第11講　一次函數(shù)及其圖象

1、數(shù)學(xué)第11講一次函數(shù)及其圖象第11講一次函數(shù)及其圖象 一個(gè)方法待定系數(shù)法是求一次函數(shù)解析式的常用方法，一般是先設(shè)待求的函數(shù)關(guān)系式(其中含有未知常數(shù))，再根據(jù)條件列出方程或方程組，通過(guò)解方程或方程組，求出未知系數(shù)，從而得到所求函數(shù)解析式的方法 兩個(gè)區(qū)別(1)正比例函數(shù)和一次函數(shù)的區(qū)別正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特殊情況，一次函數(shù)包括正比例函數(shù)也就是說(shuō)：如果一個(gè)函數(shù)是正比例函數(shù)，那么一定是一次函數(shù)，但是，一個(gè)函數(shù)是一次函數(shù)，不一定是正比例函數(shù)(2)正比例和正比例函數(shù)的區(qū)別成正比例的兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系不一定是正比例函數(shù)，但正比例函數(shù)的兩個(gè)量一定成正比例 1(2013湖州)若正比例函數(shù)ykx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(

2、1，2)，則k的值為( D )AB2C.D22(2014溫州)一次函數(shù)y2x4的圖象與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是( B )A(0，4) B(0，4) C(2，0) D(2，0)3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，線段AB的端點(diǎn)坐標(biāo)為A(2，4)，B(4，2)，直線ykx2與線段AB有交點(diǎn)，則k的值不可能是( B )A5 B2 C3 D5 4(2012湖州)一次函數(shù)ykxb(k，b為常數(shù)，且k0)的圖象如圖所示，根據(jù)圖象信息可求得關(guān)于x的方程kxb0的解為_(kāi)x1_ 5(2013溫州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(2，0)，(1，0)，BCx軸，將ABC以y軸為對(duì)稱軸作軸對(duì)稱變換，得

3、到ABC(A和A，B和B，C和C分別是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn))，直線yxb經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是_(1，3)_解析：A(2，0)，B(1，0)，AO2，OB1，ABC和ABC關(guān)于y軸對(duì)稱，OBOB1，ABOAOB213，直線yxb經(jīng)過(guò)A，C，ABBC3，C的坐標(biāo)為(1，3)，故答案為(1，3) 【例1】(1)(2014成都)在平面直角坐標(biāo)系中，已知一次函數(shù)y2x1的圖象經(jīng)過(guò)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)兩點(diǎn)，若x1x2，則y1_y2.(填“”“”或“”)(2)(2014達(dá)州)直線ykxb不經(jīng)過(guò)第四象限，則( C )Ak0，b0Bk0，b0Ck0，b0 Dk0，b0【點(diǎn)評(píng)】(1)一次函數(shù)ykxb

4、，當(dāng)k0時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)k0時(shí)，y隨x的增大而減小(2)一次函數(shù)ykxb(k，b為常數(shù)，k0)是一條直線，當(dāng)k0，圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限，y隨x的增大而增大；當(dāng)k0，圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限，y隨x的增大而減??；圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，b) 【點(diǎn)評(píng)】(1)k，b是一次函數(shù)ykxb的未知系數(shù)，這種先設(shè)待求函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)條件列出方程或方程組，求出未知數(shù)，從而得出所求結(jié)果的方法，就是待定系數(shù)法(2)函數(shù)中常用的方法還有代入法 由自變量取值求函數(shù)值 2(2013河北)如圖，A(0，1)，M(3，2)，N(4，4)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿y軸以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向上移動(dòng)，且過(guò)點(diǎn)P的直線l：yx

5、b也隨之移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒(1)當(dāng)t3時(shí)，求l的解析式；(2)若點(diǎn)M，N位于l的異側(cè)，確定t的取值范圍；(3)直接寫出t為何值時(shí)，點(diǎn)M關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)落在坐標(biāo)軸上 解：(1)直線yxb交y軸于點(diǎn)P(0，b)，由題意得b0，t0，b1t，當(dāng)t3時(shí)，b4，yx4(2)當(dāng)直線yxb過(guò)M(3，2)時(shí)，23b，解得b5，51t，t4，當(dāng)直線yxb過(guò)N(4，4)時(shí)，44b，解得b8，81t，t7，4t7(3)t1時(shí)，落在y軸上；t2時(shí)，落在x軸上 一次函數(shù)與一次方程、一次不等式綜合問(wèn)題【例3】(1)已知一次函數(shù)yaxb(a0)中，x，y的部分對(duì)應(yīng)值如下表，那么關(guān)于x的方程axb0的解是_x2_(2)若直

6、線yxb與x軸交于點(diǎn)(2，0)，則關(guān)于x的不等式xb0的解集是_x2_解析：直線yxb與x軸交于(2，0)，可知x2時(shí)，y0，所以不等式xb0的解是x2 【點(diǎn)評(píng)】進(jìn)一步熟悉函數(shù)圖象的作法，通過(guò)圖象體會(huì)一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式的內(nèi)在聯(lián)系，提高識(shí)圖能力一次函數(shù)ykxb，當(dāng)y0，則kxb0，得到一元一次方程，當(dāng)y0，則有kxb0，得到一元一次不等式 一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【例4】(2013哈爾濱)梅凱種子公司以一定價(jià)格銷售“黃金1號(hào)”玉米種子，如果一次購(gòu)買10千克以上(不含10千克)的種子，超過(guò)10千克的那部分種子的價(jià)格將打折，并依此得到付款金額y(單位：元)與一次購(gòu)買種子數(shù)量x(單位：千

7、克)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，下列四種說(shuō)法：一次購(gòu)買種子數(shù)量不超過(guò)10千克時(shí)，銷售價(jià)格為5元/千克；一次購(gòu)買30千克種子時(shí)，付款金額為100元；一次購(gòu)買10千克以上種子時(shí)，超過(guò)10千克的那部分種子的價(jià)格打五折；一次購(gòu)買40千克種子比分兩次購(gòu)買且每次購(gòu)買20千克種子少花25元錢其中正確的個(gè)數(shù)有( D )A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè) 解析：由0 x10時(shí)，付款y5相應(yīng)千克數(shù)，得數(shù)量不超過(guò)10千克時(shí)，銷售價(jià)格為5元/千克，是正確；當(dāng)x30代入y2.5x25，y100，故是正確；由x10時(shí)，得每千克2.5元，故是正確；當(dāng)x40代入y2.5x25，y125，當(dāng)x20代入y2.5x2575，兩次共150元，兩種

8、相差25元，故是正確故四個(gè)都正確 【點(diǎn)評(píng)】(1)數(shù)形結(jié)合，把數(shù)式和圖形結(jié)合起來(lái)進(jìn)行思考，互相解釋、互相補(bǔ)充；(2)認(rèn)真審題，理解題意，看懂坐標(biāo)軸及圖象上的點(diǎn)所表示的實(shí)際意義，是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵，注意分段函數(shù)是由自變量的取值決定的 4(2014聊城)甲、乙兩車從A地駛向B地，并以各自的速度勻速行駛，甲車比乙車早行駛2 h，并且甲車途中休息了0.5 h，如圖是甲、乙兩車行駛的距離y(km)與時(shí)間x(h)的函數(shù)圖象(1)求出圖中m，a的值；(2)求出甲車行駛路程y(km)與時(shí)間x(h)的函數(shù)解析式，并寫出相應(yīng)的x的取值范圍；(3)當(dāng)乙車行駛多長(zhǎng)時(shí)間時(shí)，兩車恰好相距50 km. 試題已知函數(shù)y1x1

9、，y2x，y3x，有一個(gè)關(guān)于x的函數(shù)y，不論x取何值，y的解析式總是取y1，y2，y3中的值較小的一個(gè)，試求y的最大值審題視角由于坐標(biāo)系的建立，將平面上的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，將平面上的線和代數(shù)中的方程也建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系，為幾何問(wèn)題代數(shù)化開(kāi)辟了一條廣闊的道路，達(dá)到了數(shù)形結(jié)合的最高境界，因此創(chuàng)建了一門新的數(shù)學(xué)分支解析幾何一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)及其圖象的研究體現(xiàn)著解析幾何的思想和方法畫圖象把這些函數(shù)表示在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中，觀察圖象，數(shù)形結(jié)合，直觀把握問(wèn)題的答案 規(guī)范答題解：在同一直角坐標(biāo)系中，分別作函數(shù)y1x1，y2x，y3x的圖象(下圖中的實(shí)線部分)觀察圖象，可知圖象中的最高點(diǎn)(即函數(shù)值最大的點(diǎn))是直線y2x與直線y3x的交點(diǎn)，該點(diǎn)坐標(biāo)為(3，3)因此，函數(shù)y在x3時(shí)取得最大值，最大值是3. 答題思路解函數(shù)應(yīng)用題的一般程序是：第一步：審題弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系；第二步：建模將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；第三步：求模求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論；第四步：還原將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實(shí)際問(wèn)題的意義；第五步：反思回顧對(duì)于數(shù)學(xué)模型必須驗(yàn)證這個(gè)解對(duì)實(shí)際問(wèn)題的合理性 答題思路第一