第六章圖像壓縮編碼

1、第六章：圖像壓縮編碼2022-5-91第六章：圖像壓縮編碼2022-5-92本章主要內(nèi)容：本章主要內(nèi)容：n1.概述n2.統(tǒng)計編碼n3.預(yù)測編碼n4.變換編碼n5.混合編碼第六章：圖像壓縮編碼2022-5-931.概述 n圖像壓縮的基本概念 設(shè)：n1和n2是在兩個表達相同信息的數(shù)據(jù)集中，所攜帶的單位信息量。n壓縮率（壓縮比）：CR = n1 / n2 其中，n1是壓縮前的數(shù)據(jù)量，n2是壓縮后的數(shù)據(jù)量n相對數(shù)據(jù)冗余：RD = 1 1/CR 例：CR=20; RD = 19/20第六章：圖像壓縮編碼2022-5-941.概述 n三種數(shù)據(jù)冗余：n編碼冗余n像素冗余n視覺心理冗余第六章：圖像壓縮編碼20

2、22-5-951.概述 n編碼冗余： 如果一個圖像的灰度級編碼，使用了多于實際需要的編碼符號，就稱該圖像包含了編碼冗余。例：如果用8位表示該圖像的像素，我們就說該圖像存在著編碼冗余，因為該圖像的像素只有兩個灰度，用一位即可表示。第六章：圖像壓縮編碼2022-5-961.概述 n像素冗余：n 由于任何給定的像素值，原理上都可以通過它的鄰居預(yù)測到，單個像素攜帶的信息相對是小的。n 對于一個圖像，很多單個像素對視覺的貢獻是冗余的。這是建立在對鄰居值預(yù)測的基礎(chǔ)上。例：原圖像數(shù)據(jù)：234 223 231 238 235 壓縮后數(shù)據(jù)：234 11 8 7 -3第六章：圖像壓縮編碼2022-5-971.概述

3、 n視覺心理冗余： 一些信息在一般視覺處理中比其它信息的相對重要程度要小，這種信息就被稱為視覺心理冗余。第六章：圖像壓縮編碼2022-5-981.概述 1.1 壓縮編碼及其分類 根據(jù)解壓重建后的圖像和原始圖像之間是否具有誤差，圖像編碼壓縮分為無誤差（亦稱無失真、無損、信息保持）編碼和有誤差（有失真或有損）編碼兩大類。 根據(jù)編碼作用域劃分，圖像編碼為空間域編碼和變換域編碼兩大類。 圖像壓縮無損編碼有損編碼霍夫曼編碼游程編碼算術(shù)編碼預(yù)測編碼變換編碼其它編碼第六章：圖像壓縮編碼2022-5-99n保真度標準評價壓縮算法的標準n客觀保真度標準n主觀保真度標準1.概述 1.2 壓縮編碼系統(tǒng)評價 第六章：

4、圖像壓縮編碼2022-5-910n客觀保真度標準 如果信息丟失的級別,可以表示為原始或輸入圖像與壓縮后又解壓縮輸出的圖像的函數(shù)，這個函數(shù)就被稱為客觀保真度標準。一般表示為： e(x,y) = f(x,y) - f(x,y) f(x,y)是輸入圖像， 是壓縮后解壓縮的圖像，e(x,y)是誤差函數(shù)1.概述 1.2 壓縮編碼系統(tǒng)評價 f(x,y) 第六章：圖像壓縮編碼2022-5-911兩個圖像之間的總誤差：均方根誤差（RMS）1.概述 1.2 壓縮編碼系統(tǒng)評價 2111/2001 ( , )( , ) MNrmsxyef x yf x yMN1100 ( , )( , )MNxyf x yf x

5、y第六章：圖像壓縮編碼2022-5-912n主觀保真度標準 通過視覺比較兩個圖像，給出一個定性的評價，如很粗、粗、稍粗、相同、稍好、較好、很好，這種評價被稱為主觀保真度標準。1.概述 1.2 壓縮編碼系統(tǒng)評價 第六章：圖像壓縮編碼2022-5-9131.概述 1.3 圖像壓縮系統(tǒng)的一般構(gòu)成 信源編碼信源編碼信道編碼信道編碼信道信道信道解碼信道解碼信源解碼信源解碼n信源編碼： 完成原始數(shù)據(jù)的壓縮與編碼n信道編碼： 為了抗干擾，增加一些容錯、校驗位，實際上是有規(guī)律地增加 傳輸數(shù)據(jù)的冗余，以便于消除傳輸過程中增加的隨機信號n信道： 傳輸數(shù)據(jù)（信息）的手段。 如Internet、廣播、通訊、可移動介質(zhì)

6、等第六章：圖像壓縮編碼2022-5-9141.概述 1.3 圖像壓縮系統(tǒng)的一般構(gòu)成n源數(shù)據(jù)編碼與解碼的模型n源數(shù)據(jù)編碼的模型n源數(shù)據(jù)解碼的模型符號符號解碼器解碼器反向反向映射器映射器映射器映射器量化器量化器符號符號編碼器編碼器第六章：圖像壓縮編碼2022-5-9151.概述 1.3 圖像壓縮系統(tǒng)的一般構(gòu)成n源數(shù)據(jù)編碼與解碼的模型n映射器 ：減少像素冗余，如使用RLE編 碼。或進行圖像變換。n量化器 ：減少視覺心理冗余，僅用于有 損壓縮。n符號編碼器：減少編碼冗余，如使用哈夫曼 編碼第六章：圖像壓縮編碼2022-5-9161.概述 1.4 信息論-率失真理論和信源熵編碼 n一個理想的圖像壓縮器應(yīng)

7、具備：重構(gòu)圖像失真率低、壓縮比高以及設(shè)計編碼器和解碼器的計算復(fù)雜度低等。 n但實際中這些要求是互相沖突的n香農(nóng)的信源編碼理論是建立在平均比特率和平均失真率這一相互沖突的矛盾之上。 在比特率和失真率兩者之間取得平衡可以用幾種等價的方式定義：1.給定比特率R的約束下，使失真D最??；2.或給定失真值D的約束下，使所需傳輸?shù)谋忍芈蔙最?。?.或最小化拉格朗日函數(shù)D+R，不同的拉格朗日算子可以在比特率和失真率之間起著權(quán)衡作用。 第六章：圖像壓縮編碼2022-5-9171.概述 1.4 信息論 -圖像信息率 n一般靜止灰度圖像中每個像素用8比特來表示，那么一幅圖像的平均信息率可以用下面的熵值來表示： Li

8、iippuH12log)(其中pi表示像素u取ri值的概率，ri的取值范圍為028-1。像素的前一個像素的狀態(tài)已知，就可以得到圖像第一階熵： ,),(log)(212112221211,11,2,1ikikiiLiLiiiiiikkruruprobPPPPuuH第六章：圖像壓縮編碼2022-5-9181.概述 1.4 信息論 -圖像信息率 n根據(jù)香農(nóng)的無噪聲信源編碼定理：在沒有失真的情況下，一個熵為的信源可以用比特來表示，其中為任意小的正數(shù)，數(shù)據(jù)最大的壓縮率為 HnHnC其中n為原始數(shù)據(jù)的平均比特率。第六章：圖像壓縮編碼2022-5-9191.概述 1.4 信息論 -香農(nóng)的率失真理論 n前面的

9、討論是在信道沒有噪聲的條件下信源編碼的最大壓縮率。在實際情況中信道是存在噪聲的。n如果從信源發(fā)出信息uk，經(jīng)過編、譯碼的組合，接受端得到信息為vl，這是由信道的噪聲所造成的，我們定義信源編碼經(jīng)過編、譯碼的平均互信息量為： lklklklklkvPuPvuPvuPvuI,)()(),(log),();(n我們可以找到一個在一定允許的失真D條件下最低的平均互信息量，這個平均互信息量稱為率失真函數(shù)：);(min)(lkvuIDRnR(D)是在平均失真小于允許失真D以內(nèi)能夠得到的編碼的碼率下界。 第六章：圖像壓縮編碼2022-5-9201.概述 1.4 信息論 -香農(nóng)的信源編碼定理 一個具有率失真函數(shù)

10、R(D)的信源，若有平均失真D，并有兩個任意小的正數(shù)與，則必存在一種信源編碼、譯碼方法使信息率和平均失真率滿足 DDDRR)(香農(nóng)信源編碼定理只說明了碼率在一個界限以上編碼的可能性，并沒有給出具體的編碼方案。圖像也是一種信息，香農(nóng)的信源編碼理論對圖像編碼起著重要的指導(dǎo)作用。 第六章：圖像壓縮編碼2022-5-9212.統(tǒng)計編碼 n統(tǒng)計編碼的基本思想是： 主要針對無記憶信源，根據(jù)信息碼字出現(xiàn)概率的分布特征而進行壓縮編碼，尋找概率與碼字長度間的最優(yōu)匹配。其編碼的實質(zhì)就是用短碼來表示出現(xiàn)概率較大的碼字，用長碼表示出現(xiàn)概率小的碼字。 當前常用的統(tǒng)計編碼有游程編碼、霍夫曼編碼和算術(shù)編碼三種。第六章：圖像

11、壓縮編碼2022-5-9222.統(tǒng)計編碼2.1 霍夫曼（Huffman）編碼 （1） 基本思想n通過減少編碼冗余來達到壓縮的目的。n基本思想是統(tǒng)計一下符號的出現(xiàn)概率，建立一個概率統(tǒng)計表，將最常出現(xiàn)(概率大的)的符號用最短的編碼，最少出現(xiàn)的符號用最長的編碼。第六章：圖像壓縮編碼2022-5-9232.統(tǒng)計編碼2.1 霍夫曼（Huffman）編碼 （2）例子：建立概率統(tǒng)計表和編碼樹符號 概率 1 2 3 4 a2 0.4 0.4 0.4 0.4 0.6 a6 0.3 0.3 0.3 0.3 0.4 a1 0.1 0.1 0.2 0.3 a4 0.1 0.1 0.1 a3 0.06 0.1 a5 0

12、.04 第六章：圖像壓縮編碼2022-5-9242.統(tǒng)計編碼2.1 霍夫曼（Huffman）編碼 （2）例子：編碼過程：符號 概率 編碼 1 2 3 4a20.4 1 0.4 1 0.4 1 0.4 1 0.6 0a60.3 00 0.3 00 0.3 00 0.3 00 0.4 1a10.1 011 0.1 011 0.2 010 0.3 01a40.1 0100 0.1 0100 0.1 011 a30.06 01010 0.1 0101 a50.04 01011第六章：圖像壓縮編碼2022-5-9252.統(tǒng)計編碼2.1 霍夫曼（Huffman）編碼 （2）例子： 編碼過程： 01010

13、011 1 1 00 a3 a1 a2 a2 a6第六章：圖像壓縮編碼2022-5-9262.統(tǒng)計編碼2.1 霍夫曼（Huffman）編碼 （3）算法實現(xiàn)n第一步：建立一系列的原數(shù)據(jù)縮減量通過對符號的概率排序，把最小概率的符號組成一個符號，以便在下一個原數(shù)據(jù)縮減量中替換它們。n第二步：給每一個縮減的原始數(shù)據(jù)編碼從最少的原數(shù)據(jù)開始，向后進行到起始原數(shù)據(jù)。第六章：圖像壓縮編碼2022-5-9272.統(tǒng)計編碼2.1 霍夫曼（Huffman）編碼 n霍夫曼編碼n靜態(tài)編碼在壓縮之前就建立好一個概率統(tǒng)計表和編碼樹。算法速度快，但壓縮效果不是最好n動態(tài)編碼對每一個圖像，臨時建立概率統(tǒng)計表和編碼樹。算法速度慢

14、，但壓縮效果最好第六章：圖像壓縮編碼2022-5-9282.統(tǒng)計編碼2.2 算術(shù)編碼（AE）算術(shù)編碼原理 在算術(shù)編碼中，把被編碼的信息表示成0到1之間的一個間隔。在傳輸任何信息之前，信息的完整范圍是0，1)，當一個符號被處理時，區(qū)間范圍就依據(jù)分配給這一符號的那部分范圍而變窄。第六章：圖像壓縮編碼2022-5-9292.統(tǒng)計編碼2.2 算術(shù)編碼（AE）-編碼n(1)首先對字符號集X中每個單獨的符號賦一個0到1之間的子區(qū)間，子區(qū)間的長度等于該符號的概率，并假設(shè)這樣的賦值對解碼器來說是已知的。n(2)讀入第一符號a1，設(shè)a1是符號集X中的第i個符號，a1=xi(i=1，2，N)，那么初始子區(qū)間定義為

15、 I1，r1)=pi-1，pi)第六章：圖像壓縮編碼2022-5-9302.統(tǒng)計編碼2.2 算術(shù)編碼（AE）-編碼n(3)讀入下一個符號，設(shè)已經(jīng)是第n次讀入，并設(shè)讀入的符號an是符號集X中的第i個符號，即an=xi。n定義新區(qū)間為 ln，rn)=ln-1+pi-1dn-1，ln-1+pidn-1)第六章：圖像壓縮編碼2022-5-9312.統(tǒng)計編碼2.2 算術(shù)編碼（AE）-解碼 如果解碼器也知道這一最后的范圍0.5143876，0.514402)，它馬上就可以解得第一個字符為x3，因為從各個符號的概率值及其所分配的編碼區(qū)間范圍看，只有x3的編碼區(qū)間范圍能包含0.5143876，0.514402

16、)。第六章：圖像壓縮編碼2022-5-9322.統(tǒng)計編碼2.2 算術(shù)編碼（AE）-特點n算術(shù)編碼器對整個消息只產(chǎn)生一個碼字，這個碼字是在間隔0，1)中的一個實數(shù)，因此譯碼器在接收到表示這個實數(shù)的所有位之前不能進行譯碼。第六章：圖像壓縮編碼2022-5-9332.統(tǒng)計編碼2.2 算術(shù)編碼（AE）-示例假設(shè)信源符號為假設(shè)信源符號為00,01,10,11,00,01,10,11,這些符號的概率分別為這些符號的概率分別為 0.1,0.4, 0.1,0.4, 0.2,0.3,0.2,0.3,根據(jù)這些概率可把間隔根據(jù)這些概率可把間隔0,1)0,1)分成分成4 4個子間隔：個子間隔：0,0.1), 0,0.

17、1), 0.1,0.5), 0.5,0.7), 0.7, 1).0.1,0.5), 0.5,0.7), 0.7, 1).符號符號 00 01 10 11 00 01 10 11 概率概率 0.1 0.4 0.2 0.3 0.1 0.4 0.2 0.3 初始編碼間隔初始編碼間隔 0, 0.1) 0.1, 0.5) 0.5, 0.7) 0.7, 1)0, 0.1) 0.1, 0.5) 0.5, 0.7) 0.7, 1) 如果二進制消息序列的輸入為：如果二進制消息序列的輸入為：10 00 11 00 10 11 01.10 00 11 00 10 11 01.第六章：圖像壓縮編碼2022-5-934

18、2.統(tǒng)計編碼2.2 算術(shù)編碼（AE）-示例low = low+range * range_low range和和low為上一個被編碼符號的范圍和低端值為上一個被編碼符號的范圍和低端值;high = low + range * range_high rang_low 和和range_high為被編碼符號已給定的出現(xiàn)概率范為被編碼符號已給定的出現(xiàn)概率范圍的低端值和高端值圍的低端值和高端值.第六章：圖像壓縮編碼2022-5-9352.統(tǒng)計編碼2.2 算術(shù)編碼（AE）-示例第六章：圖像壓縮編碼2022-5-9362.統(tǒng)計編碼2.2 算術(shù)編碼（AE）-示例第六章：圖像壓縮編碼2022-5-9372.統(tǒng)計

19、編碼2.2 算術(shù)編碼（AE）-示例首先計算首先計算valuek+1 = (valuek range_lowk ) /rangek然后判斷然后判斷valuek+1 位于哪個范圍位于哪個范圍,則得到對應(yīng)編碼則得到對應(yīng)編碼.譯碼判決方法譯碼判決方法:第六章：圖像壓縮編碼2022-5-9382.統(tǒng)計編碼2.2 算術(shù)編碼（AE）-示例步驟步驟 間隔間隔 譯碼符號譯碼符號 譯碼判決譯碼判決 1 0.5, 0.7) 10 0.514391 0.5, 0.7) 10 0.51439在間隔在間隔 0.5, 0.7)0.5, 0.7)2 0.5, 0.52) 00 0.514392 0.5, 0.52) 00 0

20、.51439在間隔在間隔 0.5, 0.7)0.5, 0.7)的第的第1 1個個1/101/103 0.514, 0.52) 11 0.514393 0.514, 0.52) 11 0.51439在間隔在間隔0.5, 0.52)0.5, 0.52)的第的第7 7個個1/101/104 0.514, 0.5146) 00 0.514394 0.514, 0.5146) 00 0.51439在間隔在間隔0.514, 0.52)0.514, 0.52)的第的第1 1個個1/101/105 0.5143, 0.51442) 10 0.514395 0.5143, 0.51442) 10 0.51439

21、在間隔在間隔0.514, 0.5146)0.514, 0.5146)的第的第5 5個個1/101/106 0.514384, 0.51442) 11 0.514396 0.514384, 0.51442) 11 0.51439在間隔在間隔0.5143, 0.51442)0.5143, 0.51442)的第的第7 7個個1/101/107 0.51439, 0.5143948) 01 0.514397 0.51439, 0.5143948) 01 0.51439在間隔在間隔0.514384, 0.51442)0.514384, 0.51442)的第的第1 1個個1/10 1/10 8 8 解碼后

22、消息序列：解碼后消息序列：10 00 11 00 10 11 0110 00 11 00 10 11 01第六章：圖像壓縮編碼2022-5-9392.統(tǒng)計編碼2.3 跳過白色塊編碼（WBS）n基本原理 大多數(shù)二值圖像中的黑象素只占整個圖像的一小部分，若能跳過白色象素，只對黑色象素編碼，則表示圖像的比特數(shù)就能減少，平均比特數(shù)就能大大降低。第六章：圖像壓縮編碼2022-5-9402.統(tǒng)計編碼2.3 跳過白色塊編碼（WBS）n一維WBS1. 將圖像的每條掃描線分成若干段，每一段的象素個數(shù)為n2. 對全部是白色的象素用0表示3.對至少有一個黑象素的線段用n+1個比特表示，第一個比特為1，其余n比特采用

23、直接編碼舉例：黑白白黑11001 白白白白0設(shè)長度為N的象素段出現(xiàn)全白的概率為PN，則一維WBS編碼平均字長bN為：NNNNPNNPPNb11) 1)(1 (11第六章：圖像壓縮編碼2022-5-9412.統(tǒng)計編碼2.3 跳過白色塊編碼（WBS）n二維WBS 將一維WBS的象素段推廣為象素塊。設(shè)象素塊大小為MN，全白象素塊用“0”表示否則用MN個比特來直接編碼第六章：圖像壓縮編碼2022-5-9422.統(tǒng)計編碼2.3 跳過白色塊編碼（WBS）n自適應(yīng)WBS編碼 根據(jù)圖像的局部結(jié)構(gòu)或統(tǒng)計特性，改變象素塊的大小，進一步提高壓縮效果，這就是所謂的自適應(yīng)WBS編碼。 改進型的一維WBS編碼：對于一維的

24、WBS編碼，如果一條掃描線全為白象素時，則用1比特“0”表示，否則用正常的一維WBS編碼。 自適應(yīng)的WBS編碼可以使得表示圖像的bit數(shù)下降很多，但是為了自適應(yīng)增加了設(shè)備的復(fù)雜性。第六章：圖像壓縮編碼2022-5-9432.統(tǒng)計編碼2.4 游程編碼（RC） n概念：n游程：具有相同灰度值的像素序列。n編碼思想：n去除像素冗余。n用游程的灰度和游程的長度代替游程本身。例：設(shè)重復(fù)次數(shù)為 iC, 重復(fù)像素值為 iP編碼為：iCiP iCiP iCiP 編碼前：aaaaaaabbbbbbcccccccc 編碼后：7a6b8c第六章：圖像壓縮編碼2022-5-9442.統(tǒng)計編碼2.4 游程編碼（RC）

25、n分析：n對于有大面積色塊的圖像，壓縮效果很好n對于紛雜的圖像，壓縮效果不好，最壞情況下，會加倍圖像第六章：圖像壓縮編碼2022-5-9452.統(tǒng)計編碼2.4 游程編碼（RC） n例子：PCX_RC（1）PCX簡介：真彩色圖像以行為單位，按色面存放128字節(jié)的文件頭字節(jié)的文件頭圖像數(shù)據(jù)圖像數(shù)據(jù)調(diào)色板調(diào)色板第六章：圖像壓縮編碼2022-5-9462.統(tǒng)計編碼2.4 游程編碼（RC） （2） PCX_RC編碼原則：1) 圖像數(shù)據(jù)以字節(jié)為單位進行編碼2) 按行進行壓縮3) 長度在前，灰度值在后4) 單像素沒有長度值5) 以最高兩位作為判斷是重復(fù)數(shù)還是原像素。 最高兩位為1（B0除外），說明是重復(fù)數(shù)，

26、否則，說明是原像素值第六章：圖像壓縮編碼2022-5-9472.統(tǒng)計編碼2.4 游程編碼（RC） （2） PCX_RC編碼原則：6) 重復(fù)像素長度iC最大值為26-1 = 63，如果遇到iC大于63的情況，則分為小于63的幾段，分別處理。7) 如果遇到不重復(fù)的單個像素P：如果P 16后，再增加n對性能的改善作用不大。第六章：圖像壓縮編碼2022-5-9665.混合編碼 既用到預(yù)測編碼、又用到變換編碼的編碼方法。對電視圖象： 在水平方向利用一維變換編碼； 在垂直方向利用DPCM（差值脈沖編碼調(diào)制）預(yù)測編碼。（ 幀內(nèi)用二維變換編碼； 幀間用一維DPCM編碼。 第六章：圖像壓縮編碼2022-5-96

27、75.混合編碼5.1子帶編碼 子帶編碼的基本思想是利用帶通濾波器組將信道頻帶分割成若干個子頻帶(Subband)，將子頻帶搬移至零頻處進行子帶取樣，再對每一個子帶用一個與其統(tǒng)計特性相適配的編碼器進行圖像數(shù)據(jù)壓縮。第六章：圖像壓縮編碼2022-5-9685.混合編碼5.1子帶編碼 子帶編碼原理n子帶編碼由于其本身具備的頻帶分解特性，非常適合于分辨率可分多級的視頻編碼。第六章：圖像壓縮編碼2022-5-9695.混合編碼5.1子帶編碼 子帶編碼優(yōu)點n(1)一個子帶的編碼噪聲在解碼后只局限于該子帶內(nèi)，不會擴散到其他子帶。這樣，即使有的子帶信號較弱，也不會被其他子帶的編碼噪聲所掩蓋。第六章：圖像壓縮編

28、碼2022-5-9705.混合編碼5.1子帶編碼n(2)可以根據(jù)主觀視覺特性，將有限的數(shù)碼率在各個子帶之間合理分配，有利于提高圖像的主觀質(zhì)量。n(3)通過頻帶分解，各個子帶的抽樣頻率可以成倍下降。第六章：圖像壓縮編碼2022-5-9715.混合編碼5.1子帶編碼子帶分解n在子帶編碼系統(tǒng)中，關(guān)鍵技術(shù)是正確實現(xiàn)無失真子帶的分解和復(fù)原。n一個一維2子帶編碼系統(tǒng)的框圖如圖3-25所示.第六章：圖像壓縮編碼2022-5-9725.混合編碼5.1子帶編碼 一維一維2子帶編碼系統(tǒng)的框圖子帶編碼系統(tǒng)的框圖第六章：圖像壓縮編碼2022-5-9735.混合編碼5.2分形編碼n分形編碼的原理是利用的是圖像中某一部分

29、與另一部分之間的相似性。n分形圖像編碼是20世紀80年代中后期提出的一種新的圖像壓縮編碼方法。 nBarnsley指出利用迭代函數(shù)系統(tǒng)(IFS)理論，存在得到10000:1的驚人壓縮比的可能性。 n在他的指導(dǎo)下，Barnsley得意學(xué)生Jacquin首次提出分塊的迭代變換理論算法 第六章：圖像壓縮編碼2022-5-9745.混合編碼5.2分形編碼-分形和分維的概念分形和分維的概念 在自然界中存在許多規(guī)則的形體，可以用歐氏幾何來表示，如點、線、面和三維立體。在自然界中還存在更多的不規(guī)則形體，如山脈、河流、海岸線等，它們不能用歐氏幾何來表示。 分形(fractal)這個詞是美國哈佛大學(xué)數(shù)學(xué)系教授Mandelbrot在1975年提出的。他經(jīng)過長期研究提出了用分形幾何學(xué)來描述自然界不規(guī)則的、具有自相似特性的物體。描述的對象特征長度表達方式維數(shù)歐氏幾何學(xué)人類創(chuàng)造的簡單的標準物體有數(shù)學(xué)公式整數(shù)維分形幾何學(xué)大自然的復(fù)雜的真實物體無迭代語