高中數學不等式選修題型全歸納

1、6.不等式選講6.1均值不等式在證明中的應用1.1 a,b R ,x, y求證:2y_b2實數x,y滿足:2x2試利用丄的最小值。y21證：a b x ax2bx2a2aybx22xy2解當且僅當1 22 1y2 2x2 y222x2時,取等號；1 21 2 9，當且僅當y2122xy的最小值y2 1 時，考點：均值不等式在證明中的應用、綜合法證明不等式6.2絕對值不等式單絕對值不等式x2 5x 4 x 02.函數f(x)假設函數y f(x) ax恰有4個零點，那么實數a2 x 2,x 0的取值范圍為.答案：(1,2)解析：分別作出函數y f(x)與y a|x|的圖像，由圖知，a 0時，函數y

2、 f(x)與y a|x|無交點，a 0時，函數y f (x)與y a|x|有三個交點，故a 0.當x 0， a 2時，函數y f (x)與y a |x |有一個交點，當x 0， 0 a 2時，函數y f (x)與y a |x |有兩個交點，當x 0時，假設yax與y x2 5x 4,( 4 x 1)相切，那么由0得：a 1或a 9舍，因此當x 0， a 1時，函數y f (x)與y a| x |有兩個交點，當x 0， a 1時，函數y f (x)與y a|x|有三個交點，當x 0， 0 a 1時，函數y f (x)與y a| x|有四個交點， 所以當且僅當1 a 2時，函數y f(x)與y a

3、|x|恰有4個交點.考點：單絕對值不等式3.存在x 0 ,使得不等式x2 2 x t|成立，那么實數t的取值范圍為答案：9,24解析：不等式x2 2 |x t| ,即|x t 2 x2，令yi x t,yi的圖象是關于x t對稱的一個V字形圖形，其象位于第一、二象 限；Y2 2 x2，是一個開口向下，關于y軸對稱，最大值為2的拋物線；要存在x 0，使不等式x t 2 x2成立，那么yi的圖象應該在第二象限和y2的圖象有交點,兩種臨界情況，當t 0時,yi的右半局部和y2在第二象限相切:yi的右半局部即yix t ，聯(lián)列方程y x ty 2 x2，只有一個解；即 x t 2 x2 ，即 x2 x

4、 t 2 0 ,1 4t 8 0，得：t此時力恒大于等于y2 ,所以t 9取不到；4所以9 t 0 ；4當t 0時，要使和y2在第二象限有交點，即的左半局部和y2的交點的位于第二象限；無需聯(lián)列方程，只要與y軸的交點小于2即可；yi t x與y軸的交點為(0,t)，所以t 2，又因為t 0，所以0 t 2 ；綜上，實數t的取值范圍是：9上2 ；4故答案為：9,2 .考點：單絕對值不等式同系數絕對值相加型不等式4. 函數 f(x) |2x 1| |2x a| , g(x) x 3.1當a 2時，求不等式f(x) g(x)的解集;2設a 1，且當x 歸時，f(x) g(x)，求a的取值范圍15x,

5、x21當 a 2 時，令 y 2x 1 2x 2 x 3 x 2,1 x 1 ,3x 6,x 1作出函數圖像可知，當x (0,2)時，y 0 ,故原不等式的解集為x0 x 2 ;2依題意，原不等式化為1 a x 3，故x a2對故a a1 2，2故a 4 -3 7昇都成立，考點：同系數絕對值相加型不等式623同系數絕對值相減型不等式5. 函數f(x) x 2 x 51證明：3 f (x)3;2求不等式f (x) x2 8x 15的解集。3,x 21 f (x) x 2 x 5 2x 7, 2 x 53,x 5當 2 x 5 時，3 2x 7 3，所以， 3 fx 38x 15的解集為空集;5時

6、,x當2 8x 15的解集為x|53f (x) x2 8x 15 的解集為 x|5綜上：不等式f (x) x2 8x 15的解集:x |5考點：同系數絕對值相減型不等式不同系數絕對值相加減型不等式6. 設函數f x 2x 1 x 21求不等式f x 2的解集；2假設x R, f x t2當恒成立，求實數t的取值范圍.2C1x3,x-21由題意得 f(x)3x1, -x22x 3,x 2當x 1時，不等式化為x 3 2，解得x 5 x 5,2當1 x 2時，不等式化為3x 1 2，解得x 1 1 x 2,2當x 2時，不等式化為x 3 2，解得x 1 x 2 ,綜上，不等式的解集為xx 1?cx

7、5 .2由1得 f X min5，假設 x R , f x t2 11t 恒成立，min22那么只需f X min 2 t2,解得 t 5，綜上，t的取值范圍為1 ,52考點：不同系數絕對值相加減型不等式6.3絕對值不等式解求參數7. 設函數 f (x) x a 3x,a 0(1)當a 1時，求不等式f(x) 3x 2的解集；如果不等式f(x) 0的解集為x x 1 ,求a的值。1當 a 1 時，f(x) 3x 2可化為 |x 1| 2。由此可得 x 3或x 1。故不等式f(x) 3x 2的解集為x|x 3或x 1(2)由 f(x) 0 得 x a 3x 0此不等式化為不等式組x ax a 3

8、x 0x aa x 3x 0x aa a2x a即a或x 4因為a 0，所以不等式組的解集為x|x旦2由題設可得a=-1，故a 22考點：絕對值不等式解求參數6.4絕對值不等式解的范圍求參數范圍8.函數 f (x) |x a| |x 2|.1當a3時，求不等式f(x) 3的解集；2假設f (x) |x 4|的解集包含1,2，求a的取值范圍.答案：52x(x2)1當 a3時,f(x) |x 3| |x2|1(2x3)2x5(x3)所以不等式f(x)3可化為x522x 3，或21x 3或3解得x 1或x4因此不等式f(x)3的解集為x|x1或x42由f(x)|x 4|x 32x 5 3即為 |x

9、a| |x 2| |x 4| ,也即 | x a|x 4 | x 2 |假設f(x) |x 4|的解集包含1,2, 那么 x 1,2 , |x a| |x 4| |x 2| , 也就是 x 1,2 , |x a| 2 , 所以 x 1,2,從而解得1 a 22 a 2，3 a 0因此a的取值范圍為a 3,0.考點：絕對值不等式解的范圍求參數范圍、同系數絕對值不等式相加減6.5含絕對值不等式的恒成立問題9.函數 f(x) 2x 1| |2x 1，1假設對任意的x有f(x) a成立，求a的取值范圍；2假設不等式2a b a *|a b f (x) 0，對于任意的a,b都成立，求x的取值 范圍。1根

10、據題意,a小于等于f(x)的最小值x4x, x可得所以ba時取1a2abax212b ab6.6含絕對值不等式的能成立問題當且僅當(2a專為家教定制的優(yōu)質教、學內容提供商2a b10.函數考點：含絕對值不等式的恒成立問題、同系數絕對值相加型不等式b)a 0f(x) 0f (x) 21恒成立a b當aa 2a b第10頁共18頁DREAM(2 a b) a(2)假設關于x的不等式b 0時，由絕對值不等式得性質可得(1)求x的取值范圍，使f由 f(x) 2, 1x 1x 3x為常數函數2f(x)2a b|a b2aaf (x)min 2當a b 0即a b時，2x a 0有解,求實數a的取值范圍1

11、2f(x) 111x 220 f(x) 0恒成立， x R12124x,x -2x 2,x3(1) f x |x 1 x 34, 3 x 12x 2,x 1那么當x 3,1時,f x為常數函數.方法一:如圖，結合(1)知函數f x的最小值為4 實數a的取值范圍為a 4 .方法二：x 1 x 3 x 1 x 3；x 1 x 34 ,等號當且僅當x 3,1時成立.得函數f x的最小值為4 ,那么實數a的取值范圍為a4 ./-j a1 J考點：含絕對值不等式的能成立問題6.7利用絕對值的三角不等式放縮求最值11.實數x，y滿足：|x y| 3，|2x y|右求證：|y| 18-2x y ,證明：+3

12、| y | = | 3y | = |2 x y 2x y | 2 xAA由題設 |x y | -,|2x y|363| y|y|518考點：絕對值的三角不等式6.8數形結合在含參絕對值不等式中的應用12.函數 f(x)x2 6x 9 x2 8x 16 .1求f(x) f的解集;2設函數g(x) k(x 3) , k R，假設f(x) g(x)對任意的x R都成立，求實數k的取值范圍.1f (x)x2 6x 9 x2 8x 16. (x 3)2 - (x 4)2 |x 3| |x 4| ,f(x) f (4)，即 |x 3| |x 4| 9,x 4,3 x x或sxx 3,x 49或x3,3x4

13、9,解得不等式：x 5 ；：無解；:所以f(x) f的解集為x|x5 或 x 4.2f (x) g(x)即 f (x) | x 3| x 4 |的圖象恒在g(x)k(x 3)圖象的上方,可以作出f(x) |x 3| |x 4|2x 1, x 4,7,4x3,的圖象,2x 1, x 3而 g(x) k(x3)圖象為恒過定點P(3, 0)，且斜率k變化的一條直線,作出函數yf (x), y g(x)圖象，其中kpB 2,A( 4,7),1,由圖可知，要使得f (x)的圖象恒在g(x)圖象的上方,KDREAM實數k的取值范圍應該為1 k 2 .考點：同系數絕對值不等式相加型、數形結合在含參絕對值不等

14、式中的應用7.證明不等式的根本方法7.1比擬法證明不等式13.設不等式|2x 1| 1的解集是M , a,b M .1試比擬ab 1與a b的大??；2設max表示數集A的最大數.h max纟,a J ,令,求證：h 2.Va Jab Vb答案：1ab 1 a b; 2見解析解析：1先解出M x|0 x 1 .(ab 1) (a b) (a 1)(b 1) 0.問題得證.c2.22h max 2 a b 2-aab，c2.2c可知 h ：Vh 巳,h ：2b，所以根據不等式的性質，同向正向不等式具有可乘性，從而可證出h3 8.故h 2.考點：比擬法證明不等式7.2綜合法證明不等式7.3分析法證明

15、不等式14.f(x) |x 1| |x 1,不等式f (x) 4的解集為M .1求 M ；2當a,b M時，證明：2b 4 ab.1解不等式:x 1 亠 1 x或2x 42 41或x2x2x22,2 .2需證明:24(a 2abb2)2 2a b 8ab 16，只需證明a2b24a2 4b2 160，liiDREAM即需證明(a2 4)(b2 4)02 2 2 2a,b ( 2,2) a 4,b4 (a 4)0,(b 4)0(a2 4)(b2 4)0,所以原不等式成立. 考點：分析法證明不等式7.4反證法證明不等式15.設 a 0,b 0.且 a b -證明：a b1a b 2 ；2a2 a

16、2與b2 b 2不可能同時成立.由 a b 1 二一-，a 0,b 0.得 ab 1a b ab1由根本不等式及ab 1，有a b 2. ab 2，即a b 2 ；2假設a2 a 2與b2 b 2同時成立，那么由a2 a 2及a 0得0 a 1 ，同理0 b 1 ，從而ab 1，這與ab 1矛盾，故a2 a 2與b2 b 2不可能同時成立. 考點：反證法證明不等式、均值不等式在證明中的應用專為家教定制的優(yōu)質教、學內容趕供商。8.5放縮法證明不等式多為數列的題16.數列an的前n項和S滿足Sn 2an n1求數列的通項公式;anan 1，記數列bn的前n和為Tn，證明:【答案】1an 2n 1

17、； 2詳見解析【解析】試題分析:1考慮到an 1 Sn 1Sn，因此可以利用條件中的式子得到數列an的一個遞推公式，從而即可求解;2由1可知bnanan 1n /2 1n 1， bn2 112n，從而可證Tnn2進一步放縮可得12n 222n 2 3 2n13 2n，求和即可得證試題解析：1t Sn 2an n,當n 1時，S a12a1 1a11，又Sn 1 2an 1n 1,與 Sn 2ann兩邊分別相減得an 12an 1 2an 1 ,得an 12 an1，又ai12 ,數列an1是以2為首項，2為公比的等比數列，an2n，得 an2n1；an2n 1an 12n- bn1232412n 2 20，得又_ 12n12n 2 32n13 2n12212n0.KDREAM9.柯西不等式9.1柯西不等式的代數形式17.關于x的不等式x ab的解集為x|2 x 4求實數a,b的值;求,aCl2、bt的最大值.解得a3,b 1.2 3t 12.t 、3 4 t 、t ,(、3)2 12(、4 t