第5課時(shí)：曲線與方程

1、曲線與方程曲線與方程 （一）參數(shù)法求軌跡方程參數(shù)法求軌跡方程曲線與方程曲線與方程 （二）參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)參數(shù)法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)之間的關(guān)系不易的坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到，也沒有相關(guān)點(diǎn)可用時(shí)，可考慮將直接找到，也沒有相關(guān)點(diǎn)可用時(shí)，可考慮將x，y均均用一中間變量用一中間變量(參數(shù)參數(shù))表示，得參數(shù)方程，再消去參表示，得參數(shù)方程，再消去參數(shù)得普通方程數(shù)得普通方程1.1.參數(shù)法求軌跡方程參數(shù)法求軌跡方程例例1.已知點(diǎn)已知點(diǎn)P(5, 0)和和 O:x2+y2=16. (1)自自P作作 O的切線的切線, 求切線長及切線方程求切線長及切線方程; (2)過過P任意作直線任意作直線 l 與與 O交于交于

2、A, B兩相異兩相異點(diǎn)點(diǎn), 求弦求弦AB中點(diǎn)中點(diǎn)M的軌跡的軌跡.OxyP(5,0)QPQO是直角三角形是直角三角形 ，切線長切線長|PQ|=22543. 解解:(1)設(shè)過設(shè)過P的圓的圓O的切線切圓于點(diǎn)的切線切圓于點(diǎn)Q,連接連接OQ.設(shè)切線方程為設(shè)切線方程為(5),yk x 則則 (5),yk x2| 5 |4,1kk 4.3k 所以切線方程為所以切線方程為或或 43200,43200.xyxy (2)設(shè)設(shè)M(x, y)是所求軌跡上任一點(diǎn)是所求軌跡上任一點(diǎn), A(x1, y1), B(x2,y2) , AB的斜率為的斜率為k， 由題意：由題意：22(5),16.yk xxy 消去消去y得：得：,

3、1102221kkxx 2212111010)(kkkxxkyy 21221225,215.21xxkxkyykyk 2222(1)1025160. (1)kxk xk 而而 過原點(diǎn)過原點(diǎn)(0,0),消去消去k得：得：2250,0.xyxy 或或當(dāng)當(dāng) y=0時(shí)時(shí), k=0, 此時(shí)此時(shí)x=0.2250 xyx 又由又由(1), 2161600.95kx 所以軌跡方程為所以軌跡方程為22525()24xy16(0).5x 2250.xyx 所求軌跡方程為所求軌跡方程為2.2.幾何法求軌跡方程幾何法求軌跡方程 幾何法求軌跡方程：是據(jù)圖形的幾何性幾何法求軌跡方程：是據(jù)圖形的幾何性質(zhì)而得到軌跡方程的方法

4、質(zhì)而得到軌跡方程的方法. 6|,sinOPAPB ,PAOA PBOB 解解：OAPB四四邊邊形形有有一一外外接接圓圓, ,OP且且為為外外接接圓圓的的直直徑徑. .226,sin60 xy ,由由正正弦弦定定理理 得得2248(06,0)xyxy 化化簡簡得得. .所以點(diǎn)所以點(diǎn)P的軌跡方程是的軌跡方程是2248(06,0).xyxy MxyO22|3|4()( )210 xy 22|3|8()( )210 xy 10 xy. . 求兩動(dòng)曲線交點(diǎn)軌跡時(shí)，可由方程直接求兩動(dòng)曲線交點(diǎn)軌跡時(shí)，可由方程直接消去參數(shù)，例如求兩動(dòng)直線的交點(diǎn)時(shí)常用此消去參數(shù)，例如求兩動(dòng)直線的交點(diǎn)時(shí)常用此法，也可以引入?yún)?shù)來

5、建立這些動(dòng)曲線的聯(lián)法，也可以引入?yún)?shù)來建立這些動(dòng)曲線的聯(lián)系，然后消去參數(shù)得到軌跡方程系，然后消去參數(shù)得到軌跡方程.可以說是參可以說是參數(shù)法的一種變種數(shù)法的一種變種.3.交軌法求軌跡方程交軌法求軌跡方程221212121 122194.yxA AP PA AAPA PM例3.設(shè) , 是橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn), , 是垂直于的弦的端點(diǎn)，求直線與交點(diǎn)的軌跡方程12( 30)(3 0)AA，,解已知，：由.11 1211()()()P xyP xyM x y設(shè)，,，,交點(diǎn),22211121419499xyyx 又又，. .22499yx從而，221221.99yyxx , ,得得1111.33yyA P

6、Mxx則由得, ,三點(diǎn)共線，1221.33yyA P Mxx, , 三點(diǎn)又得共線，221.94yx xyO121002000110022000222200()3,03,0()().3.339.11.9494M xyAAP xyP xyyyyA P PxxxyyyA P Pxxxyxyxxxyyx設(shè)交點(diǎn)， 易知，因?yàn)?, , 共線，所以因?yàn)? 共線，所以由解得，將其代入，:得解221212121 122194.yxA AP PA AAPA PM例3.設(shè) , 是橢圓長軸的兩個(gè)端點(diǎn), , 是垂直于的弦的端點(diǎn)，求直線與交點(diǎn)的軌跡方程xyO121002000110022000222200()3,03,0

7、()().3.339.11.9494M xyAAP xyP xyyyyA P PxxxyyyA P Pxxxyxyxxxyyx設(shè)交點(diǎn)， 易知，因?yàn)?, , 共線，所以因?yàn)? 共線，所以由解得，將其代入，:得解121002000110022000222200()3,03,0()().3.339.11.9494M xyAAP xyP xyyyyA P PxxxyyyA P Pxxxyxyxxxyyx設(shè)交點(diǎn)， 易知，因?yàn)?, , 共線，所以因?yàn)? 共線，所以由解得，將其代入，:得解121002000110022000222200()3,03,0()().3.339.11.9494M xyAAP xy

8、P xyyyyA P PxxxyyyA P Pxxxyxyxxxyyx設(shè)交點(diǎn)， 易知，因?yàn)?, , 共線，所以因?yàn)? 共線，所以由解得，將其代入，:得解121002000110022000222200()3,03,0()().3.339.11.9494M xyAAP xyP xyyyyA P PxxxyyyA P Pxxxyxyxxxyyx設(shè)交點(diǎn)， 易知，因?yàn)?, , 共線，所以因?yàn)? 共線，所以由解得，將其代入，:得解221.94yx得得 本題用交軌法求軌跡的方程，其解題步驟是寫本題用交軌法求軌跡的方程，其解題步驟是寫出動(dòng)點(diǎn)所滿足的兩個(gè)軌跡方程后，組成方程組消參即出動(dòng)點(diǎn)所滿足的兩個(gè)軌跡方程后，組成方程組消參即可解得，此法適用于求兩動(dòng)直（曲）線交點(diǎn)的軌跡