第17講IIR數(shù)字濾波器

1、4.34.3無(wú)限長(zhǎng)單位沖擊響應(yīng)（無(wú)限長(zhǎng)單位沖擊響應(yīng)（IIRIIR）數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)4.3.14.3.1概述概述l數(shù)字濾波器是一離散時(shí)間系統(tǒng)，可以用差分方程，單位抽樣響應(yīng)h( n)、系統(tǒng)函數(shù)H( z)等 來(lái)描述。l按照離散系統(tǒng)的時(shí)域特性，數(shù)字濾波器可分為無(wú)限沖激響應(yīng)（IIR），有限沖激響應(yīng)（FIR）數(shù)字濾波器兩類，l前者是指其單位抽樣響應(yīng)h ( n )為無(wú)限長(zhǎng)序列，后者h(yuǎn) ( n )則是有限長(zhǎng)序列。由前述，一般離散系統(tǒng)可表示為N階差分方程N(yùn)kkMkkknyaknxbny10)()()(無(wú)此項(xiàng)則為FIR特點(diǎn)：特點(diǎn)：l而上式ak不全為0，并且分母至少存在一個(gè)根不為分子所抵消時(shí)，H (

2、 z )是有理分式，則h( n)為無(wú)限長(zhǎng)，即IIR數(shù)字濾波器l這種濾波器的輸出與現(xiàn)時(shí)刻的輸入以及過(guò)去時(shí)刻的輸入有關(guān)，而且與過(guò)去的輸出有直接的關(guān)系，通常用遞歸的結(jié)構(gòu)形式來(lái)實(shí)現(xiàn)。l在理論上它們具有無(wú)限的記憶能力，這種記憶能力是通過(guò)將輸出反饋到輸入來(lái)獲得的例：例：輸出與過(guò)去的輸輸出與過(guò)去的輸出有關(guān)出有關(guān)用遞推法求解用遞推法求解沖擊響應(yīng)有無(wú)窮沖擊響應(yīng)有無(wú)窮多項(xiàng)多項(xiàng)l直接型1 1、I I RI I R數(shù)字濾波器的直接數(shù)字濾波器的直接 （I I）型結(jié)構(gòu)）型結(jié)構(gòu)MkkNkkknxbknyany01)()()(采用信號(hào)流圖所定義的符號(hào)，直接畫(huà)出差分方程對(duì)采用信號(hào)流圖所定義的符號(hào)，直接畫(huà)出差分方程對(duì)應(yīng)系統(tǒng)的信號(hào)

3、流圖結(jié)構(gòu)稱為直接應(yīng)系統(tǒng)的信號(hào)流圖結(jié)構(gòu)稱為直接 （I I）型結(jié)構(gòu)。）型結(jié)構(gòu)。M=N2 2、I I RI I R數(shù)字濾波器的直接數(shù)字濾波器的直接 （）型結(jié)構(gòu)）型結(jié)構(gòu)將“ I I R 數(shù)字濾波器的直接數(shù)字濾波器的直接 （I）型結(jié)構(gòu)）型結(jié)構(gòu)”中的延時(shí)單元 盡可能減少的一種流圖結(jié)構(gòu)，稱為直接直接 （）型結(jié)構(gòu)）型結(jié)構(gòu)。1z例如：將“ I I R 數(shù)字濾波器的直接數(shù)字濾波器的直接 （I）型結(jié)構(gòu)）型結(jié)構(gòu) ”【圖(a)】中間兩部分的延時(shí)單元合并，得到“ I I R 數(shù)字濾波器的直接數(shù)字濾波器的直接 （）型結(jié)構(gòu)）型結(jié)構(gòu) ”【圖(b)】直接 型直接 型4.3.2IIR4.3.2IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法數(shù)字濾波器的

4、設(shè)計(jì)方法NkkNkkzazbzH11011)(對(duì)于IIR數(shù)字濾波器，其系統(tǒng)函數(shù)為：jezjkkzHeHba)()(，使、 設(shè)計(jì)IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，就是要確定確定H(z)的階數(shù)的階數(shù)N（通常稱（通常稱N為濾波器的階數(shù)）以及分子分母多項(xiàng)式的為濾波器的階數(shù)）以及分子分母多項(xiàng)式的系數(shù)系數(shù)滿足指定的頻率特性。滿足指定的頻率特性。方法一：利用模擬濾波器的理論來(lái)設(shè)計(jì)方法一：利用模擬濾波器的理論來(lái)設(shè)計(jì)方法二：利用最優(yōu)化技術(shù)進(jìn)行方法二：利用最優(yōu)化技術(shù)進(jìn)行CADCAD設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)若需設(shè)計(jì)濾波器的幅頻特性是任意的或者形狀比較復(fù)雜，可采用計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)(CAD)方法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。方法三：利用方法三：利用 “ “ 零極

5、點(diǎn)累試法零極點(diǎn)累試法 ” ” 進(jìn)行設(shè)進(jìn)行設(shè)計(jì)計(jì)若需設(shè)計(jì)濾波器的幅頻特性比較規(guī)則而且簡(jiǎn)單時(shí)，可采用“ 零極點(diǎn)累試法零極點(diǎn)累試法 ”進(jìn)行設(shè)計(jì)。例如：數(shù)字陷波器由模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器由模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器lIIR數(shù)字濾波器的特點(diǎn)是h( n)為無(wú)限長(zhǎng)序列。l設(shè)計(jì)的基本思路：讓數(shù)字濾波器的特性去模仿一個(gè)模擬濾波器的特性，得到數(shù)字濾波器的H( z)、H( e j)與模擬濾波器的H ( s)、H ( j)之間的變換關(guān)系。l(1)先設(shè)計(jì)一個(gè)模擬濾波器的傳遞函數(shù)H ( s)，l(2)通過(guò)s變量與z變量之間的變換關(guān)系求出數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H( z) 。l設(shè)計(jì)思想： s 平面 z 平面模擬系統(tǒng) 數(shù)字系統(tǒng)(

6、 )( )aHsH zlH(z) 的頻率響應(yīng)要能模仿 Ha(s) 的頻率響應(yīng)，即 s 平面的虛軸映射到 z 平面的單位圓l因果穩(wěn)定的 Ha(s) 映射到因果穩(wěn)定的 H(z) ，即 s 平面的左半平面 Res 0 映射到 z 平面的單位圓內(nèi) |z| 11.從從s平面到平面到z平面的映射平面的映射2.2.沖激響應(yīng)不變法沖激響應(yīng)不變法( )( )at nTh nh t數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng) 模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)( )h n( )ah t12akHsjkTT變換原理( )( )sTaz eH zHsT抽樣周期( )H z( )aHs12akHsjkTT( )( )sTaz eH zHs混迭失

7、真混迭失真12()jakkH eHjTT僅當(dāng)()02sahjT 數(shù)字濾波器的頻響在折疊頻率內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻響而不產(chǎn)生混迭失真：數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓，周期為 2 /T實(shí)際系統(tǒng)不可能嚴(yán)格限帶，都會(huì)混迭失真優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)缺點(diǎn)l優(yōu)點(diǎn)：l缺點(diǎn)：T l保持線性關(guān)系：線性相位模擬濾波器轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性相位數(shù)字濾波器l頻率響應(yīng)混迭只適用于限帶的低通、帶通濾波器lh(n)完全模仿模擬濾波器的單位抽樣響應(yīng)時(shí)域逼近良好( )ah t沖激響應(yīng)不變法的數(shù)字化實(shí)現(xiàn)沖激響應(yīng)不變法的數(shù)字化實(shí)現(xiàn)1( )NkakkAHsss111kNks TkAez( )( )()( )( )aaaHsh th nTh n

8、H z11( )( )( )kNs taakkh tLHsA e u t1( )()()kNs nTakkh nh nTA eu nT1( )kNns TkkA eu n( )( )nnH zh n z01kNns TnknkA ez110kNns TkknAez 3.3.雙線性變換法雙線性變換法變換原理使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)與模擬濾波器的頻率響應(yīng)相似。沖激響應(yīng)不變法：時(shí)域模仿逼近缺點(diǎn)是產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真:, 1:,T T 12Ttg 1s Tze11sin2cos2TT1111s Ts Tee1111zsz 11szs12Ttg 1111222222TTjjTTjjeejee111122

9、22TTjjTTjjeesjee 11112222s Ts Ts Ts Teeee1111zz1s Tzesj 11sj 12s Tel為使模擬濾波器某一頻率與數(shù)字濾波器的任一頻率有對(duì)應(yīng)關(guān)系，引入系數(shù) c12Tc tg 1111zsczcszcs逼近情況逼近情況2222()()czc01z1111112jjzesccjc tgjze 1）s平面虛軸z平面單位圓cscjzcscj 2）01z01z左半平面單位圓內(nèi)s平面z平面右半平面單位圓外虛軸單位圓上l雙線性變換的頻率對(duì)應(yīng)關(guān)系模擬頻率與數(shù)字頻率為一種非線性的關(guān)系情形。即：)2(tg可見(jiàn)：模擬濾波器與數(shù)字濾波器的響應(yīng)在對(duì)應(yīng)的頻率關(guān)系上發(fā)生了“畸變

10、畸變”，也造成了相位的非線性變化，這是雙線性變換法的主要缺點(diǎn)。具體而言，在上刻度為均勻的頻率點(diǎn)映射到上時(shí)變成了非均勻的點(diǎn)，而且隨頻率增加越來(lái)越密。 雙線性變換法除了不能用于線性相位濾波器設(shè)計(jì)外，仍然是應(yīng)用最為廣泛的設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器的方法。 優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)缺點(diǎn)l優(yōu)點(diǎn)：2c tg 避免了頻率響應(yīng)的混迭現(xiàn)象s 平面與 z 平面為單值變換l缺點(diǎn)： 除了零頻率附近， 與 之間嚴(yán)重非線性線性相位模擬濾波器 非線性相位數(shù)字濾波器模擬濾波器的數(shù)字化方法模擬濾波器的數(shù)字化方法1111111( )( )1aazs czzH zHsHcz4.3.34.3.3模擬濾波器模擬濾波器的的設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)l模擬濾波器設(shè)計(jì)中的基本概念

11、1、模擬濾波器的頻率特性與衰減特性、模擬濾波器的頻率特性與衰減特性 jssHjH| )()(設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：工程上，濾波器的幅度特性所給定的指標(biāo)通常是通帶和阻帶的衰減衰減。（常用反映功率增益的幅度平方函數(shù)幅度平方函數(shù)或模平方函數(shù)模平方函數(shù)來(lái)表示）即：)( | )(|lg20| )(|lg10)(2dBjHjHA當(dāng)要求濾波器具有線性相位特性（延時(shí)為常數(shù)）時(shí)，濾波器的頻率特性頻率特性為：,| )(|)()(jejHjH)(2、歸一化與頻率變換、歸一化與頻率變換 頻率變換頻率變換：從歸一化低通原型濾波器到高通、帶通、帶阻等其它類型的濾波器的變換方法。在設(shè)計(jì)模擬濾波器時(shí)，為使設(shè)計(jì)結(jié)果具有普遍

12、性以及計(jì)算方便，常采用歸一化參數(shù)歸一化參數(shù)。歸一化歸一化包含： 電路參數(shù)歸一化電路參數(shù)歸一化：將系統(tǒng)中無(wú)源元件的阻抗或運(yùn)算阻抗分別除以基準(zhǔn)電阻(系統(tǒng)的負(fù)載電阻值)； 頻率歸一化頻率歸一化：將所有的頻率都除以基準(zhǔn)頻率（濾波器的截止頻率）。計(jì)算實(shí)際電路參數(shù)時(shí)應(yīng)要將歸一化頻率乘以截止頻率，進(jìn)行反歸一化。3、由模平方函數(shù)由模平方函數(shù) 求模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)求模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H H( (s s) ) | ()|H j2模擬濾波器在不含有源器件時(shí)，若為一個(gè)因果穩(wěn)定的、物理可實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)，則其系統(tǒng)函數(shù)必須為正實(shí)函數(shù)正實(shí)函數(shù)，即具有以下三特點(diǎn)： 是一個(gè)具有實(shí)系數(shù)的關(guān)于是一個(gè)具有實(shí)系數(shù)的關(guān)于s s 的的有理函

13、數(shù)：有理函數(shù)： )(/ )()(sDsNsH 所有極點(diǎn)必須全部分布在所有極點(diǎn)必須全部分布在 s s 平面平面的左半平面內(nèi)。的左半平面內(nèi)。 分子多項(xiàng)式分子多項(xiàng)式N N( (s s) )的階次必須小于或等于分母多項(xiàng)式的階次必須小于或等于分母多項(xiàng)式D D( (s s) )的階的階次次 4、逼近問(wèn)題、逼近問(wèn)題 尋找一個(gè)恰當(dāng)?shù)慕坪瘮?shù)來(lái)逼近理想特性。Butterworth（巴特沃斯）低通逼近幅頻特性單調(diào)下降 Chebyshev（切比雪夫）低通逼近 幅頻特性在通帶或者在阻帶有波動(dòng)橢圓 Ellipse 濾波器l幅度特性性能要求（低通為例）模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo))(H0ps1pAsA

14、通帶通帶過(guò)渡帶過(guò)渡帶阻帶阻帶pA：通帶最大衰減：通帶最大衰減sA：阻帶最小衰減：阻帶最小衰減：通帶截止頻率：通帶截止頻率p：阻帶截止頻率：阻帶截止頻率sc：截止頻率：截止頻率cl巴特沃思Butterworth低通濾波器BW濾波器以巴特沃思函數(shù)來(lái)近似濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，BW的低通模平方函數(shù)為：, 2 , 1)/(11| )(|22NjjjHNc指定 、 后，帶 到上式，得：pApp1101 . 0pA13時(shí)，當(dāng)dBAp階數(shù)階數(shù)指定 、 后，帶 到上式，得：sAsssANcssjH1 . 02221011)/(11| )(|1010 1 . AsNcp2)/(用3dB截止頻率 來(lái)規(guī)一化規(guī)一化： ，則

15、下式：c/c, 2 , 1)/(11| )(|22NjjjHNc|()|()H jN2211說(shuō)明說(shuō)明： 當(dāng) 時(shí)， （取最大值） 當(dāng) 時(shí)， （即3dB值） 在通帶 時(shí)， 很小， 當(dāng)阻帶 時(shí)， 很大，01| )(|2jHc2/1| )(|2jHNc2/1/c1)(2jHN時(shí)，1/cNc2/0)(2jHN時(shí)，在阻帶內(nèi)，阻帶內(nèi)，NcjjjH22)(1|)(|)lg(20| )(|lg102csjjNjHA或 幅度隨著 N的增加阻帶衰減近似為6N db/倍頻 程。 N越大，頻帶特性越接近理想矩形特性。 巴特沃思濾波器又稱 “ 最大平坦濾波器最大平坦濾波器 ”。原因如下：NjH22)(11| )(|將按臺(tái)

16、勞級(jí)數(shù)展開(kāi)為 ：NNjH4221| )(|12 , 2 , 1,0| )(|02NkjHddk歸一化巴特沃思低通濾波器的幅度特性 選擇濾波器的階次選擇濾波器的階次N N 222)(Nps)/lg()110/() 110lg(21)/lg()/lg(1 . 01 . 0psAApspsN若給定的指標(biāo) =3dB, 即通帶邊頻 時(shí), =1,可求得：cppA)/lg()110lg()/lg()lg()/lg()/lg(1 . 0csAcscssN實(shí)際計(jì)算時(shí)，要對(duì)上式求得的數(shù)值取整加取整加1 1。 從模平方函數(shù)求系統(tǒng)函數(shù)從模平方函數(shù)求系統(tǒng)函數(shù)H(s) 求得極點(diǎn)求得極點(diǎn) , 2 , 1)/(11| )(|

17、22NjjjHNc帶入上式，得：令 js0)(12Ncjs)12()1(kje又NkesNNkjck2 , 2 , 12/) 12(下圖給出的是按以上公式所求得的N=3和N=4時(shí)的極點(diǎn)發(fā)布圖：關(guān)于極點(diǎn)的討論關(guān)于極點(diǎn)的討論c在歸一化頻率的情況 =1，極點(diǎn)均勻分布在單位圓上 NkesNNkjk, 2 , 12/) 12(對(duì)于物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng),它的所有極點(diǎn)均應(yīng)在 s的左半平面上 系統(tǒng)函數(shù)的構(gòu)成系統(tǒng)函數(shù)的構(gòu)成 濾波器的極點(diǎn)求出后，可取左半平面上的所有極點(diǎn)構(gòu)成系統(tǒng)函數(shù)。NiissAsH1)(1)(對(duì)于低通濾波器，為了保證在頻率零點(diǎn) 處， ，可?。?1| )(|jHNiiNsA1)1(NiiiNssssH1

18、)() 1()( 一般一般N N階歸一化巴特沃思濾波器階歸一化巴特沃思濾波器系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù) 表示表示 )(sHaNNNNiiassasasasssH11221111)(1)(上式中 是 時(shí)的極點(diǎn)（分布在單位圓上）；分母一般稱為巴特沃思多項(xiàng)式巴特沃思多項(xiàng)式，其系數(shù)可通過(guò)查附表1求得。si1c【附表【附表1 1】：】：巴特沃思多項(xiàng)式系數(shù)表巴特沃思多項(xiàng)式系數(shù)表 NA1a2a3a4a5a6a7a8a9 21.4142 32.00002.0000 42.61313.41422.6131 53.23615.23615.23613.2361 63.86377.46419.14167.46413.8637

19、74.494010.09714.59214.59210.0974.4940 85.152813.13721.84625.68821.84613.1375.1528 95.758816.58131.16341.98641.98631.16316.5815.7588106.392520.43142.80264.88274.23364.88242.80220.4316.3925【附表【附表2】：】：巴特沃思多項(xiàng)式因式分解巴特沃思多項(xiàng)式因式分解N 巴 特 沃 思 多 項(xiàng) 式1 s+12s2+1.4142s+13(s+1)(s2+s+1)4(s2+0.7654s+1)(s2+1.8478s+1)5(s+

20、1)(s2+0.6180s+1)(s2+1.6180s+1)6(s2+0.5176s+1)(s2 +1.412s+1)(s2 +1.9319s+1)7(s+1)(s2+0.4450s+1)(s2+1.2470s+1)(s2+1.8019s+1)8(s2+0.3092s+1)(s2+1.1111s+1)(s2+1.6629s+1)(s2+1.9616s+1)9(s+1)(s2+0.3473s+1)(s2+s+1)(s2+1.5321s+1)(s2+1.8794s+1)l巴特沃思模擬濾波器的設(shè)計(jì)總結(jié) 上述歸一化公式和表格是相對(duì)3dB 截止頻率 給出的。由指定的技術(shù)指標(biāo) ，利用上述公式和表格進(jìn)行設(shè)計(jì)

21、時(shí)，最關(guān)鍵的2個(gè)參數(shù)是濾波器的節(jié)數(shù)N和3dB 截止頻率 。 N用來(lái)求巴特沃思多項(xiàng)式， 用來(lái)反歸一化，求實(shí)際濾波器的參數(shù)。cssPpAA,ccChebyshevChebyshev低通濾波器的設(shè)計(jì)方法低通濾波器的設(shè)計(jì)方法l提出的背景 巴特沃斯濾波器的頻率特性曲線，無(wú)論在通帶和阻帶都是頻率的單調(diào)函數(shù)。因此當(dāng)通帶邊界處滿足指標(biāo)要求時(shí)，通帶內(nèi)肯定會(huì)有余量。因此，更有效的設(shè)計(jì)方法應(yīng)該是將精確度均勻地分布在整個(gè)通帶內(nèi)，或者均勻分布在整個(gè)阻帶內(nèi)，或者同時(shí)分布在兩者之內(nèi)。這樣，就可用階數(shù)較低的系統(tǒng)滿足要求。這可通過(guò)選擇具有等波紋特性的逼近函數(shù)來(lái)達(dá)到。l切比雪夫（Chebyshev）低通濾波器切比雪夫低通濾波器切比雪夫低通濾波器采用切比雪夫函數(shù)來(lái)逼近給定的指標(biāo)，該函數(shù)具有等波紋特性。它可將指標(biāo)要求均勻發(fā)布在通帶（或阻帶