6高等數(shù)學(xué)課件(完整版)詳細(xì)學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)16高等數(shù)學(xué)課件高等數(shù)學(xué)課件(完整版完整版)詳細(xì)詳細(xì)面積表示為定積分的步驟如下面積表示為定積分的步驟如下（1）把區(qū)間）把區(qū)間,ba分成分成n個(gè)長(zhǎng)度為個(gè)長(zhǎng)度為ix 的小區(qū)間，的小區(qū)間，相應(yīng)的曲邊梯形被分為相應(yīng)的曲邊梯形被分為n個(gè)小窄曲邊梯形， 第個(gè)小窄曲邊梯形， 第i 小窄曲邊梯形的面積為小窄曲邊梯形的面積為iA ，則，則 niiAA1.（2）計(jì)算）計(jì)算iA 的近似值的近似值iiixfA )( iix （3） 求和，得求和，得A的近似值的近似值.)(1iinixfA 第1頁/共116頁ab xyo)(xfy （4） 求極限，得求極限，得A的精確值的精確值iinixfA )(lim10 ba

2、dxxf)(提示提示 若若用用A 表表示示任任一一小小區(qū)區(qū)間間,xxx 上上的的窄窄曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積，則則 AA，并并取取dxxfA)( ，于于是是 dxxfA)( dxxfA)(lim.)( badxxfxdxx dA面積元素面積元素第2頁/共116頁當(dāng)所求量當(dāng)所求量U符合下列條件：符合下列條件：（1）U是是與與一一個(gè)個(gè)變變量量x的的變變化化區(qū)區(qū)間間 ba,有有關(guān)關(guān)的的量量；（2）U對(duì)于區(qū)間對(duì)于區(qū)間 ba,具有可加性，就是說，具有可加性，就是說，如果把區(qū)間如果把區(qū)間 ba,分成許多部分區(qū)間，則分成許多部分區(qū)間，則U相相應(yīng)地分成許多部分量，而應(yīng)地分成許多部分量，而U等于所有部分量之

3、等于所有部分量之和；和；（3）部分量）部分量iU 的近似值可表示為的近似值可表示為iixf )( ；就可以考慮用定積分來表達(dá)這個(gè)量就可以考慮用定積分來表達(dá)這個(gè)量U第3頁/共116頁元素法的一般步驟：元素法的一般步驟：1）根根據(jù)據(jù)問問題題的的具具體體情情況況，選選取取一一個(gè)個(gè)變變量量例例如如x為為積積分分變變量量，并并確確定定它它的的變變化化區(qū)區(qū)間間,ba；2）設(shè)設(shè)想想把把區(qū)區(qū)間間,ba分分成成n個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間，取取其其中中任任一一小小區(qū)區(qū)間間并并記記為為,dxxx ，求求出出相相應(yīng)應(yīng)于于這這小小區(qū)區(qū)間間的的部部分分量量U 的的近近似似值值.如如果果U 能能近近似似地地表表示示為為,ba上上的

4、的一一個(gè)個(gè)連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)在在x處處的的值值)(xf與與dx的的乘乘積積，就就把把dxxf)(稱稱為為量量U的的元元素素且且記記作作dU，即即dxxfdU)( ；第4頁/共116頁3）以以所所求求量量U的的元元素素dxxf)(為為被被積積表表達(dá)達(dá)式式，在在區(qū)區(qū)間間,ba上上作作定定積積分分，得得 badxxfU)(，即即為為所所求求量量U的的積積分分表表達(dá)達(dá)式式.這個(gè)方法通常叫做這個(gè)方法通常叫做元素法元素法應(yīng)用方向：應(yīng)用方向：平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長(zhǎng)；功；平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長(zhǎng)；功；水壓力；引力和平均值等水壓力；引力和平均值等第5頁/共116頁元素法的提出、思想、步驟

5、元素法的提出、思想、步驟.（注意微元法的本質(zhì)）（注意微元法的本質(zhì)）第6頁/共116頁思考題思考題微元法的實(shí)質(zhì)是什么？微元法的實(shí)質(zhì)是什么？第7頁/共116頁思考題解答思考題解答微元法的實(shí)質(zhì)仍是微元法的實(shí)質(zhì)仍是“和式和式”的極限的極限.第8頁/共116頁)(xfy ab)(1xfy )(2xfy ab曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxfA)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxfxfA)()(12xxxx x 第9頁/共116頁例例 1 1 計(jì)算由兩條拋物線計(jì)算由兩條拋物線xy 2和和2xy 所圍成的所圍成的圖形的面積圖形的面積.解解兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn))1 , 1()0 , 0(面

6、積元素面積元素dxxxdA)(2 選選 為積分變量為積分變量x 1 , 0 xdxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx 第10頁/共116頁例例 2 2 計(jì)計(jì)算算由由曲曲線線xxy63 和和2xy 所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積.解解兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn)).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy選選 為積分變量為積分變量x3, 2 x,0, 2)1( xdxxxxdA)6(231 ,3 , 0)2( xdxxxxdA)6(322 2xy xxy63 第11頁/共116頁于是所求面積于是所求面積21AAA dxxxxA)6(2023 d

7、xxxx)6(3230 .12253 說明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式說明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式問題：?jiǎn)栴}：積分變量只能選積分變量只能選 嗎？嗎？x第12頁/共116頁例例 3 3 計(jì)計(jì)算算由由曲曲線線xy22 和和直直線線4 xy所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積.解解兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn)).4 , 8(),2, 2( 422xyxy選選 為積分變量為積分變量y4, 2 ydyyydA 242.1842 dAAxy22 4 xy第13頁/共116頁如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程 )()(tytx 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積.)()(21 ttd

8、tttA （其中（其中1t和和2t對(duì)應(yīng)曲線起點(diǎn)與終點(diǎn)的參數(shù)值）對(duì)應(yīng)曲線起點(diǎn)與終點(diǎn)的參數(shù)值）在在1t,2t（或（或2t,1t）上）上)(tx 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，)(ty 連續(xù)連續(xù).第14頁/共116頁例例 4 4 求求橢橢圓圓12222 byax的的面面積積.解解橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程 tbytaxsincos由對(duì)稱性知總面積等于由對(duì)稱性知總面積等于4倍第一象限部分面積倍第一象限部分面積 aydxA04 02)cos(sin4tatdbdttab 202sin4.ab 第15頁/共116頁 設(shè)由曲線設(shè)由曲線)( r及射線及射線 、 圍成一曲邊扇圍成一曲邊扇形，求其面積這里，形，求

9、其面積這里，)( 在在, 上連續(xù)，且上連續(xù)，且0)( xo d d 面積元素面積元素 ddA2)(21 曲邊扇形的面積曲邊扇形的面積.)(212 dA )( r第16頁/共116頁例例 5 5 求求雙雙紐紐線線 2cos22a 所所圍圍平平面面圖圖形形的的面面積積.解解由對(duì)稱性知總面積由對(duì)稱性知總面積=4倍第一倍第一象限部分面積象限部分面積14AA daA2cos214402 .2a xy 2cos22a 1A第17頁/共116頁例例 6 6 求心形線求心形線)cos1( ar所圍平面圖形的所圍平面圖形的面積面積)0( a.解解 dadA22)cos1(21 利用對(duì)稱性知利用對(duì)稱性知.232a

10、 d d2)cos1( 02212aA d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 0第18頁/共116頁求在直角坐標(biāo)系下、參數(shù)方程形式下、求在直角坐標(biāo)系下、參數(shù)方程形式下、極坐標(biāo)系下平面圖形的面積極坐標(biāo)系下平面圖形的面積.（注意恰當(dāng)?shù)模ㄗ⒁馇‘?dāng)?shù)倪x擇積分變量選擇積分變量有助于簡(jiǎn)化積有助于簡(jiǎn)化積分運(yùn)算）分運(yùn)算）第19頁/共116頁思考題思考題 設(shè)曲線設(shè)曲線)(xfy 過原點(diǎn)及點(diǎn)過原點(diǎn)及點(diǎn))3 , 2(，且，且)(xf為單調(diào)函數(shù)，并具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，今在曲線上任為單調(diào)函數(shù)，并具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，今在曲線上任取一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的平行線，其中一條平行線取一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的平行線，其中一條平行線

11、與與x軸和曲線軸和曲線)(xfy 圍成的面積是另一條平圍成的面積是另一條平行線與行線與y軸和曲線軸和曲線)(xfy 圍成的面積的兩圍成的面積的兩倍，求曲線方程倍，求曲線方程.第20頁/共116頁思考題解答思考題解答1S2Sxyo)(xfy ),(yx122SS xdxxfS02)( xdxxfxySxyS021)()( 2)(00 xxdxxfxydxxf,2)(30 xydxxfx 兩邊同時(shí)對(duì)兩邊同時(shí)對(duì) 求導(dǎo)求導(dǎo)x第21頁/共116頁yxyxf 22)(3yyx 2積分得積分得,2cxy 因因?yàn)闉榍€線)(xfy 過過點(diǎn)點(diǎn))3 ,2(29 c,292xy 因因?yàn)闉?(xf為為單單調(diào)調(diào)函函數(shù)

12、數(shù)所以所求曲線為所以所求曲線為.223xy 第22頁/共116頁一、一、 填空題：填空題：1 1、 由曲線由曲線eyeyx ,及及y軸所圍成平面區(qū)域的面積軸所圍成平面區(qū)域的面積是是_ . .2 2、 由曲線由曲線23xy 及直線及直線xy2 所圍成平面區(qū)域的所圍成平面區(qū)域的面積是面積是_ ._ .3 3、 由曲線由曲線 1,1,1,12 xxyxxy所圍成所圍成平面區(qū)域的面積是平面區(qū)域的面積是_ ._ .4 4、 計(jì)算計(jì)算xy22 與與4 xy所圍的區(qū)域面積時(shí)，選用所圍的區(qū)域面積時(shí)，選用_作變量較為簡(jiǎn)捷作變量較為簡(jiǎn)捷 . .5 5、 由曲線由曲線xxeyey ,與直線與直線1 x所圍成平面區(qū)所

13、圍成平面區(qū)域的面積是域的面積是_ _ . .練練 習(xí)習(xí) 題題第23頁/共116頁6 6 曲曲線線2xy 與與它它兩兩條條相相互互垂垂直直的的切切線線所所圍圍成成平平面面圖圖 形形的的面面積積S，其其中中一一條條切切線線與與曲曲線線相相切切于于點(diǎn)點(diǎn) ),(2aaA，0 a，則則當(dāng)當(dāng) a_ _ _時(shí)時(shí)，面面積積S最最小小 . .二、二、 求由下列各曲線所圍成的圖形的面積：求由下列各曲線所圍成的圖形的面積：1 1、xy1 與直線與直線xy 及及2 x；2 2、 y2x與直線與直線xy 及及xy2 ；3 3、 )cos2(2 ar；4 4、擺線、擺線)cos1(,)sin(tayttax )20( t

14、及及x軸；軸；5 5、 cos3 r及及 cos1 r的公共部分；的公共部分；6 6、笛卡爾葉形線、笛卡爾葉形線axyyx333 . .第24頁/共116頁三、三、 求拋物線求拋物線342 xxy及其在點(diǎn)及其在點(diǎn))3,0( 和和)0,3(處的切線所圍成的圖形的面積處的切線所圍成的圖形的面積 . .四、四、 求位于曲線求位于曲線xey 下方，該曲線過原點(diǎn)的切線的下方，該曲線過原點(diǎn)的切線的左方以左方以軸軸及及 x上方之間的圖形的面積上方之間的圖形的面積 . .五、五、 求由拋物線求由拋物線axy42 與過焦點(diǎn)的弦所圍成的圖形與過焦點(diǎn)的弦所圍成的圖形面積的最小值面積的最小值 . .第25頁/共116

15、頁一、一、1 1、1 1； 2 2、332； 3 3、2 2； 4 4、y； 5 5、21 ee； 6 6、21. .二、二、1 1、2ln23 ； 2 2、67； 3 3、2a ； 4 4、23 a ； 5 5、 45； 6 6、223a. .三、三、49. . 四、四、2e. . 五、五、238a. .練習(xí)題答案練習(xí)題答案第26頁/共116頁 旋轉(zhuǎn)體旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)一條就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺(tái)圓臺(tái)第27頁/共116頁一一般般地地，如如果果旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體是是由由連連續(xù)續(xù)曲曲

16、線線)(xfy 、直直線線ax 、bx 及及x軸軸所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成的的立立體體，體體積積為為多多少少？取取積積分分變變量量為為x，,bax 在在,ba上任取小區(qū)上任取小區(qū)間間,dxxx ，取取以以dx為為底底的的窄窄邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的薄薄片片的的體體積積為為體體積積元元素素，dxxfdV2)( xdxx xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為旋轉(zhuǎn)體的體積為dxxfVba2)( )(xfy 第28頁/共116頁y例例 1 1 連接坐標(biāo)原點(diǎn)連接坐標(biāo)原點(diǎn)O及點(diǎn)及點(diǎn)),(rhP的直線、直線的直線、直線hx 及及x軸圍成一個(gè)直角三角形將它繞軸圍成一

17、個(gè)直角三角形將它繞x軸旋軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個(gè)底半徑為轉(zhuǎn)構(gòu)成一個(gè)底半徑為r、高為、高為h的圓錐體，計(jì)算的圓錐體，計(jì)算圓錐體的體積圓錐體的體積r解解hPxhry 取取積積分分變變量量為為x，, 0hx 在在, 0h上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間,dxxx ，xo直線直線 方程方程為為OP第29頁/共116頁以以dx為為底底的的窄窄邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的薄薄片片的的體體積積為為dxxhrdV2 圓圓錐錐體體的的體體積積dxxhrVh20 hxhr03223 .32hr yrhPxo第30頁/共116頁a aoyx例例 2 2 求求星星形形線線323232ayx )0( a繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)構(gòu)

18、構(gòu)成成旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積.解解,323232xay 332322 xay,aax 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積dxxaVaa33232 .105323a 第31頁/共116頁 類類似似地地，如如果果旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體是是由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(yx 、直直線線cy 、dy 及及y軸軸所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成的的立立體體，體體積積為為xyo)(yx cddyy2)( dcV第32頁/共116頁例例 3 3 求擺線求擺線)sin(ttax ，)cos1(tay 的一拱與的一拱與0 y所圍成的圖形分別繞所圍成的圖形分別繞x軸、軸、y軸軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)構(gòu)

19、成旋轉(zhuǎn)體的體積.解解繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體體體積積dxxyVax)(220 2022)cos1()cos1(dttata 20323)coscos3cos31(dtttta.532a a 2a )(xy第33頁/共116頁繞繞y軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積可可看看作作平平面面圖圖OABC與與OBC分分別別繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)構(gòu)構(gòu)成成旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積之之差差.dtyxVay)(2202 dtyxa)(2201 oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 222sin)sin(tdtatta 022sin)sin(tdtatta 2023sin)sin(tdttta

20、.633a 第34頁/共116頁補(bǔ)充補(bǔ)充 如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線)(xfy 、直線直線ax 、bx 及及x軸所圍成的曲邊梯形繞軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為dxxfxVbay| )(|2 利用這個(gè)公式，可知上例中利用這個(gè)公式，可知上例中dxxfxVay| )(|220 20)sin()cos1()sin(2ttadtatta 2023)cos1)(sin(2dtttta.633a 第35頁/共116頁例例 4 4 求由曲線求由曲線24xy 及及0 y所圍成的圖形所圍成的圖形繞直線繞直線3 x旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體

21、的體積.解解取取積積分分變變量量為為y,4 , 0 y體積元素為體積元素為dyQMPMdV22 dyyy)43()43(22 ,412dyy dyyV 40412.64 3dyPQM第36頁/共116頁xoab二、平行截面面積為已知的立體的體積二、平行截面面積為已知的立體的體積xdxx 如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個(gè)截面面積，那么，這個(gè)立體的體積直于一定軸的各個(gè)截面面積，那么，這個(gè)立體的體積也可用定積分來計(jì)算也可用定積分來計(jì)算.)(xA表表示示過過點(diǎn)點(diǎn)x且且垂垂直直于于x軸軸的的截截面面面面積積，)(xA為為x的的已已知知連

22、連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù),)(dxxAdV .)( badxxAV立體體積立體體積第37頁/共116頁例例 5 5 一一平平面面經(jīng)經(jīng)過過半半徑徑為為R的的圓圓柱柱體體的的底底圓圓中中心心，并并與與底底面面交交成成角角 ，計(jì)計(jì)算算這這平平面面截截圓圓柱柱體體所所得得立立體體的的體體積積.RR xyo解解 取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖底圓方程為底圓方程為222Ryx 垂直于垂直于x軸的截面為直角三角形軸的截面為直角三角形x截面面積截面面積,tan)(21)(22 xRxA 立體體積立體體積dxxRVRR tan)(2122 .tan323 R 第38頁/共116頁例例 6 6 求求以以半半徑徑為為R的的圓圓為為

23、底底、平平行行且且等等于于底底圓圓半半徑徑的的線線段段為為頂頂、高高為為h的的正正劈劈錐錐體體的的體體積積.解解取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖底圓方程為底圓方程為,222Ryx xyoRx垂直于垂直于x軸的截面為等腰三角形軸的截面為等腰三角形截面面積截面面積22)(xRhyhxA 立體體積立體體積dxxRhVRR 22.212hR 第39頁/共116頁旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積平行截面面積為已知的立體的體積平行截面面積為已知的立體的體積 繞繞 軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周x繞繞 軸旋轉(zhuǎn)一周軸旋轉(zhuǎn)一周y繞非軸直線旋轉(zhuǎn)一周繞非軸直線旋轉(zhuǎn)一周第40頁/共116頁思考題思考題 求求曲曲線線4 xy，1 y，0 x所所

24、圍圍成成的的圖圖形形繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)構(gòu)構(gòu)成成旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積.第41頁/共116頁思考題解答思考題解答xyo 14yxy交點(diǎn)交點(diǎn)),1 , 4(立體體積立體體積dyxVy 12dyy 1216 116y.16 1 y第42頁/共116頁一、一、 填空題：填空題：1 1、 連續(xù)曲線連續(xù)曲線,)(xfy 直線直線ax ，bx 軸軸及及 x所所圍圖形圍圖形軸軸繞繞 x旋 轉(zhuǎn) 一周 而成的 立體的體 積旋 轉(zhuǎn) 一周 而成的 立體的體 積 v_，軸軸繞繞 y旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體體 v積積_；2 2、 badxxfv)(常用來表示常用來表示_立立體的體積；體的體積；3 3、

25、 拋物線拋物線axy42 及直線及直線)0(00 xxx所圍成的圖所圍成的圖形形軸軸繞繞 x旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積_；4 4、 0, 0,cosh yaxxaxay所圍成的圖所圍成的圖x形繞形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的立體的軸旋轉(zhuǎn)而成的立體的 v體積體積_；練練 習(xí)習(xí) 題題第43頁/共116頁二、二、 有一鐵鑄件，它是由拋物線有一鐵鑄件，它是由拋物線、2101xy 11012 xy與直線與直線10 y圍成的圖形，圍成的圖形，軸軸繞繞 y旋旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體，算出它的質(zhì)量轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體，算出它的質(zhì)量（長(zhǎng)度單位是厘（長(zhǎng)度單位是厘米，鐵的密度是米，鐵的密度是38 . 7厘厘米米克克）. .三、三

26、、 把星形線把星形線323232ayx 軸軸繞繞 x旋轉(zhuǎn)，計(jì)算所得旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)，計(jì)算所得旋轉(zhuǎn)體的體積體的體積 . .四、四、 求擺線求擺線)sin(ttax ，)cos1(tay 的一拱，的一拱，0 y，繞直線，繞直線ay2 旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積. .第44頁/共116頁五、五、 求求222ayx 繞繞)0( abbx旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體的體積體的體積 . .六、六、 設(shè)有一截錐體，其上，下底均為橢圓，橢圓的軸設(shè)有一截錐體，其上，下底均為橢圓，橢圓的軸長(zhǎng)分別為長(zhǎng)分別為和和BA 2,2ba 2,2, ,h高為高為，求這截錐體，求這截錐體的體積的體積 . .七、七、 設(shè)直線設(shè)

27、直線baxy 與直線與直線0 x，1 x及及0 y所圍所圍成梯形面積等于成梯形面積等于A，試求，試求ba ,使這個(gè)梯形使這個(gè)梯形軸軸繞繞 y旋轉(zhuǎn)所得體積最小旋轉(zhuǎn)所得體積最小 . .第45頁/共116頁一、一、1 1、 badxxf)(2, , badxxxf)(2；2 2、已知平行截面面積的；、已知平行截面面積的； 3 3、202 ax ；4 4、2243sha . .二、二、 ( (克克) . ) . 三、三、310532a . . 四、四、327a . .五、五、ba222 . . 六、六、)(261bAaBABabh . .七、七、Aba ,0. .練習(xí)題答案練習(xí)題答案第46頁/共116

28、頁xoy0MA nMB 1M2M1 nM設(shè)設(shè)A、B是曲線弧上的兩是曲線弧上的兩個(gè)端點(diǎn)，在弧上插入分點(diǎn)個(gè)端點(diǎn)，在弧上插入分點(diǎn)BMMMMMAnni ,110并依次連接相鄰分點(diǎn)得一內(nèi)接折線，當(dāng)分點(diǎn)的數(shù)目并依次連接相鄰分點(diǎn)得一內(nèi)接折線，當(dāng)分點(diǎn)的數(shù)目無限增加且每個(gè)小弧段都縮向一點(diǎn)時(shí)，無限增加且每個(gè)小弧段都縮向一點(diǎn)時(shí)，此折線的長(zhǎng)此折線的長(zhǎng)|11 niiiMM的極限存在，則稱此極限為的極限存在，則稱此極限為曲線弧曲線弧AB的弧長(zhǎng)的弧長(zhǎng).第47頁/共116頁 設(shè)曲線弧為設(shè)曲線弧為)(xfy )(bxa ，其中，其中)(xf在在,ba上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)xoyabxdxx 取取積積分分變變量量為為x

29、，在在,ba上上任任取取小小區(qū)區(qū)間間,dxxx ，以對(duì)應(yīng)小切線段的長(zhǎng)代替小弧段的長(zhǎng)以對(duì)應(yīng)小切線段的長(zhǎng)代替小弧段的長(zhǎng) dy小小切切線線段段的的長(zhǎng)長(zhǎng)22)()(dydx dxy21 弧長(zhǎng)元素弧長(zhǎng)元素dxyds21 弧長(zhǎng)弧長(zhǎng).12dxysba 第48頁/共116頁例例 1 1 計(jì)計(jì)算算曲曲線線2332xy 上上相相應(yīng)應(yīng)于于x從從a到到b的的一一段段弧弧的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度.解解,21xy dxxds2)(121 ,1dxx 所求弧長(zhǎng)為所求弧長(zhǎng)為dxxsba 1.)1()1(322323ab ab第49頁/共116頁例例 2 2 計(jì)計(jì)算算曲曲線線 dnynx 0sin的的弧弧長(zhǎng)長(zhǎng))0( nx.解解nnxny1

30、sin ,sinnx dxysba 21dxnxn 0sin1ntx ndtt 0sin1dtttttn 0222cos2sin22cos2sindtttn 02cos2sin.4n 第50頁/共116頁曲線弧為曲線弧為,)()( tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù).22)()(dydxds 222)()(dttt dttt)()(22 弧長(zhǎng)弧長(zhǎng).)()(22dttts 第51頁/共116頁例例 3 3 求求星星形形線線323232ayx )0( a的的全全長(zhǎng)長(zhǎng).解解星形線的參數(shù)方程為星形線的參數(shù)方程為 taytax33sincos)20( t根據(jù)對(duì)

31、稱性根據(jù)對(duì)稱性14ss dtyx 20224dttta 20cossin34.6a 第52頁/共116頁例例 4 4 證證明明正正弦弦線線xaysin )20( x的的弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)等等于于橢橢圓圓 taytxsin1cos2 )20( t的的周周長(zhǎng)長(zhǎng).證證設(shè)正弦線的弧長(zhǎng)等于設(shè)正弦線的弧長(zhǎng)等于1sdxys 20211dxxa 2022cos1設(shè)橢圓的周長(zhǎng)為設(shè)橢圓的周長(zhǎng)為2s,cos12022dxxa 第53頁/共116頁 ,20222dtyxs 根據(jù)橢圓的對(duì)稱性知根據(jù)橢圓的對(duì)稱性知 dttats 02222cos1sin2dxxa 022cos12,1s 故原結(jié)論成立故原結(jié)論成立.dtta 022c

32、os12第54頁/共116頁曲線弧為曲線弧為)( )( rr 其中其中)( 在在, 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù). sin)(cos)(ryrx)( 22)()(dydxds ,)()(22 drr 弧長(zhǎng)弧長(zhǎng).)()(22 drrs 第55頁/共116頁例例 5 5 求求極極坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下曲曲線線33sin ar的的長(zhǎng)長(zhǎng). .)0( a解解 drrs )()(22313cos3sin32 ar,3cos3sin2 a.23a daa242623cos3sin3sin 30 d23sin 30a 0()3 第56頁/共116頁例例 6 6 求求阿阿基基米米德德螺螺線線 ar )0( a上上相相

33、應(yīng)應(yīng)于于 從從0到到 2的的弧弧長(zhǎng)長(zhǎng).解解, ar drrs )()(22 . )412ln(412222 a 20 daa222 20a d12 第57頁/共116頁平面曲線弧長(zhǎng)的概念平面曲線弧長(zhǎng)的概念直角坐標(biāo)系下直角坐標(biāo)系下參數(shù)方程情形下參數(shù)方程情形下極坐標(biāo)系下極坐標(biāo)系下弧微分的概念弧微分的概念求弧長(zhǎng)的公式求弧長(zhǎng)的公式 第58頁/共116頁思考題思考題 閉區(qū)間閉區(qū)間,ba上的連續(xù)曲線上的連續(xù)曲線)(xfy 是否一定可求長(zhǎng)？是否一定可求長(zhǎng)？第59頁/共116頁思考題解答思考題解答不一定僅僅有曲線連續(xù)還不夠，必須保證曲線不一定僅僅有曲線連續(xù)還不夠，必須保證曲線光滑才可求長(zhǎng)光滑才可求長(zhǎng)第60頁/

34、共116頁一、一、 填空題：填空題：1 1、 曲線曲線xyln 上相應(yīng)于上相應(yīng)于83 x的一段弧長(zhǎng)為的一段弧長(zhǎng)為_；2 2、 漸伸線漸伸線)sin(costttax ，)cos(sintttay 上相應(yīng)于上相應(yīng)于變到變到從從 0t 的一段弧長(zhǎng)為的一段弧長(zhǎng)為_；3 3、 曲 線曲 線1 r自自43 至至34 一 段 弧 長(zhǎng) 為一 段 弧 長(zhǎng) 為_ . .二、二、 計(jì)算半立方拋物線計(jì)算半立方拋物線32)1(32 xy被拋物線被拋物線32xy 截得的一段弧的長(zhǎng)度截得的一段弧的長(zhǎng)度 . .三、三、 計(jì)算星形線計(jì)算星形線tax3cos ，tay3sin 的全長(zhǎng)的全長(zhǎng) . .練練 習(xí)習(xí) 題題第61頁/共1

35、16頁四四、 求求心心形形線線)cos1( ar的的全全長(zhǎng)長(zhǎng). .五五、 證證明明：曲曲線線xysin )20( x的的弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)等等于于橢橢圓圓2222 yx的的周周長(zhǎng)長(zhǎng). .六六、 在在擺擺線線),sin(ttax )cos1(tay 上上求求分分?jǐn)[擺線線第第一一拱拱成成3:1的的點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo). .第62頁/共116頁練習(xí)題答案練習(xí)題答案 一、一、1 1、23ln211 ； 2 2、22 a； 3 3、23ln125 . . 二、二、 1)25(9823 . . 三、三、a6. . 四、四、a8. . 六、六、)23,)2332(aa . .第63頁/共116頁 由物理學(xué)知道，如果物體在

36、作直線運(yùn)動(dòng)的由物理學(xué)知道，如果物體在作直線運(yùn)動(dòng)的過程中有一個(gè)不變的力過程中有一個(gè)不變的力F作用在這物體上，且作用在這物體上，且這力的方向與物體的運(yùn)動(dòng)方向一致，那么，在這力的方向與物體的運(yùn)動(dòng)方向一致，那么，在物體移動(dòng)了距離物體移動(dòng)了距離s時(shí)，力時(shí)，力F對(duì)物體所作的功為對(duì)物體所作的功為sFW . 如如果果物物體體在在運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)的的過過程程中中所所受受的的力力是是變變化化的的，就就不不能能直直接接使使用用此此公公式式，而而采采用用“微微元元法法”思思想想.第64頁/共116頁例例 1 1 把一個(gè)帶把一個(gè)帶 q 電量的點(diǎn)電荷放在電量的點(diǎn)電荷放在 r 軸上坐軸上坐標(biāo)原點(diǎn)處，它產(chǎn)生一個(gè)電場(chǎng)這個(gè)電場(chǎng)對(duì)周圍的電

37、標(biāo)原點(diǎn)處，它產(chǎn)生一個(gè)電場(chǎng)這個(gè)電場(chǎng)對(duì)周圍的電荷有作用力由物理學(xué)知道，如果一個(gè)單位正電荷荷有作用力由物理學(xué)知道，如果一個(gè)單位正電荷放在這個(gè)電場(chǎng)中距離原點(diǎn)為放在這個(gè)電場(chǎng)中距離原點(diǎn)為 r 的地方，那么電場(chǎng)的地方，那么電場(chǎng)對(duì)它的作用力的大小為對(duì)它的作用力的大小為 2rqkF （k是常數(shù)） ，當(dāng)是常數(shù)） ，當(dāng)這個(gè)單位正電荷在電場(chǎng)中從這個(gè)單位正電荷在電場(chǎng)中從 ar 處沿處沿 r 軸移動(dòng)軸移動(dòng)到到 br 處時(shí)，計(jì)算電場(chǎng)力處時(shí)，計(jì)算電場(chǎng)力 F 對(duì)它所作的功對(duì)它所作的功第65頁/共116頁解解取取r為為積積分分變變量量，ro q a b 1 r,bar drr 取任一小區(qū)間取任一小區(qū)間,drrr ,功元素功元素,

38、2drrkqdw 所求功為所求功為drrkqwba 2barkq 1.11 bakq如果要考慮將單位電荷移到無窮遠(yuǎn)處如果要考慮將單位電荷移到無窮遠(yuǎn)處drrkqwa 2 arkq1.akq 第66頁/共116頁點(diǎn)擊圖片任意處播放點(diǎn)擊圖片任意處播放暫停暫停例例 2 2 一圓柱形蓄水池一圓柱形蓄水池高為高為 5米，底半徑為米，底半徑為3 米，池內(nèi)盛滿了水米，池內(nèi)盛滿了水.問要把池內(nèi)的水全部問要把池內(nèi)的水全部吸出，需作多少功？吸出，需作多少功？解解建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖xoxdxx 取取x為積分變量，為積分變量，5 , 0 x5取取任任一一小小區(qū)區(qū)間間,dxxx ,第67頁/共116頁xoxdx

39、x 5這一薄層水的重力為這一薄層水的重力為dx238 . 9 功元素為功元素為,2 .88dxxdw dxxw 2 .885050222 .88 x3462 (千焦千焦)第68頁/共116頁解解設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇樵O(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇?)(kxxf 第一次錘擊時(shí)所作的功為第一次錘擊時(shí)所作的功為 101)(dxxfw,2k .)(0 hhdxxfw例例3 3 用鐵錘把釘子釘入木板，設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)挠描F錘把釘子釘入木板，設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進(jìn)入木板的深度成正比，鐵錘在第阻力與鐵釘進(jìn)入木板的深度成正比，鐵錘在第一次錘擊時(shí)將鐵釘擊入一次錘擊時(shí)將鐵釘擊入1厘米，若每次錘擊所作厘米，若每次錘擊所作的功相

40、等，問第的功相等，問第 次錘擊時(shí)又將鐵釘擊入多少？次錘擊時(shí)又將鐵釘擊入多少？n設(shè)設(shè) 次擊入的總深度為次擊入的總深度為 厘厘米米hn次錘擊所作的總功為次錘擊所作的總功為n第69頁/共116頁 hhkxdxw0,22kh 依題意知，每次錘擊所作的功相等依題意知，每次錘擊所作的功相等1nwwh 22kh,2kn ,nh . 1 nn次擊入的總深度為次擊入的總深度為n第第 次擊入的深度為次擊入的深度為n第70頁/共116頁 由物理學(xué)知道，在水深為由物理學(xué)知道，在水深為h處的壓強(qiáng)為處的壓強(qiáng)為hp ，這里，這里 是水的比重如果有一面積為是水的比重如果有一面積為A的平板水平地放置在水深為的平板水平地放置在水

41、深為h處，那么，平板一處，那么，平板一側(cè)所受的水壓力為側(cè)所受的水壓力為ApP 如如果果平平板板垂垂直直放放置置在在水水中中，由由于于水水深深不不同同的的點(diǎn)點(diǎn)處處壓壓強(qiáng)強(qiáng)p不不相相等等，平平板板一一側(cè)側(cè)所所受受的的水水壓壓力力就就不不能能直直接接使使用用此此公公式式，而而采采用用“微微元元法法”思思想想第71頁/共116頁例例 4 4 一個(gè)橫放著的圓柱形水桶，桶內(nèi)盛有半桶水，一個(gè)橫放著的圓柱形水桶，桶內(nèi)盛有半桶水，設(shè)桶的底半徑為設(shè)桶的底半徑為R，水的比重為，水的比重為 ，計(jì)算桶的一端面，計(jì)算桶的一端面上所受的壓力上所受的壓力解解在端面建立坐標(biāo)系如圖在端面建立坐標(biāo)系如圖xo取取x為積分變量，為積分

42、變量，, 0Rx 取取任任一一小小區(qū)區(qū)間間,dxxx xdxx 小矩形片上各處的壓強(qiáng)近小矩形片上各處的壓強(qiáng)近似相等似相等小矩形片的面積為小矩形片的面積為.222dxxR , xp 第72頁/共116頁小小矩矩形形片片的的壓壓力力元元素素為為dxxRxdP222 端面上所受的壓力端面上所受的壓力dxxRxPR2202 )(22022xRdxRR RxR032232 .323R 第73頁/共116頁例例 5 5 將直角邊各為將直角邊各為a及及a2的直角三角形薄板的直角三角形薄板垂直地浸人水中，斜邊朝下，直角邊的邊長(zhǎng)與水垂直地浸人水中，斜邊朝下，直角邊的邊長(zhǎng)與水面平行，且該邊到水面的距離恰等于該邊的

43、邊面平行，且該邊到水面的距離恰等于該邊的邊長(zhǎng)，求薄板所受的側(cè)壓力長(zhǎng)，求薄板所受的側(cè)壓力解解 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖xoa2a2a面積微元面積微元,)(2dxxa dxxaaxdP 1)(2)2(dxxaaxPa )(2(20 .373a 第74頁/共116頁 由物理學(xué)知道，質(zhì)量分別為由物理學(xué)知道，質(zhì)量分別為21, mm相距為相距為r的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的引力的大小為的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)間的引力的大小為221rmmkF ，其中其中k為引力系數(shù)，引力的方向沿著兩質(zhì)點(diǎn)的為引力系數(shù)，引力的方向沿著兩質(zhì)點(diǎn)的連線方向連線方向 如果要計(jì)算一根細(xì)棒對(duì)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的引力，如果要計(jì)算一根細(xì)棒對(duì)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的引力，那么，由于細(xì)棒上各點(diǎn)

44、與該質(zhì)點(diǎn)的距離是變化那么，由于細(xì)棒上各點(diǎn)與該質(zhì)點(diǎn)的距離是變化的，且各點(diǎn)對(duì)該質(zhì)點(diǎn)的引力方向也是變化的，的，且各點(diǎn)對(duì)該質(zhì)點(diǎn)的引力方向也是變化的，就不能用此公式計(jì)算就不能用此公式計(jì)算第75頁/共116頁例例 6 6 有一長(zhǎng)度為有一長(zhǎng)度為l、線密度為、線密度為 的均勻細(xì)棒，的均勻細(xì)棒，在其中垂線上距棒在其中垂線上距棒a單位處有一質(zhì)量為單位處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)M，計(jì)算該棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)，計(jì)算該棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)M的引力的引力2l2l xyoMa解解 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖取取y為積分變量為積分變量取取任任一一小小區(qū)區(qū)間間,dyyy ,2,2 lly將典型小段近似看成質(zhì)點(diǎn)將典型小段近似看成質(zhì)點(diǎn)小段的質(zhì)量為小段的

45、質(zhì)量為,dy rydyy 第76頁/共116頁小段與質(zhì)點(diǎn)的距離小段與質(zhì)點(diǎn)的距離為為,22yar 引力引力,22yadymkF 水平方向的分力元素水平方向的分力元素,)(2322yadyamkdFx 2322)(22yadyamkFllx ,)4(22122laalkm 由對(duì)稱性知，引力在鉛直方向分力為由對(duì)稱性知，引力在鉛直方向分力為. 0 yF第77頁/共116頁利用利用“微元法微元法”思想求變力作功、思想求變力作功、水壓力和引力等物理問題水壓力和引力等物理問題（注意熟悉相關(guān)的物理知識(shí)）（注意熟悉相關(guān)的物理知識(shí)）第78頁/共116頁思考題思考題 一球完全浸沒水中，問該球面所受的總壓力一球完全浸

46、沒水中，問該球面所受的總壓力與球浸沒的深度有無關(guān)系？它所受的總壓力與它與球浸沒的深度有無關(guān)系？它所受的總壓力與它在水中受到的浮力有何關(guān)系？在水中受到的浮力有何關(guān)系？第79頁/共116頁思考題解答思考題解答 該球面所受的總壓力方向向上（下半球該球面所受的總壓力方向向上（下半球面所受的壓力大于上半球面），其值為該球面所受的壓力大于上半球面），其值為該球排開水的重量，即球的體積，也就是它在水排開水的重量，即球的體積，也就是它在水中受到的浮力因此該球面所受的總壓力與中受到的浮力因此該球面所受的總壓力與球浸沒的深度無關(guān)球浸沒的深度無關(guān)第80頁/共116頁一、一、 直徑為直徑為20厘米，高為厘米，高為80

47、厘米的圓柱體內(nèi)充滿壓強(qiáng)厘米的圓柱體內(nèi)充滿壓強(qiáng)為為310厘米厘米牛牛的蒸汽，設(shè)溫度保持不變，要使蒸汽的蒸汽，設(shè)溫度保持不變，要使蒸汽體積縮小一半，問需要作多少功？體積縮小一半，問需要作多少功？二、二、 一物體按規(guī)律一物體按規(guī)律3tcx 作直線運(yùn)動(dòng)，媒質(zhì)的阻力與作直線運(yùn)動(dòng)，媒質(zhì)的阻力與速度的平方成正比，計(jì)算物體由速度的平方成正比，計(jì)算物體由0 x移至移至ax 時(shí)，克服媒質(zhì)阻力所作的功時(shí)，克服媒質(zhì)阻力所作的功 . .三、三、 有一等腰梯形閘門，它的兩條底邊各長(zhǎng)有一等腰梯形閘門，它的兩條底邊各長(zhǎng)610米和米和米，高為米，高為20米，較長(zhǎng)的底邊與水面相齊米，較長(zhǎng)的底邊與水面相齊. .計(jì)算閘門計(jì)算閘門的一

48、側(cè)所受的水壓力的一側(cè)所受的水壓力 . .練練 習(xí)習(xí) 題題第81頁/共116頁四、四、 半徑為半徑為的球沉的球沉r入水中，球的上部與水面相切，入水中，球的上部與水面相切，球的比重與水相同，現(xiàn)將球從水中取出，需要作球的比重與水相同，現(xiàn)將球從水中取出，需要作多少功？多少功？五、五、 一塊一塊a高為高為 ，b底為底為的等腰三角形薄板，垂直地的等腰三角形薄板，垂直地沉沒在水中，頂在下，底與水面相齊，試計(jì)算薄沉沒在水中，頂在下，底與水面相齊，試計(jì)算薄板每面所受的壓力板每面所受的壓力 . .六、六、 設(shè)有一半設(shè)有一半R徑徑為為，中心，中心 角為角為的圓弧形細(xì)棒，其的圓弧形細(xì)棒，其線密度為線密度為 常數(shù)常數(shù)，

49、在圓心處有一質(zhì)，在圓心處有一質(zhì)的的量為量為m質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)M，試求這細(xì)棒對(duì)質(zhì)，試求這細(xì)棒對(duì)質(zhì)M點(diǎn)點(diǎn)的引力的引力 . .第82頁/共116頁七、七、 油類通過直油管時(shí)，中間流速大，越靠近管壁流油類通過直油管時(shí)，中間流速大，越靠近管壁流速越小，實(shí)驗(yàn)測(cè)定，某處的流速越小，實(shí)驗(yàn)測(cè)定，某處的流與與速速 v流處到管子流處到管子中心的距中心的距之間之間離離 r有關(guān)系式有關(guān)系式)(22rakv , ,其中其中為比例為比例k常數(shù)，常數(shù)，為油管為油管a半徑半徑. .求通過油管的流求通過油管的流量量 （注： 當(dāng)流速為常量時(shí)， 流量（注： 當(dāng)流速為常量時(shí)， 流量 = = 流速流速 截面積）截面積） . .第83頁/共116

50、頁 一一、2ln800 ( (焦焦耳耳) ). . 二二、3732725akc( (其其為為中中 k比比 例例常常數(shù)數(shù)) ) . . 三三、1 14 43 37 73 3( (千千牛牛) ) . . 四四、gr434 . . 五五、 ba261. . 六六、引引 力力的的大大小小 為為2sin2 Rkm, ,方方向向指指為為 M向向 圓圓弧弧 的的中中心心 . . 七七、42ak . .練習(xí)題答案練習(xí)題答案第六章習(xí)題課第六章習(xí)題課第84頁/共116頁微微 元元 法法理理 論論 依依 據(jù)據(jù)名稱釋譯名稱釋譯所求量所求量的特點(diǎn)的特點(diǎn)解解 題題 步步 驟驟定積分應(yīng)用中的常用公式定積分應(yīng)用中的常用公式一

51、、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容第85頁/共116頁1 1、理論依據(jù)、理論依據(jù).)1()2()(,)()(,)()1()()(,)(定積分定積分的微分的的微分的分就是分就是這表明連續(xù)函數(shù)的定積這表明連續(xù)函數(shù)的定積于是于是即即的一個(gè)原函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)是是則它的變上限積分則它的變上限積分上連續(xù)上連續(xù)在在設(shè)設(shè)UdUdxxfdxxfxdUxfdttfxUbaxfbabaxa 第86頁/共116頁2 2、名稱釋譯、名稱釋譯.)()(:)()(,)2(方法稱微元法方法稱微元法計(jì)算積分或原函數(shù)的計(jì)算積分或原函數(shù)的這種取微元這種取微元積分積分的無限積累的無限積累到到從從就是其微分就是其微分所求總量所求總量知知由理論依據(jù)

52、由理論依據(jù)dxxfdxxfUbadxxfdUAba 第87頁/共116頁（1）U是是與與一一個(gè)個(gè)變變量量x的的變變化化區(qū)區(qū)間間 ba,有有關(guān)關(guān)的的量量；（2）U對(duì)于區(qū)間對(duì)于區(qū)間 ba,具有可加性，就是說，具有可加性，就是說，如果把區(qū)間如果把區(qū)間 ba,分成許多部分區(qū)間，則分成許多部分區(qū)間，則U相相應(yīng)地分成許多部分量，而應(yīng)地分成許多部分量，而U等于所有部分量之等于所有部分量之和；和；（3）部分量）部分量iU 的近似值可表示為的近似值可表示為iixf )( ；就可以考慮用定積分來表達(dá)這個(gè)量就可以考慮用定積分來表達(dá)這個(gè)量U.3 3、所求量的特點(diǎn)、所求量的特點(diǎn)第88頁/共116頁1)根據(jù)問題的具體情況

53、，選取一個(gè)變量例如根據(jù)問題的具體情況，選取一個(gè)變量例如x為為積分變量，并確定它的變化區(qū)間積分變量，并確定它的變化區(qū)間,ba；2）設(shè)想把區(qū)間）設(shè)想把區(qū)間,ba分成分成n個(gè)小區(qū)間，取其中任個(gè)小區(qū)間，取其中任一小區(qū)間并記為一小區(qū)間并記為,dxxx ，求出相應(yīng)于這小區(qū)，求出相應(yīng)于這小區(qū)間的部分量間的部分量U 的近似值如果的近似值如果U 能近似地表能近似地表示為示為,ba上的一個(gè)連續(xù)函數(shù)在上的一個(gè)連續(xù)函數(shù)在x處的值處的值)(xf與與dx的乘積，就把的乘積，就把dxxf)(稱為量稱為量U的元素且記作的元素且記作dU，即，即dxxfdU)( ；3）以以所所求求量量U的的元元素素dxxf)(為為被被積積表表達(dá)

54、達(dá)式式，在在區(qū)區(qū)間間,ba上上作作定定積積分分，得得 badxxfU)(，即即為為所所求求量量U4 4、解題步驟、解題步驟第89頁/共116頁5 5、定積分應(yīng)用的常用公式、定積分應(yīng)用的常用公式(1) 平面圖形的面積平面圖形的面積)(xfy badxxfA)()(1xfy )(2xfy badxxfxfA)()(12AA直角坐標(biāo)情形直角坐標(biāo)情形abab第90頁/共116頁如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程 )()(tytx 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 21)()(ttdtttA （其中（其中1t和和2t對(duì)應(yīng)曲線起點(diǎn)與終點(diǎn)的參數(shù)值）對(duì)應(yīng)曲線起點(diǎn)與終點(diǎn)的參數(shù)值）在在1t,2t

55、（或或2t,1t）上上)(tx 具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，)(ty 連連續(xù)續(xù).參數(shù)方程所表示的函數(shù)參數(shù)方程所表示的函數(shù)第91頁/共116頁 dA2)(21xo d )( r xo)(2 r)(1 r dA)()(212122極坐標(biāo)情形極坐標(biāo)情形第92頁/共116頁(2) 體積體積xdxx xyodxxfVba2)( dyyVdc2)( xyo)(yx cd第93頁/共116頁xo badxxAV)(xdxx ab平行截面面積為已知的立體的體積平行截面面積為已知的立體的體積)(xA第94頁/共116頁(3) 平面曲線的弧長(zhǎng)平面曲線的弧長(zhǎng)xoyabxdxx dy弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)dxysba 21A曲線弧為

56、曲線弧為 )()(tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)弧長(zhǎng)弧長(zhǎng)dttts )()(22)(xfy B曲線弧為曲線弧為第95頁/共116頁C曲線弧為曲線弧為)( )( rr 弧長(zhǎng)弧長(zhǎng) drrs )()(22(4) 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積xdxx xyo)(xfy bxaxfy , 0)( badxxfxfS)(1)(22側(cè)側(cè)第96頁/共116頁(5) 細(xì)棒的質(zhì)量細(xì)棒的質(zhì)量oxdxx )(x xl lldxxdmm00)( (6) 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量abxyxdxx o babayydxxxdII)(2 )(為線密度為線密度x 第97頁/共116頁(7

57、) 變力所作的功變力所作的功)(xFo abxdxx x babadxxFdWW)(8) 水壓力水壓力xyoabxdxx )(xf babadxxxfdPP)( )(為比重為比重 第98頁/共116頁(9) 引力引力xyxdxx oAl l llllyyxadxGadFF2322)( . 0 xF)(為為引引力力系系數(shù)數(shù)G(10) 函數(shù)的平均值函數(shù)的平均值 badxxfaby)(1第99頁/共116頁二、典型例題二、典型例題例例1 1.3;2;1)0(sincos00033體積及表面積體積及表面積體體它繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)它繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)它的弧長(zhǎng)它的弧長(zhǎng)它所圍成的面積它所圍成的面積求求星形線

58、星形線已知已知 ataytaxa aoyx第100頁/共116頁解解.10A設(shè)面積為設(shè)面積為由對(duì)稱性由對(duì)稱性,有有 aydxA04 0223)sin(cos3sin4dtttata 20642sinsin12dttta.832a .20L設(shè)弧長(zhǎng)為設(shè)弧長(zhǎng)為由對(duì)稱性由對(duì)稱性,有有 2022)()(4dtyxL 20sincos34tdtta.6a 第101頁/共116頁.,30VS 體積為體積為設(shè)旋轉(zhuǎn)體的表面積為設(shè)旋轉(zhuǎn)體的表面積為由對(duì)稱性由對(duì)稱性,有有 axdxyyS02122 203sincos3sin4tdttata.5122a adxyV022 02262)sin(cos3sin2dttta

59、ta 20273)sin1(sin6dttta.105323a 第102頁/共116頁例例2 2?,)2(;)0()1( .至少需作功多少至少需作功多少若再將滿池水全部抽出若再將滿池水全部抽出面上升的速度面上升的速度時(shí)水時(shí)水求在池中水深求在池中水深內(nèi)注水內(nèi)注水的半球形水池的半球形水池的流量往半徑為的流量往半徑為以每秒以每秒RhhRa oxyRh解解如圖所示建立坐標(biāo)系如圖所示建立坐標(biāo)系.).0()(222RyRRyx 半圓的方程為半圓的方程為于是對(duì)半圓上任一點(diǎn)于是對(duì)半圓上任一點(diǎn),有有).0(2)(2222RyyRyRyRx 第103頁/共116頁時(shí)水池內(nèi)水的體積為時(shí)水池內(nèi)水的體積為為為的球缺的體

60、積即水深的球缺的體積即水深故半球內(nèi)高為故半球內(nèi)高為的立體的立體軸旋轉(zhuǎn)而成軸旋轉(zhuǎn)而成圓繞圓繞因已知半球可看作此半因已知半球可看作此半hhy,)1(dyyRydyxhVhh 0202)2()(,th時(shí)時(shí)已已注注水水的的時(shí)時(shí)間間為為又又設(shè)設(shè)水水深深,)(athV 則則有有atdyyRyh 02)2(即即得得求求導(dǎo)導(dǎo)兩兩邊邊對(duì)對(duì),t,)2(2adtdhhRh 第104頁/共116頁故所求速度為故所求速度為.)2(2hRhadtdh .)2(所需的功所需的功水全部提升到池沿高度水全部提升到池沿高度需的最小功即將池內(nèi)需的最小功即將池內(nèi)將滿池的水全部抽出所將滿池的水全部抽出所的功約為的功約為所需所需降到降到