第二節(jié)矢性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分

1、1、矢性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、矢性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)A ( )A t()A tt MNO()( )(2.1)AA ttA t 時(shí)，( ),()A tOM A ttON 則()( )A ttA tMN 叫做矢性函數(shù)的增量增量。( )A t記作( )A t設(shè)有起點(diǎn)在原點(diǎn)的矢性函數(shù)，(0)ttt 性變量在其定義域內(nèi)從變到對(duì)應(yīng)的矢量分別為當(dāng)數(shù)()( )AA ttA ttt 在時(shí)，0t 00()( )limlim(2.2)ttdAAA ttA tdttt 若對(duì)應(yīng)于t 的增量A 與t 之比( )A t則稱(chēng)此極限為矢性函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)（簡(jiǎn)( )A t矢性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)矢性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)內(nèi)有定義，( )A t定義設(shè)矢性函數(shù)在點(diǎn)的某

2、個(gè)鄰域tt 并設(shè)也在此鄰域內(nèi)，其極限存在，( )A t dAdt稱(chēng)導(dǎo)矢導(dǎo)矢），記作或， 即( )( )( )( )xyzA tA t iA t jA t k 且函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，( ),( ),( )xyzA tA tA t0000limlimlimlimyzxttttAAAdAAijkdttttt 即( )( )( )( )xyzA tA t iA t jA t k ( )A t若由下列坐標(biāo)式給出：則有yzxdAdAdAijkdtdtdt 求矢性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求矢性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為求三個(gè)數(shù)性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為求三個(gè)數(shù)性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)( )cossinraiajb k 求導(dǎo)矢( )r 解：( )( cos

3、)(sin )()raiajbk sincosaiajb k 例1已知圓柱螺旋線(xiàn)的矢量方程為例.設(shè)1( )cossin( )sincoseijeij 試證明：111( )( ),( )( ), ( )( )eeeeee 證：1( )(cos )(sin)sincos( )eijije 1( )( )cos ( sin)sincos0ee1( )( sin)(cos )cossin( )eijije 1( )( )ee證畢( )e 1( )e xyO引入圓函數(shù)，( )( )raeb k 其導(dǎo)矢為1( )( )raebk ( )e 為一單位矢量，故其矢端曲線(xiàn)為一單位圓，( )e 因此又叫圓函數(shù)；1

4、( )e 也為單位矢量，同樣的，其矢端曲線(xiàn)也是一單位圓。圓柱螺旋線(xiàn)的方程可寫(xiě)成( )A t At A ( )A t()A tt MNOlA At ( )A t ( )A t()A tt MNOl如圖，為的矢端曲線(xiàn)( )A t0t 當(dāng)時(shí)，0t 當(dāng)時(shí)，、導(dǎo)矢的幾何意義、導(dǎo)矢的幾何意義At 是在的割線(xiàn)上的一個(gè)矢量。系指向?qū)?yīng)值增大的一方；A 但此時(shí)指向?qū)?yīng)減少的一方At 從而仍指向?qū)?yīng)值增大的一方。A 其指向與一致A 其指向與相反在時(shí)，由于割線(xiàn)繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，0t 0( )limtAA tt 當(dāng)其不為零時(shí)，是在點(diǎn)處的切線(xiàn)上，以點(diǎn)的切線(xiàn)為其極限位置，At 矢量，此時(shí)，在割線(xiàn)上的且其極限位置也在它的切線(xiàn)上，即

5、導(dǎo)矢方向恒指向?qū)?yīng)增大的一方。且其導(dǎo)矢在幾何上，為一矢端曲線(xiàn)的切向量導(dǎo)矢在幾何上，為一矢端曲線(xiàn)的切向量指向?qū)?yīng)增大的一方指向?qū)?yīng)增大的一方（）微分的概念與幾何意義( )()(2.4)dAA t dtdtt (0)dA dt OML( )A t ( )A t設(shè)有矢性函數(shù)，稱(chēng)( )A t為矢性函數(shù)在處的微分微分。( )A t由于微分是導(dǎo)矢與增量dAt 0dt ( )A t 當(dāng)時(shí)，與的方向一致；0dt ( )A t 當(dāng)時(shí)，與的方向相反。其指向：3、矢性函數(shù)的微分、矢性函數(shù)的微分的乘積， 則它是一個(gè)矢量， 而且與( )A t 導(dǎo)矢一樣，( )A t也在點(diǎn)處與的矢端曲線(xiàn)相切。(0)dA dt 微分的坐標(biāo)

6、表示式微分的坐標(biāo)表示式( )( )( )( )xyzdAA t dtA t dtiA t dt jA t dtk 或(2.5)xyzdAdA idA jdA k 例.設(shè)( )cossinraibj求：及drdr解：( cos )(sin )drd aid bjsincos(sincos)ad ibdjaibj d 222222(sin)( cos)sincosdradbdabd （2）的幾何意義）的幾何意義drds如果將矢性函數(shù)看作其( )( )( )( )xyzA tA t iA t jA t k rxiy jzk 這里，( ),( ),( )xyzxA tyA tzA t(2.6)drdx

7、idy jdzk 其模222(2.7)drdxdydz( , , )M x y z終點(diǎn)的矢徑函數(shù)則（2.5）式可寫(xiě)為222dsdxdydz 符號(hào)的取法：以點(diǎn)M為界 M0ds 0ds 另一方面，則在上任一點(diǎn)處，弧長(zhǎng)的微分是當(dāng)ds位于s增大一方時(shí)，取正號(hào)；當(dāng)ds位于s減小一方時(shí)，取負(fù)號(hào)。0M Ls（規(guī)定了正方向）上，0M作為計(jì)算弧長(zhǎng)的起點(diǎn)，并以之正向作為增大的方向，若在有向曲線(xiàn)取定一點(diǎn)由此知(2.8)drds 即矢性函數(shù)的微分的模，drdrdrdsdsdsds得1(2.9)drdrdsds結(jié)合導(dǎo)矢的幾何意義知：例10 例4，例5微分的絕對(duì)值。等于（其矢端曲線(xiàn)）弧從而由drds端曲線(xiàn)的）弧長(zhǎng)的導(dǎo)數(shù)在

8、幾何上為一切線(xiàn)方切線(xiàn)方向單位矢量向單位矢量，方向恒指向增大的一方。矢性函數(shù)對(duì)（其矢、矢性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、矢性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(1)0dCdt （為常矢）（為常矢）（k為常數(shù)）為常數(shù)）設(shè)矢性函數(shù)及數(shù)性函數(shù)( ),( )AA tBB t(2)()dddABABdtdtdt(3)()ddAkAkdtdt ( )uu t 在的某個(gè)范圍內(nèi)可導(dǎo)，該范圍內(nèi)成立則下列公式在(4)()ddudAuAAudtdtdt特例：22ddAAAdtdt (6)()ddBdAABABdtdtdt(7)dAdA dudtdu dt 證明方法與微積分中數(shù)性函數(shù)的公式類(lèi)似(5)()ddBdAA BABdtdtdt復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式：

9、若 ，則( ),( )AA u uu t兩端對(duì)求導(dǎo)（左端用公式（）的特例），得0(2.10)dAAdt 證明：必要性0dAAdt 若，則有0dAAdt 20dAdt 即常數(shù)，所以常數(shù)22AA A例.矢性函數(shù)的模不變的充要條件是( )A t22AA A設(shè)常數(shù).則有常數(shù)充分性證畢.此例可簡(jiǎn)單地?cái)⑹鎏貏e，對(duì)單位矢量0( )A t有00(2.10)dAAdt 如，例中的圓函數(shù)，有11( )( )( )( )eeee ( )A t定長(zhǎng)矢量與其導(dǎo)矢互相垂直定長(zhǎng)矢量與其導(dǎo)矢互相垂直例.導(dǎo)矢的物理意義設(shè)質(zhì)點(diǎn)在空間運(yùn)動(dòng)，( )rr t 這個(gè)函數(shù)的矢端曲線(xiàn)就是質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡.OM( )r txyzL 0Ms如圖的

10、函數(shù)關(guān)系為其矢徑與時(shí)間為了說(shuō)明的物理意義，drdtdrdrdsdtdsdt式中的幾何意義是：drds0M時(shí)位于點(diǎn)處，其間在上所經(jīng)過(guò)的路程為，的矢徑為路程的函數(shù)，數(shù)，而成為時(shí)間的一個(gè)復(fù)合函數(shù)。導(dǎo)公式有假設(shè)質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后到達(dá)點(diǎn)這樣，點(diǎn)而又是時(shí)間的函( )rr t 從而可以將看作是通過(guò)中間變量由復(fù)合函數(shù)的求在點(diǎn)處的一個(gè)切向單位矢量， 指向增大的一方。 因此它表示在點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方向， 現(xiàn)以表之。drvdt (2.12)drvvdt 而式中的是路程對(duì)時(shí)間的變化率。所以它表示在點(diǎn)處質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度大小，如以表之，則dsdtv若定義二階導(dǎo)矢，則為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的加速度矢量加速度矢量。22()d rddrdtdtdt 22dvd rdtdt 由此可見(jiàn)，導(dǎo)矢表示質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度大小和方