雙原子之間的作用力

1、晶體的總相互作用勢一、雙粒子模型（兩個(gè)原子間的相互作用勢能）晶體中粒子的相互作用能可以看成是由一對對粒子的相互作用能疊加而得蠱先只考慮晶體中一對粒子的相互作用能,然后再對晶體中所有粒子求和，可求出晶體的相互作用能。條件：1、組成晶體的原（離）子具有封閉的電子殼層，電子云分布近似球?qū)ΨQ;2、考慮晶體的結(jié)構(gòu)因素星期三小出已爼第二章晶體的結(jié)合第1頁N個(gè)原子組成的晶體的總相互作用能可表示為:、NNNE=U（r）=3££u（G）=2u（G）（J工1,J=2,3,，N）2丨j2開1式中A（r/y）表示相距r的兩個(gè)原子之間的相互作用勢能。二、兩個(gè)非極性分子間的互作用勢能由范德瓦耳斯一倫敦

2、力所引起的兩分子間的互作用勢可寫成下面形式'曲）=-異+尹兩個(gè)一維線性振子模型1、兩個(gè)獨(dú)立振子的總能量=3令r為兩振子平衡點(diǎn)間的距離,產(chǎn)+e當(dāng)r很大則兩振子間無互作用，此時(shí)系統(tǒng)的總能量為：一維的范德瓦耳斯-倫敦力的模型星期三小加沁第二章晶體的結(jié)合第3頁_呂+民=以+雖+霆+衣2m22m2C為簡諧振子的恢復(fù)力常數(shù)（勁度系數(shù)），每個(gè)線性振子具有相同的頻率)(2)星期三皿幻魁第二章晶體的結(jié)合第7頁2、兩個(gè)有相互作用振子的互作用勢能一維的范德瓦耳斯-倫敦力的模型如果兩個(gè)分子靠得很近，足以發(fā)生相互作用的話，互作用勢能可表示為：(122eee1r+x2r+x2xlrxYj星期三皿幻魁第二章晶體的結(jié)

3、合第8頁因?yàn)閞»xi、X2,上式后三項(xiàng)分別利用公式:展開，取前三項(xiàng)，則:27ce0r3%12R27C£0r3(3)3、兩個(gè)有相互作用振子的總能量兩個(gè)分子有相互作用，則系統(tǒng)的總能量（1）式就改寫為:22222y+w鈿分鈿分帶為了討論方便，引入正則坐標(biāo):+兀2）了?。ㄘ2）目的：把兩個(gè)相互作用的振子看作為正則坐標(biāo)系中以不同頻率作“獨(dú)立”振動(dòng)的振子。代入(4)式，有以+喧+屋+£(6)式中益)振子的振動(dòng)頻率為=丄2龍1+-A2礦(8)2m22m2星期三皿幻魁第二章晶體的結(jié)合第10頁上面是經(jīng)典力學(xué)的結(jié)果。根據(jù)量子力學(xué)求解諧振子的結(jié)果，諧振子的振動(dòng)能量表示為:E=(+n)

4、/zu,n=0,1,2系統(tǒng)的零點(diǎn)振動(dòng)能為(n=0時(shí))如卜2廠、1/2/+1+2I2礦、丿aY/2叫一莎嚴(yán)(9)這里計(jì)算時(shí),運(yùn)用了展開公式:丁匚=1+2X上式前一項(xiàng)是兩個(gè)振子在獨(dú)立時(shí)的零點(diǎn)振動(dòng)能，有了互作用后，能量就降低了"其差值是第二項(xiàng)4琢嚴(yán)（1。）這表明，分子間的范德瓦爾斯一倫敦力引起的互作砂能與嚴(yán)成正比.而由泡利原理產(chǎn)生的斥力作用，較難計(jì)算，一般由實(shí)驗(yàn)求得，排斥勢與廣12成反比因此,一對分子間總的互作用勢能為:星期三小加沁第二章晶體的結(jié)合第12頁心)=-£+呂(11)u(r)=（(b/6A2"£=4Ba和w是兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)參數(shù)。（12）式稱為雷納德一瓊斯勢

5、.星期三小加沁第二章晶體的結(jié)合第13頁晶體的宏亂可測量晶格常數(shù)a（或原包體積V）、體積彈性模量K、抗張強(qiáng)度和結(jié)合能的關(guān)系晶體的宏觀可測量NNNE=（于）=3££心丿）=丁工"（巧丿）（丿H1，丿=2,3,，N）1j原子的數(shù)目原子相互作用勢能的大小由兩個(gè)因素決定:Y匚原子相互作用勢能是晶體體積的函數(shù)。L原子的間距已知原子相互作用勢能可以求出與體積相關(guān)的有關(guān)常數(shù)：晶體的晶格常數(shù)、體積彈性模量和壓縮系數(shù)、抗張強(qiáng)度等。晶體壓縮系數(shù):由熱力學(xué)，壓縮系數(shù)的定義是:單位壓強(qiáng)引起的體積的相對變化,星期三皿幻魁第二章晶體的結(jié)合第12頁、三維晶體參數(shù)與結(jié)合能的關(guān)系相距的兩個(gè)原子之間的

6、互作用勢能用U(c表示:4B=-pr+pr(m<n)星期三小加沁第二章晶體的結(jié)合第17頁A、B、m、n皆為大于零的常數(shù)。-A/已:代表吸引能,來自異性電丘荷間的庫侖吸引力，長程作用;+B/B:代表排斥能,來自同性電荷間的庫侖斥力及泡利原理所引起的排斥力，總體表現(xiàn)短程作用。/*Attractive-相互作用勢能的一般性質(zhì)(1)平衡位置r°的確定:圖(a):互作用勢能曲線圖(b):互作用勢能曲線的微商曲線一、-du(r)mA")rm+1nB嚴(yán)+i它相應(yīng)于兩原子間的互作用力，當(dāng)r=rodu(r)=0原子間的相互作用(«)互作用勢能和原子間徙的關(guān)系;(6互作用力和頂

7、子間距的關(guān)系dr星期三小加沁第二章晶體的結(jié)合第21頁/(G=oBn=nmAm(2)AUc=U(r0)=-互作用勢能達(dá)極小值，由此決定原子間的平衡距離心。此時(shí)的狀態(tài)稱為穩(wěn)定狀態(tài)。T原子間的相互作用(«)互作用勢能和原子間徙的關(guān)系;(6互作用力和頂子間距的關(guān)系結(jié)合具體的晶體結(jié)構(gòu)，便可確定晶格常數(shù)肛2.原胞體積訝口結(jié)合能的關(guān)系M晶體中原子（或原胞）數(shù)；V:晶體體積；晶體的扌目互作用勢能；卩:每個(gè)原胞的平均體積；u每個(gè)原胞的平均相互作用勢能；U=Nu;V=Nv設(shè)在壓強(qiáng)P的作用下，晶體體積增加為AV,總能量增加AU,則晶體對外做功為：PAV=-A/卬8U°他）勿一5飛廠8（M廠麗無外

8、力時(shí)（p=o）時(shí)匸二0,可求出平衡時(shí)原胞的體積dv26理想的無外力應(yīng)當(dāng)是：P=0o實(shí)際條件是：P=101325Pa=0.1MPao一般金屬的強(qiáng)度為500-lOOOMPa,相比而言,O.IMPa可以忽略不計(jì)，求出的O.IMPa時(shí)的原胞的體積即為。因此，可以通過W求出b通過卩0求出晶格常數(shù)°。例如：$c晶體:v0=«3；宛c晶體，v0=-a4第二章晶體的結(jié)合體積彈性模量表示為:d2UdV(dU(d2rI喬丿丄麗(d2u(drdr2dr2星期三小出已爼第二章晶體的結(jié)合第27頁當(dāng)T=0時(shí)，原子間的平衡間距為R。假設(shè)晶體有N個(gè)原胞，每個(gè)原胞的體積應(yīng)與疋成正比，因此晶體的平衡星期三小出

9、已爼第二章晶體的結(jié)合第29頁體積為Vo=ANR3(9)這里2是與晶體幾何結(jié)構(gòu)有關(guān)的參數(shù)。面心立方簡單格子'面心立方簡單格子:體心立方簡單格子:簡立方簡單格子:（&）面心立方A=12?4V392R=y2aV孔4Zn2'd2Uy帥丿(8)第二章晶體的結(jié)合第32頁V=XNR3(9)由(8)、(9)式，得平衡時(shí)晶體的體積彈性模量:4抗張強(qiáng)度Fmax和結(jié)合能的關(guān)系晶格所能容耐的最大張力，稱為抗張強(qiáng)度。它相應(yīng)于晶格中原胞間最大（有效）引力。（2）有效引力最大位置打的確定：當(dāng)r=rM，d2u(r)dr2=Oordf(r)兩原子間距離i>ro時(shí)原子間產(chǎn)生吸引力«(r)原

10、子間的相互作用（«）互作用勢能和原子間徙的關(guān)系;3）互作用力和原子間距的關(guān)系第二章晶體的結(jié)合第36頁GFn+1nmlVm+1當(dāng)時(shí)吸引力達(dá)極大值當(dāng)超過m吸引力就逐漸減少du(r)dr表示晶格所能容耐的在一個(gè)方向上的最大張力。«(r)原子間的相互作用(«)互作用勢能和原子間徙的關(guān)系;(6互作用力和頂子間距的關(guān)系du°=-Pmax=1du叫3兩J（喬幾第二章晶體的結(jié)合第42頁例：已知，由N個(gè)惰性氣體原子結(jié)合成的具有面心立方結(jié)構(gòu)的晶體，其相互作用勢能可表示為：(N)=2JVe(12.13)(p)一(14.45)(p)6式中：£,。為參數(shù)；r，為最近鄰間距。試求：(1) 平衡時(shí)的晶體體積；(2) 體積模量;(3) 抗張強(qiáng)度。解：(1)U(rJ)0U(V)已知晶體具有面心結(jié)構(gòu)，設(shè)晶格常數(shù)為a由N個(gè)原子構(gòu)成的晶體體積可表示為V二N(