的前幾項，考察當計算出數(shù)列的前幾項，考察當n時數(shù)列的時數(shù)列的變化趨勢，可看出它們的極限分別是：變化趨勢，可看出它們的極限分別是：01limlim) 1 ( nxnnn2)12(limlim)2(2 nxnnn0)21(limlim) 3( nnnnx55limlim) 4( nnnx一

23、般有，有下述結論：一般有，有下述結論：)0(01lim)1( nn)1|(|0lim)2( qqnnCCn lim)3(例例5 已知,) 1(nnxnn證明數(shù)列nx的極限為1. 證證: 1nx1) 1(nnnn1,0欲使,1nx即,1n只要1n因此 , 取, 1N則當Nn 時, 就有1) 1(nnn故1) 1(limlimnnxnnnn二、收斂數(shù)列的性質二、收斂數(shù)列的性質1.1.收斂數(shù)列的極限唯一收斂數(shù)列的極限唯一定理定理1 1（唯一性）（唯一性） 若數(shù)列若數(shù)列xn收斂，則數(shù)列收斂，則數(shù)列xn的極限是唯一的。的極限是唯一的。 2.2.收斂數(shù)列一定有界收斂數(shù)列一定有界說明說明: 此性質反過來此性

24、質反過來不一定不一定成立。成立。例如例如,1)1(n雖有界但不收斂。雖有界但不收斂。數(shù)列數(shù)列定理定理2 2（有界性）（有界性）若數(shù)列若數(shù)列xn收斂，則數(shù)列收斂，則數(shù)列xn一一定有界。定有界。 3.3.收斂數(shù)列的保號性收斂數(shù)列的保號性若,limaxnn且0a,NN則Nn 當時, 有0nx, )0(. )0(推論推論: 若數(shù)列從某項起若數(shù)列從某項起0nx,limaxnn且0a則)0(. )0(用反證法證明用反證法證明)定理定理34.4.收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限收斂數(shù)列的任一子數(shù)列收斂于同一極限. .由此性質可知由此性質可知 , 若數(shù)列有兩個子數(shù)列收斂于若數(shù)列有兩個子數(shù)列收斂于不同的極不同

25、的極限限 ,例如，例如， ),2, 1() 1(1nxnn; 1lim12kkx1lim2kkx發(fā)散發(fā)散 !則原數(shù)列一定發(fā)散則原數(shù)列一定發(fā)散 .說明說明: 定理定理4（有界性）（有界性）若數(shù)列若數(shù)列xn收斂于收斂于a，則它的任一則它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也是子數(shù)列也收斂，且極限也是a。 內(nèi)容小結內(nèi)容小結1. 數(shù)列極限的數(shù)列極限的 “ N ” 定義及應定義及應用用2. 收斂數(shù)列的性質收斂數(shù)列的性質:唯一性唯一性 ; 有界性有界性 ; 保號性保號性;任一子數(shù)列收斂于同一極限任一子數(shù)列收斂于同一極限思考題思考題1. 如何判斷極限不存在如何判斷極限不存在?方法方法1. 找一個趨于找一個趨于的子數(shù)列

26、的子數(shù)列;方法方法2. 找兩個收斂于不同極限的子數(shù)列找兩個收斂于不同極限的子數(shù)列.2. 已知已知),2, 1(21,111nxxxnn, 求求nnxlim時時, 下述作法是否正確下述作法是否正確? 說明理由說明理由.設設,limaxnn由遞推式兩邊取極限得由遞推式兩邊取極限得aa211a不對不對!此處此處nnxlim作作 業(yè)業(yè)習題習題1-21-2 1 (2)(4)(6)(8) 第一章 一、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限一、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限第三節(jié)第三節(jié) 函數(shù)的極限函數(shù)的極限 0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6(對對 y=f(x) 自變量變化過程的自變量變化過程

27、的六種六種形式形式:二、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限二、自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容 :一、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限一、自變量趨于有限值時函數(shù)的極限1. 0 xx 時函數(shù)極限的定義時函數(shù)極限的定義引例引例. 測量正方形面積測量正方形面積.面積為A )邊長為(真值:;0 x邊長面積2x直接觀測值間接觀測值任給精度 , 要求 Ax2確定直接觀測值精度 :0 xx0 xAx定義定義1 . 設函數(shù)設函數(shù))(xf在點在點0 x的某的某去心鄰域去心鄰域內(nèi)有定義內(nèi)有定義 ,0,0當00 xx時, 有 Axf)(則稱常數(shù)A為函數(shù))(xf當0 xx 時的極限極限,Axfxx)(lim0或)(

28、)(0 xxAxf當即,0,0當),(0 xx時, 有若記作 Axf)(Axfxx)(lim0幾何解釋幾何解釋:0 x0 xAAAx0 xy)(xfy 極限存在函數(shù)局部有界(P36定理2)這表明: 例例1 證明1)12(lim1xx證明證明:Axf)(1) 12(x12x欲使,0取,2則當10 x時 , 必有1) 12()(xAxf因此,)( Axf只要,21x1)12(lim1xx2.2.保號性定理保號性定理定理定理1 . 若,)(lim0Axfxx且 A 0 ,),(0時使當xx. 0)(xf)0)(xf則存在( A 0 ,000 xx一切滿足不等式的 x , 總有則稱函數(shù))(xf當0 x

29、x 時為無窮大, 使對.)(lim0 xfxx若在定義中將 式改為Mxf)(則記作)(lim)(0 xfxxx)(lim()(0 xfxxx)(Xx )(x)(lim(xfx(正數(shù)正數(shù) X ) ,記作, )(Mxf總存在注意注意:例如例如, 函數(shù)),(,cos)(xxxxf)2(nf)(n當n2但0)(2nf所以 x時,f(x)不是無窮大 !oxyxxycos1.1.無窮大是變量，不能與很大的數(shù)混淆無窮大是變量，不能與很大的數(shù)混淆; ;3. 3. 無窮大是一種特殊的無界變量，但是無窮大是一種特殊的無界變量，但是無界無界變量未必是無窮大變量未必是無窮大。 )(lim0 xfxx2.勿將認為極限存

30、在認為極限存在4.4.變量是無窮大必須指明其變量是無窮大必須指明其變化趨勢變化趨勢。三、無窮小與無窮大的關系三、無窮小與無窮大的關系若若)(xf為無窮大為無窮大,)(1xf為無窮小為無窮小 ;若若)(xf為無窮小為無窮小, 且且,0)(xf則則)(1xf為無窮大為無窮大.則則據(jù)此定理 , 關于無窮大的問題都可轉化為 無窮小來討論.定理定理2. 在自變量的同一變化過程中在自變量的同一變化過程中,說明說明:內(nèi)容小結內(nèi)容小結1. 無窮小與無窮大的定義2. 無窮小與函數(shù)極限的關系3. 無窮小與無窮大的關系思考與練習思考與練習兩個無窮小的商一定是無窮小嗎？作業(yè)作業(yè)習題習題1-41-4 3；4 (1)；6

31、 第一章 二、二、 極限的四則運算法則極限的四則運算法則 三、三、 復合函數(shù)的極限運算法則復合函數(shù)的極限運算法則 一一 、無窮小運算法則、無窮小運算法則 第五節(jié)第五節(jié) 極限運算法則極限運算法則一、無窮小運算法則一、無窮小運算法則定理定理1 有限個無窮小的和還是無窮小有限個無窮小的和還是無窮小 .注意：注意：無窮多個無窮小的代數(shù)和無窮多個無窮小的代數(shù)和未必未必是無窮小是無窮小。)21(lim222nnnnn 例如定理定理2 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 . 推論推論2 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 .推論推論3 有限個無窮小的乘積是無窮小有

32、限個無窮小的乘積是無窮小 .推論推論1 在同一過程中，有極限的變量與無窮小的在同一過程中，有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小。乘積是無窮小。注意：注意：無窮多個無窮小的乘積無窮多個無窮小的乘積未必未必是無窮小是無窮小。二、極限的四則運算法則二、極限的四則運算法則,)(lim,)(limBxgAxf則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA定理定理 3 . 若)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA若 B0 , 則)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA(1)(2)(3)推論推論 1 .)(lim)(limxfCxfC( C 為常數(shù) )推論推論 2 .

33、nnxfxf )(lim)(lim( n 為正整數(shù) )定理定理4 若,)(lim,)(limBxgAxf且),()(xgxf則.BA( P45 定理定理 5 )()()(xgxfx利用保號性定理證明 .說明說明: 定理 3 可推廣到有限個函數(shù)相加、減的情形 .提示提示: 令定理定理5 若,lim,limByAxnnnn則有)(lim) 1 (nnnyx nnnyxlim)2(,00)3(時且當BynBAyxnnnlimBABA提示提示: 因為數(shù)列是一種特殊的函數(shù) , 故此定理 可由定理3 , 4 , 5 直接得出結論 .例例5 求求.4532lim21xxxx解解: x =1 時3245lim

34、21xxxx031241512 4532lim21xxxx分母分母 = 0 , 分子分子0 ,但因解解例例4 4 求求521lim xxx5)00(型型(消去零因子法消去零因子法)521lim5 xxx)21)(5(5lim5x xxx21lim5x x141先分母有理化，消掉先分母有理化，消掉x- - 5，即可得，即可得x5時，分子、分母的極限都是零時，分子、分母的極限都是零例例6 . 求.125934lim22xxxxx解解: x時,分子.22111125934limxxxxx分子分母同除以分子分母同除以,2x則54分母“ 抓大頭抓大頭”原式原式一般有如下結果：一般有如下結果：為非負常數(shù)

35、)nmba,0(00mn 當mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,mn 當mn 當三、復合函數(shù)的極限運算法則三、復合函數(shù)的極限運算法則定理定理6 設函數(shù)設函數(shù)y=f g(x)是由函數(shù)是由函數(shù)u=g(x)與函數(shù)與函數(shù)y=f(u)復合而成，復合而成，f g(x)在點在點x0的某的某去心鄰域去心鄰域內(nèi)有定義，若內(nèi)有定義，若,)(lim,)(lim000Aufuxguuxx 且存在000 xx時,有,)(0uxg 則 )(lim0 xgfxxAufau)(lim, 00 當 說明說明: 若定理中若定理中,)(lim0 xgxx則類似可得 )(lim0 xgfxxAufu)

36、(lim例例8 . 求求解解: 方法方法 1.11lim1xxx,xu 則, 1lim1ux令11112uuxx1 u 原式) 1(lim1uu2方法方法 211lim1xxx1) 1)(1(lim1xxxx) 1(lim1xx2內(nèi)容小結內(nèi)容小結1. 極限運算法則(1) 無窮小運算法則(2) 極限四則運算法則(3) 復合函數(shù)極限運算法則注意使用條件2. 求函數(shù)極限的方法(1) 分式函數(shù)極限求法0) 1xx 時, 用代入法( 分母不為 0 )0)2xx 時, 對00型 , 約去公因子x)3時 , 分子分母同除最高次冪 “ 抓大頭”(2) 復合函數(shù)極限求法設中間變量Th1Th2Th3Th4Th5T

37、h7思考及練習思考及練習1.,)(lim,)(lim不存在存在若xgxf)()(limxgxf是否存在 ? 為什么 ?答答: 不存在 . 否則由)()()()(xfxgxfxg利用極限四則運算法則可知)(limxg存在 , 與已知條件矛盾.?321lim2222nnnnnn解解: 原式22) 1(limnnnn)11(21limnn212.問3. 求. )1(lim2xxxx解法解法 1 原式 =xxxx1lim21111lim2xx21解法解法 2 令,1xt tttt1111lim2021則原式 =22011limttt111lim20tt 0t4. 試確定常數(shù)試確定常數(shù) a 使使.0)1

38、(lim33xaxx解解 : 令,1xt 則tatt33011lim001atatt3301lim01lim330att故1a因此作業(yè)作業(yè)習題習題1-51-5 1 (1)(5)(7)(10)(11)(14)；2(1)(3)；3(1)；5備用題備用題 設)(xf解解:利用前一極限式可令bxaxxxf2322)(再利用后一極限式 , 得xxfx)(lim30可見0,3ba是多項式 , 且,22)(lim23xxxfx,3)(lim0 xxfx求. )(xf)(lim0 xbax故xxxxf322)(23二、二、 兩個重要極限兩個重要極限 一、極限存在準則一、極限存在準則第六節(jié)第六節(jié) 極限存在準則及

39、兩個重要極限極限存在準則及兩個重要極限 第一章 一、極限存在準則一、極限存在準則夾逼準則夾逼準則; 單調(diào)有界準則單調(diào)有界準則; 柯西審斂準則柯西審斂準則 .azynnnnlimlim)2(1.1.夾逼準則夾逼準則 ( (準則準則) )nnnzxy axnnlim若數(shù)列若數(shù)列xn , yn及及 zn 滿足下列條件：滿足下列條件：(1)從某項起，即從某項起，即,0Nn 當nn0時，有那么數(shù)列那么數(shù)列xn的極限存在，且的極限存在，且Axhxgxxxxxx )(lim)(lim)2()()(00)()()(xgxfxg 如果如果(1)當當),(0rxUx (或|x|M)時，那么那么準則準則存在，且等于

40、存在，且等于A。)(lim)(0 xfxxx 例例1 證明11211lim222nnnnnn證證: 利用夾逼準則利用夾逼準則 .nnnnn2221211nnn2222nn且nnnn22limnn11lim122limnnn211limnn1nnlimnnnn22212111由例例2 求求).12111(lim222nnnnn 解解,11112222 nnnnnnnnnnnn2lim又, 1 1lim2nnn, 1 由由夾逼準則夾逼準則得得. 1)12111(lim222 nnnnnnn111lim2111limnnnnnn1)321(lim 33)33()321()3(1111 nnnnnnn

41、n33lim)3(lim1 nnnn3)321(lim1 nnnn故由夾逼準則，得故由夾逼準則，得解：解：因為因為備用例備用例：求：求, 33lim333lim)33(lim111 nnnnnnn而2.2.單調(diào)有界準則單調(diào)有界準則Mxxxxnn121mxxxxnn121)(limMaxnn)(limmbxnnnx1nxM1x2xxmnx1nx1x2xxab準則準則 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限,222,22,2321 xxxnnx lim, 22222, 2221 xx證明：證明：顯然該數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列。顯然該數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列?，F(xiàn)在來證明數(shù)列xn有上界。故數(shù)列故數(shù)列xn有上界。

42、有上界。, 2222223 x), 3 , 2 , 1(2222221 nxxnn用數(shù)學歸納法得用數(shù)學歸納法得因為試證明試證明存在，并求極限值。存在，并求極限值。,222221 nnxx設設例例3設極限為設極限為B，即，即Bxnnlim12 nnxxBxBxnnnnn122lim,lim,則令2lim nnx于是得 B2=2+B,解出B=2，- -1由于xn0，故B=2，B=-1(舍去）.所以將兩端平方，得122 nnxx*3. 柯西極限存在準則柯西極限存在準則(柯西審斂原理柯西審斂原理) (P55)數(shù)列nx極限存在的充要條件是:,0存在正整數(shù) N ,使當NnNm,時,mnxx有1sincos

43、xxx圓扇形圓扇形AOB的面積的面積二、兩個重要極限二、兩個重要極限 1sinlim. 10 xxx證證: 當即xsin21x21xtan21亦即)0(tansin2xxxx),0(2x時，)0(2 x, 1coslim0 xx1sinlim0 xxx顯然有AOB 的面積AOD的面積DCBAx1oxxxcos1sin1故有注注當20 x時xxcos1cos102sin22x222x22x0)cos1(lim0 xx注注例例2. 求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例例3. 求.cos1lim20 x

44、xx解解: 原式 =2220sin2limxxx21212120sinlimx2x2x21例例4 求求xx1sinlimx 解：解：令令xt1,當當x時，時，t0，所以，所以xx1sinlimxxx11sinlimxttsinlim0t1nnnRcossinlim2Rn例例5. 已知圓內(nèi)接正已知圓內(nèi)接正 n 邊形面積為邊形面積為證明: .lim2RAnn證證: nnAlimnnnnRnAcossin22R說明說明: 計算中注意利用1)()(sinlim0)(xxx2.exxx)1(lim1證證: 當0 x時, 設, 1nxn則xx)1 (111)1 (nnnn)1 (11nnn)1 (lim1

45、1 limn111)1 (nn111ne11)1 (limnnn1)1(lim11）（nnnneexxx)1(lim1當x, ) 1( tx則,t從而有xxx)1 (lim1) 1(11)1 (limttt) 1(1)(limtttt11)1 (limttt)1 ()1(lim11tttte故exxx)1 (lim1說明說明: 此極限也可寫為ezzz1)1 (lim0時, 令例例6. 求.)1 (lim1xxx解解: 令,xt則xxx)1 (lim1ttt )1 (lim1 1limttt)1 (1e1說明說明 ：若利用,)1 (lim)()(1)(exxx則 原式111)1 (limexxx

46、limx例例7. 求求.)1cos1(sinlimxxxx 解解: 原式 =2)1cos1(sinlim2xxxx 2)2sin1(limxxx )sin1(2xexx22sinx2sin1axeeaxax lim:求求思思考考題題axeeaxaxlim:解axeeaxaxa1limteeaxttta1lim0令) 1ln(lim10uueeuuat令) 1ln(11lim0uueuauuaue10) 1ln(1limuuaue10) 1ln(lim1ae內(nèi)容小結內(nèi)容小結1.極限存在定理(1) 夾逼準則夾逼準則(2) 單調(diào)有界準則單調(diào)有界準則(3)柯西極限存在準則柯西極限存在準則2.兩個重要極

47、限1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或e1)1(lim0注注: 代表相同的表達式思考與練習思考與練習填空題填空題 ( 14 );_sinlim. 1xxx;_1sinlim. 2xxx;_1sinlim. 30 xxx;_)11 (lim. 4nnn0101e作業(yè)作業(yè) 習題習題1-61-6 1(2)(5)(6)；2(2)(3)(4)；4(1)(2) 第一章 ,0時xxxxsin,32都是無窮小,第七節(jié)第七節(jié) 無窮小的比較無窮小的比較引例引例 .xxx3lim20,020sinlimxxx,xxx3sinlim0,31但 可見無窮小趨于 0 的速度是多樣的 . ,0limCk定義定

48、義.,0lim若則稱 是比 高階高階的無窮小,)(o,lim若若若, 1lim若,0limC或,設是自變量同一變化過程中的無窮小,記作則稱 是比 低階低階的無窮小;則稱 是 的同階同階無窮小;則稱 是關于 的 k 階階無窮小;則稱 是 的等價等價無窮小, 記作例如例如 , 當)(o0 x時3x26xxsin;xxtan;xxarcsinx20cos1limxxx220sin2limxx又如又如 ，22)(4x21故0 x時xcos1是關于 x 的二階無窮小,xcos1221x且例例1. 證明: 當0 x時,11nxxn1證證: lim0 x11nxxn10limx11nnxxn111nnx21

49、nnx11,0時當 x11nxxn1nnba)(ba1(naban 2)1nb定理定理1 與與是是等價無窮小等價無窮小的充分必要條件為的充分必要條件為)(o例如例如,0 時x,sinxx,tanxx故,0 時x, )(sinxoxx)(tanxoxx常用等價無窮小常用等價無窮小: :,0時時當當 x.21cos1,1,)1ln(,arctan,tan,arcsin,sin2xxxexxxxxxxxxxx 用等價無窮小可給出函數(shù)的近似表達式用等價無窮小可給出函數(shù)的近似表達式: :定理定理2 . 設,且lim存在 , 則lim lim定理定理( (等價無窮小替換定理等價無窮小替換定理) )設對同一

50、變化過程 , , 為無窮小 ,說明說明:無窮小的性質, 由等價可得簡化某些極限運算的下述規(guī)則. (1)和差取大規(guī)則和差取大規(guī)則: 若 = o() , (2)和差代替規(guī)則和差代替規(guī)則: ,不等價與且若,則例如例如,xxxx3sinlim30 xxx3lim031則,limlim且.時此結論未必成立但例如例如,11sin2tanlim0 xxxxxxxx2102lim2.sintanlim30 xxxx30limxxxx原式30)cos1 (tanlimxxxx2132210limxxxx例例1. 求解解: 原式 (3)(3)因式代替規(guī)則因式代替規(guī)則: :極限存在或有且若)(,x界界, 則則)(l

51、imx)(limx例如,01sinlim1sinarcsinlim00 xxxxxx231x221x例例2. 求.1cos1)1 (lim3120 xxx解解:,0時當x1)1 (312 x231x1cosx221x0limx原式32內(nèi)容小結內(nèi)容小結0lim,0, )0(C,1,0lim Ck1. 無窮小的比較設 , 對同一自變量的變化過程為無窮小, 且 是 的高階無窮小 是 的低階無窮小 是 的同階無窮小 是 的等價無窮小 是 的 k 階無窮小2. 等價無窮小替換定理,0時當 xxsinxtanxarcsin,x,x,xxcos1,221x11nxxn1思考與練習思考與練習Th 2P59 題

52、1 , 2 作業(yè)作業(yè) 習題習題1-71-7 2；4 (1)(3) (4)常用等價無窮小常用等價無窮小 :二、二、 函數(shù)的間斷點函數(shù)的間斷點 一、一、 函數(shù)連續(xù)性的定義函數(shù)連續(xù)性的定義 第八節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點 第一章 一、函數(shù)連續(xù)性的定義一、函數(shù)連續(xù)性的定義1.函數(shù)的增量函數(shù)的增量定義定義1 若函數(shù)若函數(shù)y=f(x)在點在點x0的某一鄰域內(nèi)有定義，當?shù)哪骋秽徲騼?nèi)有定義，當自變量由自變量由x0變到變到x時，函數(shù)對應的值由時，函數(shù)對應的值由f(x0)變到變到f(x)，則，則差差x - - x0叫作自變量的增量，記作叫作自變量的增量，記作x，即，即x= x- - x0差差f(x)- - f(x0

53、)叫作函數(shù)叫作函數(shù)y=f(x)在在x0處的處的增量增量，記作，記作y 即即 y= f(x)- - f(x0)定義定義2 設函數(shù)設函數(shù)y=f(x)在點在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，的某個鄰域內(nèi)有定義，若當自變量若當自變量x在點在點x0處的增量處的增量x趨于趨于0時，函數(shù)時，函數(shù)y=f(x)相應的增量相應的增量y= f(x0+x)- -f(x0)也趨于也趨于0，即，即 ，則稱函數(shù)，則稱函數(shù)y=f(x)在點在點x0處連續(xù)處連續(xù),并稱點并稱點x0為函數(shù)為函數(shù)f(x)的連續(xù)點。的連續(xù)點。0)()(limlim0000 xfxxfyxx2 2、函數(shù)連續(xù)性的定義、函數(shù)連續(xù)性的定義可見 , 函數(shù))(xf在點0

54、x定義定義:)(xfy 在0 x的某鄰域內(nèi)有定義 , , )()(lim00 xfxfxx則稱函數(shù).)(0連續(xù)在xxf(1) )(xf在點0 x即)(0 xf(2) 極限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx設函數(shù)連續(xù)必須具備下列條件:存在 ;若有定義 ,存在 ;f(x)在在x0連續(xù)的幾何特征連續(xù)的幾何特征曲線曲線 y = f (x) 在在 x0 點不斷裂。點不斷裂。0)(lim0)(0 xfxfxx)()(lim00 xfxfxx連續(xù)在點0)(xxf0)()(lim000 xfxxfx例例1 試證試證 , 0, 0, 0,1sin)(xxxxxf證明：證明：xxx1

55、sinlim00.0)(處處連連續(xù)續(xù)在在 xxf)(lim0 xfx),0(f 證畢證畢在在x=0處連續(xù)。處連續(xù)。定理定理連續(xù)在0)(xxf連續(xù)性是函數(shù)的連續(xù)性是函數(shù)的局部性質局部性質。;)(),()0(,()(0000處左連續(xù)處左連續(xù)在點在點則稱則稱且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfxaxf .)(),()0(,),)(0000處右連續(xù)處右連續(xù)在點在點則稱則稱且且內(nèi)有定義內(nèi)有定義在在若函數(shù)若函數(shù)xxfxfxfbxxf .)(0既左連續(xù)又右連續(xù)在 xxf例例2 討論函數(shù)討論函數(shù) , 0, 2, 0, 2)(xxxxxf解解)(lim0 xfx2 ),0(f )(lim0 xfx

56、2 ),0(f f (x)右連續(xù)但不左連續(xù)右連續(xù)但不左連續(xù), ,)2(lim0 xx)2(lim0 xx在在x=0處的連續(xù)性。處的連續(xù)性。故函數(shù)故函數(shù)f(x)在點在點x=0處不連續(xù)。處不連續(xù)。連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間 若若 f(x)在區(qū)間在區(qū)間 (a,b)內(nèi)內(nèi)每一點每一點處都連續(xù)，則稱處都連續(xù)，則稱f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)，區(qū)間內(nèi)連續(xù)，區(qū)間 (a,b)稱為稱為f(x)的連續(xù)區(qū)間。的連續(xù)區(qū)間。 若函數(shù)若函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)，且在內(nèi)連續(xù)，且在點點a右連續(xù)右連續(xù)，在在點點b左連續(xù)左連續(xù)，則稱，則稱f(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a,b上連續(xù)。上連續(xù)。連續(xù)函數(shù)的圖形

57、在連續(xù)區(qū)間連續(xù)函數(shù)的圖形在連續(xù)區(qū)間上上是一條連續(xù)而不是一條連續(xù)而不間斷的曲線間斷的曲線。幾何特征幾何特征例例3 證明函數(shù)證明函數(shù) y=sinx 在在 ),(內(nèi)連續(xù)。內(nèi)連續(xù)。證證: ),(xxxxysin)sin()cos(sin222xxx)cos(sin222xxxy122 xx0 x即0lim0yx這說明xysin在),(內(nèi)連續(xù) .同樣可證: 函數(shù)xycos在),(內(nèi)連續(xù)。0二、函數(shù)的間斷點二、函數(shù)的間斷點(1) 函數(shù)函數(shù) f(x) 在在 x0 無定義無定義(2) 函數(shù)f(x)在x0雖有定義，但)(lim0 xfxx不存在;(3)函數(shù)慢函數(shù)慢f(x)在在x0雖有定義，且雖有定義，且)(li

58、m0 xfxx存在 , 但)()(lim00 xfxfxx設設f(x)在點在點x0的某去心鄰域內(nèi)有定義 , 則下列情形這樣的點0 x之一函數(shù) f (x) 在點 x0 不連續(xù)：稱為間斷點間斷點 . 間斷點分類間斷點分類: :第一類間斷點第一類間斷點:)(0 xf及)(0 xf均存在 , )()(00 xfxf若稱0 x, )()(00 xfxf若稱0 x第二類間斷點第二類間斷點:)(0 xf及)(0 xf中至少一個不存在 ,稱0 x若其中有一個為振蕩 ,稱0 x若其中有一個為,為可去間斷點 .為跳躍間斷點 .為無窮間斷點無窮間斷點 .為振蕩間斷點振蕩間斷點 .xytan) 1 (2x為其無窮間斷

59、點 .0 x為其振蕩間斷點 .xy1sin) 2(1x為可去間斷點 .11)3(2xxyxoy1例如例如:xytan2xyoxyxy1sin01) 1 (1)(lim1fxfx顯然1x為其可去間斷點 .1,1,)(21xxxxfy(4)xoy211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)0(f1)0(f0 x為其跳躍間斷點 .注意：注意：不要以為函數(shù)的間斷點只能是不要以為函數(shù)的間斷點只能是個別的幾個點。個別的幾個點。 , 0, 1)(是無理數(shù)時是無理數(shù)時當當是有理數(shù)時是有理數(shù)時當當xxxDy狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù)在定義域在定義域R內(nèi)每一點處都間斷，且都是第二類間斷點。

60、內(nèi)每一點處都間斷，且都是第二類間斷點。 , 1, 1)(是無理數(shù)時是無理數(shù)時當當是有理數(shù)時是有理數(shù)時當當xxxf在定義域在定義域 R內(nèi)每一點處都間斷內(nèi)每一點處都間斷, ,但其絕對值處處連續(xù)。但其絕對值處處連續(xù)。o1x2x3xyx xfy 判斷下列各間斷點類型判斷下列各間斷點類型: :思考題思考題x1為跳躍間斷點，為跳躍間斷點，x2 2為無窮間斷點，為無窮間斷點，x3為可去間斷點。為可去間斷點。x1、x3為第一類間斷點，為第一類間斷點，x2為第二類間斷點。為第二類間斷點。例例8 8 當當a取何值時取何值時， , 0, 0,cos)(xxaxxxf解解)(lim0 xfx1)(lim0 xfxa,