誤差分析與數(shù)據(jù)處理

1、誤差分析和數(shù)據(jù)處理附錄 誤差分析和數(shù)據(jù)處理 被測量的真值和試驗(yàn)所得的給出值總存在一定的差異，這就是測量誤差。而誤差的存在使我們對客觀事物的認(rèn)識受到不同程度的歪曲，因此就必須進(jìn)行誤差分析。 誤差分析和數(shù)據(jù)處理是判斷科學(xué)實(shí)驗(yàn)和科學(xué)測試結(jié)果質(zhì)量和水平的主要手段。 另一方面，一般原始的測試技術(shù)都是參差不齊的，需運(yùn)用數(shù)學(xué)方法加以精選、加工，以求獲得可靠、真正反映事物內(nèi)在本質(zhì)的結(jié)論，這就是要進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。附錄 誤差分析和數(shù)據(jù)處理-1 誤差的基本概念 測量誤差：是指被測量的實(shí)測值與其真值的差別。（一）誤差定義：一、誤差的定義和表示方法其中真值在以下情況下被認(rèn)為是已知的。=絕對誤差 測量值-真值、絕對誤差（二

2、）表示方法-1 誤差的基本概念（）相對真值（）規(guī)定真值：由國際上公認(rèn)的某些基準(zhǔn)量。（如一米是光在真空中于1/299792458 秒時間內(nèi)所到之長度）（）理論真值：由理論公式計算所得結(jié)果；-1 誤差的基本概念100%絕對誤差相對誤差被測真值相對誤差相對誤差便于評價測量精度的高低。-1 誤差的基本概念=100%儀表的最大示值誤差引用誤差儀表的測量上限、引用誤差（又稱基本誤差，而儀表的基本誤差應(yīng)不超過所允許的誤差，允許誤差可引用誤差的形式表示，且當(dāng)允許誤差去掉百分號、正負(fù)號后的數(shù)字被稱為儀表的準(zhǔn)確度級，如 ）0.1;0.2;0.5-1 誤差的基本概念（四）人為誤差（三）方法誤差（二）環(huán)境誤差（一）測

3、量裝置誤差二、誤差的來源-1 誤差的基本概念三、誤差的分類 在相同條件下，對同一對象進(jìn)行多次測量，有一種大小、符號都作隨機(jī)性變化而無確定規(guī)律的誤差，稱為隨機(jī)誤差。（一）隨機(jī)誤差-1 誤差的基本概念（三）粗大誤差 在相同條件下，對同一對象進(jìn)行多次測量，有一種絕對值和符號不變，或按某一規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。（二）系統(tǒng)誤差-1 誤差的基本概念四、測試數(shù)據(jù)的精度 表示測量結(jié)果中隨機(jī)誤差大小的程度。反映了測試數(shù)據(jù)相互之間的偏差。（二）精密度 表示測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差大小的程度。反映測試數(shù)據(jù)的平均值與被測量真值的偏差。（一）準(zhǔn)確度-1 誤差的基本概念 表示測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差綜合大小的程度，

4、反映了測量結(jié)果與被測真值偏離的程度。（三）精確度-1 誤差的基本概念五、不確定度B類分量：用其他方法估算出的近似的標(biāo)準(zhǔn)偏差。A類分量：對一系統(tǒng)多次重復(fù)測量后，用統(tǒng)計方法計算出的標(biāo)準(zhǔn)偏差。 根據(jù)國家計量局關(guān)于表達(dá)不確定度的建議草案，把不確定度按估計其權(quán)值所用的方法不同歸并成兩類：-1 誤差的基本概念UKU總不確定度。K置信系數(shù)；其中： 合成不確定度； 而后用方和根的方法合成A類分量和B類分量，合成后仍以標(biāo)準(zhǔn)偏差的形式表征，稱為合成不確定度。合成不確定度乘以一系數(shù)，從而得到總不確定度，用下式表示：-1 誤差的基本概念-2 隨機(jī)誤差的性質(zhì)與處理（二）單峰性：絕對值得誤差出現(xiàn)的概率大，絕對值大的出現(xiàn)的

5、概率小。（一）對稱性：絕對值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相等。 在工程應(yīng)用中，大多數(shù)隨機(jī)誤差的分布具有以下幾個特點(diǎn)：一、正態(tài)分布規(guī)律以上規(guī)律的概率分布成為正態(tài)分布。（四）抵償性：隨著測量次數(shù)的增加，隨機(jī)誤差的代數(shù)和趨近于零。（三）有界性：在有限次的測量中，絕對值很大的誤差出現(xiàn)的概率近于零。（二）單峰性：絕對值得誤差出現(xiàn)的概率大，絕對值大的出現(xiàn)的概率小。（一）對稱性：絕對值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相等。隨機(jī)誤差的分布的幾個特點(diǎn)：-2 隨機(jī)誤差的性質(zhì)與處理22/21y( )2pe211limnininiisxT二、正態(tài)分布線sT為被測量的真值。ix為單次測量結(jié)果。i為隨機(jī)誤差為標(biāo)準(zhǔn)差或均方根差y其

6、中 為誤差出現(xiàn)的概率密度 高斯于1795年提出了正態(tài)分布的隨機(jī)誤差值與其出現(xiàn)的概率之間的函數(shù)關(guān)系式：-2 隨機(jī)誤差的性質(zhì)與處理( )( )baxbabxap xxxp x dxpd,abxx 測量值落在區(qū)間 內(nèi)的概率為曲線在該段的積分，有 將式繪制成曲線就是著名的高斯正態(tài)分布曲線，如圖-2 隨機(jī)誤差的性質(zhì)與處理iixx三、隨機(jī)誤差的評價指標(biāo)用 表示剩余誤差，而（二）剩余誤差sTx 測量的目的是為了得到被測量的真值 ，但每次都有隨機(jī)誤差（在不計粗大誤差和系統(tǒng)誤差的情況下）。而通常把測量值的算術(shù)平均值 作為被測量的近似真值。（一）算術(shù)平均值-2 隨機(jī)誤差的性質(zhì)與處理2111niin 人們發(fā)現(xiàn)，標(biāo)準(zhǔn)

7、差 可以比較好的表達(dá)正態(tài)分布規(guī)律的分散性大小，在工程實(shí)際應(yīng)用中， 用以下算式估算（三）標(biāo)準(zhǔn)差-2 隨機(jī)誤差的性質(zhì)與處理21(1)niixn nn 一般用算術(shù)平均值 作為真值 的近似值，而用 表示算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差，用以表示 的分散程度。有關(guān)系式：xsTxx（四）算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差-2 隨機(jī)誤差的性質(zhì)與處理()sT 顯然置信區(qū)間取得寬，置信概率就大，反之則小。 一般，當(dāng)置信區(qū)間寬為 時，測量值落入?yún)^(qū)間 內(nèi)的概率為68.3%，也就是說，進(jìn)行100次測量，大約有68次的值是落在 的范圍的。（二）單次測量的極限誤差x,abxx,abxx 在一組等精度的測量值中，大小 為的測量值落入指定區(qū)間 內(nèi)的概率稱

8、為置信概率，而該指定區(qū)間 稱為置信區(qū)間。（一）置信概率四、置信概率和極限誤差-2 隨機(jī)誤差的性質(zhì)與處理當(dāng)置信區(qū)間寬為 時，對應(yīng)概率為95.4%2當(dāng)置信區(qū)間寬為 時，對應(yīng)概率為99.7%3 因此可認(rèn)為絕對值大于 的誤差幾乎不可能出現(xiàn)，所以通常又把 的誤差稱為單次測量誤差，用 表示。33limlim3 lim3x x算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差lim其中：算術(shù)平均值的極限誤差（三）算術(shù)平均值的概率誤差-2 隨機(jī)誤差的性質(zhì)與處理-3系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)和消除 系統(tǒng)誤差是由固定不變的或按確定規(guī)律變化的因素造成的，一般說來這些因素是可以掌握的。對待系統(tǒng)誤差的基本措施就是設(shè)法發(fā)現(xiàn)并消除它。一、系統(tǒng)誤差的分類在測試過程中，

9、誤差的大小和符號是不變的。（一）定值系統(tǒng)誤差 按系統(tǒng)誤差出現(xiàn)的特點(diǎn)及對測量結(jié)果的影響，可分為定值系統(tǒng)誤差和變值系統(tǒng)誤差兩類。-3系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)和消除3、按復(fù)雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差：2、周期性系統(tǒng)誤差：誤差的大小和符號呈周期性變化。1、累積性系統(tǒng)誤差：在測試過程中，隨著測量時間的增長或測量數(shù)值的增大誤差值也隨它逐漸增大或減小這樣的誤差，稱累積性系統(tǒng)誤差或線形變化系統(tǒng)誤差。（二）變值系統(tǒng)誤差-3系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)和消除0siTix二、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)和消除 定值系統(tǒng)誤差在測量中是固定不變的，設(shè)其為，則測量值可表示為（一）定值系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)和消除 系統(tǒng)誤差的消除和修正，主要靠對測量技術(shù)等的研究，以及對測量方

10、法、測量裝置的原理與調(diào)整等的 仔細(xì)分析。-3系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)和消除其中： 為被測真值sT為定值系統(tǒng)誤差0為第次測量的隨機(jī)誤差i為第次測量值。ix0siTix 定值系統(tǒng)誤差在測量中是固定不變的，設(shè)其為，則測量值可表示為（一）定值系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)和消除-3系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)和消除1011ninisiixxTnn0sxT0sTx所以真值所以一組測量值的平均值為在 適當(dāng)大時， 趨近于零，則上式變?yōu)閚ii 1n-3系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)和消除00011()()niisiiiixxTTn2、抵消法：設(shè)法使其在測量中一次為正，另一次為負(fù)，這樣在均值中就可以被消除。1、預(yù)檢法：對測試器具作預(yù)先檢定。定值系統(tǒng)誤差的消除一般采用

11、以下方法： 可見定值系統(tǒng)誤差對剩余誤差無影響，因此對標(biāo)準(zhǔn)差 也無影響，也就是說在分布曲線上，定值系統(tǒng)誤差不改變誤差分布曲線的形狀，只是使隨機(jī)誤差分布曲線的位置作一下平移。另一方面：-3系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)和消除（二）變值系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)和消除 變值系統(tǒng)誤差對每一個測量值的影響都不一樣，因此，在均值中含有系統(tǒng)誤差，且在剩余誤差中也含有系統(tǒng)誤差。因此它不僅影響被測量的算術(shù)平均值，而且也影響隨機(jī)誤差的分布規(guī)律，因此必須發(fā)現(xiàn)并加以消除。常用方法有：-3系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)和消除n 則可以認(rèn)為沒有顯著的變值系統(tǒng)誤差，這種方法在 較小時不太可靠。| 0nn、剩余誤差符號檢測法：觀察剩余誤差正負(fù)的個數(shù)，當(dāng)滿足 ，、剩余誤

12、差觀察法：將一組測量數(shù)據(jù)的剩余誤差依次排列起來，觀察其有無規(guī)律，從而消除，這種方法一般重復(fù)測量次數(shù)多于20次。-3系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)和消除-4 粗大誤差的發(fā)現(xiàn)及剔除10n 當(dāng) 時，此準(zhǔn)則就不適用了。n當(dāng) 較小時，此準(zhǔn)則的可靠性較差。,ix 該依據(jù)應(yīng)剔除，剔除后再重新算 。| | 3iixx時，一、萊依達(dá)法則（ 準(zhǔn)則）3一般剔除粗大誤差有許多準(zhǔn)則，以下簡介幾種： 把誤差超過 的測量值視為含有粗大誤差，予以剔除，對優(yōu)先次測量來說，即有：3|i注意：在剔除含有粗大誤差的數(shù)據(jù)時，按照準(zhǔn)則，每次是應(yīng)剔除數(shù)據(jù)中 最大的一個。| |iixxG時，(1, )ix in 對一組數(shù)據(jù) ，若二、格拉布斯準(zhǔn)則 應(yīng)予剔除，

13、其中值根據(jù)測量次數(shù) 和置信概率 查表而得（見p163）np-4 粗大誤差的發(fā)現(xiàn)及剔除-5誤差合成121rrii 它可以按上式從測量結(jié)果中加以修正。則總的定值系統(tǒng)誤差為12,r測量中，若有個單項(xiàng)定值系統(tǒng)誤差 ，（一）定值系統(tǒng)誤差的合成一、系統(tǒng)誤差的合成2222121ssiieeeee S12,se ee 即若有 次未定系統(tǒng)誤差 ，且他們互不相關(guān)，則總的未定系統(tǒng)誤差的極限誤差為ie 未定系統(tǒng)誤差是指系統(tǒng)誤差雖然沒有被確切掌握，但可估計出不致超過某一極限危險范圍 的誤差。（二）未定系統(tǒng)誤差的合成。-5誤差合成2222121qqii2222limlim1lim2limlim1qqii二、隨機(jī)誤差的合成

14、12,q 設(shè)多項(xiàng)隨機(jī)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差分別為 ，且互不相關(guān)，則各隨機(jī)誤差綜合作用的結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差為lim1lim2lim,q 或已知 個獨(dú)立的極限誤差 ，且各項(xiàng)誤差均服從正態(tài)分布，則總的極限隨機(jī)誤差為q-5誤差合成lim1lim2lim,q12,se ee12,r22lim11qsiiiie 總?cè)?、系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差的合成 先修正掉正定系統(tǒng)誤差，而后，測量結(jié)果總的極限誤差就是總的極限誤差與總的極限隨機(jī)誤差的方和根，即 設(shè)測量過程中同時存在 個單項(xiàng)已定系統(tǒng)誤差，個單項(xiàng)未定系統(tǒng)誤差，個單項(xiàng)隨機(jī)誤差，它們的極限誤差分別是：rsq-5誤差合成四、間接測量的誤差合成12( ,)nyf x xx12,nx xx1

15、2,nxxx12,ne ee12,n 的正定系統(tǒng)誤差為 ，及未定系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的極限值為 和 ，且當(dāng)誤差均服從正態(tài)分布時，則有：n12,nx xx 設(shè)間接測量 與 個直接測量量 的關(guān)系是：y1212nnfffyxxxxxx的正定系統(tǒng)誤差 為：yy-5誤差合成221()inyiifeex 221()inyiifx 22yyye 的極限未定系統(tǒng)誤差為：y的極限隨機(jī)誤差為：y的正定系統(tǒng)誤差修正后的總的合成誤差為：y-5誤差合成-測量數(shù)據(jù)處理及測量結(jié)果的表示ix 總ix總其中 為單次的測量值， 為按21式的經(jīng)驗(yàn)估算值。測量結(jié)果可表示為：一、單次測量二、多次測量5、求單次測量的標(biāo)準(zhǔn)差；()i4、由

16、判斷是否有變值系統(tǒng)誤差，設(shè)法消除；()i3、求剩余誤差 ；x2、求算術(shù)平均值 ； 1、判斷定值系統(tǒng)誤差，并加以修正；12,nx xx 設(shè)對某量進(jìn)行等精度的多次測量后得到數(shù)據(jù) ，則：-測量數(shù)據(jù)處理及測量結(jié)果的表示xx總9、寫出結(jié)果8、求測量結(jié)果的總極限誤差；（由21式給出）7、求算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差及極限誤差；6、判斷有無粗大誤差，若有，則剔除并重復(fù)前 2，3，5步驟，直至無粗大誤差為止；-測量數(shù)據(jù)處理及測量結(jié)果的表示三、間接測量12( ,)nyf x xx多次時：12( ,)nyf x xx單次時：2、計算間接測量量；()iixx或i總1、先按前述方法處理各直接測量量的數(shù)據(jù)，給出各量的最佳值 ，

17、以及總極限誤差 ，12,nx xx其中 為直接測量量，則應(yīng)：y12( ,)nyf x xx若間接被測量為 ，且有-測量數(shù)據(jù)處理及測量結(jié)果的表示yy4、給出結(jié)果：22yyye 按25式得：3、給出間接測量量的總極限誤差-測量數(shù)據(jù)處理及測量結(jié)果的表示-7一元線性回歸01yaa x, x y設(shè)兩變量 之間有線性關(guān)系 用數(shù)學(xué)處理的方法得出兩變量之間的關(guān)系，就是工程上所說的擬合問題。若兩變量間的關(guān)系是線形關(guān)系，就稱這種擬合為線性擬合或一元線性回歸。12,nx xx12,ny yy（一）端值法：一、回歸方程的求法 0a1a去確定25式中的 和 。其方法有以下幾種：所謂線形擬合實(shí)際上就是通過一組數(shù)據(jù)( , )x y01,a a 用數(shù)據(jù)中的兩個端點(diǎn)值 代入28式中求出 即可。nn(,)xy-7一元線性回歸（二）平均值法：將全部數(shù)據(jù)代入 中得：01yaa x101 101nnyaa xyaa x-7一元線性回歸1011kkyaa x2012kkyaa x11kiikyyk11kiikxxk12nii kkyyk 12nii kkxxk 01,a a從而求出其中： 將上面 個方程分成兩組，兩組分別組內(nèi)相加得到兩