1.2定積分之幾何應(yīng)用面積體積ppt課件

1、202112237.7 定積分之幾何應(yīng)用 面積體積回憶回憶曲邊梯形求面積的問題曲邊梯形求面積的問題 badxxfA)(一、元素法ab xyo)(xfy 提示提示 dxxfA)(lim.)( badxxfxdxx dA面積元素面積元素, 窄窄曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積上上的的表表示示任任一一小小區(qū)區(qū)間間若若用用xxxA , AA 則則,)(dxxfA 若若（3）部部分分量量iU 的的近近似似值值可可表表示示為為iixf )( ；相應(yīng)的方法通常叫做元素法相應(yīng)的方法通常叫做元素法.元素法的一般步驟：元素法的一般步驟：應(yīng)用方向：應(yīng)用方向： 面積；體積；曲線的弧長；面積；體積；曲線的弧長；元素法的實質(zhì)

2、仍是元素法的實質(zhì)仍是“和式的極限和式的極限.功；水壓力；引力和平均值等功；水壓力；引力和平均值等二、幾何應(yīng)用平平面面圖圖形形的的面面積積 )1( 平行截面面積已知立體平行截面面積已知立體旋轉(zhuǎn)體旋轉(zhuǎn)體 極極坐坐標(biāo)標(biāo)系系參參數(shù)數(shù)方方程程直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系體積體積 )2(平平面面圖圖形形的的面面積積 )1(A、直角坐標(biāo)系情形、直角坐標(biāo)系情形xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxfA)(平面圖形的面積平面圖形的面積 badxxfxfA)()(12xxxx xx 例例 1 1 計計算算由由兩兩條條拋拋物物線線xy 2和和2xy 所所圍圍成成

3、的的圖圖形形的的面面積積.解解兩曲線的交點兩曲線的交點)1 , 1()0 , 0(面積元素面積元素dxxxdA)(2 選選 為積分變量為積分變量x1 , 0 xdxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx 例例 2 2 計計算算由由曲曲線線xxy63 和和2xy 所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積.解解兩曲線的交點兩曲線的交點).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy選選 為積分變量為積分變量x3, 2 x,0, 2)1( xdxxxxdA)6(231 ,3 , 0)2( xdxxxxdA)6(322 2xy xxy63 于是所求面積于是所求面積

4、21AAA dxxxxA)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 說明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式說明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式問題：問題：嗎？嗎？積分變量只能選積分變量只能選x例例 3 3 計計算算由由曲曲線線xy22 和和直直線線4 xy所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積.解解兩曲線的交點兩曲線的交點).4 , 8(),2, 2( 422xyxy選選 為積分變量為積分變量y4, 2 ydyyydA 242.1842 dAAxy22 4 xy如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程 )()(tytx 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積.)()(21 ttd

5、tttA （其其中中1t和和2t對對應(yīng)應(yīng)曲曲線線起起點點與與終終點點的的參參數(shù)數(shù)值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(tx 具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，)(ty 連連續(xù)續(xù).B、參數(shù)方程情形、參數(shù)方程情形例例 4 4 求橢圓求橢圓12222 byax的面積的面積.解解橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程 tbytaxsincos由對稱性知總面積等于由對稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積倍第一象限部分面積 aydxA04 02)cos(sin4tatdbdttab 202sin4.ab xo d d 面積元素面積元素 drdA2)(21 曲邊扇形的面積曲邊扇形的面積.)(212 drA )( rr

6、 C、極坐標(biāo)系情形、極坐標(biāo)系情形例例 5 5 求求雙雙紐紐線線 2cos22a 所所圍圍平平面面圖圖形形的的面面積積.解解由對稱性知總面積由對稱性知總面積=4倍第倍第一象限部分面積一象限部分面積14AA daA2cos214402 .2a xy 2cos22a 1A例例 6 6 求求心心形形線線)cos1( ar所所圍圍平平面面圖圖形形的的面面積積)0( a.解解 dadA22)cos1(21 利用對稱性知利用對稱性知.232a d d2)cos1( 02212aA d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 0 旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞這平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)體就是由一個平面圖形繞

7、這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺圓臺體體積積 )2(A、旋轉(zhuǎn)體的體積、旋轉(zhuǎn)體的體積一一般般地地，如如果果旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體是是由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(xfy 、直直線線ax 、bx 及及x軸軸所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成的的立立體體，體體積積為為多多少少？取取積積分分變變量量為為x，,bax 在在,ba上任取小區(qū)上任取小區(qū)間間,dxxx ，取取以以dx為為底底的的窄窄邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的薄薄片片的的體體積積為為體體積積元元素素，dxxfdV2)( xdxx xy

8、o旋轉(zhuǎn)體的體積為旋轉(zhuǎn)體的體積為dxxfVba2)( )(xfy yr解解hPxhry 取取積積分分變變量量為為x，, 0hx xo直線直線 方程為方程為OPdxxhrVh20 hxhr03223 .32hr a aoyx解解,323232xay 332322 xay,aax 旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積dxxaVaa33232 .105323a 類似地，如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線類似地，如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線)(yx 、直線、直線cy 、dy 及及y軸所圍軸所圍成的曲邊梯形繞成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為體積為xyo)(yx cddyy2)( dcV解解繞繞x軸軸旋

9、旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體體體積積dxxyVax)(220 2022)cos1()cos1(dttata 20323)coscos3cos31(dtttta.532a a 2a )(xy繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體體體積積可看作平面圖可看作平面圖OABC與與OBC分別繞分別繞y軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積之差軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積之差.dyyxVay)(2202 dyyxa)(2201 oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 222sin)sin(tdtatta 022sin)sin(tdtatta 2023sin)sin(tdttta.633a 補(bǔ)充補(bǔ)充 如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線如果旋轉(zhuǎn)

10、體是由連續(xù)曲線)(xfy 、直線直線ax 、bx 及及x軸所圍成的曲邊梯形繞軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為dxxfxVbay| )(|2 利用這個公式，可知上例中利用這個公式，可知上例中dxxfxVay| )(|220 20)sin()cos1()sin(2ttadtatta 2023)cos1)(sin(2dtttta.633a 解解取取積積分分變變量量為為y,4 , 0 y體積元素為體積元素為dyQMPMdV22 dyyy)43()43(22 ,412dyy dyyV 40412.64 3dyPQMxoabB 平行截面面積為已知的立體的體積平

11、行截面面積為已知的立體的體積xdxx 如果一個立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立如果一個立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算個立體的體積也可用定積分來計算.)(xA表表示示過過點點x且且垂垂直直于于x軸軸的的截截面面面面積積，)(xA為為x的已知連續(xù)函數(shù)的已知連續(xù)函數(shù),)(dxxAdV .)( badxxAV立體體積立體體積RR xyo解解 取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖底圓方程為底圓方程為222Ryx 垂垂直直于于x軸軸的的截截面面為為直直角角三三角角形形x截面面積截面面積,tan)(21)(22 xR

12、xA 立體體積立體體積dxxRVRR tan)(2122 .tan323 R 解解取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖底圓方程為底圓方程為,222Ryx xyoRx垂垂直直于于x軸軸的的截截面面為為等等腰腰三三角角形形截面面積截面面積22)(xRhyhxA 立體體積立體體積dxxRhVRR 22.212hR 求在直角坐標(biāo)系下、參數(shù)方程形式求在直角坐標(biāo)系下、參數(shù)方程形式下、極坐標(biāo)系下平面圖形的面積下、極坐標(biāo)系下平面圖形的面積.（注意恰當(dāng)?shù)倪x擇積分變量有助于簡化（注意恰當(dāng)?shù)倪x擇積分變量有助于簡化積分運算）積分運算）三、小結(jié)旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積平行截面面積為已知的立體的體積平行截面面積為已知的立體的體積 繞

13、繞 軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周x繞繞 軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周y繞非軸直線旋轉(zhuǎn)一周繞非軸直線旋轉(zhuǎn)一周思考題思考題1 設(shè)設(shè)曲曲線線)(xfy 過過原原點點及及點點)3 , 2(，且且)(xf為為單單調(diào)調(diào)函函數(shù)數(shù)，并并具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，今今在在曲曲線線上上任任取取一一點點作作兩兩坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸的的平平行行線線，其其中中一一條條平平行行線線與與x軸軸和和曲曲線線)(xfy 圍圍成成的的面面積積是是另另一一條條平平行行線線與與y軸軸和和曲曲線線)(xfy 圍圍成成的的面面積積的的兩兩倍倍，求求曲曲線線方方程程.思考題思考題2 求求曲曲線線4 xy，1 y，0 x所所圍圍成成的的圖圖形形繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)構(gòu)構(gòu)成成旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積.作業(yè) (補(bǔ)充材料)習(xí)題習(xí)題6-2 1; 2、 2), 3) ; 3; 4; 5; 6.思考題思考題1解答解答1S2Sxyo)(xfy ),(yx122SS xdxxfS02)( xdxxfxySxyS021)()( 2)(00 x