齊次線性方程組ppt課件

1、第二節(jié)第二節(jié) 齊次線性方程組齊次線性方程組v齊次線性方程組有非零解的條件齊次線性方程組有非零解的條件v齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)一、齊次線性方程組有非零解的條件一、齊次線性方程組有非零解的條件v討論齊次線性方程組討論齊次線性方程組11 1122121 122221 12200 (1)0nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xaxaxv若記若記v那么那么 齊次線性方程組可表示為齊次線性方程組可表示為 v Ax=0 (2)v其中矩陣其中矩陣A稱為齊次線性方程組的系數(shù)矩陣。稱為齊次線性方程組的系數(shù)矩陣。 111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa1

2、2nxxxxv假設(shè)其系數(shù)矩陣的秩假設(shè)其系數(shù)矩陣的秩RA）= r 0，為了方，為了方便起見，不妨設(shè)便起見，不妨設(shè)v由于上面假設(shè)由于上面假設(shè)D0，即系數(shù)矩陣，即系數(shù)矩陣A的前的前r列列向列列向量線性無關(guān)，因此經(jīng)過有限次初等行變換可得量線性無關(guān)，因此經(jīng)過有限次初等行變換可得矩陣矩陣A的行最簡(jiǎn)形為的行最簡(jiǎn)形為 1112121222120rrrrrraaaaaaDaaa1,11,1,10010000rnr rr nccccB 由于由于A和和B的行向量組等價(jià)，于是的行向量組等價(jià)，于是1與如下的與如下的方程組同解：方程組同解：其中其中xr+1，xn可取任意實(shí)數(shù)，稱為自由未知可取任意實(shí)數(shù)，稱為自由未知量。量。

3、 11,111,11 (3)rrnnrr rrrnnxcxc xxcxc x由上面的討論，我們可容易得到如下定理：由上面的討論，我們可容易得到如下定理： 定理定理1 齊次線性方程組齊次線性方程組1），當(dāng)它的系數(shù)矩陣），當(dāng)它的系數(shù)矩陣的秩的秩r=n時(shí)，只有零解；當(dāng)它的系數(shù)矩陣的秩時(shí)，只有零解；當(dāng)它的系數(shù)矩陣的秩rn時(shí)，有無窮多個(gè)解。時(shí)，有無窮多個(gè)解。 我們還不難得到以下結(jié)論：齊次線性方程組總我們還不難得到以下結(jié)論：齊次線性方程組總有解；齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是有解；齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是R（A）n；當(dāng)齊次線性方程組中；當(dāng)齊次線性方程組中mn，齊次線性，齊次線性方方程

4、組有非零解。程組有非零解。并可得到下面的推論并可得到下面的推論推論推論 n個(gè)變量個(gè)變量n個(gè)方程的齊次線性方程組有非零解個(gè)方程的齊次線性方程組有非零解的的充分必要條件是其系數(shù)行列式等于零。充分必要條件是其系數(shù)行列式等于零。v到現(xiàn)在為止，對(duì)于齊次線性方程組，我們已解到現(xiàn)在為止，對(duì)于齊次線性方程組，我們已解決了在本章開始時(shí)提出的三個(gè)問題中的前兩個(gè)決了在本章開始時(shí)提出的三個(gè)問題中的前兩個(gè)問題。當(dāng)齊次線性方程組有無窮多個(gè)解時(shí)，如問題。當(dāng)齊次線性方程組有無窮多個(gè)解時(shí)，如何描述它的所有的解呢？下面我們對(duì)解的情況何描述它的所有的解呢？下面我們對(duì)解的情況進(jìn)行討論，即討論第三個(gè)問題。進(jìn)行討論，即討論第三個(gè)問題。

5、二、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)二、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) 若若x1=11，x2=21，xn=n1為齊次為齊次線性方程組線性方程組1的解，則稱的解，則稱 x=(11，21，n1) 為齊次線性方為齊次線性方 程組程組2的解向量。的解向量。 定理定理2 設(shè)設(shè)1，2為齊次線性方程組為齊次線性方程組2的兩個(gè)解向量，則其線性組合的兩個(gè)解向量，則其線性組合k11+k22也是也是齊次線性方程組齊次線性方程組2的解向量的解向量k1， k2為任為任意實(shí)數(shù)）。意實(shí)數(shù)）。 證明證明 這是因?yàn)檫@是因?yàn)锳k11+k22）= k1A1+ k2A2=0+0，故得證。，故得證。v由此結(jié)論可知，所有齊次線性方程組由此結(jié)論可知，所有齊

6、次線性方程組2的解的解向量的集合形成了一向量空間，此空間稱為齊次向量的集合形成了一向量空間，此空間稱為齊次線性方程組線性方程組2的解空間。而由此我們又想到，的解空間。而由此我們又想到，如果我們找到了此解空間的基，便能將齊次線性如果我們找到了此解空間的基，便能將齊次線性方程組方程組2的解向量一并表示出來，我們將齊的解向量一并表示出來，我們將齊次線性方程組次線性方程組2的解空間的基稱為基礎(chǔ)解系。的解空間的基稱為基礎(chǔ)解系。假定假定1，2，k為齊次線性方程組為齊次線性方程組2的的k個(gè)解向量，假設(shè)個(gè)解向量，假設(shè)（a） 1，2，k線性無關(guān)；線性無關(guān)；（b） 齊次線性方程組齊次線性方程組2的任意解向量是的任

7、意解向量是1，2，k的線性組合，的線性組合，則稱則稱1，2，k為齊次線性方程組為齊次線性方程組2的的一個(gè)基礎(chǔ)解系。一個(gè)基礎(chǔ)解系。v一個(gè)向量空間的基應(yīng)該不是唯一的，則齊次線一個(gè)向量空間的基應(yīng)該不是唯一的，則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系也不是唯一的，但其所包性方程組的基礎(chǔ)解系也不是唯一的，但其所包含的解向量的個(gè)數(shù)應(yīng)該是相同的。下面我們將含的解向量的個(gè)數(shù)應(yīng)該是相同的。下面我們將討論如何求解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，亦討論如何求解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，亦即最終實(shí)現(xiàn)用有限個(gè)解向量來表示齊次線性方即最終實(shí)現(xiàn)用有限個(gè)解向量來表示齊次線性方程組的無窮多個(gè)解向量。程組的無窮多個(gè)解向量。 v令令x=（x1，x2，

8、xn）是齊次線性方程組是齊次線性方程組1的任意解，由的任意解，由3式得：式得： 11,111,221,11,2211rrrrnnrr rrr rrrnnrrnnxcxcxc xxcxcxc xxxxxx1,11,21,1,2121 122100010001rrnr rr rrnrrnrrrnn rccccccxxxxxx1,11,21,1,212,100010001rrnr rr rrnn rcccccc以上結(jié)論說明，齊次線性方程組以上結(jié)論說明，齊次線性方程組1的任意解的任意解均為均為1，2，n-r的線性組合。的線性組合。 如果我們能說明如果我們能說明1，2，n-r是齊次線是齊次線性方程組性方

9、程組1的解，并且它們線性無關(guān)，那么的解，并且它們線性無關(guān)，那么1，2，n-r就是齊次線性方程組就是齊次線性方程組1的的基礎(chǔ)解系?；A(chǔ)解系。 但由但由1，2，n-r的取法這兩的取法這兩個(gè)條件是顯然滿足的。個(gè)條件是顯然滿足的。 我們將以上所得到的結(jié)論總結(jié)成以下定理：我們將以上所得到的結(jié)論總結(jié)成以下定理： 定理定理3 如果齊次線性方程組如果齊次線性方程組1的系數(shù)矩的系數(shù)矩陣的秩陣的秩r=n，它有唯一零解，此時(shí)它沒有基礎(chǔ)，它有唯一零解，此時(shí)它沒有基礎(chǔ)解系；如果齊次線性方程組解系；如果齊次線性方程組1的系數(shù)矩陣的系數(shù)矩陣的秩的秩rn，它有無窮多個(gè)解，此時(shí)它有基礎(chǔ)解，它有無窮多個(gè)解，此時(shí)它有基礎(chǔ)解系，其基

10、礎(chǔ)解系包含系，其基礎(chǔ)解系包含n-r個(gè)解向量，齊次線性個(gè)解向量，齊次線性方程組方程組1的任意解為其基礎(chǔ)解系的線性組的任意解為其基礎(chǔ)解系的線性組合。合。定理定理3也表明，基礎(chǔ)解系的任意線性組合表達(dá)了也表明，基礎(chǔ)解系的任意線性組合表達(dá)了齊次線性方程組齊次線性方程組1的所有解，由此有通解這的所有解，由此有通解這一概念。一概念。 如果如果1，2，n-r為齊次線性方程組為齊次線性方程組（1的基礎(chǔ)解系，則其任意線性組合的基礎(chǔ)解系，則其任意線性組合 x=k11+k22+kn-rn-r （k1，k2，kn-r為任意實(shí)數(shù)）為任意實(shí)數(shù)）稱為齊次線性方程組稱為齊次線性方程組1的通解。的通解。求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系

11、有以下步驟：求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系有以下步驟： 用初等行變換將齊次線性方程組用初等行變換將齊次線性方程組1的系數(shù)矩陣化的系數(shù)矩陣化為行最簡(jiǎn)形，以此得到齊次線性方程組為行最簡(jiǎn)形，以此得到齊次線性方程組1同同解的方程組，即得到解的方程組，即得到(3)的形式；的形式； 根據(jù)根據(jù)(3)的特殊形式寫出其基礎(chǔ)解系和通解。的特殊形式寫出其基礎(chǔ)解系和通解。v例例1 求解齊次線性方程組求解齊次線性方程組v解解 對(duì)系數(shù)矩陣施行初等行變換成為行最簡(jiǎn)形：對(duì)系數(shù)矩陣施行初等行變換成為行最簡(jiǎn)形：1234123412342202220430 xxxxxxxxxxxx51023122142122012311430000Av于是得到與原方程組同解的方程組于是得到與原方程組同解的方程組1342343344523423xxxxxxxxxx v令令x3