高中數(shù)學(xué)圓錐曲線之拋物線的常見(jiàn)題型

1、、拋物線定義的應(yīng)用涉及到拋物線的焦半徑、焦點(diǎn)弦的問(wèn)題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義將其轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，反之也可以【2021四川】拋物線關(guān)于 x軸對(duì)稱，它的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)O，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn) M(2,y0)。假設(shè)點(diǎn)M到該拋物線焦點(diǎn)的距離為 3，那么|OM |A、2 .2解析：1y2 2px 4x(2,2,2) OM 2.3【2021成都三診】過(guò)拋物線2y 4x的焦點(diǎn)F的直線I與拋物線相交于 A, B兩點(diǎn)，假設(shè)線段AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3，那么線段AB的長(zhǎng)度為A6B8C10D12答案：B解析：根據(jù)拋物線定義來(lái)求解，設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是x1，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是x2，那么AB x-i x2隨堂練習(xí)2251、過(guò)

2、拋物線y2 2x的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于 A,B兩點(diǎn)，假設(shè)| AB | , | AF | | BF |，12解析：|AF|BF| 尋 |AF|-2，那么 |AF | 5,| BF | -p642、在直角坐標(biāo)系中，直線I過(guò)拋物線y2 4x的焦點(diǎn)F ,且與該拋物線相交于 代B兩點(diǎn),其中A點(diǎn)在X軸上方，假設(shè)直線的傾斜角為60，那么 OAF的面積為1122p解析：聯(lián)立和|AB| 2(為弦AB的傾斜角)可解得AF 4| FA | | FB | psinS OAF |*4*1*sin120、3二、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程【2021全國(guó)II】設(shè)拋物線C: y2= 2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C 上, |M

3、F|= 5,假設(shè)以MF 為直徑的圓過(guò)點(diǎn)(0,2)，那么C的方程為().A . y2= 4x 或 y2= 8xB. y2= 2x 或 y2= 8xC. y2= 4x 或 y2= 16xD. y2= 2x或 y2 = 16x答案：C解析：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(xo , yo)，由拋物線的定義，得|MF|= Xo+ = 5，那么x°= 5 .2 2又點(diǎn)F的坐標(biāo)為 P,0 ，所以以MF為直徑的圓的方程為(xxo) x衛(wèi) + (y yo)y =2 2o.2將 x = o, y= 2 代入得 pxo+ 8 4yo= o,即卩 4yo+ 8= o,所以 yo= 4.2由 y02 = 2pxo,得 162

4、 p 5，解之得 p= 2,或 p= 8.2所以C的方程為y2 = 4x或y2= 16x.應(yīng)選C.三、拋物線的幾何性質(zhì)【2021全國(guó)I】設(shè)F為拋物線C: y2 3x的焦點(diǎn),過(guò)F且傾斜角為30。的直線交C于A, B兩點(diǎn)，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么OAB的面積為B.9.38C.魚(yú)32【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)A、B分別在第一和第四象限2m= 2?3+、3m,2n 二 2?3- 3n,441 39擠、出.SAOAB=?(m+ n)二.應(yīng)選 D.2 442m, BF = 2n，那么由拋物線的定義和 直角三角形知識(shí)可得, m= |(2+ 3), n=誕- 3), .5+ n = 6.AF =解得【2021成都三診】如

5、圖，一隧道截面由一個(gè)長(zhǎng)方形和拋物線構(gòu)成現(xiàn)欲在隧道拋物線拱頂上安裝信息采集裝置假設(shè)位置C對(duì)隧道底AB的張角 最大時(shí)，采集效果最好，那么采集效果最好的為止C到AB的距離是A2 2 m B2 3 mC4mD6m答案：A解析：建立如下列圖直角坐標(biāo)系，并過(guò)點(diǎn) C作AB的垂線,垂足為F，易知拋物線的方程為 x24y，設(shè)C(x,y),CFt,那么 AF 4 x,FB 4 x，tan ACB16 x28t8t22 2t2 16 x2 t2 16 ( 4y)8tt2 16 4(6 t)當(dāng)且僅當(dāng)t 2.2時(shí)， ACB取最大值，應(yīng)選 A.隨堂練習(xí)：如圖，正方形 ABCD和正方形DEFG的邊長(zhǎng)分別為a,b(a b)，

6、原點(diǎn)O為AD的中點(diǎn)，拋物線y2 2px(p 0)經(jīng)過(guò)C,F兩點(diǎn)，那么baaab解析：C( , a)，F(xiàn)(b -,b)，代入可求得1222a四、拋物線綜合問(wèn)題【2021三診】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A和B分別是橢圓2 2 2 2G：篤爲(wèi) 1(a b 0)和橢圓C2：篤爲(wèi) 1(m n 0)上的動(dòng)點(diǎn)，G的焦距為 a bm n2,點(diǎn)T在直線AB上，且OA OB AB OT 0，又當(dāng)動(dòng)點(diǎn)A在x上的射影為C焦點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A恰在雙曲線2y2 x2 1的漸近線上I求橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程2II丨假設(shè)G與C2共焦點(diǎn)，且 G的長(zhǎng)軸與C2的短軸長(zhǎng)度相等，求I AB|的取值范圍山假設(shè)m,n是常數(shù)，且A A 1，證明|

7、OT |為定值.m n 2解析：I雙曲線2y2 x21的漸近線方程為由題意知橢圓2C1的半焦距Cl1，那么ab2 1又點(diǎn)A的坐標(biāo)為(c, 一)，且在漸近線上，故 ab2解之得a . 2,b2橢圓g的標(biāo)準(zhǔn)方程為專2 y?1|G與C2共焦點(diǎn)，且G的長(zhǎng)軸與 C的短軸長(zhǎng)度相等那么 n a 2，m ; n213，即 C?2x的方程為一3當(dāng)直線OA的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)為k，那么直線OA的解析式為y kx，1直線OB的解析式為y1x分別聯(lián)立A、B所在的橢圓解析式可得:11 2k2y kxx2°x22 2 |OA |2 1y2 11 2k21121xk2y263 2k2|OB |2(2 k24k

8、21)(2k2 3)43""482 4k2k22124 3，當(dāng)且僅當(dāng)k2-3時(shí)取等號(hào)2| AB|2 4843234 | AB|2當(dāng)直線OA的斜率k為零或者不存在時(shí)，有| AB|2 4綜上，|AB|2的取值范圍是23,4III當(dāng)直線OA的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)為OA2 OB2AB2OA2 OB2OA2OB2所以|OT|12|OA|由II丨可得1|OA|21 2k22(1 k2)1xk2y_n1m2|OB |2(k2m21|OB|2£ m2(k2 1)IOAI22k22(1 k2)k：2 m (k2 1)k22 m|OT| 1；，當(dāng)m是常數(shù)時(shí)，|OT|為定值易知當(dāng)直線OA的斜率不存在或者為零時(shí)，上述結(jié)論也成立X2【2021全國(guó)I】在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C : y 直線y4兩點(diǎn)I當(dāng)k 0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；ny軸上是否存在點(diǎn) P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有 OPM解析：I當(dāng)k 0時(shí)，直線y a，故M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2、_a,a)、( 2、一a,a)又y' I，所以曲線C在點(diǎn)(2、a,a) 的切線方程為,ax在點(diǎn)(2、a,a)的切線方程為.ax y a 0n丨存在符合題意的點(diǎn)，證明如下設(shè)P(0, b)為符合題意的點(diǎn)，M(Xi,yi)、N(x2, y2)，直線PMkx a(a 0)交與 M、NOPN ?說(shuō)明