一元二次方程的根的分布

1、第八節(jié)第八節(jié) 二二 次次 函函 數(shù)數(shù)2.掌握二次函數(shù)的最值及性質(zhì)；掌握二次函數(shù)的最值及性質(zhì)；考綱要求考綱要求1.理解二次函數(shù)的概念及圖像的特征；理解二次函數(shù)的概念及圖像的特征；1 1二次函數(shù)的三種表示形式二次函數(shù)的三種表示形式 一般式：一般式： 頂點式：頂點式： , 其中其中 為為拋物線的頂點坐標(biāo)拋物線的頂點坐標(biāo) 兩根式：兩根式： ， 其中其中 是拋是拋物線與物線與x軸交點的橫坐標(biāo)軸交點的橫坐標(biāo)yax2bxc(a0)ya(xx1)(xx2)x1，x2ya(xh)2k k(a0) (h，k k)解析式解析式 f(x)ax2bxc(a0) f(x)ax2bxc(a000)的圖象的圖象方程方程ax2

2、bxc0(a0)的解的解 無解無解ax2bxc0(a0)的解集的解集 . .Rax2bxc0)的解集的解集x|x1xx2 . . . . 3.3.三個二次的關(guān)系三個二次的關(guān)系xx2xx1 x1x2x0 x|xx2x|xx0 一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布考慮：考慮：a0的一元二次方程，當(dāng)二次項的一元二次方程，當(dāng)二次項系數(shù)小于系數(shù)小于0時，先化為正。時，先化為正。強調(diào)：把一元二次方程化為強調(diào)：把一元二次方程化為標(biāo)準形式標(biāo)準形式： ax2+bx+c=0 (a0)一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布1：零分布：零分布 （1）有兩正根）有兩正根 （2）有兩負根）有兩負根 （3）一正一負）

3、一正一負一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布2：k分布分布 （1）有兩個大于）有兩個大于k的根的根 （2）有兩個小于）有兩個小于k的根的根 （3）一個大于）一個大于k，一個小于，一個小于k （4）有一個根在區(qū)間）有一個根在區(qū)間(k1,k2)內(nèi)內(nèi) （5）區(qū)間）區(qū)間(k1,k2)內(nèi)有兩個根內(nèi)有兩個根210(0).axbxca結(jié)論一元二次方程有兩個正根000421212acxxabxxacb24002(0)0bacbafc 方程根的零分布情形：10021xxxy02ab1x2x0aO0c0220(0).axbxca結(jié)論一元二次方程有兩個負根000421212acxxabxxacb240(0)00

4、2bacfcba xy1x2x0aO0c002ab0021xx230(0).axbxca結(jié)論一元二次方程 有兩異號根0040021221acxxacbxx0(0)0afcxy1x2x0aO0c0 xy1x2x0aO02abxy1x2x0aO02ab240(0).axbxca結(jié)論一元二次方程 有一根為零一根非零0, 021xx0, 021xx210(0).axbxcak結(jié)論一元二次方程 有兩個大于的根0)(00421212kxkxkxkxacb0)(2042kfkabacb分布方程根的情形k：2xyk2ab1x2x0aO0kkxkx21xy02k kab1x2x0aO0k220(0).axbxc

5、ak結(jié)論一元二次方程 有兩個小于的根0)(0)()(042121221kxkxkxkxacbkxkx0)(2042kfkabacb分布方程根的情形k：2xy02ab1x2x0aO0k0)(kfxy1x2x0aOk21230(0),.axbxcaxkx結(jié)論一元二次方程 有兩個根 且0( )0af kxy1x2x0aO1k2k0)(1kf0)(2kf212111240(0)( ,).axbxcak kxkxk結(jié)論一元二次方程在區(qū)間內(nèi)有且只有一根即0)()(21kfkfxy1x2x0aO1k2k0)(1kf0)(2kfabx22211kxxk2121220)(0)(04kabkkfkfacb240(

6、0)axbxca結(jié)論一元二次方程的根滿足命題方向命題方向1 二次方程根的分布二次方程根的分布例題例題1 二次函數(shù)二次函數(shù) ，設(shè)，設(shè) 的兩個的兩個實根實根 . (1)如果如果 )0( 1)(2abxaxxfxxf)(21,xx的值；，求且axxb2|212解：解：(1) 當(dāng)當(dāng) 時，時，2b)0( 1)(2abxaxxf方程方程為xxf)(012 xax2|12xx4212）（xx4421212xxxx）（axxaxx1,12121由韋達定理可知，01442 aa代入上式可得221,221aa解得：（舍去）（舍去）42)0(01) 1()2(212xxaxbax的兩根滿足1) 1()(2xbaxx

7、g設(shè)0)4(0)2(gg01) 1(41601) 1(24baba即41412ba02ba0)(xxxf的對稱軸為函數(shù)又120abx4221xx)(xf0 xx 10 x（2）如果）如果 ，設(shè)函數(shù)，設(shè)函數(shù) 圖像的對稱軸為圖像的對稱軸為 ，求證：，求證：例例2 已知函數(shù)已知函數(shù) 的圖像經(jīng)過的圖像經(jīng)過兩點兩點,如圖所示如圖所示,且函數(shù)且函數(shù) 的值域為的值域為0,9,過動點過動點 作作 軸的垂線，垂足為軸的垂線，垂足為A，連線，連線OP.6 , 0,)(2xcbxaxxf)0 , 6()0 , 0(和)(xf)(,(tftPxxyAOP(1)求函數(shù)求函數(shù) 的解析式；的解析式；)(xf(2)記記 的面

8、積為的面積為S，求，求S的最大值；的最大值；OAP解：由已知及圖像可得函數(shù)解：由已知及圖像可得函數(shù) 的對稱軸的對稱軸 ,頂點頂點(3,9) )(xf3x6944320)0(2abacabf0, 6, 1cba6 , 0,6)(2xxxxf故|21)()2(APOAtS)6(212ttt）（ 6 , 0t2236)(tttSt（0,4）4（4,6）（tS）（tS0極大值由上表可得當(dāng)由上表可得當(dāng) 時，三角形面積取得最大值時，三角形面積取得最大值.4t即即16)446(421)4()(2max StS)4(23tt命題方向命題方向2 與二次函數(shù)有關(guān)的綜合問題與二次函數(shù)有關(guān)的綜合問題命題方向命題方向3

9、 數(shù)學(xué)思想方法在二次函數(shù)最值中應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法在二次函數(shù)最值中應(yīng)用例例3 已知已知 ，求，求 的最小值的最小值.) 10(2)(2xxaxxf)(xfxxfa2)(0) 1 ( 時，當(dāng)解：上遞減，在 1 , 02) 1 ()(minfxf,2)(,022的圖像開口向上時）當(dāng)（xaxxfa.1ax 且對稱軸為，即當(dāng)1, 11aa, 1 , 02)(2內(nèi)的圖像對稱軸在xaxxfaaaafxf121)1()(min，即當(dāng)10, 11aa, 1 , 02)(2右側(cè)的圖像對稱軸在xaxxf, 1 , 0)(遞減在xf2) 1 ()(minafxf的圖像開口向下，時，）當(dāng)（xaxxfa2)(032軸的左側(cè)

10、，在且對稱軸yax, 01上遞減，在 1 , 02)(2xaxxf2) 1 ()(minafxf1,11, 2)(minaaaaxf綜上所述1.二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)的性質(zhì)(1)定義在R上的二次函數(shù)f(x)與x軸有兩個交點(-1,0),(2,0),若f(0)0，則f(x)有最_值(填“大”或“小”).(2)若f(x)=ax2+bx+2b0的解集為(-1,2)，則實數(shù)b的取值范圍是_.(3)已知二次函數(shù)f(x)的二次項系數(shù)為1，且滿足f(1-x)=f(1+x),f(2)=-1，則f(x)=_.(4)若函數(shù)f(x)=(m-1)x2+2mx+3是偶函數(shù)，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為_.大0,221xx,02.二次方程根的分布二次方程根的分布(1)函數(shù)f(x)=-x2+2ax+2-a，若f(x)=0在-1,1上的根只有一個，則a應(yīng)滿足的條件是_.(2)函數(shù)f(x)=x2-x-3的圖象被x軸截得的弦長是_.(3)設(shè)f(x)=x2+px+q，且f(1)=f(2)=0，則f(x)0的解集為_.(4)若關(guān)于x的方程ax2+x+a+1=0有一個負實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是_.11/3aa