空間解析幾何解幾本章習題課

1、習題課習題課2007年8月南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系2一、主要內容一、主要內容（一）向量代數(shù)（一）向量代數(shù)（二）空間解析幾何（二）空間解析幾何2007年8月南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系3向量的向量的線性運算線性運算向量的向量的表示法表示法向量積向量積數(shù)量積數(shù)量積混合積混合積向量的積向量的積向量概念向量概念（一）向量代數(shù)（一）向量代數(shù)2007年8月南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系41 1、向量的概念、向量的概念定義定義:既有大小又有方向的量稱為向量既有大小又有方向的量稱為向量.自由向量、自由向量、 相等向量、相等向量、 負向量、負向量、向徑向徑.重要概念重要概念:零向量、零向量、向量的

2、模、向量的模、單位向量、單位向量、平行向量、平行向量、2007年8月南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系5(1) 加法：加法：cba 2 2、向量的線性運算、向量的線性運算dba ab(2) 減法：減法：cba dba (3) 向量與數(shù)的乘法：向量與數(shù)的乘法：設設 是一個數(shù)，向量是一個數(shù)，向量a與與 的乘積的乘積a 規(guī)定為規(guī)定為, 0)1( a 與與a同向，同向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 與與a反向，反向，|aa 2007年8月南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系6向量的分解式：向量的分解式：,zyxaaaa .,軸上的投影軸上的投影分別為向量在分別為向量在其中其中zyxaaaz

3、yxkajaiaazyx 在三個坐標軸上的分向量：在三個坐標軸上的分向量：kajaiazyx,向量的坐標表示式：向量的坐標表示式：向量的坐標：向量的坐標：zyxaaa,3 3、向量的表示法、向量的表示法2007年8月南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系7向量的加減法、向量與數(shù)的乘積等的坐標表達式向量的加減法、向量與數(shù)的乘積等的坐標表達式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa kbajbaibazzyyxx)()()( kbajbaibazzyyxx)()()( kajaiazyx)()()( 2007年8月南京航空航天大

4、學 理學院 數(shù)學系8222|zyxaaaa 向量模長的坐標表示式向量模長的坐標表示式222coszyxxaaaa 222coszyxyaaaa 222coszyxzaaaa 向量方向余弦的坐標表示式向量方向余弦的坐標表示式)1coscoscos(222 2007年8月南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系94 4、數(shù)量積、數(shù)量積 cos|baba 其其中中 為為a與與b的的夾夾角角(點積、內積點積、內積)zzyyxxbabababa 數(shù)量積的坐標表達式數(shù)量積的坐標表達式ba 0 zzyyxxbababa222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 兩向量夾角余弦的坐標表示式兩向

5、量夾角余弦的坐標表示式2007年8月南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系105 5、向量積、向量積 sin|bac 其其中中 為為a與與b的的夾夾角角c的方向既垂直于的方向既垂直于a，又垂直于，又垂直于b，指向符合，指向符合右手系右手系.(叉積、外積叉積、外積)kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量積的坐標表達式向量積的坐標表達式ba 2007年8月南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系11zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa 6 6、混合積、混合積2007年8月南京航空航天大學 理學

6、院 數(shù)學系12直直 線線曲面曲面曲線曲線平平 面面參數(shù)方程參數(shù)方程旋轉曲面旋轉曲面柱柱 面面二次曲面二次曲面一般方程一般方程參數(shù)方程參數(shù)方程一般方程一般方程對稱式方程對稱式方程 點法式方程點法式方程一般方程一般方程空間直角坐標系空間直角坐標系（二）空間解析幾何（二）空間解析幾何2007年8月南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系13x橫軸橫軸y縱軸縱軸z豎軸豎軸 定點定點o1 1、空間直角坐標系、空間直角坐標系空間的點空間的點有序數(shù)組有序數(shù)組),(zyx2007年8月南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系14xyoz空空間間直直角角坐坐標標系系共有一個原點共有一個原點,三個坐標軸三個坐標軸,三個坐標面三個

7、坐標面,八個卦限八個卦限.2007年8月南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系15 21221221221zzyyxxMM 它們距離為它們距離為設設),(1111zyxM、),(2222zyxM為為空空間間兩兩點點兩點間距離公式兩點間距離公式:2007年8月南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系16曲面方程的定義：曲面方程的定義：如果曲面如果曲面S與三元方程與三元方程0),( zyxF有下述關系：有下述關系：(1) 曲面曲面S上任一點的坐標都滿足方程；上任一點的坐標都滿足方程；那那么么，方方程程0),( zyxF就就叫叫做做曲曲面面S的的方方程程，而而曲曲面面S就就叫叫做做方方程程的的圖圖形形.2 2、曲

8、面、曲面(2) 不在曲面不在曲面S上的點的坐標都不滿足方程；上的點的坐標都不滿足方程；2007年8月南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系17研究空間曲面的兩個基本問題：研究空間曲面的兩個基本問題：（2）已知坐標間的關系式，研究曲面形狀）已知坐標間的關系式，研究曲面形狀.（1）已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程）已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程.1 旋轉曲面旋轉曲面定義：以一條平面曲線繞定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉其平面上的一條直線旋轉一周所成的曲面稱之一周所成的曲面稱之.這條定直線叫旋轉曲面的這條定直線叫旋轉曲面的軸軸.2007年8月南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系18方程特點方

9、程特點:0),()2(0),()1(00),(:2222 yzxfyLzyxfxLzyxfL方程為方程為軸旋轉所成的旋轉曲面軸旋轉所成的旋轉曲面繞繞曲線曲線方程為方程為軸旋轉所成的旋轉曲面軸旋轉所成的旋轉曲面繞繞曲線曲線設有平面曲線設有平面曲線2007年8月南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系19（2）圓錐面）圓錐面222zyx （1）球面）球面（3）旋轉雙曲面）旋轉雙曲面1222222 czayax1222 zyx2007年8月南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系202 柱面柱面定義：定義：平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線C移動的直線移動的直線L所形成的曲面稱之所形成的曲面稱之.這條定曲

10、線叫柱面這條定曲線叫柱面的的準線準線，動直線叫，動直線叫柱面的柱面的母線母線.2007年8月南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系21從柱面方程看柱面的特征：從柱面方程看柱面的特征： 只只含含yx,而而缺缺z的的方方程程0),( yxF，在在空空間間直直角角坐坐標標系系中中表表示示母母線線平平行行于于z軸軸的的柱柱面面，其其準準線線為為xoy面面上上曲曲線線C.(1) 平面平面 xy 2007年8月南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系22(3) 拋物柱面拋物柱面 )0(22 ppyx(4) 橢圓柱面橢圓柱面 12222 byax(2) 圓柱面圓柱面 222Ryx 2007年8月南京航空航天大學 理學院

11、數(shù)學系233 二次曲面二次曲面定義定義:三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面.（1）橢球面）橢球面1222222 czbyaxzqypx 2222（2）橢圓拋物面）橢圓拋物面)(同號同號與與qp2007年8月南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系24zqypx 2222（3）馬鞍面）馬鞍面)(同號同號與與qp（4）單葉雙曲面）單葉雙曲面1222222 czbyax（5）圓錐面）圓錐面222zyx 2007年8月南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系253 3、空間曲線、空間曲線 0),(0),(zyxGzyxF1 空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程 )()()(tzz

12、tyytxx2 空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程2007年8月南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系26 22222)21()21(1yxyxz 2sinsin2121cos21tztytx如圖空間曲線如圖空間曲線一般方程為一般方程為參數(shù)方程為參數(shù)方程為2007年8月南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系273 空間曲線在坐標面上的投影空間曲線在坐標面上的投影 0),(0),(zyxGzyxF消去變量消去變量z后得：后得：0),( yxH設空間曲線的一般方程：設空間曲線的一般方程： 00),(zyxH曲線在曲線在 面上的投影曲線為面上的投影曲線為xoy 00),(xzyR 00),(yzxT面上的投影

13、曲線面上的投影曲線yoz面上的投影曲線面上的投影曲線xoz2007年8月南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系28如圖如圖:投影曲線的研究過程投影曲線的研究過程.空間曲線空間曲線投影曲線投影曲線投影柱面投影柱面2007年8月南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系294 空間立體或曲面在坐標面上的投影空間立體或曲面在坐標面上的投影空間立體空間立體曲面曲面2007年8月南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系304 4、平面、平面,CBAn ),(0000zyxMxyzon0MM1 平面的點法式方程平面的點法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA2 平面的一般方程平面的一般方程0 DCzByAx1 czbya

14、x3 平面的截距式方程平面的截距式方程xyzoabc2007年8月南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系310:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA4 平面的夾角平面的夾角222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 5 兩平面位置特征：兩平面位置特征：21)1( 0212121 CCBBAA21)2( /212121CCBBAA 1 1n2 2n 2007年8月南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系325 5、空間直線、空間直線0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 00:22221111DzCyBxADzCyBxAL1 空間直線的一般方

15、程空間直線的一般方程xyzo1 2 L2007年8月南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系33xyzosL0M M 3 空間直線的參數(shù)方程空間直線的參數(shù)方程pzznyymxx000 2 空間直線的對稱式方程空間直線的對稱式方程 ptzzntyymtxx000),(0000zyxM,pnms 2007年8月南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系34直線直線:1L111111pzznyymxx 直線直線:2L222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 兩直線的夾角公式兩直線的夾角公式4 兩直線的夾角兩直線的夾角2007年8月南京航空航天大

16、學 理學院 數(shù)學系355 兩直線的位置關系：兩直線的位置關系：21)1(LL 0212121 ppnnmm21)2(LL/212121ppnnmm pzznyymxxL000: 0: DCzByAx6 直線與平面的夾角直線與平面的夾角2007年8月南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系36222222|sinpnmCBACpBnAm 直線與平面的夾角公式直線與平面的夾角公式)20( 7 直線與平面的位置關系直線與平面的位置關系 L)1(pCnBmA L)2(/0 CpBnAm2007年8月南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系37二、典型例題二、典型例題例例1 1解解共面共面且且，使使，求一單位向量求一單

17、位向量，已知已知bancnnkjickjbia,22,2000 ,0kzj yi xn 設設由題設條件得由題設條件得10 ncn 0ban 0 020221222zyzyxzyx解得解得).323132(0kjin 2007年8月南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系38例例2 2解解.401284, 0405:角的平面方程角的平面方程組成組成且與平面且與平面求過直線求過直線 zyxzxzyx過已知直線的平面束方程為過已知直線的平面束方程為, 0)4(5 zxzyx , 04)1(5)1( zyx即即.1 , 5 ,1 n其法向量其法向量.8, 4, 1 n又已知平面的法向量又已知平面的法向量200

18、7年8月南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系39由題設知由題設知114cosnnnn 222222)1(5)1()8()4(1)8()1()4(51)1( ,2723222 即即由此解得由此解得.43 代回平面束方程為代回平面束方程為. 012720 zyx2007年8月南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系40例例3 3解解.1243:,12:)1 , 1 , 1(210LxzxyLxzxyLM都相交的直線都相交的直線且與兩直線且與兩直線求過點求過點 將兩已知直線方程化為參數(shù)方程為將兩已知直線方程化為參數(shù)方程為 1243:,12:21tztytxLtztytxL的交點分別為的交點分別為與與設所求直線設

19、所求直線21, LLL2007年8月南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系41).12 , 43 ,()1,2 ,(222111 tttBtttA和和,)1 , 1 , 1(0三點共線三點共線與與BAM).(00為實數(shù)為實數(shù)故故 BMAM 即有即有,00對應坐標成比例對應坐標成比例于是于是BMAM,1)12(1)1(1)43(1211212121 tttttt2007年8月南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系42, 0, 021 tt解之得解之得)3 , 2 , 2(),1, 0 , 0(BA ,)3 , 2 , 2()1 , 1 , 1(0上上同在直線同在直線和和點點LBM的方程為的方程為故故 L.2

20、11111 zyx2007年8月南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系43例例4 4解解.02:01012:上的投影直線的方程上的投影直線的方程在平面在平面求直線求直線 zyxzyxzyxL的平面束方程為的平面束方程為過直線過直線 L, 0)1()12( zyxzyx . 0)1()1()1()2( zyx即即 L2007年8月南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系44, 014 即即41 故故,代入平面束方程代入平面束方程將將 . 013 zyx得得所求投影直線方程為所求投影直線方程為.02013 zyxzyx, 垂直于平面垂直于平面又又. 0)1()1(2)1(1)2( 2007年8月南京航空航天大學

21、 理學院 數(shù)學系45例例5 5解解.,1101:求旋轉曲面的方程求旋轉曲面的方程軸旋轉一周軸旋轉一周繞繞直線直線zzyxL ), 1(111zyM設直線上一點設直線上一點,11zy 有有位置位置到達到達旋轉后旋轉后),(), 1(111zyxMzyM由于高度不變由于高度不變,1zz 有有,1不因旋轉而改變不因旋轉而改變軸的距離軸的距離到到和和又又rzMM2007年8月南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系462121yr 故故,22yx ,11yzz 由于由于故所求旋轉曲面方程為故所求旋轉曲面方程為. 1222 zyx2007年8月南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系47一一、 選選擇擇題題： 1 1、

22、 若若a，b為為共共線線的的單單位位向向量量， 則則它它們們的的數(shù)數(shù)量量積積 ba （ ）. . （A A） 1 1； （B B）- -1 1； （C C） 0 0； （D D）),cos(ba. .2 2、 向向量量 ba與與二二向向量量a及及b的的位位置置關關系系是是（ ）. .（A A） 共共面面； （B B）共共線線；（C C） 垂垂直直； （D D）斜斜交交 . .測測 驗驗 題題 2007年8月南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系483 3、設設向向量量Q與與三三軸軸正正向向夾夾角角依依次次為為 ,，當當 0cos 時時，有有（ ）4 4、設設向向量量Q 與與三三軸軸正正向向夾夾角角依

23、依次次為為 ,當當 1cos 時時有有（ ）面面面面面面面；面；xozQDxozQCyozQBxoyQA )(;)(;)()(面面面面面面面；面；xoyQDxozQCyozQBxoyQA)(;)(;)()( 2007年8月南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系495 5、 2)( （ ）（A A）22 ； （B B）222 ；（C C）22 ； （D D）222 . .6 6、 設平面方程為、 設平面方程為0 DCzBx， 且， 且0, DCB， 則則 平面平面（ ）. .（A A） 軸軸平行于平行于 x；（B B） 軸軸平行于平行于 y；（C C） 軸軸經過經過 y；（D D） 軸軸垂直于垂直于

24、y. .2007年8月南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系507 7、設直線方程為、設直線方程為 00221111DyBDzCyBxA且且 0,221111 DBDCBA, ,則直線則直線（ ）. .（A A） 過原點；過原點； （B B）軸軸平行于平行于 z； （C C）軸軸垂直于垂直于 y； （D D）軸軸平行于平行于 x. .8 8、曲曲面面052 xyzxyz與與直直線線351 yx 710 z的的交交點點是是（ ）. .（A A）)4,1,2(,)3,2,1( ；（B B）)3,2,1(；（C C）)4,3,2(；（D D）.)4,1,2( 2007年8月南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系

25、519 9、已知球面經過、已知球面經過)1,3,0( 且與且與xoy面交成圓周面交成圓周 01622zyx，則此球面的方程是，則此球面的方程是（ ）. . （A A）0166222 zzyx； （B B）016222 zzyx； （C C）0166222 zzyx； （D D）0166222 zzyx. .1010、下列方程中所示曲面是雙葉旋轉雙曲面的是、下列方程中所示曲面是雙葉旋轉雙曲面的是 （ ）. . （A A）1222 zyx； （B B）zyx422 ； （C C）14222 zyx； （D D）1169222 zyx. .2007年8月南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系52二、二、

26、已知向量已知向量ba,的夾角等于的夾角等于3 ，且，且5,2 ba，求，求)3()2( baba . .三、三、 求向量求向量4 , 3, 4 a在向量在向量1,2,2 b上的投上的投影影 . .四、四、 設平行四邊形二邊為向量設平行四邊形二邊為向量;1 , 3, 1 a 3 , 1, 2 b，求其面積，求其面積 . .五、五、 已 知已 知,ba為 兩 非 零 不 共 線 向 量 ， 求 證 ：為 兩 非 零 不 共 線 向 量 ， 求 證 ：)()( baba)(2 ba. .2007年8月南京航空航天大學 理學院 數(shù)學系53六、六、 一動點與點一動點與點)0,0,1(M的距離是它到平面的距離是它到平面4 x的的距離的一半，試求該動點軌跡曲面與距離的一半，試求該動點軌跡曲面與yoz面的交線面的交線方程方程 . .七、七、 求直線求直線L：,85213 tztytx在三個坐標面上及平面在三個坐標面上及平面: 083 zyx上的投