(完整版)極坐標(biāo)與參數(shù)方程專題復(fù)習(xí)

1、坐標(biāo)系與參數(shù)方程一、考試大綱解析：1.坐標(biāo)系(1) 理解坐標(biāo)系的作用；(2) 了解平面坐標(biāo)系伸縮變換作用下圖形的變化情況；(3) 能在坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)表示點的位置，理解在極坐標(biāo)和平面之間坐標(biāo)系表示點的位置的區(qū)別，能進行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化；(4) 能在極坐標(biāo)系中給出簡單圖形的方程，通過比較這些圖形在極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)系中的方程，理解用方程表示平面圖形時選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的意義；2.參數(shù)方程(1) 了解參數(shù)方程和參數(shù)方程的意義；(2) 能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線、圓、圓錐曲線的參數(shù)方程；(3) 能用參數(shù)方程解決一些數(shù)學(xué)問題和實際的運用；二、題型分布：極坐標(biāo)和參數(shù)方程是新課標(biāo)考綱里的選考內(nèi)容之一，在每年

2、的高考試卷中，極坐標(biāo)和參數(shù)方程都是放在選作題的一題中來考查。由于極坐標(biāo)是新添的內(nèi)容，考綱要求比較簡單，所以在考試中一般不會有很難的題目。三、知識點回顧坐標(biāo)系X'二九x,(九0),1伸縮變換：設(shè)點P(X,y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點,在變換P:,y=2y,(卩>0).的作用下，點P(X,y)對應(yīng)到點P'(x',y')，稱9為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱伸縮變換。2. 極坐標(biāo)系的概念：在平面內(nèi)取一個定點O，叫做極點；自極點O引一條射線Ox叫做極軸；再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標(biāo)系

3、。3. 點M的極坐標(biāo)：設(shè)M是平面內(nèi)一點，極點O與點M的距離IOMI叫做點M的極徑，記為P；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的厶OM叫做點M的極角，記為0。有序數(shù)對(p,0)叫做點M的極坐標(biāo)，記為M(p,0).極坐標(biāo)(P,0)與(P,0+2k兀)(kgZ)表示同一個點。極點O的坐標(biāo)為(0,0)(0gR).4. 若P<0，則p>0，規(guī)定點(-P,0)與點(P,0)關(guān)于極點對稱，即(-P,0)與(P,兀+0)表示同一點。如果規(guī)定P>0,0<0<2兀，那么除極點外，平面內(nèi)的點可用唯一的極坐標(biāo)(P,0)表示；同時，極坐標(biāo)(P,0)表示的點也是唯一確定的。5極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的

4、互化：P2=x2+y2,x=pcos0,y=psinO,tanO=（x豐0）x6直線相對于極坐標(biāo)系的幾種不同的位置方程的形式分別為：ap=COSoacosOasinOasinOO=90apOMO圖4OpaM圖5asinOap=cosO-9）ap=sinO7.圓相對于極坐標(biāo)系的幾種不同的位置方程的形式分別為(a>0):(1)P=a(2)p=2acosOp=-2acosOp=2asinO(5)p=-2asinOp=2acos(O-9)對應(yīng)圖形如下：P=a9圖5O圖4p=2asin9p=2asin9p=2acos(9q)參數(shù)方程1. 參數(shù)方程的概念：在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點的坐標(biāo)

5、x,y都是某個變數(shù)tfx=f(t),的函數(shù)并且對于t的每一個允許值，由這個方程所確定的點M(x,y)都在這條卜=g(t),曲線上，那么這個方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x,y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù)。相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程。2. 常見曲線的參數(shù)方程如下：(1) 過定點(x0，y0)，傾角為a的直線：x=x+1cosa0(t為參數(shù))Ly=y+1sina0其中參數(shù)t是以定點P(x0，y0)為起點，對應(yīng)于t點M(x，y)為終點的有向線段PM的數(shù)量，又稱為點P與點M間的有向距離.(2) 中心在(x0，y0)，半徑等于r的圓:x=x+rcos9"

6、;0.9(9為參數(shù))y=y+rsin90(3) 中心在原點，焦點在x軸(或y軸)上的橢圓:x=acos9y=bsin9(9為參數(shù))rx=bcos9（或y=asin9）(4) 頂點在原點，焦點在x軸正半軸上的拋物線:x=2Pt2（t為參數(shù)，p>0）y=2pt四、直擊考點:考點一:坐標(biāo)的變化以及軌跡方程中參數(shù)方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化:fx=pcos90Hx2+y2=p2y=psin9tan9=（x豐0）x直極互化圖）參數(shù)方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化:標(biāo)準(zhǔn)方程化為參數(shù)方程:熟記常見曲線的參數(shù)方程即可。參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程:牢記參數(shù)放一邊，然后利用三角函數(shù)的知識點消參數(shù)。(女口sin

7、29+cos29=1,k=tan9=sin9)cos9例題:1把方程xy=1化為以t參數(shù)的參數(shù)方程是1x=12VBx=sint1Cx=cost1D.v1y=.yy=12sintcostJ)Ax=tant1y=tant解答：Dxy二1,x取非零實數(shù)，而A,B,C中的x的范圍有各自的限制.2A.3B.2_33C一23D.2解答：Dk=y-2=-3t=3x-12t2丨X=1+2t、八、2若直線的參數(shù)方程為L=2_3t（力參數(shù)），則直線的斜率為（）（t為參數(shù)）的普通方程為.Ix=et+e-t3.參數(shù)方程Iy=2(et-e-t)x2y2解答：T-話=1，(x2)x=et+e-1y=<=ete-t2

8、x+=2et2=(x+)(x弓=4.x-2=2e-12224分別在下列兩種情況下，把參數(shù)方程I1x=(et+e-t)cos02化為普通方程:y=-e-t)sin0（1）0為參數(shù)，丫為常數(shù)；（2）t為參數(shù)，0為常數(shù).解：(1)當(dāng)t=0時，y=0,x=cos0，即|x|<1,且y=0；當(dāng)t豐0時，cos0=丁,sin0=丁y(et+e-t)(et一e-t)22x2y2即丁+y=1；(et+e-t)2(et一e-t)2441(2)當(dāng)0=E,keZ時，y=0，x=±(et+e-t)，即|x|>1,且y=0；兀1當(dāng)0=k兀+,keZ時，x=0，y=±(et-e-1)，即x

9、=0；222xcos02ysin0x2即=1.cos20sin20實踐練習(xí)：1.直線<3爲(wèi)tx二3t2二1+-12(t為參數(shù))的傾斜角是A.B.5兀C"62兀D.32.方程x=1+1cosa(t為非零常數(shù),y=3+1sina為參數(shù))表示的曲線是A.直線B圓c橢圓D.雙曲線et+e-t二得<et-e-t二2x2y2et=+cos0sin022=(2x,2y)(2x2y)即<,得2et2e-1(+)(),2x2ycos0sin0cos0sin0cos0sin03. 把彈道曲線的參數(shù)方程(12)化成普通方程(2)xvcosat,<.012yvsina-1-gt2,0

10、2考點二：最值為題通過題意得到參數(shù)方程，一般情況下是利用參數(shù)方程中三角函數(shù)的有界型來求最值例題1.點P(x,y)是橢圓2x2+3y212上的一個動點，則x+2y的最大值為().B.2j3C.J11解析：C橢圓為=1，設(shè)P(：6cos0,2sin0),64x+2y=、j6cos0+4sin0=、22sin(0+q)<222.已知AABC中，A(2,0),B(0,2),C(cos0,-1+sin0)(0為變數(shù)),求AABC面積的最大值.x二cos0解：設(shè)C點的坐標(biāo)為(x,y)，則fy二-1+sin0即x2+(y+1)2二1為以(0,-1)為圓心，以1為半徑的圓.A(-2,0),B(0,2)，

11、.IAB1=J4+4二2邁，xy且AB的方程為一+怎=1，-22即x-y+2=0，則圓心(0,-1)到直線AB的距離為I-(-1)+21=|v'2.712+(-1)223點C到直線AB的最大距離為1+-v2，厶13:S的最大值是tx2o2x(1+2)=3+y'2.AABC22實踐練習(xí)：1在圓X2+2x+y2=0上求一點，使它到直線2x+3y5=0的距離最大.2在橢圓4x2+9y2=36上求一點P,使它到直線x+2y+18=0的距離最短（或最長）.x2y23A為橢25+y=1上任意一點，B為圓（x-1）2+y2二1上任意一點，求IAB啲最大值和最小值?？键c三：其他綜合問題例題：廠

12、1.已知曲線X'""（t為參數(shù),p為正常數(shù)）上的兩點M,N對應(yīng)的參數(shù)分別為t和t,、y二2pt12,且t+1二0，那么丨MNI二.12解析：4p11I1顯然線段MN垂直于拋物線的對稱軸，即X軸，IMN=2p11-1I二2pI2tI.1212直線*:2：（站參數(shù)）被圓x2+y2二9截得的弦長為（）A12yB.尋C.975D.9小0Ix=1+2t解析:B|y=2+1x=1+摘X書rx=1+2t；，把直線1c代入y=1+呂x丄y=2+1x2+y2=9得(1+2t)2+(2+1)2=9,512+8t-4=0,J81612一12(一5)2+匸=丁，弦長為311-12|=亍53

13、rx=5cos03已知直線1過定點P(-3,-R與圓C:1y=5sin0(0為參數(shù))相交于A、B兩點求：(1)若IABI二8，求直線l的方程;3(2)若點P(-3,-)為弦AB的中點，求弦AB的方程.x二5cos0解:由圓C的參數(shù)方程1y=5sin0=X2+y2=25'設(shè)直線1的參數(shù)方程為x=-3+1cosa3.(t為參數(shù)),y=-+1sina2將參數(shù)方程代入圓的方程x2+y2二25得4t2一12(2cosa+sina)t-55=0,=169(2coa+sina)2+55>0,所以方程有兩相異實數(shù)根、12,.IABI=It-t12I=、'9(2cosa+sina)2+55=8,化簡有3cos2a+4sinacosa=0，解之cosa=0或tana=-從而求出直線1的方程為x+3=0或3x+4y+15=0.(2)若P為AB的中點，所以t+1=0，12由(1)知2cosa+sina=0，得tana=-2，故所求弦AB的方程為4x+2y+15=0(x2+y2<25).實踐練習(xí)：1已知直線；lx=-1-3ty=2+