確定二次函數(shù)的解析式

1、 山東東營市勝利六中：石愛英課前復(fù)習課前復(fù)習二次函數(shù)解析式有哪幾種表達式？二次函數(shù)解析式有哪幾種表達式？ 一般式：一般式：y=ax2+bx+c 頂點式：頂點式：y=a(x-h)2+k 兩根式：兩根式：y=a(x-x1)(x-x2)例題例題封面封面例題選講一般式：一般式： y=ax2+bx+c兩根式：兩根式：y=a(x-x1)(x-x2)頂點式：頂點式：y=a(x-h)2+k解：解： 設(shè)所求的二次函數(shù)為設(shè)所求的二次函數(shù)為y=ax2+bx+c由條件得：由條件得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解方程得：解方程得：因此：所求二次函數(shù)是：因此：所求二次函數(shù)是：a=2, b=-3, c=

2、5y=2x2-3x+5 已知一個二次函數(shù)的圖象過點（已知一個二次函數(shù)的圖象過點（1,10）、）、（1,4）、（）、（2,7）三點，求這個函數(shù)的解析式？）三點，求這個函數(shù)的解析式？oxy例例 1例題例題封面封面例題選講解：解：設(shè)所求的二次函數(shù)為設(shè)所求的二次函數(shù)為y=a(x1)2-3由條件得：由條件得： 已知拋物線的頂點為（已知拋物線的頂點為（1，3），與軸交點為），與軸交點為（0，5）求拋物線的解析式？）求拋物線的解析式？yox點點( 0,-5 )在拋物線上在拋物線上a-3=-5, 得得a=-2故所求的拋物線解析式為故所求的拋物線解析式為 y=2(x1)2-3即：即：y=2x2-4x5一般式：一

3、般式： y=ax2+bx+c兩根式：兩根式：y=a(x-x1)(x-x2)頂點式：頂點式：y=a(x-h)2+k例例 2例題例題封面封面例題選講解：解： 設(shè)所求的二次函數(shù)為設(shè)所求的二次函數(shù)為y=a(x1)(x1）由條件得：由條件得：已知拋物線與已知拋物線與X軸交于軸交于A（1，0），），B（1,0）并經(jīng)過點并經(jīng)過點M（0,1），求拋物線的解析式？），求拋物線的解析式？yox點點M( 0,1 )在拋物線上在拋物線上所以所以：a(0+1)(0-1)=1得：得： a=-1故所求的拋物線解析式為故所求的拋物線解析式為 y=- (x1)(x-1)即：即：y=x2+1一般式：一般式： y=ax2+bx+c

4、兩根式：兩根式：y=a(x-x1)(x-x2)頂點式：頂點式：y=a(x-h)2+k例題例題例例 3封面封面例題選講有一個拋物線形的立交橋拱，這個橋拱的最大高度有一個拋物線形的立交橋拱，這個橋拱的最大高度為為16m16m，跨度為，跨度為40m40m現(xiàn)把它的圖形放在坐標系里現(xiàn)把它的圖形放在坐標系里( (如圖所示如圖所示) )，求拋物線的解析式，求拋物線的解析式 例例 4設(shè)拋物線的解析式為設(shè)拋物線的解析式為y=ax2bxc，解：解：根據(jù)題意可知根據(jù)題意可知拋物線經(jīng)過拋物線經(jīng)過(0，0)，(20，16)和和(40，0)三點三點 可得方程組可得方程組 通過利用給定的條件通過利用給定的條件列出列出a、b

5、、c的三元的三元一次方程組，求出一次方程組，求出a、b、c的值，從而確定的值，從而確定函數(shù)的解析式函數(shù)的解析式過程較繁雜，過程較繁雜， 評價評價封面封面練習練習例題選講有一個拋物線形的立交橋拱，這個橋拱的最大高度有一個拋物線形的立交橋拱，這個橋拱的最大高度為為16m16m，跨度為，跨度為40m40m現(xiàn)把它的圖形放在坐標系里現(xiàn)把它的圖形放在坐標系里( (如圖所示如圖所示) )，求拋物線的解析式，求拋物線的解析式 例例 4設(shè)拋物線為設(shè)拋物線為y=a(x-20)216 解：解：根據(jù)題意可知根據(jù)題意可知 點點(0，0)在拋物線上，在拋物線上， 通過利用條件中的頂通過利用條件中的頂點和過原點選用頂點點和

6、過原點選用頂點式求解，方法比較靈式求解，方法比較靈活活 評價評價 所求拋物線解析式為所求拋物線解析式為 封面封面練習練習例題選講有一個拋物線形的立交橋拱，這個橋拱的最大高度有一個拋物線形的立交橋拱，這個橋拱的最大高度為為16m16m，跨度為，跨度為40m40m現(xiàn)把它的圖形放在坐標系里現(xiàn)把它的圖形放在坐標系里( (如圖所示如圖所示) )，求拋物線的解析式，求拋物線的解析式 例例4設(shè)拋物線為設(shè)拋物線為y=ax(x-40 ）解：解：根據(jù)題意可知根據(jù)題意可知 點點(20，16)在拋物線上，在拋物線上， 選用兩根式求解，選用兩根式求解，方法靈活巧妙，過方法靈活巧妙，過程也較簡捷程也較簡捷 評價評價封面封

7、面練習練習例例5、已知二次函數(shù)、已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的最大的最大值是值是2，圖象頂點在直線，圖象頂點在直線y=x+1上，并上，并且圖象經(jīng)過點（且圖象經(jīng)過點（3，-6）。求）。求a、b、c。解：解：二次函數(shù)的最大值是二次函數(shù)的最大值是2拋物線的頂點縱坐標為拋物線的頂點縱坐標為2又又拋物線的頂點在直線拋物線的頂點在直線y=x+1上上當當y=2時，時，x=1 頂點坐標為（頂點坐標為（ 1 ， 2）設(shè)二次函數(shù)的解析式為設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x-1)2+2又又圖象經(jīng)過點（圖象經(jīng)過點（3，-6）-6=a (3-1)2+2 a=-2二次函數(shù)的解析式為二次函數(shù)的解析式為y=-2(x-1)2+

8、2即：即： y=-2x2+4x例例6.6.已知拋物線已知拋物線y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c與拋物線與拋物線y=-xy=-x2 2-3x+7-3x+7的形狀相同的形狀相同, ,頂點在直線頂點在直線x=1x=1上上, ,且頂點到且頂點到x x軸的距離為軸的距離為5,5,請寫出滿足請寫出滿足此條件的拋物線的解析式此條件的拋物線的解析式. .解解: :拋物線拋物線y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c與拋物線與拋物線y=-xy=-x2 2-3x+7-3x+7的形狀相同的形狀相同 a=1a=1或或-1-1 又又 頂點在直線頂點在直線x=1x=1上上, ,且頂點到且頂點到x x軸的距離為

9、軸的距離為5,5, 頂點為頂點為(1,5)(1,5)或或(1,-5)(1,-5) 所以其解析式為所以其解析式為: : (1) y=(x-1) (1) y=(x-1)2 2+5 (2) y=(x-1)+5 (2) y=(x-1)2 2-5-5 (3) y=-(x-1) (3) y=-(x-1)2 2+5 (4) y=-(x-1)+5 (4) y=-(x-1)2 2-5-5 展開成一般式即可展開成一般式即可. .練習一已知拋物線的頂點為已知拋物線的頂點為A(-1，-4)，又知它與，又知它與x 軸軸的兩個交點的兩個交點B、C間的距離間的距離為為4，求其解析式。，求其解析式。yxo-321 1 2AB

10、C5-3-4 解解:以AB的垂直平分線為y軸，以過頂點O的y軸的垂線為x軸，建立如圖所示直角坐標系這時，涵洞所在的拋物線的頂點在原點，對稱軸是y軸，開口向下，所以設(shè)它的函數(shù)關(guān)系式是y=ax2(a0)由題意，得點B的坐標為（0.8，-2.4），又因為點B在拋物線上，所以28 . 04 . 2a解得:415a因此，函數(shù)關(guān)系式是 2415xy實際應(yīng)用實際應(yīng)用1某涵洞是拋物線形，它的截面如圖所示，現(xiàn)測得水面寬AB為1.6m，涵洞頂點O到水面的距離為2.4m，在圖中直角坐標系內(nèi)，涵洞所在的拋物線的函數(shù)關(guān)系式是什么？xyOAB實際應(yīng)用實際應(yīng)用2已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(0,-1)、B(1,0)、C(-1

11、,2)；求它的關(guān)系式分析分析:根據(jù)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過三個已知點，可設(shè)函數(shù)關(guān)系式為yax2bxc的形式實際應(yīng)用實際應(yīng)用2已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A(0,-1)、B(1,0)、C(-1,2)；求它的關(guān)系式ab1ab3解解:設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)ax2bxc ，由已知，這個函數(shù)的圖象過（0，-1），可以得到c= -1又由于其圖象過點（1，0）、（-1，2）兩點，可以得到解這個方程組，得 a=2，b= -1所以，所求二次函數(shù)的關(guān)系式是y2x2x1實際應(yīng)用實際應(yīng)用3已知拋物線的頂點為(1，-3)，且與y軸交于點(0，1)，求這個二次函數(shù)的解析式分析:根據(jù)已知拋物線的頂點坐標，可設(shè)函數(shù)關(guān)系式為ya(x1)23

12、，再根據(jù)拋物線與y軸的交點可求出a的值； 實際應(yīng)用實際應(yīng)用4已知拋物線的頂點為(3，-2)，且與x軸兩交點間的距離為4，求它的解析式分析:根據(jù)已知拋物線的頂點坐標(3，-2)，可設(shè)函數(shù)關(guān)系式為ya(x3)22，同時可知拋物線的對稱軸為x=3，再由與x軸兩交點間的距離為4，可得拋物線與x軸的兩個交點為（1，0）和（5，0），任選一個代入 ya(x3)22，即可求出a的值 課堂小結(jié)課堂小結(jié)求二次函數(shù)解析式的一般方法：求二次函數(shù)解析式的一般方法：已知圖象上三點或三對的對應(yīng)值，已知圖象上三點或三對的對應(yīng)值， 通常選擇一般式通常選擇一般式y(tǒng) = ax2 + bx + c已知圖象的頂點坐標已知圖象的頂點坐

13、標(對稱軸和最值對稱軸和最值) 通常選擇頂點式通常選擇頂點式y(tǒng)a(xh)2k已知圖象與已知圖象與x軸的兩個交點的橫坐標軸的兩個交點的橫坐標x1、x2， 通常選擇交點式通常選擇交點式y(tǒng)a(x-x1)(x-x2)yxo確定二次函數(shù)的解析式時，應(yīng)該根據(jù)條件的特點，確定二次函數(shù)的解析式時，應(yīng)該根據(jù)條件的特點，恰當?shù)剡x用一種函數(shù)表達式，恰當?shù)剡x用一種函數(shù)表達式， 課堂練習一個二次函數(shù)，當自變量一個二次函數(shù)，當自變量x= -3時，函數(shù)值時，函數(shù)值y=2當自變量當自變量x= -1時，函數(shù)值時，函數(shù)值y= -1，當自變量，當自變量x=1時時，函數(shù)值，函數(shù)值y= 3，求這個二次函數(shù)的解析式？，求這個二次函數(shù)的解析式？已知拋物線與已知拋物線與X軸的兩個交點的橫坐標是、，軸的兩個交點的橫坐標是、，與與Y軸交點的縱坐標是，求這個拋物線的解析式？軸交點的縱坐標是，求這個拋物線的解析式？32121、2、封面封面小結(jié)小結(jié)課堂小結(jié)課堂小結(jié)求二次函數(shù)解析式的一般方法：求二次函數(shù)解析式的一般方法：已知圖象上三點或三